克里金插值法

1、克里金插值法克里金插值法克里金插值法又稱空間局部插值法，是以變異函數理論和結構分析為基礎， 在有限區(qū)域內對區(qū)域化變量進行無偏最優(yōu)估計的一種方法， 是地統(tǒng)計學的主要內容之一， 由南非礦產工程師 D.MatheronD.Matheron 于 19511951 年在尋找金礦時首次提出，法國著名統(tǒng)計學家 G.MatheronG.Matheron 隨后將該方法理論化、系統(tǒng)化，并命名為 KrigingKriging, ,即克里金插值法。1 1 克里金插值法原理克里金插值法的適用范圍為區(qū)域化變量存在空間相關性， 即如果變異函數和結構分析的結果表明區(qū)域化變量存在空間相關性， 則可以利用克里金插值法進行內插或外

2、推。 其實質是利用區(qū)域化變量的原始數據和變異函數的結構特點， 對未知樣點進行線性無偏、 最優(yōu)估計，無偏是指偏差的數學期望為 0,0,最優(yōu)是指估計值與實際值之差的平方和最小1。因此，克里金插值法是根據未知樣點有限領域內的若干已知樣本點數據，在考慮了樣本點的形狀、大小和空間方位，與未知樣點的相互空間關系，以及變異函數提供的結構信息之后，對未知樣點進行的一種線性無偏最優(yōu)估計。假 設 研 究 區(qū) 域 a a 上 研 究 變 量 Z(x),Z(x), 在 點X XiA(i=1,A(i=1,2,2, ,n)n)處屬性值為 Z(XZ(Xi),則待插點 X X0A A 處的屬性值 Z(XZ(X0)的克里金插值

3、結果 Z*Z*(X(X。)是已知采樣點屬性值 Z(xi)(i=1,Z(xi)(i=1,2,2,，n)n)的加權和，即：n*Z(X0)iZ(Xi)i1(1)(1)式中i是待定權重系數。其中 Z(XZ(Xi) )之間存在一定的相關關系， 這種相關性除與距離有關外，還與其相對方向變化有關，克里金插值方法將研究的對象稱“區(qū)域化變且力里針對克里金方法無偏、最小方差條件可得到無偏條件可得待定權系數i(i=1(i=1,2,2,n)n)滿足關系式：ni1i1(2)(2)以無偏為前提， krigingkriging 方差為最小可得到求解待定權系數i的方程組：(3)(3)式中，C(XC(Xi,x xj)是 Z(x

4、Z(xi) )和 Z(xZ(xj) )的協(xié)方差函數。2 2 方法步驟克里金插值法的應用步驟如下：1 1、輸入原始數據，即采樣點，下面以輸入三個采樣點求待估插值為例來進行說明。如圖 1 1 所示：圖1采樣點圖示2 2、網格化，選擇區(qū)域的范圍和網格的大小,對區(qū)域進行網格化處理。3 3、數據檢驗與分析，根據采樣值是否合乎實際情況，剔除明顯差異點。4 4、直方圖的計算，直方圖有助于掌握區(qū)域變化的分布規(guī)律，以便決定是否對原始數據進行轉換。5 5、利用變異函數進行變異函數計算，了解iC(x,Xj)C(Xo,Xj)(j1,2,n)變量的空間結構。6 6、克里金插值估計(1)(1)待估點權重系數估計利用多邊形

5、估計的方法，首先確定離待估點最近的采樣點的權重，根據公式(4)4)進行采樣點權重估計：iCwdiin1iicdw圖 2:2:圖2參估點圖小(3)(3)根據已經求出的變異函數以及采樣點數量，三個采樣點列出三個等式，求出方程組的系數，公式為：(4)(4)(2)(2)根據搜索策略選擇合適的參估點，如C(2,1)C(2,2)C(2,3)2C(0,2)C(3,1)C(3,2)C(3,3)3C(0,3)(5)(5)(4)(4)分析在各向同性條件下改變塊金值與在塊金值相同條件下改變各向異性對權重值的影響2 2。各向同性條件下改變塊金值時對權重值( (a a) )(b)(b)圖3各向同性條件下改變塊金值與在塊

6、金值相同條件下改變各向異性對權重值的影響(5)(5)根據求出的權重值，代入公式(1),1),即可求得評估領域內 n n 個采樣值的線性組合2 2?？死锝鸩逯捣ǖ姆椒肪€圖如下：導人數進訐預C(1,1)C(1,2)C(1,3)C(0,1)的影響效果如圖 3 3(a),(a),在塊金值相同條件下改泛克里I繪制根據數ns計算樣按組統(tǒng)計計算樣1按距離圖4方法路線圖3 3 克里金插值法分類及適用類型克里金插值法主要有以下幾種類型：普通克里金(OrdinaryKriging(OrdinaryKriging)、簡單克里金(SimpleKriging(SimpleKriging)、泛克里金(Universal

7、Kriging(UniversalKriging)、協(xié)同克里金(Co-Kriging(Co-Kriging)、對數正態(tài)克里金(LogisticNormalKriging(LogisticNormalKriging) )、指示克里金(IndicatorIndicatorKrigingKriging)、概率克里金(ProbabilityKriging)ProbabilityKriging)和析取克里金(DisjunctiveKrigingDisjunctiveKriging)等1?？死锝鸩逯捣梢院唵蔚乇磉_為：Z(s)(s)(s)(6)(6)式中，s s 為不同位置的點，可以人為是用經緯度表示的空

8、間坐標；Z(s)Z(s)為 s s 處的變量值，它可以分解為確定趨勢值(s)和自相關隨機誤差(s)o通過對這個公式進行變化，可以生成克里金插值法的不同類型。首先，對于趨勢值(s),可以簡單地賦予一個常量，即在任何位置 s s 處(s)= =,如果是未知的，這便是普通克里金基本模型；(s)也可表示為空間坐標的線性函數，如：/、22(s)0IX2y3X4y5xy(7)(7)如果趨勢面方程中的回歸系數是未知的， 則形成泛克里金模型； 如果在任何時候趨勢已知的(如所有系數和協(xié)方差均已知)， 無論趨勢常量與否， 都會形成簡單克里金模型。其次，無論趨勢如何復雜，(s)仍無法獲得很好的預測，在這種情況下需要

9、對誤差項(s)進行一些假設，即假設誤差項(s)的期望均值為 0,0,且(s)和(sh)之間的自相關不取決于 s s 點的位置，而取決于位移量ho為了確保自相關方程有解，必須允許某兩點間自相關可以相等。然后，可以對方程式左邊Z(s)進行變換。例如，可以將其轉換成指示變量，即如果Z(s)低于一定的閾值，則將其值轉換為 0,0,將高于閾值的部分轉換為 1,1,然后對高于閾值部分作出預測，基于此模型作出預測便形成了指示克里金模型。如果將指示值轉變成含有變量的函數f(Z(s),即形成析取克里金的指示函數。最后， 如果有多個變量的情況， 則模型為：Zj(s)j(s)*s),其中 j j 表示第 j j 個

10、變量。除了為每個變量考慮不同的趨勢外，隨機誤差j(s)之間還存在交叉相關性。這種基于多個變量的克里金模型即為協(xié)同克里金模型。不同的方法有其適用的條件， 當數據不服從正態(tài)分布時，若服從對數正態(tài)分布，則選用對數正態(tài)克里金；若不服從簡單分布時，選用析取克里金；當數據存在主導趨勢時，選用泛克里金；當只需要了解屬性值是否超過某一閾值時，選用指示克里金；當同一事物的兩種屬性存在相關關系時，且一種屬性不易獲取時，選用協(xié)同克里金，借助另一屬性實現該屬性的空間內插；當假設屬性值的期望值為某一已知常數時，選用簡單克里金；當假設屬性值的期望值是未知的，選用普通克里金。4 4 國內外研究進展從克里金方法被提出到現在已

11、有完善的理論，并在很多領域得到了實際的應用，在某些領域的應用又推動了克里金理論的發(fā)展3。它的發(fā)展可歸納為四個時期，每個時期都是以每一屆地質統(tǒng)計學大會的召開為標志。第一時期，初次提出了地質統(tǒng)計學理論，將地質統(tǒng)計學與傳統(tǒng)的統(tǒng)計學分開，且提出了區(qū)域化變量、簡單克里金、普通克里金、泛克里金的概念。第二時期，地質統(tǒng)計學的理論逐步的開始改進和完善。第三時期，地質統(tǒng)計學克里金在實踐應用的發(fā)展相對理論發(fā)展更快，形成了兩種類型的理論體系：一類是有參數的克里金方法，另一類是沒有參數的克里金方法，有參數的克里金方法是指所研究的數據必須符合正態(tài)分布，如析取克里金；而沒有參數的克里金方法對所研究的變量的分布沒有特殊要求

12、，如指示克里金和概率克里金。第四時期，克里金方法的應用領域不斷擴展壯大，在研究中有很多新的課題產生，克里金所研究對象已經不再局限于空間領域的變量，隨著某些領域的需求，正在向時間-空間領域擴展4。從目前來看，克里金技術的發(fā)展可以概括如下：(1)(1)形成了一套完整的理論體系。線性平穩(wěn)地質統(tǒng)計學是地質統(tǒng)計學的基礎部分，包含基本概念：區(qū)域化變量理論；基本工具：變差函數；基本假設：二階平穩(wěn)假設和本征假設；基本公式：估計反差和普通克里金法；線性非平穩(wěn)地質統(tǒng)計學包括了泛克里金和K K 階本征函數法等。平穩(wěn)非線性地質統(tǒng)計學包含析取克里金等。(2)(2)編制了一些實際有效的程序以及軟件。例如斯坦福大學的Geo

13、statisticalEarthModelingSoftwareGeostatisticalEarthModelingSoftware。(3)(3)地質統(tǒng)計學的提出原本是為了解決礦產儲量的估計，但是隨著地質統(tǒng)計學的發(fā)展，人們發(fā)現其研究對象存在于很多種自然現象中。于是，地質統(tǒng)計學不再是研究地質領域的特有方法，而成為研究某類自然現象通用的方法，例如降水量的分布、水文層的滲透率和孔隙度等屬性值、在醫(yī)學上對骨豁的三維重建5等等。目前國內外學者利用克里金插值法做了大量研究。翟進乾應用克里金插值方法對煤層分布監(jiān)測進行了系統(tǒng)分析研究6;張蕾、陳曉宏將克里金插值方法用于珠江三角洲網河區(qū)水位空間插值7;尚慶生、

14、郭建文等將克里金插值方法用于計算青藏鐵路鉆孔地溫數據，實現了數據的體視化8;顏輝武，祝國瑞等采用克里金插值方法建立水文地質層三維模型9,并利用體繪制技術進行可視化表達，取得了良好的效果；劉承香、阮雙深、伍小芹提出基于克里金插值方法進行水深數據插值形成規(guī)則網格數字高程模型的算法，對海底數字地圖的模擬具有重要參考價值，數字仿真結果證明該算法可行10。參考文獻：1湯國安，楊昕.ArcGIS地理信息系統(tǒng)空間分析實驗教程M.北京：科學出版社,2011.2孟俊貞.克里金插值近似網格算法在柵格數據投影變換中的應用D.長沙：中南大學，2009.3曲壽利，王鑫.國內外物探技術現狀與展望M.石油工業(yè)出版社,2003.4姚興苗.快速三維克里金插值方法研究及實現D.成都：電子科技大學,2013.5胡巖，王田苗，王君臣.基于Kriging算法的手術導航三維形變技術J.北京航空航天大學學報,2010,5:12.6翟進乾.克里金(kriging)插值方法在煤層分布檢測中的應用研究D.太原：太原理工大學,2008.7張蕾，陳曉宏.珠江三角洲網河區(qū)水位空間插值的kr