專題復(fù)習(xí)證明線段相等角相等的基本方法(一)

1、v1.0可編輯可修改專題復(fù)習(xí)證明線段相等角相等的基本方法（一）一、教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能：使學(xué)生掌握根據(jù)角和線段位置關(guān)系如在一個(gè)三角形中或在兩個(gè) 三角形中，利用等邊對(duì)等角、或三角形全等證明角相等線段相等的基本方法.過程與方法：使學(xué)生在根據(jù)角或邊的位置關(guān)系確定證明角相等或線段等的方 法過程中，體驗(yàn)證明角相等線段相等的基本方法， 在交流的過程中感受和豐富學(xué) 生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)；培養(yǎng)學(xué)生推理論證能力.情感態(tài)度與價(jià)值觀：激活學(xué)生原有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，使每個(gè)學(xué)生按照自己的習(xí) 慣進(jìn)行提取、存儲(chǔ)信息，形成不同的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，獲得不同 的發(fā)展.二、教學(xué)重點(diǎn)：掌握根據(jù)角和線段位置關(guān)系確定證明角相等線段相等的

2、基本方法.教學(xué)難點(diǎn)：分析圖形的形狀特征，識(shí)別角或線段的位置關(guān)系，確定證明方法 .三、教學(xué)用具：三角板、學(xué)案等四、教學(xué)過程：（一）引入：相等的線段和角是構(gòu)成特殊幾何圖形的主要元素，也是識(shí)別特殊圖形的主要 依據(jù)；運(yùn)用三角形全等證明線段相等角相等，常出現(xiàn)在中考15題左右的位置，是北京市中考必考內(nèi)容；運(yùn)用全等三角形的知識(shí)尋求經(jīng)過圖形變換后得到的圖形 與原圖形對(duì)應(yīng)元素間的關(guān)系，常與特殊圖形結(jié)合，出現(xiàn)在綜合題中.（二）例題：例1已知：如圖1, zABC中，AB=AG BC為最大邊，點(diǎn) D E分別在BG AC上，BD=C F 為 BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BF=CD.求證：/ DEF=/ DFE .分析：要證在一個(gè)

3、三角形中的兩角相等，考慮用等腰三角形的性質(zhì)（等邊對(duì) 等角）來證；因要證的兩條相等的邊在兩個(gè)三角形中，故利用三角形全等來證線11v1.0可編輯可修改段相等.證明：v AB=AC / B=/ C.在 4BDF 和CED,法.圖1DF ED.DEF DFE.點(diǎn)撥：抓住圖形的特征（兩角在一個(gè)圖形中）常用等邊對(duì)等角證明，這是證兩角相等的常用方BD CE, B C, BF CD, BDF CED.圖1-2圖1-1例2已知：如圖1,在 ABC中，/ACB=90：, CD AB于點(diǎn)D,點(diǎn)E在AC上，CE=BC過E點(diǎn)作AC的垂線，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F .求證AB=FC.分析：觀察AB與FC在圖形中的位置，發(fā)現(xiàn)這

4、兩條線段分別位于兩個(gè)三角形 中，考慮用三角形全等來證明.準(zhǔn)備三角形全等的條件時(shí)，已知一對(duì)角一對(duì)邊對(duì) 應(yīng)相等，還需證另一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等；已知條件有直角，故利用同角的余角相等來 證.圖1證明：V FE，AC于點(diǎn)E, ACB 90°, FEC ACB 90° ,易證 A F .AABC = AFCE . AB FC .點(diǎn)撥：根據(jù)圖形特征，要證明相等的兩邊分別在兩 個(gè)三角形中，常利用證明兩邊所在的兩個(gè)三角形全等來證.在證明兩角相等時(shí), 利用了同角的余角相等證明，也可用等角的余角相等來證，但較復(fù)雜.例3兩個(gè)大小不同的等腰直角三角板如圖1-1所示放置，圖1-2是由它抽象出的幾何圖形，B,

5、 C, E在同一條直線上，連結(jié)DC .求證：/ ABEW ACDv1.0可編輯可修改分析：圖1-2是由兩個(gè)大小不同的等腰直角三角板構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)圖形，分別從一個(gè)等腰三角形取一條腰，夾角為等角加同角，就可構(gòu)成邊角邊對(duì)應(yīng)相等的 ABE與ACD全等，從而可證全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.證明：； ABC與4AED均為等腰直角三角形,AB AC , AE AD , BAC EAD 90：.易證 BAE CAD . ABEAACD . /ABE力 ACD點(diǎn)撥：由有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)等腰直角三角形構(gòu)成的幾何圖形， 當(dāng)分別從一個(gè) 等腰三角形中取一腰時(shí)，可構(gòu)成邊角邊全等三角形；證夾角相等時(shí)常用等角加同 角的和相等.此題可以

6、拓展，將等腰直角三角形換成等邊三角形、頂角相等的等腰三角形、 正方形等.例4點(diǎn)A、B、C在同一直線上，在直線 AC的同側(cè)作 ABE和BCF ,連接 AF, CE 取 AF、CE的中點(diǎn) M N,連接 BM BN, MN.（1）如圖1,若 ABE和FBC是等腰直角三角形，且 ABE FBC 90°, 則MBN是 三角形.（2）如圖 1-2,在 ABE 和 BCF 中，若 BA=BE,BC=BFa ABE FBC , 則MBN是 三角形，且 MBN（3）如圖1-3,若將（2）中的ABE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定角度，其他條件不變，那 么（2）中的結(jié)論是否成立 若成立，給出你的證明；若不成立，寫出正確的

7、結(jié) 論并給出證明.（如圖1）（如圖3）33v1.0可編輯可修改分析：（1）判斷三角形形狀時(shí)，三角形一般是特殊三角形，由已知易知1 1BM -AF -EC BN ,又可證得/ MBN=9 ,所以MBM等腰直角二角形. 22（2）圖形中是兩個(gè)等腰三角形以公共頂點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)而成，則一個(gè)等腰三角形取一腰，構(gòu)成兩個(gè)邊角邊全等三角形.解：（1）等腰直角（2）等腰（3）結(jié)論仍然成立證明：如圖1-3,易證ABF AEBC.AF=CE /AFB4 ECB.M,N分別是AF、CE的中點(diǎn),FM=CN.MFBi ANCB. .BM=BN. / MBF= NBC. ./MBN=MBF廿 FBNW FBN-+Z NBCW

8、 FBC=.點(diǎn)撥：在圖形形狀發(fā)生變化時(shí)，抓住影響結(jié)論的主要條件是否變化， 如果沒有變，則結(jié)論不變；如主要條件變，則結(jié)論變.在證明此類問題時(shí)，圖形變化后的證明思想或證明方法， 常可由特殊（變化 前）的證法類比得到.（三）練習(xí)：1 .如圖1,四邊形ABC此矩形，PBCffiQCt是等邊三角形，點(diǎn)P在矩形上方，點(diǎn)Q在矩形內(nèi).求證：（1） /PB今/PCQ30。； （2） PA=PQBC 44圖1v1.0可編輯可修改2 .如圖1,正方形ABCD勺邊CDS正方形ECGF勺邊CE±,連接BE、DG (1)求證：BE= DG (2)圖中是否存在通過旋轉(zhuǎn)能夠互相重合的兩個(gè)三角形若存在，說出旋轉(zhuǎn)過程；

9、若不存在，請(qǐng)說明理由.3 .如圖 1,在 ABE中，AB= AE,AD= AC,/BA氏 / EAC,BG DE交于點(diǎn)O.求證：(1) AAB(CAAED (2) OB=OE.554 .如圖，將一三角板放在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCDt,并使它的直角頂點(diǎn)P 在對(duì)角線AC上滑動(dòng)，直角的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)B,另一邊與射線DCf目交于Q當(dāng)點(diǎn) Q在邊CD上時(shí)，線段PQ與PB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系試證明你的猜想圖15 .如圖1-1 ,在 ABC中，/ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn)，連結(jié)AD ,以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形 ADEF .(1)如果AB AC , / BAC 90：,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)(與

10、點(diǎn)B不v1.0可編輯可修改重合），如圖1-2,線段CF、BD所在直線的位置關(guān)系為CF、BD的數(shù)量關(guān)系為;當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖1-3,中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由;(2)如果AB AC, /BAC是銳角，點(diǎn)D在線段BC上，當(dāng) ACB滿足什么條件時(shí),CF BC （點(diǎn)C、F不重合），并說明理由.圖1-1圖1-266（四）總結(jié):通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),使學(xué)生在對(duì)例題、習(xí)題分析、證明、總結(jié)反思的過程中,體驗(yàn)根據(jù)線段和角的位置關(guān)系證明角等和線段相等的方法，即當(dāng)兩角或兩邊在 個(gè)三角形中時(shí)，利用等邊對(duì)等角或等角對(duì)等邊，當(dāng)兩角或兩邊在兩個(gè)三角形中時(shí) 證明他們所在的兩個(gè)三角形全等；體驗(yàn)由有公共頂點(diǎn)的兩

11、個(gè)等腰直角三角形構(gòu)成 的幾何圖形，當(dāng)分別從一個(gè)等腰三角形中取一腰時(shí)，可構(gòu)成邊角邊全等三角形.通過練習(xí)拓展，將等腰直角三角形換成等邊三角形、頂角相等的等腰三角形、 正方形等，結(jié)論仍然成立.老師在用時(shí)可將例習(xí)題變?yōu)閷W(xué)案使用，也可根據(jù)自己的習(xí)慣和學(xué)生情況增減 習(xí)題使用.教案設(shè)計(jì)程序簡(jiǎn)單，易于使用者直接使用或改變.歡迎提寶貴意見！謝謝!（五）反思:本節(jié)課例習(xí)題編排按照由易到難、有簡(jiǎn)單到復(fù)雜的順序，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī) 律，學(xué)生通過課上的體驗(yàn)、總結(jié)、交流再通過練習(xí)進(jìn)行鞏固，希望達(dá)到教學(xué)目標(biāo).1.證明：（1）四邊形ABCD1矩形,v1.0可編輯可修改ZABG=ZBC&90° . PB5口 Q

12、CEM等邊三角形,ZPBG：ZPC&ZQC©60o ,/PBA/ABO/PB830° , /PC 序 Z BCD- Z PC&30° ./PCR/QCa/PCB3CT ./PBA=/PC030°(2) v AB=DG=QQ Z PBA：Z PCQ PB=PQ/. APAAPQQPA=PQ2. (1)證明：如圖1, 正方形ABCD和正方形ECGFBC CD, CE CG, BCE DCG 90 .在ABCE和ADCG中，BC CDBCE DCGCE CG BCE DCG (SAS).BE DG .BACEADACAD78. .AB 登AED

13、(SAS).v1.0可編輯可修改圖1-15.(1)垂直，相等;(2) 由(1)知 / ABCW AED.AB=AE,/ABEW AEB ./ OBE=OEB .OB=O E4.解：PQ=PB證明： 過P點(diǎn)作MM BC分別交AR DC于點(diǎn)M N在正方形ABC, AC為對(duì)角線, .AM=PM又 = AB=MN .MB=PN. / BPR900 , ./ BPMk /NPQ90° .又. / MB斗 /BPM=90° , / MB= /NPQ .RtzXMB匹RtANPQ,. PB=PQ89圖1-2如圖1-2,當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)的結(jié)論仍成立.由正方形 ADEF# AD= AF , /DAM 90o . / BAC 90o ,/ DAF= / BAC , / DA氏 / FAC又 AB= AC ,.DABi AFAC , .CF= BD ,/ACF= /ABD / BA拄 90o , AB= AC , ./ABC= 45o , . .