導數(shù)應(yīng)用與積分

1、第三章 微分中值定理與導數(shù)的應(yīng)用本章將利用導數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性和曲線的凹凸性，并討論如何求函數(shù)的極值和最大最小值等問題，研究以上問題的理論基礎(chǔ)，就是微分中值定理。第一節(jié) 微分中值定理一、 羅爾定理定理1 如果函數(shù)滿足（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內(nèi)可導；（3）在區(qū)間兩個端點處的函數(shù)值相等,即.則至少存在一點，使得.證 參見圖3-1.由于在上連續(xù)，故在上必有最大值和最小值. (1) 如果，那么在上為常數(shù)，而常數(shù)的導數(shù)為零，故內(nèi)任何點都可作為. (2) 如果，那么，最大值與最小值至少有一個在內(nèi)取到，不妨假設(shè)在內(nèi)某點處,下證.由于是在上的最大值，所以對于任意均有.當時，必有，由于存在，故.

2、定理證畢.圖3-1羅爾定理的幾何意義：若兩端點縱坐標相等的連續(xù)曲線內(nèi)處處具有不垂直于軸的切線,則總可以在曲線內(nèi)找到一點，使曲線在點的切線平行于軸或弦（見圖3-1）.注意 羅爾定理只給出了結(jié)論中導函數(shù)的零點的存在性，通常這樣的零點是不易具體求出的.例1 不求導數(shù),判斷函數(shù)的導數(shù)有幾個零點及這些零點所在的范圍.解 因為,所以在閉區(qū)間、上滿足羅爾定理的三個條件,則至少存在一點,使得;又至少存在一點,使得;即都是的零點. 又因為為二次多項式,最多只能有兩個零點,故恰好有兩個零點,分別在區(qū)間和內(nèi).例2 設(shè)函數(shù)在上二階可導，且,又，試證至少存在一點,使得.證 由題設(shè)條件易知在上連續(xù),在內(nèi)可導,且,即在上滿

3、足羅爾定理的條件，故存在，使得.又因為在上連續(xù),在內(nèi)可導,且,故再由羅爾定理可知至少存在一點，使得. 證畢.二、 拉格朗日中值定理定理2 如果滿足(1) 在閉區(qū)間上連續(xù);(2) 開區(qū)間在內(nèi)可導.則必有，使得.分析 假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的圖形是連續(xù)光滑曲線，如圖3-2所示.圖3-2顯然，是連接點和點的弦AB的斜率，而是曲線在某點處的切線斜率，因此定理的結(jié)論是：在曲線上至少有一點，曲線在該點的切線平行于弦AB.平行于弦AB的直線中最簡單的便是.證 令.由定理條件可知在上連續(xù)，在內(nèi)可導,且，即在上滿足羅爾定理條件.故必有，使得，即. 定理證畢.定理中，叫做拉格朗日中值公式,顯然當時它也成立.在拉格朗日中

4、值公式中記，則有，若取，則又有，因此，拉格朗日中值公式又稱為有限增量公式.當自變量取得有限增量而需要函數(shù)增量的準確表達式時,常用拉格朗日中值公式來表示.推論 若函數(shù)在區(qū)間上的導數(shù)，則在上恒為常數(shù).證 在區(qū)間上任取兩點，應(yīng)用拉格朗日中值定理有由于，所以，即.由的任意性可知，在區(qū)間上恒為常數(shù). 證畢.例3 證明:.證 令,則,于是,又因為,所以,故. 證畢.例4 證明:當時，.證 令，則在滿足拉格朗日中值定理的條件，于是存在，使得即，或，而，故. 證畢.三、柯西中值定理定理3 如果,滿足(1)在閉區(qū)間上連續(xù);(2)在開區(qū)間在內(nèi)可導;(3)在內(nèi)每一點處，則至少有一點，使得.證 構(gòu)造輔助函數(shù)，易知滿足

5、羅爾定理的條件，故在內(nèi)至少存在一點，使得，即，從而. 定理證畢.注意 在拉格朗日中值定理和柯西中值定理的證明中,我們都采用了構(gòu)造輔助函數(shù)的方法.這種方法是微積分中證明數(shù)學命題的一種常用方法,它是根據(jù)命題的特征與需要,經(jīng)過推敲與不斷修正而構(gòu)造出來的,并且不是唯一的.顯然,若取,則,因而,柯西中值定理就變成拉格朗日中值定理了.所以柯西中值定理又稱為廣義中值定理.例5 設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導,證明: .證 結(jié)論可變形為,根據(jù)柯西中值定理,可設(shè),則至少存在一點,使,即. 證畢.習題3-11. 驗證羅爾定理對函數(shù)在區(qū)間上正確性.2. 驗證拉格朗日中值定理對函數(shù)在區(qū)間上的正確性.3. 不用求出函數(shù)的導數(shù)

6、，說明方程有幾個實根，并指出它們所在區(qū)間.4. 證明恒等式：.5. 用拉格朗日中值定理證明:當時,.6. 若方程有一個正根，證明方程必有一個小于的正根.7. 設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導,且,證明:至少存在一點,使.8. 證明:方程只有一個正根.9. 證明:若函數(shù)在內(nèi)滿足關(guān)系式,且,則.10.設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)有二階導數(shù),且有,證明:至少存在一點,使.第二節(jié) 洛必達法則 如果當（或）時，函數(shù)與都趨于或都趨于無窮大，此時，極限（或）可能存在，也可能不存在.我們把這種形式的極限稱為型不定式或型不定式.這兩種不定式不能用商的極限運算法則求得.下面介紹求這類不定式極限的一種簡便且重要的方法洛必達法則.一

7、、洛必達法則定理設(shè)函數(shù)與滿足（1），；（2）在點的某去心鄰域內(nèi)與都可導,且；（3）存在(或為無窮大)；則 .證 因為是否存在與和取何值無關(guān),故可補充定義,即在點連續(xù),于是在去心鄰域內(nèi)取一點,則在以為端點的區(qū)間上,滿足柯西中值定理的條件,則有在與之間.當時,所以(或).定理證畢.上述定理給出的這種在一定條件下通過對分子、分母分別先求導、再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則.推論 設(shè)函數(shù)與滿足(1)，；(2) 當充分大時，存在，且；(3) 存在(或為無窮大)，則有 .定理2 設(shè)(1)，；(2)在點的某去心鄰域內(nèi)(或當充分大時),存在,且；(3) 存在(或為無窮大)，則有.證明從略.例1 求

8、.解=1.例2 求.解.例3 求.解.例4 求.解=.例5 求.解.例6 求.解=0.例7 求為正整數(shù),.解 反復應(yīng)用洛必達法則次,得注意 將洛必達法則與其它求極限的方法結(jié)合使用,效果會更好.例如,能化簡應(yīng)先化簡,能用等價無窮小替換或重要極限時,應(yīng)盡量用.例8 求.解,等式右邊含有,該極限不存在(振蕩),故洛必達法則失效.改用如下方法.注意 應(yīng)用洛必達法則求極限時,如果不存在且不等于,只表明洛必達法則失效,并不意味著不存在,此時應(yīng)改用其它方法求之.二、 其它幾種不定式的極限除了型或型不定式外，還有型不定式，它們都可以經(jīng)過適當變形，化為型或型不定式.1.對于型,可將乘積化為除的形式,即化為型或型

9、不定式來計算.例9 求.解 這是型不定式.=.2.對于型,可利用通分化為型不定式來計算.例10 求.解 這是型不定式.= =.3.對于型,可利用來計算,其中是有限數(shù)或無窮.例11 求.解 這是型不定式.因為=，而=，所以 =.例12求.解 這是型不定式，因為，所以 =.例13 求.解 這是型不定式,因為,所以 .習題3-21. 用洛必達法則求下列各極限:（1）; （2）;（3）; （4）;（5）; （6）;（7）; （8）;（9）; （10）;（11） ; （12）.2.驗證極限存在,但不能用洛必達法則求出.3.討論函數(shù)在點處的連續(xù)性.第三節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性和曲線的凹凸性在第一章里我們已經(jīng)介紹了

10、函數(shù)單調(diào)性概念，這里我們將利用導數(shù)這個工具來研究函數(shù)的單調(diào)性和曲線的凹凸性。一、 函數(shù)的單調(diào)性定理1 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導.（1）如果在內(nèi)，那么函數(shù)在上單調(diào)增加；（2）如果在內(nèi)，那么函數(shù)在上單調(diào)減少.證 現(xiàn)只對（1）進行證明，（2）類似可證.設(shè)是內(nèi)任意兩點，且.在上應(yīng)用拉格朗日中值定理，有.由于在內(nèi),，故，即函數(shù)在上單調(diào)增加. 定理證畢.如果在內(nèi)，且的點只有有限個，則在仍單調(diào)遞增.例如且只有,在上也是單調(diào)增加的.如果將定理中的有限區(qū)間換成無限區(qū)間，結(jié)論同樣成立.例1 判定函數(shù)在上的單調(diào)性.解 在內(nèi)，故在上單調(diào)增加.例2 討論函數(shù)的單調(diào)性.解 .當時，函數(shù)在上單調(diào)增加；當時，函數(shù)在上單調(diào)減少

11、；當時，函數(shù)在上單調(diào)增加.例3 討論函數(shù)的單調(diào)性.解 函數(shù)在內(nèi)連續(xù).當時，;當時，不存在.當時，函數(shù)在上單調(diào)減少；當時，函數(shù)在上單調(diào)增加.例4 試證:當時，.證 令.由于在上連續(xù)，且，所以在上單調(diào)減少.從而當時，有，即當時，. 證畢.例5 證明方程在區(qū)間內(nèi)有且只有一個實根.證 令,先證存在性.因為在閉區(qū)間上連續(xù),且,所以由零點定理,在內(nèi)至少有一個零點存在;再證唯一性.因為所以在內(nèi)單調(diào)增加的,因此與軸至多只有一個交點.綜上所述,方程在區(qū)間內(nèi)有且只有一個實根.證畢.二 、曲線的凹凸性與拐點函數(shù)曲線在上升或下降過程中，我們還要討論曲線的彎曲方向,曲線的彎曲方向可以用凹凸性來描述.定義1 設(shè)函數(shù)在上連

12、續(xù)，在內(nèi)可導.若曲線總位于每一點的切線上方，則稱此曲線弧為上凹弧(見圖3-3(a)；若曲線總位于每一點的切線下方，則稱此曲線弧為上凸?。ㄒ妶D3-3（b）.（a）（b）圖3-3從圖3-4可以看出，曲線的凹凸性還有如下等價定義.定義2 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導.如果對于區(qū)間上任意兩點，總有,那么稱此曲線為上凹的（見圖3-4（a）.若總有,那么稱此曲線為上凸的（見圖3-4（b）.（b）（a）圖3-4定義3 連續(xù)曲線上凹弧與上凸弧的分界點，稱為曲線的拐點.下面用函數(shù)的二階導數(shù)的符號來判定曲線的凹凸性，即判斷曲線弧是上凹弧還是上凸弧.定理2 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)二階可導，那么（1）若在內(nèi)，則在上是上凹弧

13、；（2）若在內(nèi)，則在上是上凸弧.圖3-5證(1) 因為函數(shù)在內(nèi)有二階導數(shù)，故函數(shù)在內(nèi)必有一階導數(shù)，于是在曲線上任意點（見圖3-5）處有切線，且切線方程為，對于曲線上的另一任意點，依拉格朗日中值定理有，即 ,其中介于和之間.在切線方程中令，則相應(yīng)地得，將切線上的點記為.根據(jù)定義1，下面只需證明曲線上的點位于切線上的點上方即可.由拉格朗日中值定理可得,其中介于與之間.顯然與同正或同負.故當時，從而或,即點在點上方.由及的任意性可知，曲線上任意點的切線都在該曲線的下方.因此，曲線在區(qū)間上是上凹的.同理可證情形（2）.定理證畢.例6確定曲線的凹凸區(qū)間及拐點.解，,令，得.列表討論如下:為拐點為拐點故在

14、區(qū)間，為上凹，在區(qū)間為上凸，拐點為，.例7確定曲線的凹凸區(qū)間與拐點.解，,當時，不存在.列表討論如下: 不存在為拐點故曲線在區(qū)間上凹，在區(qū)間上凸，拐點為.從上面例子可看出，拐點既然是曲線凹凸弧的分界點，故在拐點兩側(cè)必然異號，由此可見，曲線的拐點的橫坐標只能是的點，或不存在的點。習題3-31. 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:（1）; （2）;（3）; （4）;（5）; （6）.2. 利用單調(diào)性證明下列不等式:（1）當時，;（2）當時，;（3）當時，.3. 求下列曲線的凹凸區(qū)間及拐點:（1）; （2）;（3）.4. 問為何值時，點為曲線的拐點.第四節(jié) 函數(shù)的極值與最大值最小值函數(shù)的極值是某點附近的局部性概

15、念，函數(shù)的最值是某區(qū)間的全局性概念，本節(jié)我們將討論函數(shù)極值和最值的求法。一、 函數(shù)的極值定義1 設(shè)函數(shù)在的某個鄰域內(nèi)有定義.（1）若在的某個去心鄰域內(nèi)有，則稱為函數(shù)的一個極大值；（2）若在的某個去心鄰域內(nèi)有，則稱為函數(shù)的一個極小值.函數(shù)的極大值和極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.應(yīng)當指出函數(shù)的極值是一個局部概念，是極大值或極小值只說明在點附近是最大的或最小的，而不是意味著它在函數(shù)的整個定義區(qū)間內(nèi)為最大或最小.如圖3-6中所示的函數(shù),它在點和點各取得極大值,在點和各取得極小值.從圖中可以看到,極大值甚至小于極小值,還可以看到,這些極大值都不是函數(shù)在定義區(qū)間上的最大值,極小值也

16、不是定義區(qū)間上的最小值.圖3-6圖3-6還能顯示出,極值點處有切線的話,切線一定是水平方向的.但有水平切線的點不一定是極值點.如曲線在處的切線是水平的,卻不是極值點.在上述幾何直觀的基礎(chǔ)上,我們給出下面定理:定理1 (極值存在的必要條件) 如果在點處取得極值且在點處可導,則.證 不妨設(shè)為極小值.即在的某個去心鄰域內(nèi)的一切都有.當時,因此；當時,因此；從而. 定理證畢.關(guān)于這個定理需要說明三點:(1)只是可導函數(shù)在點處取得極值的必要條件,而不是充分條件.事實上,如函數(shù)在處導數(shù)等于零,但在該點并不取得極值.(2) 定理的前提之一是函數(shù)在點可導,而導數(shù)不存在(但連續(xù))的點也有可能是極值點.例如,顯然

17、不存在,但在處連續(xù)，顯然是的極小值.(3) 使函數(shù)的導數(shù)為零的點（即方程的實根）叫做函數(shù)的駐點.定理1說明可導函數(shù)的極值點必是駐點，但駐點不一定都是極值點。另外，連續(xù)函數(shù)的極值點一定是駐點或?qū)?shù)不存在的點，但駐點和導數(shù)不存在的點卻不一定都是連續(xù)函數(shù)的極值點。那么，如何確定駐點或?qū)?shù)不存在的點是否為函數(shù)的極值點呢？定理2 （極值的充分條件I）設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)連續(xù),在的某去心鄰域內(nèi)可導.（1）如果當時，；當時，則為函數(shù)的極大值；（2）如果當時，；當時，則為函數(shù)的極小值；（3）如果當與時，同號，則不是函數(shù)的極值.證（1）因為當時,所以在的左側(cè)單調(diào)增加，從而當時，;因為當時,所以在的右側(cè)單調(diào)減少，

18、從而當時，.可見在的附近總有，故為函數(shù)的極大值。（2）同理可證.（3）不妨設(shè)在的某去心鄰域都是正的，則在該鄰域內(nèi)單調(diào)增加，不是的極值點.定理證畢.如果函數(shù)在駐點處有二階導數(shù)，則有如下定理.定理3 （極值的充分條件II）設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)可導，且，則（1）當時，是函數(shù)的極小值；（2）當時，是函數(shù)的極大值.證 （1）由二階導數(shù)定義及知,由極限保號性知，存在的某去心鄰域，對該鄰域內(nèi)的一切，都有.因此，當時，當時，從而由定理1可知為函數(shù)的極小值.（2）同理可證.定理證畢.例1 求函數(shù)的極值.解,令，得駐點.列表討論如下：單調(diào)增加極大值單調(diào)減少極小值單調(diào)增加所以該函數(shù)在處取極大值，在處取得極小值.例2

19、 求函數(shù)的極值.解，無駐點，當時不存在.列表討論如下：不存在單調(diào)增加極大值單調(diào)減少所以在處取極大值.例3求函數(shù)的極值.解，令得駐點.因為，所以為的極大值;又因為，所以為的極小值.二、 函數(shù)的最大值與最小值若函數(shù)在上連續(xù)，則在上必有最大值和最小值.求連續(xù)函數(shù)在上最大值和最小值一般步驟如下:（1）求出函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的所有駐點及導數(shù)不存在點；（2）求出函數(shù)在上述各點及兩個端點處的函數(shù)值，將這些函數(shù)值加以比較，其中最大者是的最大值，最小者是的最小值.例4 求函數(shù)在上最大值與最小值.解在上連續(xù)可導.，令得駐點.因為，所以在上的最大值為，最小值為.在實際問題中，如果根據(jù)實際問題的含義或經(jīng)驗就可以斷定目標函

20、數(shù)在其定義域內(nèi)一定有最大值（或最小值）,而可導函數(shù)在其定義域內(nèi)只有一個駐點，則無需討論是不是極值，即可判定是所求最大值（或最小值）.例5某窗的形狀為下半部分是矩形,上半部分是半圓.若此窗框的周長為一定值，試確定半圓的半徑和矩形的高，使其所通過的光線最為充足.解 設(shè)窗的面積為，則有.又，由此得，所以.求導得，令得，此時,且，故當,時，取最大值.這時窗所通過的光線最為充足.例6 在曲線上求一點，使曲線在點處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形面積最小.圖3-7解 如圖3-7所示，設(shè)點為，則過點的切線方程為,令，得,令，得,于是所求三角形面積為.求導得，令得和（舍去）.因為當時，；當時，故是的唯一極小值點

21、，也是最小值點，故所求點為.習題3-41.求下列函數(shù)的極值:（1） ; （2）;（3）; （4）;（5） ; （6）.2.求下列函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值和最小值:（1），; （2）;（3）; （4）.3.問為何值時，函數(shù)在處取得極值？是極大值還是極小值？并求出此極值.4.要造一個長方體無蓋蓄水池，其容積為，底面為正方形，設(shè)底面與四壁的單位造價相同，問底邊和高各為多少米時，才能使所用材料最省.5.在橢圓內(nèi)作一內(nèi)接矩形，問長和寬各為多少時，矩形面積最大，此時面積等于多少？6.在半徑為的球內(nèi)嵌入一個體積最大的圓柱體，求此圓柱體的體積.第五節(jié) 函數(shù)圖形的描繪借助一階導數(shù)符號，可以確定函數(shù)曲線的單調(diào)區(qū)間

22、和極值點；借助二階導數(shù)符號可以確定曲線的凹凸區(qū)間及拐點.如果還能了解曲線無限延伸時的變化趨勢,我們就可以把函數(shù)圖形比較準確地描繪出來一 、曲線的漸近線定義 當曲線上的動點沿著曲線無限遠離坐標原點時，若動點與某直線的距離趨于零，則稱此直線為曲線的漸近線. 下面只介紹曲線的水平漸近線和垂直漸近線的求法.（1）水平漸近線若，則是曲線的一條水平漸近線.（2）垂直漸近線若，則是曲線的一條垂直漸近線.例1 求下列曲線的漸近線:（1）; （2）.解(1) 因為,所以直線為曲線的水平漸近線.(2)因為，所以直線為曲線的垂直漸近線.二 、函數(shù)圖形的描繪描繪函數(shù)圖形的一般步驟如下：（1）確定函數(shù)的定義域，奇偶性，

23、周期性并求出一階導數(shù)和二階導數(shù);（2）求出,的點、,不存在的點及的間斷點.并用這些點將函數(shù)的定義域分成幾個部分區(qū)間;（3）確定各部分區(qū)間內(nèi)和的符號,并由此確定函數(shù)圖形的升降和凹凸性,以及極值點和拐點;（4）求出曲線漸近線及個別重要點；（5）根據(jù)（3）（4）步的討論結(jié)果逐段描繪出函數(shù)的圖形.例2 描繪函數(shù)的圖形.解 函數(shù)定義域為，.令得駐點，令得，列表討論函數(shù)性態(tài)如下：不存在不存在單調(diào)減少凸拐點單調(diào)減少凹極小值單調(diào)增加凹間斷單調(diào)減少凹因為，所以是曲線的水平漸近線;因為，所以是曲線的垂直漸近線.除拐點,極值對應(yīng)點外,再取幾個點,.最后根據(jù)函數(shù)的以上性態(tài)逐段描繪出函數(shù)的圖形如圖3-8所示.圖3-8習

24、題3-51. 求下列曲線的漸近線：（1）; (2).2. 作函數(shù)的圖形.3. 作函數(shù)的圖形.第六節(jié) 導數(shù)在經(jīng)濟學中的應(yīng)用一、邊際概念 在經(jīng)濟問題中，常常會使用變化率的概念，而變化率又分為平均變化率和瞬時變化率.平均變化率就是函數(shù)增量與自變量增量之比，函數(shù)在以和為端點的區(qū)間上的平均變化率為；而瞬時變化率就是函數(shù)對自變量的導數(shù)，即如果函數(shù)在處可導，其在處的瞬時變化率為經(jīng)濟學中稱它為在處的邊際函數(shù)值.設(shè)在點處，從改變一個單位時的增量的準確值為由于實際的經(jīng)濟問題中，一般是一個比較大的量，而就可以看作是一個相對較小的量，由微分學可知，的近似值為這說明在點處，當產(chǎn)生一個單位的改變時，近似改變個單位.在應(yīng)用

25、問題中解釋邊際函數(shù)值的具體意義時我們略去“近似”二字.于是，有如下定義：定義1 設(shè)經(jīng)濟函數(shù)在處可導，則稱導數(shù)為的邊際函數(shù).在處的值為邊際函數(shù)值.邊際函數(shù)值表示當時，改變一個單位，改變個單位單位.例1 設(shè)函數(shù)，試求在時的邊際函數(shù)值.解因為，所以該值表明：當時，改變一個單位（增加或減少一個單位），改變20個單位（增加或減少20個單位）.二、經(jīng)濟學中常見的邊際函數(shù)1.邊際成本總成本函數(shù)的導數(shù)稱為邊際成本，記為它（近似地）表示：假定已經(jīng)生產(chǎn)了件產(chǎn)品，再生產(chǎn)一件產(chǎn)品所增加的成本.由于生產(chǎn)件產(chǎn)品的邊際成本近似等于多生產(chǎn)一件產(chǎn)品（第件產(chǎn)品）的成本，所以，如果將邊際成本與平均成本相比較，若邊際成本小于平均成本

26、，則應(yīng)考慮增加產(chǎn)量以降低單件產(chǎn)品的成本；若邊際成本大于平均成本，則應(yīng)考慮減少產(chǎn)量以降低單件產(chǎn)品的成本.例2 設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品單位的總成本為求：（1） 生產(chǎn)900個單位時的總成本和平均成本；（2） 生產(chǎn)900個單位到1000個單位時的總成本的平均變化率；（3） 生產(chǎn)900個單位的邊際成本，并解釋其經(jīng)濟意義.解：（1）生產(chǎn)900個單位時的總成本為平均成本為（2）生產(chǎn)900個單位到1000個單位時的總成本的平均變化率為（4） 邊際成本函數(shù)當時的邊際成本為它表示當產(chǎn)量為900個單位時，再增產(chǎn)（或減產(chǎn)）一個單位，需增加（或減少）成本1.5個單位.2.邊際收益總收益函數(shù)的導數(shù)稱為邊際收益，記為.它（近似地）表

27、示：假定已經(jīng)銷售了單位產(chǎn)品，再銷售一個單位產(chǎn)品所增加的總收益.設(shè)為價格，且也是銷售量的函數(shù)，即，因此，則邊際收益為.例3 設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為，其中為價格，為銷售量，求銷售量為15個單位時的總收益、平均收益與邊際收益.并求銷售量從15個單位增加到20個單位時收益的平均變化率.解總收益銷售15個單位時，總收益平均收益邊際收益當銷售量從15個單位增加到20個單位時收益的平均變化率為3.邊際利潤總利潤的導數(shù)稱為邊際利潤，記為它（近似地）表示：若已經(jīng)生產(chǎn)了單位產(chǎn)品，再生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品所增加的總利潤. 一般情況下，總利潤函數(shù)等于總收益函數(shù)與總成本函數(shù)之差，即則邊際利潤為顯然，邊際利潤可由邊際收入與邊際成

28、本決定，且當時， 當時，其經(jīng)濟意義是，如產(chǎn)量已達到，再多生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品，所增加的收益大于所增加的成本，因而總利潤有所增加；而當時，此時，再增加產(chǎn)量，所增加的收益要小于所增加的生產(chǎn)成本，從而總利潤將減少.例4 某工廠對其產(chǎn)品的情況進行了大量統(tǒng)計分析后，得出總利潤（單位：元）與每月產(chǎn)量（單位：t）的關(guān)系為試確定每月生產(chǎn)20t,25t,35t的邊際利潤，并作出經(jīng)濟解釋.解邊際利潤函數(shù)為則上述結(jié)果表明當生產(chǎn)量為每月20t時，再增加1t，利潤將增加50元，當產(chǎn)量為每月25t時，再增加1t,利潤不變；當產(chǎn)量為35t時，再增加1t利潤將減少100元.此處亦說明，對廠家來說，并非生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量越多，利潤越高

29、.三、彈性概念1.彈性概念我們在邊際分析中，討論的函數(shù)變化率與函數(shù)改變量均屬于絕對量范圍的討論.在經(jīng)濟問題中，僅僅用絕對量的概念是不足以深入分析問題的.例如：甲商品每單位價格5元，漲價1元；乙商品每單位價格200元，也漲價1元，兩種商品價格的絕對改變量都是1元，哪個商品的漲價幅度更大呢？我們只要用它們與其原價相比就能獲得問題的解答.甲商品漲價百分比為20，乙商品漲價百分比為0.5，顯然甲商品的漲價幅度比乙商品的漲價幅度更大.為此，我們有必要研究函數(shù)的相對改變量與相對變化率.例5 函數(shù)，當從8增加到10時，相應(yīng)的從64增加到100，即自變量的絕對增量，函數(shù)的絕對增量，又即當增加到時，增加了25，

30、相應(yīng)地增加了56.25.我們分別稱與為自變量與函數(shù)的相對改變量（或相對增量）.如果在本例中，再引入下式則該式表示在開區(qū)間內(nèi)，從時起，每增加1，則相應(yīng)的便平均改變2.25，我們稱之為從到時，函數(shù)的平均相對變化率.因此我們有如下定義.定義2 設(shè)函數(shù)在點處可導，函數(shù)的相對改變量與自變量的相對改變量之比稱為函數(shù)從到兩點間的平均相對變化率，亦稱兩點間的彈性或弧彈性.當時，如果的極限存在，則該極限值稱為在處的相對變化率，也就是相對導數(shù)，或稱為在點的點彈性.記作或或即當為定值時，為定值，且當很小時，（=弧彈性）.對一般的，若可導且，則有是的函數(shù)，稱為的彈性函數(shù)（簡稱彈性），其也記為或函數(shù)的彈性（點彈性或弧彈

31、性）與量綱無關(guān)，函數(shù)在點處的彈性反映了的變化幅度對的變化幅度的大小影響，也就是對變化反應(yīng)的強烈程度或靈敏度.表示在點處，當產(chǎn)生1的變化時，近似地改變.在應(yīng)用問題中解釋彈性的具體意義時，我們也略去“近似”二字.由彈性的定義可知：這樣，彈性在經(jīng)濟學上又可理解為邊際函數(shù)與平均函數(shù)之比.例6 求函數(shù)（為常數(shù)）的彈性函數(shù).解直接計算得到所求的彈性函數(shù)為由此例題可知，冪函數(shù)的彈性函數(shù)為常數(shù)，因此稱之為不變彈性函數(shù).彈性的運算性質(zhì)可參見本節(jié)習題7.2.函數(shù)彈性的圖解方法在實際問題中，有時往往知道可微函數(shù)所示的曲線，但不知道其表達式，我們也可以按如下圖解方法求彈性.對于給定的函數(shù)，由定義知，彈性應(yīng)為邊際函數(shù)與

32、平均函數(shù)之比，而邊際函數(shù)的幾何意義為所示曲線上各點的切線斜率，即（圖3-9）.圖3-9又平均函數(shù)為，因而若我們僅考慮彈性的絕對值，則 因而，如果我們知道函數(shù)的曲線，則在曲線上任一點A處對應(yīng)的彈性，只要通過A作曲線的切線AB和線段OA，就可得夾角和，進而就可求得四、經(jīng)濟學中常見的彈性函數(shù) 1.需求的價格彈性（1）基本概念當彈性定義中的被定義為需求量時就是需求彈性.所謂需求的價格彈性是指當價格變化一定的百分比以后引起的需求量的反應(yīng)程度.設(shè)需求量函數(shù)可導，則需求的價格彈性可用公式表示為而稱為該商品在與兩點間的需求價格彈性或弧彈性.例7 若某需求函數(shù)為求當時需求的價格彈性.解：當時，所以一般來說，需求

33、函數(shù)是價格的單調(diào)減函數(shù)，故需求函數(shù)的弧彈性為負值，從而當時，其極限值總是小于或等于零，并且實際中一般取負值，有時為討論方便，將其取絕對值，也稱之為需求的價格彈性，并記為，即若此時商品需求量變動的百分比與價格變動的百分比相等，稱為單位彈性或單一彈性.若此時商品需求量變動的百分比低于價格變動的百分比，價格的變動對需求量的影響不大，稱為缺乏彈性或低彈性.若此時商品需求量變動的百分比高于價格變動的百分比，價格的變動對需求量的影響較大，稱為富于彈性或高彈性.例8 設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為其中為價格，為需求量.問當，且價格上漲1時，需求量是增加還是減少，變化百分之幾？討論商品價格變化時，需求量變化的情況.解：

34、故由于和是按相反方向變化的，在，且價格上漲1時，需求量減少（注意：價格上漲1，需求量減少，因此不能誤認為減少）當，即時，因故從而，即因而當價格在0與25之間變化，且價格上漲（下降）1時，需求量減少（增加），這時需求量減少（增加）的百分比小于價格上漲（下降）的百分比（因）：當，即時，得這表明當時，需求量的變動與價格變動按相同的百分比進行；當，即時，有于是當且價格上漲（下降）1時，需求量減少（增加），這時需求量減少（增加）的百分比大于價格上漲（下降）的百分比（因）.(2)需求彈性與總收益（市場銷售總額）的關(guān)系在市場經(jīng)濟中，商品經(jīng)營者關(guān)心的是提價（）或降價（）對總收益的影響.利用需求彈性的概念，可以

35、分析價格變動是如何影響銷售收益的.總收益是商品價格與銷售量的乘積，即邊際總收益（I）若，表示需求變動的幅度小于價格變動的幅度.此時，即邊際收益大于0，價格上漲，總收益增加；價格下跌，總收益減少.商品的價格和廠商的銷售收入呈同方向變動.(II)若，表示需求變動的幅度大于價格變動的幅度.此時，即邊際收益小于0，價格上漲，總收益減少；價格下跌，總收益增加.商品的價格和廠商的銷售收入呈反方向變動.（III）若，表示需求變動的幅度等于價格變動的幅度.此時，總收益保持不變，降低價格或提高價格對廠商銷售收益都沒有影響.綜上所述，總收益的變化受需求彈性的制約，隨商品需求彈性的變化而變化.2.供給彈性供給彈性，

36、通常指的是供給的價格彈性，設(shè)供給函數(shù)可導，則供給的價格彈性為例9 設(shè)某產(chǎn)品的供給函數(shù)為求供給的價格彈性函數(shù)及當時的供給的價格彈性.解： 供給的價格彈性函數(shù)為因此，當時這表明當時，如果價格上漲1，供給量也相應(yīng)增加1.3.收益彈性借助彈性的定義，我們?nèi)菀锥x收益的價格彈性、收益的銷售彈性等.用公式表示為式中為收益的價格彈性；為收益的銷售彈性.例10 設(shè)分別為銷售總收益、商品價格、銷售量.(1)試分別求出收益的價格彈性，收益的銷售彈性與需求的價格彈性的關(guān)系；（2）試分別解出關(guān)于價格的邊際收益關(guān)于需求的邊際收益與需求價格彈性的關(guān)系.解： （1）設(shè)故（2）由（1）知，故又由（1）知故五、 成本最小化問題

37、例11 設(shè)每月產(chǎn)量為噸時，總成本函數(shù)為，求平均成本最小的產(chǎn)量和相應(yīng)產(chǎn)量的邊際成本.解 平均成本為.令,解得唯一駐點. 又,故是的極小值點,也是最小值點.因此,每月產(chǎn)量為140噸時,平均成本最小.邊際成本函數(shù)為,則當時,邊際成本為.六、 利潤最大化問題例12 某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當租金定為每月180元時，公寓會全部租出去.當租金每月增加10元時,就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花費20元的整修維護費.試問房租定為多少可獲得最大利潤?解 設(shè)房租為每月元,租出去的房子有套,每月總利潤為,即.令,解得唯一駐點.又,故是的極大值點,也是最大值點.因此,房租每月定為350元,可獲得最

38、大利潤.最大利潤出現(xiàn)在駐點處,此時且.又因為,則,于是且.綜上所述,可得下面的定理.定理1 當邊際收入等于邊際成本且邊際收入的變化率小于邊際成本的變化率時,即且,則可以實現(xiàn)最大利潤.習題3-61. 求下列函數(shù)的邊際函數(shù)與彈性函數(shù)：2. 設(shè)某商品的總收益關(guān)于銷售量的函數(shù)為求：（1）銷售量為時總收入的邊際收入；（2）銷售量個單位時總收入的邊際收入；（3）銷售量個單位時總收入對的彈性. 3. 某化工廠日產(chǎn)能力最高為1000t，每日產(chǎn)品的總成本(單位：元)是日產(chǎn)量（單位：t）的函數(shù)（1） 求當日產(chǎn)量為100t時的邊際成本；（2） 求當日產(chǎn)量為100t時的平均單位成本.4. 某商品的價格關(guān)于需求量的函數(shù)

39、為求：（1）總收益函數(shù)、平均收益函數(shù)和邊際收益函數(shù)；（2）當個單位時的總收益、平均收益和邊際收益.5. 某廠每周生產(chǎn)單位(單位：百件)產(chǎn)品的總成本(單位：千元)是產(chǎn)量的函數(shù)如果每百件產(chǎn)品銷售價格為4萬元，試寫出利潤函數(shù)及邊際利潤為零時的每周產(chǎn)量.6.設(shè)巧克力糖每周的需求量(單位：kg)是價格(單位：元)的函數(shù)求當（元）時，巧克力糖的邊際需求量，并說明其經(jīng)濟意義.7. 證明：若是可導函數(shù)，則（3）當時，（4）若都可導，則8. 設(shè)某商品的需求函數(shù)為，求：（1）需求彈性函數(shù)；（2）時的需求彈性，并說明其經(jīng)濟意義.9. 設(shè)某商品的需求函數(shù)為，其中分別表示需求量和價格，試分別求出需求彈性大于1，等于1的

40、商品價格的取值范圍.10. 某商品需求函數(shù)為（1）求需求彈性函數(shù)；（2）求時的需求彈性；（3）在時，若價格上漲1，總收益增加還是減少？將變化百分之幾？11.設(shè)某商品的供給函數(shù)求供給彈性函數(shù)及時的供給彈性.12. 設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為，收益函數(shù)為其中為產(chǎn)品價格，為需求量（產(chǎn)量），為單調(diào)減少函數(shù).如果當價格為對應(yīng)產(chǎn)量為時，邊際收益收益對價格的邊際收益為需求對價格的彈性為求與.13. 某企業(yè)生產(chǎn)一種商品，年需求量是價格的線性函數(shù)其中試求：（1）需求彈性；（2）需求彈性等于1時的價格.14.某服裝有限公司確定，為賣出套服裝，其單價應(yīng)為.同時還確定,生產(chǎn)套服裝的總成本可表示成.為使利潤最大化,公司必須生

41、產(chǎn)并銷售多少套服裝?15.一個公司已估算出產(chǎn)品的成本函數(shù)為,產(chǎn)量多大時,平均成本能達到最低?求出最低平均成本.總習題三（A類）1. 函數(shù)在區(qū)間上是否滿足羅爾定理條件?如滿足求羅爾定理中的.2. 函數(shù)在區(qū)間上是否滿足拉格朗日中值定理的條件，如滿足求定理中的.3. 證明下列不等式：（1）當時，；（2）.4. 證明方程有且只有一個正實根.5. 若函數(shù)在內(nèi)滿足關(guān)系式,且，證明：.6. 用洛比達法則求下列各極限:（1）； （2）；（3）； （4）為正整數(shù)；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）.7. 利用函數(shù)單調(diào)性證明下列不等式:(1) 時，；(2) 時，；(3) 當時，.8.求下列函數(shù)

42、的極值:（1）； （2）；（3）； （4）.9. 求下列函數(shù)在指定區(qū)間上的最大值和最小值:（1）； （2）.10. 求下列函數(shù)的凹凸區(qū)間及拐點（1） ； （2）；（3）.11. 求下列函數(shù)的漸近線;（1）； （2）.12. 描繪下列函數(shù)的圖形:（1） ； （2）.13. 求橢圓在點處的曲率.14. 求曲線在點處的曲率.15. 曲線上哪一點處曲率半徑最?。壳蟪鲈擖c處的曲率半徑.（B類）一填空題1. 當時，函數(shù)取得極小值.2. 已知在處取得極小值，則.3.在點處的導數(shù)為，在點處取得極值.4.當時，點是曲線的拐點.5.已知在的某鄰域內(nèi)連續(xù)函數(shù)滿足，則在處取得極值.6.二選擇題1. 設(shè)，則在處 .(A

43、) 的導數(shù)存在，且; (B) 取得極大值;(C) 取得極小值; (D) 的導數(shù)不存在.2. 當時，曲線 .(A) 有且僅有水平漸近線; (B) 有且僅有垂直漸近線;(C) 既有水平漸近線，又有垂直漸近線; (D) 既無水平漸近線，又無垂直漸近線.3. ，其中，則必有 . (A) ; (B) ; (C); (D) .4. 曲線的拐點個數(shù)為 . (A) 1; (B) 0; (C)2; (D) 3.三. 解答題1. 求.2. 求.3. 求.4. 證明當時，.5. 確定常數(shù)和，使為時關(guān)于的同階無窮小(此時也稱是關(guān)于的5階無窮小).6. 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且，證明：存在一點，使.7. 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上

44、可微，對于上每一點，函數(shù)的值都在內(nèi),且，證明在內(nèi)有且僅有一個,使得.第四章 不定積分在微分學中，我們討論了如何求已知函數(shù)的導函數(shù)問題，本章將討論它的反問題，即要尋求一個可導函數(shù)，使它的導函數(shù)等于已知函數(shù).這是積分學的基本問題之一.第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分的概念定義1 如果在區(qū)間上，函數(shù)和可導函數(shù)滿足：或，那么函數(shù)就稱為在區(qū)間上的原函數(shù).例如，因，故是在上的原函數(shù).又如，故是在上的原函數(shù).關(guān)于原函數(shù)，需要解決三個問題：（1） 在什么條件下，一個函數(shù)的原函數(shù)存在？（2） 如果原函數(shù)存在，是否唯一？（3） 如果原函數(shù)不唯一，它們之間有什么聯(lián)系？關(guān)于第一個問題，有下面的結(jié)論.原

45、函數(shù)存在定理 如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，那么在區(qū)間上存在可導函數(shù)，使，即連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).例如，因為初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都是連續(xù)的，所以初等函數(shù)都有原函數(shù).關(guān)于第二、第三個問題，也有如下結(jié)論.定理1 如果可導函數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的原函數(shù)，那么（1）也是的原函數(shù)，其中為任意常數(shù)；（2）的任何原函數(shù)都可表示為的形式.證 （1）因，故為的原函數(shù)，其中為任意常數(shù).（2）設(shè)是的另一個原函數(shù)，即，于是.則有，其中為某個常數(shù). 定理證畢.由以上討論，我們引進下述定義.定義2 在區(qū)間上，函數(shù)的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)稱為在區(qū)間上的不定積分，記作.其中記號稱為積分號，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達式，稱為積分變量.由

46、此定義及前面的討論可知，如果是在區(qū)間上的一個原函數(shù)，那么就是的不定積分，即，因而不定積分可以表示的任意一個原函數(shù).例1 求.解 由于，所以是的一個原函數(shù).因此.例2 求.解 當時，由于，所以.當時，由于，所以.故.例3 求.解 由于，所以是的一個原函數(shù).因此.不定積分的幾何意義：如果為的一個原函數(shù)，那么稱的圖形為的一條積分曲線.于是不定積分在幾何上表示的一族積分曲線.例4 求經(jīng)過點，且其切線的斜率為的曲線方程.解本題要求的是的通過點的那條積分曲線.設(shè)所求曲線方程為，由題意可知,所以.又曲線過點，所以，即,于是所求曲線方程為.從不定積分的定義，我們可以得到：1.先積分后求導（或微分）就會還原,即

47、，或 ；2.先求導（或微分）后積分，還原后多一常數(shù),即，或 .由此可見，微分運算（記號）與不定積分的運算（簡稱積分運算，記號）是互逆的，即當與連在一起時，使函數(shù)還原，使函數(shù)還原后多一常數(shù).二、基本積分表既然積分運算是微分運算的逆運算，那么很自然地可以從導數(shù)公式得到相應(yīng)的積分公式.例如，因為，所以是的一個原函數(shù)，于是.類似地可以得到其他積分公式.下面我們把基本的積分公式列成一個表，這個表通常叫做基本積分表.（1）(是常數(shù))，（2），特別地,（3），（4）,（5），（6），（7），（8），（9），（10），（11），（12），（13）.這些基本積分公式，必須牢牢記住，它們是求不定積分的基礎(chǔ)，因為許多函數(shù)的積分最后往往都化成這些初等函數(shù)的積分.例5 求.解.例6 求.解.例7 求.解.上面三個例子表明，有時被積函數(shù)實際是冪函數(shù)，但用分式或根式表示,遇此情形，應(yīng)先把它化為的形式，然后應(yīng)用冪函數(shù)的積分公式（2）來求不定積分.三、 不定積分的性質(zhì)由不定積分的定義及導數(shù)的運算法則，可以推得下面的兩個性質(zhì)：性質(zhì)1 設(shè)函數(shù)和的原函數(shù)存在，則.性質(zhì)2 設(shè)函數(shù)的原函數(shù)存在，