初中七年級數(shù)學(xué)培優(yōu)訓(xùn)練(奧數(shù))專題01質(zhì)數(shù)那些事

1、初中七年級數(shù)學(xué)培優(yōu)訓(xùn)練（奧數(shù)）專題 01質(zhì)數(shù)那些事閱讀與思考一個(gè)大于1的自然數(shù)如果只能被 1和本身整除，就叫作質(zhì)數(shù)（也叫素?cái)?shù)）；如果能被1和本身以外的 自然數(shù)整除，就叫作合數(shù)；自然數(shù)1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)，叫作單位數(shù).這樣，我們可以按約數(shù)個(gè)數(shù)將正整數(shù)分為三類：單位1正整數(shù)質(zhì)數(shù)合數(shù)關(guān)于質(zhì)數(shù)、合數(shù)有下列重要性質(zhì)：1 .質(zhì)數(shù)有無窮多個(gè)，最小的質(zhì)數(shù)是2,但不存在最大的質(zhì)數(shù)，最小的合數(shù)是4.2 . 1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)；2是唯一的偶質(zhì)數(shù).3 .若質(zhì)數(shù)p|ab,則必有p|a或p|b.4 .算術(shù)基本定理：任意一個(gè)大于1的整數(shù)N能唯一地分解成k個(gè)質(zhì)因數(shù)的乘積（不考慮質(zhì)因數(shù)之間的順序關(guān)系）：N=pHpaP

2、kak,其中P1P2LPk，Pi為質(zhì)數(shù)，ai為非負(fù)數(shù)（i=1, 2,3,，k）.正整數(shù)N的正約數(shù)的個(gè)數(shù)為（1+ a1）（1 + a1）（1+ a1）,所有正約數(shù)的和為（1+ P1+ Ra1 ）（1+ P2+ + P；2 ）（+ R+ Pak）.例題與求解【例1】已知三個(gè)質(zhì)數(shù)a , b , c滿足a + b + c + abc=99,那么a b b c c a的值等于（江蘇省競賽試題）解題思想：運(yùn)用質(zhì)數(shù)性質(zhì)，結(jié)合奇偶性分析，推出a, b, c的值.【例2】若p為質(zhì)數(shù)，p3 + 5仍為質(zhì)數(shù)，則p5 + 7為（）A.質(zhì)數(shù)B.可為質(zhì)數(shù)，也可為合數(shù)C.合數(shù)D.既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)解題思想：從簡單情形入

3、手，實(shí)驗(yàn)、歸納與猜想.（湖北省黃岡市競賽試題）【例3】求這樣的質(zhì)數(shù)，當(dāng)它加上 10和14時(shí)，仍為質(zhì)數(shù).(上海市競賽試題)解題思想：由于質(zhì)數(shù)的分布不規(guī)則，不妨從最小的質(zhì)數(shù)開始進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，另外，需考慮這樣的質(zhì)數(shù)是 否唯一，按剩余類加以深入討論.【例4】 將1, 2,，2 004這2 004個(gè)數(shù)隨意排成一行，得到一個(gè)數(shù)n ,求證：n一定是合數(shù). 若n是大于2的正整數(shù)，求證：2n 1與2n + 1中至多有一個(gè)質(zhì)數(shù).求360的所有正約數(shù)的倒數(shù)和.(江蘇省競賽試題)解題思想：將1到2 004隨意排成一行，由于中間的數(shù)很多，不可能一一排出，不妨找出無論怎樣排，所得數(shù)都有非1和本身的約數(shù)；只需說明 2n 1與2

4、n+1中必有一個(gè)是合數(shù)，不能同為質(zhì)數(shù)即 可；逐個(gè)求解正約數(shù)太麻煩，考慮整體求解.一一 、一 一 I 一，I , 一，、，一 112【例5】設(shè)x和y是正整數(shù)，xwy, p是奇質(zhì)數(shù)，并且 1 - 工，求x+y的值.解題思想：由題意變形得出 p整除x或y ,不妨設(shè)x tp .由質(zhì)數(shù)的定義得到2t -1=1或2t 1= p .由x w y及2t 1為質(zhì)數(shù)即可得出結(jié)論.【例6】若一個(gè)質(zhì)數(shù)的各位數(shù)碼經(jīng)任意排列后仍然是質(zhì)數(shù)，則稱它是一個(gè)“絕對質(zhì)數(shù)”如2,3, 5,7, 11, 13(31), 17(71), 37(73), 79(97), 113(131 , 311), 199(919, 991), 337

5、(373, 733),都是質(zhì)數(shù).求 證：絕對質(zhì)數(shù)的各位數(shù)碼不能同時(shí)出現(xiàn)數(shù)碼1, 3, 7, 9.(青少年國際城市邀請賽試題 ) 解題思想：一個(gè)絕對質(zhì)數(shù)如果同時(shí)含有數(shù)字1, 3, 7, 9,則在這個(gè)質(zhì)數(shù)的十進(jìn)制表示中，不可能含有數(shù)字0, 2, 4, 5, 6, 8,否則，進(jìn)行適當(dāng)排列后，這個(gè)數(shù)能被 2或5整除.能力訓(xùn)練A級222222221若 a ， b ， c ， d 為整數(shù)，a2 b2 c2 d2 =1997，則a2 b2 c2 d2 =2.在1, 2, 3,，n這個(gè)n自然數(shù)中，已知共有p個(gè)質(zhì)數(shù)，q個(gè)合數(shù)，k個(gè)奇數(shù)，m個(gè)偶數(shù),則（qm）+（p k 尸.33設(shè)a ， b 為自然數(shù)，滿足1176

6、a =b3 ，則a 的最小值為 （ “希望杯”邀請賽試題 ）4已知 p 是質(zhì)數(shù)，并且p6 3也是質(zhì)數(shù)，則p11 48 的值為 （ 北京市競賽試題 ）5任意調(diào)換12345 各數(shù)位上數(shù)字的位置，所得的五位數(shù)中質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A 4B8C12D 06在2 005， 2 007 ， 2 009 這三個(gè)數(shù)中，質(zhì)數(shù)有（）A 0個(gè)B1個(gè)C2個(gè)D 3個(gè)（ “希望杯”邀請賽試題 ）7一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字和十位數(shù)字變換位置后，所得的數(shù)比原來的數(shù)大9，這樣的兩位中，質(zhì)數(shù)有（）A 1個(gè)B 3 個(gè)C 5個(gè)D 6 個(gè)（ “希望杯”邀請賽試題 ）8設(shè) p ， q ， r 都是質(zhì)數(shù)，并且p q = r ， p q 求 p 9

7、寫出十個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，使得個(gè)個(gè)都是合數(shù)（ 上海市競賽試題 ）10.在黑板上寫出下面的數(shù)2, 3, 4,，1 994,甲先擦去其中的一個(gè)數(shù)，然后乙再擦去一個(gè)數(shù)，如此輪流下去， 若最后剩下的兩個(gè)數(shù)互質(zhì)， 則甲勝； 若最后剩下的兩個(gè)數(shù)不互質(zhì)， 則乙勝， 你如果想勝，應(yīng)當(dāng)選甲還是選乙？說明理由（ 五城市聯(lián)賽試題 ）11.用正方形的地磚不重疊、無縫隙地鋪滿一塊地，選用邊長為 xcm規(guī)格的地磚，恰用 n塊，若 選用邊長為y cm規(guī)格的地磚，則要比前一種剛好多用 124塊，已知x, y , n都是正整數(shù)，且（x,y）=1, 試問這塊地有多少平方米？（湖北省荊州市競賽試題）B級1.若質(zhì)數(shù) m , n滿足5 m

8、 + 7 n =129,則m + n的值為p qp q2.已知p, q均為質(zhì)數(shù)，并且存在兩個(gè)正整數(shù)m , n ,使得 p = m + n, q=mxn,則mm n的值為.3 .自然數(shù)a , b , c, d, e都大于1,其乘積abcde=2 000,則其和a+b + c+d + e的最大 值為,最小值為.（“五羊杯”競賽試題）4 .機(jī)器人對自然數(shù)從 1開始由小到大按如下的規(guī)則染色：凡能表示為兩個(gè)合數(shù)之和的自然數(shù)都染 成紅色，不合上述要求的自然數(shù)都染成黃色，若被染成紅色的數(shù)由小到大數(shù)下去，則第1 992個(gè)數(shù)是（北京市“迎春杯”競賽試題 ）5 .若a, b均為質(zhì)數(shù)，且滿足 a11 + b=2 0

9、89,則49b a=.A. 0B. 2 007C. 2 008D. 2 010（“五羊杯”競賽試題） 2.26 .設(shè)a為質(zhì)數(shù)，并且7a +8和8a +7也都為質(zhì)數(shù)，記x=77a + 8, y=88a + 7,則在以下情形中，必定成立的是（）A. x, y都是質(zhì)數(shù)B. x , y都是合數(shù)C. x , y一個(gè)是質(zhì)數(shù)，一個(gè)是合數(shù)D.對不同的a,以上皆可能出現(xiàn)（江西省競賽試題）7 .設(shè)a, b, c, d是自然數(shù)，并且a2 b2 c2 d2,求證：a + b + c + d一定是合數(shù).8請同時(shí)取六個(gè)互異的自然數(shù)，使它們同時(shí)滿足： 6 個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)都互質(zhì)； 6 個(gè)數(shù)任取 2 個(gè)， 3 個(gè)， 4 個(gè)， 5 個(gè)， 6 個(gè)數(shù)之和都是合數(shù)，并簡述選擇的數(shù)符合條件的理由9已知正整數(shù)p ， q 都是質(zhì)數(shù)，并且7 p q 與 pq 11 也都是質(zhì)數(shù)，試求pqqp 的值( 湖北省荊州市競賽試題