高二數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo)教材(第15講)

1、高二數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo)教材（第15講）本章主要內(nèi)容8.4 雙曲線的簡單幾何性質(zhì)一、 本講主要內(nèi)容1、 雙曲線的第二定義2、 雙曲線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用3、 直線與雙曲線的位置關(guān)系二、 學(xué)習(xí)指導(dǎo)1、 雙曲線的幾何性質(zhì)分為兩大類（1） 自身固有的幾何性質(zhì)： 位置關(guān)系：中心是兩焦點，兩頂點的中點；焦點在實軸上；實軸與虛軸垂直；雙曲線有兩條過中心的漸近線；準(zhǔn)線與實軸垂直； 數(shù)量關(guān)系：實軸長、虛軸長、焦距分別為2a，2b，2c。兩準(zhǔn)線之間距離為； 焦準(zhǔn)距（焦參數(shù)）； 離心率，e>1，e越大，雙曲線開口越闊。（2） 解析性質(zhì)（與坐標(biāo)系有關(guān)），列表比較如下：焦點在x軸上的雙曲線焦點在y軸上的雙曲線方 程（a&g

2、t;0，b>0）（a>0，b>0）頂 點（±a，0），（0，±b）（0，±a），（±b，0）焦 點F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，-c），F(xiàn)2(0，c)準(zhǔn) 線x=±y=±漸近線y=±y=±對稱性關(guān)于x軸、y軸軸對稱，關(guān)于原點中心對稱范 圍|x|a，yR|y|a，xR焦半徑P在左支：|PF1|=-a-ex0,|PF2|=a-ex0P在右支：|PF1|=ex0+a，|PF2|=ex0-aP在下支：|PF1|=-a-ey0，|PF2|=a-ey0P在上支：|PF1|=ey0+a，|pF2|=e

3、y0-a 2、雙曲線的第二定義與橢圓第二定義相同，見教材P112.例3。第一定義與第二定義的關(guān)系見前面橢圓內(nèi)容。 3、直線與雙曲線的位置關(guān)系研究完全類似于直線和橢圓。但由于雙曲線多了漸近線，因此當(dāng)直線與雙曲線有一個公共點時，其位置有兩種情形：一是直線與雙曲線相切，此時直線與雙曲線方程聯(lián)立消元后所得關(guān)于x（或y）的二次方程的判別式=0；二是直線與雙曲線相交，具體地說，也就是直線與雙曲線的漸近線平行。此時直線與雙曲線方程聯(lián)立消元之后所得關(guān)于x（或y）的方程為一次方程。直線與雙曲線相交時，基本處理途徑有二：一是列方程組；二是用點差法。不管是哪一種途徑，都要強化設(shè)而不求的思想。4、在（a>0，b

4、>0）中，若a=b，則雙曲線為等軸雙曲線，其離心率。5、 雙曲線與稱為共軛雙曲線。 5、它們的實軸頂點和虛軸頂點互換；它們的焦點共圓；它們的離心率e1、e2滿足=1。 6、已知雙曲線方程為，則其漸近線方程為；若已知漸近線方程為，則對應(yīng)的雙曲線方程為三、 典型例題 例1、直線l：ax+by-3a=0與雙曲線只有一個公共點，求直線l的方程。解題思路分析：含字母的問題應(yīng)分類討論。本題在化簡直線方程的過程中，需對b (或a)討論；在直線方程與雙曲線方程聯(lián)立消元后，需對方程的類型進行討論。由ax+by-3a=0得：by=-ax+3a （1）當(dāng)b=0時，a0，x=3，代入得y=0，此時直線l：x=3

5、與雙曲線只有一個公共點（3，0）； （2）當(dāng)b0時，直線l方程為由得(4b2-9a2)x2+54a2x-9(a2+4b2)=0 當(dāng)4b2-9a2=0，時，方程可化為x=3，y=0，此時直線l：與雙曲線只有一個公共點；當(dāng)4b2-9a20時，由已知得=0，但=542a4+36(4b2-9a2)(4b2+9a2) =36×1664>0 恒成立 此時直線l與雙曲線必相交綜上所述，滿足條件的直線l共有三條：x-3=0，2x±3y-6=0注：含參數(shù)的直線l方程若化簡為a(x-3)+6y=0，則可知l必定點（3，0），因（3，0）正好為雙曲線實軸頂點。所以過此點的切線x=3及過此點

6、與漸近線平行的直線y=均與雙曲線只有一個公共點。由此可見，重視幾何圖形特征分析會簡化計算。例2、雙曲線H的一條漸近線過點P（2，1），兩準(zhǔn)線間的距離為，求H的標(biāo)準(zhǔn)方程。解題思路分析：用待定系數(shù)法。注意對焦點位置進行分類討論。（i） 當(dāng)焦點在x軸上時，設(shè)H：，則其漸近線為 解之得： H方程為 （ii）當(dāng)焦點在y軸上時，同理可求得雙曲線方程為。例3、雙曲線H的離心率為e，左、右焦點為F1、F2，能否在H的左支上找到點P，使|PF1|是P到右準(zhǔn)l1的距離d1與|PF2|的等比中項。解題思路分析：本題稱為開放性題型，需要首先對結(jié)論作出是否存在的判斷。通?？偸强隙ńY(jié)論成立，然后求出滿足條件的元素，如本題

7、點P。設(shè)雙曲線H：（a>0，b>0），P(x0，y0)，x0-a則|PF1|=-a-ex0=，|PF2|=a-ex0代入|PF1|2=d1·|PF2|得：整理得： 點P在左支上 x0-a -a e2-2e-10 1<e當(dāng)e（1，1+時，能在H的左支上找到點P，其橫坐標(biāo)為注：本題以點P坐標(biāo)為參數(shù)，得到了結(jié)論：若滿足條件的雙曲線存在，則雙曲線有無數(shù)多條。實際上，根據(jù)雙曲線的兩個定義，在|PF1|、d1、|PF2|中可任選一個量作為參數(shù)。例如選擇d1為參數(shù) |PF1|=ed1 |PF2|-|PF1|=2a |PF2|=2a+|PF1|=2a+ed1代入|PF1|2=d1&

8、#183;|PF2| 得：(ed1)2=d1(2a+ed1) d1=由雙曲線的幾何性質(zhì)，雙曲線左支上的點P到左準(zhǔn)線最短距離為 若點P存在，則d1a- 整理得：e2-2e-10。下略所以涉及到焦半徑的問題，同學(xué)們一定要充分利用定義。同時要利用雙曲線的幾何性質(zhì)。例4、直線l：y=kx+2與雙曲線C：x2-y2=6的右支交于不同兩點，求實數(shù)k的取值范圍。解題思路分析：根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，雙曲線C：x2-y2=6右支上的點滿足x，因此l與C方程聯(lián)立而成的方程組的解是有條件的，僅由>0不能正確反映l與C的位置關(guān)系。法一：由得：(1-k2)x2-4kx-10=0 1-k20 方程可等價化為令f(x

9、)=則方程f(x)=0在區(qū)間，+）上有兩個不同的根利用函數(shù)與方程的思想，得到對應(yīng)的函數(shù)f(x)的示意圖 解之得：法二：對于法一中的不等式組，同學(xué)們可以發(fā)現(xiàn)運算性很大，因此應(yīng)進一步地思考，有沒有更加簡單的方法。觀察雙曲線的位置特征，可以發(fā)現(xiàn)雙曲線在x（0，）之間無曲線，所以若直線與雙曲線的右支相交，則就是與雙曲線在y軸右側(cè)部分相交；反之亦然。 法一中的方程f(x)=0在，+）有兩個根f(x)=0在（0，+）上有兩個根。下用韋達定理或函數(shù)圖象均可 注：本題在討論方程(1-k2)x2-4kx-10=0的區(qū)間根時，為了避免討論函數(shù)f(x)=(1-k2)x2-4kx-10的開口方向，在1-k20時，兩邊

10、同除以1-k2，將二次項系數(shù)轉(zhuǎn)化為常數(shù)項。因1-k20，否則直線與雙曲線只有一解。例5、如圖，直線l交雙曲線及其漸近線于A、B、C、D，求證：|AB|=|CD|。解題思路分析：若求AB、CD長度，顯然運算量較大?？紤]將該結(jié)論等價轉(zhuǎn)化為易證其它結(jié)論。取BC中點M，則|MB|=|MC|若|AB|=|CD|，則|AB|+|MB|=|CD|+|MC| |MA|=|MD|即M為AD中點，逆之亦成立，所以|AB|=|CD|BC與AD中點重合，下用韋達定理即可。若AB斜率不存在，由雙曲線及漸近線對稱性命題為真設(shè)直線l：y=kx+m（k）由得：(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2m2-a2b2=0設(shè)B(

11、x1，y1)，C(x2，y2)，BC中點M(x0，y0)則x0=同理由得AD中點N的橫坐標(biāo) 又 M、N在同一直線上 M與N重合 |MA|=|MD|，|MC|=|MB| |AB|=|CD|注：本題在求B、C兩點中點坐標(biāo)時，用的是韋達定理，在求AD中點時，也用的是韋達定理，其技巧是將兩條漸近線看成是一條二次曲線，也就是說，兩條相交直線可看成是二次曲線的退化。即二次曲線為，當(dāng)然若分別求A、D坐標(biāo)也可以，就是增加了運算量。五、同步練習(xí)（一） 選擇題 1、雙曲線與橢圓有相同的焦點,它的一條漸近線為y=-x，則雙曲線方程為A、x2-y2=96 B、y2-x2=160 C、x2-y2=80 D、y2-x2=

12、246、 焦點為（0，6）且與雙曲線有相同漸近線的方程是A、 B、 C、 D、3、已知雙曲線的實軸的一個端點為A1，虛軸的一個端點為B1，且|A1B1|=5，則雙曲線的方程是A、 B、 C、 D、4、雙曲線的焦點到準(zhǔn)線的距離是A、 B、 C、 D、5、中心在原點，離心率為的圓錐曲線的焦點在y軸上，則它的漸近線方程為A、 B、 C、 D、6、雙曲線的漸近線為，則雙曲線的離心率為A、 B、 C、 D、7、準(zhǔn)線方程為y=±1，離心率為的雙曲線方程是A、2x2-2y2=1 B、x2-y2=2 C、y2-x2=2 D、y2-x2=-28、雙曲線4x2-9y2=36上一點P到右焦點的距離為3，則

13、點P到左準(zhǔn)線的距離為A、 B、 C、 D、9、雙曲線的兩條準(zhǔn)線把兩焦點所連線段三等分，則它的離心率為A、 B、 C、 D、10、與橢圓共焦點，且兩準(zhǔn)線間的距離為的雙曲線方程為A、 B、 C、 D、（二） 填空題11、經(jīng)過兩點P1(-3，)，P2(-，-7)的雙曲線方程是_。12、經(jīng)過點M（10，），兩條漸近線方程是的雙曲線的方程是_。13、雙曲線的右支上有A、B、C三個不同的點，若A、B、C關(guān)于右焦點的三條焦半徑成等差數(shù)列，則它們的橫坐標(biāo)m、n、p滿足的關(guān)系式是_。14、雙曲線上有點P，F(xiàn)1、F2是雙曲線的焦點，且F1PF2=，則F1PF2的面積是_。15、雙曲線的離心率為，則實數(shù)m的值是_。

14、（三） 解答題16、雙曲線H：，過點P（1，1）的直線l與H只有一個公共點，求l的方程。17、過點P(1,1)作雙曲線的弦,使點P恰為弦的中點,可能嗎?為什么?18、中心在原點，頂點A1、A2在x軸上，離心率的雙曲線H過點P（6，6）動直線l過A1PA2的重心G，且交H于M、N兩點，MN中點為Q，問l的斜率k為何值時，有A2PA2Q？19、證明雙曲線上任意點到兩條漸近線的距離的乘積是一個定值。20、設(shè)等軸雙曲線x2-y2=a2（a>0）的兩個頂點為A和B，P為雙曲線上不同于A和B的任意一點，自P向x軸作垂線，垂足為Q，求證PAQ+PBQ=900。六、參考答案（一） 選擇題1、D。 設(shè)雙曲

15、線方程為y2-x2=（0），因橢圓焦點為（0，），>0，2=，=24。2、B。 設(shè)雙曲線方程為（0），焦點為（0，6），<0，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為=1，-+(-2)=62，=-12，雙曲線方程為。3、C。 不妨設(shè)A1(4，0)，B1(0，b)，由|A1B1|=5得b=3，雙曲線方程為。4、C。 當(dāng)焦點與準(zhǔn)線對應(yīng)（同為左或同為右）時，焦準(zhǔn)距；當(dāng)焦點與準(zhǔn)線不對應(yīng)（左焦點對應(yīng)右準(zhǔn)線；或右焦點對應(yīng)左準(zhǔn)線）時，焦點到準(zhǔn)線的距離。5、D。 ，設(shè)c=5k，a=3k（k>0），則b=4k，焦點在y軸上，漸近線方程為，即。6、D。 當(dāng)時，；當(dāng)時，。7、C。 離心率為，雙曲線為等軸雙曲線，設(shè)雙曲線方

16、程為x2-y2=（0），由準(zhǔn)線方程特征知，<0，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線方程為，=-2。8、A。 雙曲線方程為，a2=9，b2=4，c2=13，F(xiàn)1（，0），F(xiàn)2（，0），當(dāng)點P在左支時，|PF2|-|PF1|=6，|PF1|=|PF2|-6=-3<0（舍），點P在右支上；|PF1|-|PF2|=6，|PF1|=6+|PF2|=9。設(shè)P到左準(zhǔn)線的距離為d，則， d=。9、B。 ，。10、B。 橢圓焦點為（0，±3），。（二） 填空題11、 設(shè)雙曲線方程為Ax2-By2=1（AB<0），則，解之得，雙曲線方程為。12、 漸近線方程為，設(shè)雙曲線方程為，令x=10，y=，解

17、之得=4。13、 m+p=2n A、B、C關(guān)于右焦點的焦半徑分別為em-a，en-a，ep-a，2(en-a)=em-a+ep-a, m+p=2n.14、 F1PF2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|-2|PF1|PF2|cos=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|PF2|，4c2=4a2+|PF1|PF2|，|PF1|PF2|=4b2=36，=。15、 ±9 當(dāng)，m>1時，a2=m-1，b2=m+1，c2=2m，代入得m=9；當(dāng)，m<-1時，雙曲線方程為，a2=-(m+1)，b2=-(m-1)，c2=-2m，代入得m=-9。（三） 解答題16、 解：（1）

18、當(dāng)斜率k不存在時，l：x=1，與H只有一個公共點（1，0）； （2）當(dāng)k存在時，設(shè)l：y-1=k(x-1)則 得： (4-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2+4=0 4-k2=0，k=±2時，方程解得k=±2，直線l：y-1=±2(x-1)，即2x-y-1=0，或2x+y-3=0； 4-k20時，=4k2(1-k)2+4(4-k2)(1-k)2+4=0 l：，即5x-2y-3=0 直線l有四條：x-1=0，2x-y-1=0，2x+y-3=0，5x-2y-3=0。17、 解：假設(shè)存在設(shè)AB，使P為AB中點設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)則 兩式相減得(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0 x1-x20 kAB=2 直線AB：y-1=2(x-1)，即y=2x-1但：由得：2x2-4x+3=0,=16-240 直線AB不存在。18、 解：設(shè)H： 設(shè)a=3m，c=m（m>0），則b=m H： 點PH m2=1 H：又A1（-3，0），A2（3，0），P（6，6） G（2，2）由 得： (4-3k2)x2-12