一道高考題思考過程的真實記錄

1、一道高考題思考過程的真實記錄 翻閱2008年浙江省高考數(shù)學(xué)（理）試卷，發(fā)現(xiàn)最后一道選擇題題目新穎，背景簡潔，不免引起了我們的注意。題目如下：ABP圖1題目：如圖1，是平面的斜線段，為斜足。若點在平面內(nèi)運(yùn)動，使得的面積為定值，則動點的軌跡是（ ）（A）圓 （B）橢圓（C）一條直線 （D）兩條平行直線 初見本題，我們的直感是可以用幾何法、定義法或解析法解決，當(dāng)具體操作又明顯感到無從下手，感覺以上方法有效卻不能得，突破口太窄而不能入。不免產(chǎn)生疑惑，難道是方法太技巧，還是策略沒想到？本題的命題背景的源頭又在哪里？深思之后，揭開題目的“面紗”，卻發(fā)覺這是一道有“神韻”的好題，真實記錄解決此題的思考過程也

2、許正能說明這點。1 化斜為直，激發(fā)結(jié)論猜想PAB圖2 具體想法是：是平面的斜線段改為是平面的垂線段，題目的答案能確定嗎? 思考過程：如圖2，是平面的垂線段時，因為的面積為定值，而線段是定長，意味著線段為定長，而是定點，意味動點的軌跡是圓。根據(jù)類比推理的原理，猜想當(dāng)條件還原時，軌跡可能變成橢圓。從變換角度看，垂直變成銳角，圓變成橢圓也是有道理的。而回到原題時發(fā)現(xiàn)，事情并不象想像的那么簡單，以上解法對解決此題并沒有太大啟發(fā)。主要的困擾是當(dāng)不是直角，那么的面積為定值將與線段長無線性關(guān)系，P的軌跡還與的大小有關(guān)。所以，想到把的面積定值轉(zhuǎn)化為邊AB上的高為定值的問題。這時，本題就轉(zhuǎn)化為確定平面到斜線AB

3、為定長的軌跡，這是空間距離的定值問題，由此啟發(fā)了下面的思考。2 化體為面，解題方案初顯圖4ABP具體想法是：在平面上，如果的面積為定值，而線段也是定長，那么動點的軌跡是什么？推廣到空間又怎樣？ABP圖3圖3思考過程：這個問題的答案很簡單，動點的軌跡是兩條平行直線（見圖3），然而給我們解決空間上的想法提供了一個平臺，在空間，動點的軌跡是以AB所在直線為軸的圓柱面（見圖4）。讀者到此，應(yīng)該大致明白本題數(shù)學(xué)之源和解題策略了。能得到這樣的解題靈感，原因是對原題的兩個重要的條件，即是平面的斜線段和的面積為定值，分別作垂直和平面上的處理，把無從下手變成有的放矢，這樣的處理方法確實值得在課堂內(nèi)交流，比較符合

4、新課程理念。3 尋求模型，題目本源浮現(xiàn)據(jù)上面分析，點在以AB所在直線為軸的圓柱面上，當(dāng)P又在平面上，故點P就在圓柱面被平面所截的截口曲線上（見圖5），曲線就是橢圓。所以，本題答案選B。P圖5BA普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)選修2-1（人教A版）第42頁：為什么截口曲線是橢圓（具體證明這里從略）的閱讀材料中介紹了以下事實：如圖5，圓柱的軸上一條定長線段，通過點作圓柱的斜截面得到橢圓，設(shè)是橢圓上的任意一點，則的面積為定值。命題者隱去了這樣的模型背景，使題目清新自然，但數(shù)學(xué)本質(zhì)卻毫無缺失。到此，對本題的解決和題目的來龍去脈算是搞清了，但是我們的思考卻沒有停止，也許知道了結(jié)果之后并沒有覺得驚奇，但令我們欣喜的是我們說清了思考問題的思維過程，對如何解決問題的方法暴露了我們