高一數(shù)學(xué)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式一

1、用心 愛心 專心 121號(hào)編輯 1高一數(shù)學(xué)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式一課 題：1.2.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（一） 教學(xué)目的：1通過本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)，使學(xué)生掌握180º+，-，180º-，360º角的正弦、余弦的誘導(dǎo)公式及其探求思路，并能正確地運(yùn)用這些公式進(jìn)行任意角的正弦、余弦值的求解、簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與三角恒等式的證明；2通過公式的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的化歸思想，以及信息加工能力、運(yùn)算推理能力、分析問題和解決問題的能力；3通過公式二、三、四、五的探求，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性與科學(xué)性等思維品質(zhì)以及孜孜以求的探索精神等良好的個(gè)性品質(zhì) 教學(xué)重點(diǎn)：誘導(dǎo)公式教學(xué)難點(diǎn)：誘導(dǎo)公式的靈活應(yīng)用

2、授課類型：新授課 課時(shí)安排：1課時(shí)教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 內(nèi)容分析：誘導(dǎo)公式溝通了任意角三角函數(shù)值與銳角三角函數(shù)值以及終邊有特殊位置關(guān)系的角的三角函數(shù)值之間的聯(lián)系在求任意角的三角函數(shù)值，解決有關(guān)的三角變換等方面有重要的作用由角的終邊的某種對(duì)稱性，導(dǎo)致終邊與單位圓的交點(diǎn)也具有相應(yīng)的對(duì)稱性，這樣就產(chǎn)生了“-”、“-2”、“±”等誘導(dǎo)公式，我們知道，-角的終邊與角的終邊關(guān)于y 軸對(duì)稱；+角的終邊與角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，-，-2角的終邊與角的終邊關(guān)于x 軸對(duì)稱，所以-、+、-、-2各角的三角函數(shù)值與角的三角函數(shù)值的絕對(duì)值相同，符號(hào)由各角所在象限的原三角函數(shù)的符號(hào)來確定，誘導(dǎo)公式看起來很多

3、，但是抓住終邊的對(duì)稱性及三角函數(shù)定義，明白公式的來龍去脈也就不難記憶了誘導(dǎo)公式可以幫助我們把任意角的三角函數(shù)化為銳角三角函數(shù)，在求任意角的三角函數(shù)值時(shí)起很大作用，但是隨著函數(shù)計(jì)算器的普及，誘導(dǎo)公式更多地運(yùn)用在三角變換中，特別是誘導(dǎo)公式中的角可以是任意角，即R ，它在終邊具有某種對(duì)稱性的角的三角函數(shù)變換中，應(yīng)用廣泛，如后續(xù)課中，畫余弦曲線就是利用誘導(dǎo)公式把正弦曲線向左平移2個(gè)長(zhǎng)度單位而得到的在教學(xué)中，提供給學(xué)生的記憶方法一定要重在理解、重在邏輯、重在思考，以達(dá)到優(yōu)化思用心 愛心 專心 121號(hào)編輯 2維品質(zhì)的功效用一句話歸納概括誘導(dǎo)公式一、二、三、四、五并能正確理解這句話中每一詞語的含義，是本節(jié)

4、教材的難點(diǎn)講清每一組公式的意義及其中符號(hào)語言的特征，并把公式與相應(yīng)圖形對(duì)應(yīng)起來，是突破這個(gè)難點(diǎn)的關(guān)鍵 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)引入：公式一: sin 360sin(=+kcos 360cos(=+ktan 360tan(=+k （其中Z k ）用弧度制可寫成sin 2sin(=+k cos 2cos(=+ktan 2tan(=+k （其中Z k ）誘導(dǎo)公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化為0º360º之間角的正弦、余弦、正切，其方法是先在0º360º內(nèi)找出與角終邊相同的角，再把它寫成誘導(dǎo)公式（一）的形式，然后得出結(jié)果。這組公式可以統(tǒng)一概括為 ( 2

5、(Z =+k f k f 的形式，其特征是：等號(hào)兩邊是同名函數(shù)，且符號(hào)都為正。由這組公式還可以看出，三角函數(shù)是“多對(duì)一”的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系，明確了這一點(diǎn)，為今后學(xué)習(xí)函數(shù)的周期性打下基礎(chǔ)。運(yùn)用公式時(shí)，注意“弧度”與“度”兩種度量制不要混用，如寫成=+80sin 280sin(k ，3cos3603cos(=+k 是不對(duì)的用心 愛心 專心 121號(hào)編輯 3 -y二、講解新課：公式二： 用弧度制可表示如下：-sin 180sin(=+） -sin sin(=+）-cos 180cos(=+） -cos cos(=+） tan 180tan(=+） tan tan(=+）它刻畫了角180º+與角

6、的正弦值（或余弦值）之間的關(guān)系，這個(gè)關(guān)系是：以角終邊的反向延長(zhǎng)線為終邊的角的正弦值（或余弦值）與角的正弦值（或余弦值）是一對(duì)相反數(shù)這是因?yàn)槿粼O(shè)的終邊與單位圓交于點(diǎn)P( x ，y ，則角終邊的反向延長(zhǎng)線，即180º+角的終邊與單位圓的交點(diǎn)必為P ´(-x，-y （如圖4-5-1）由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義，即可得sin =y，cos =x,sin(180º+=-y,cos(180º+=-x,所以 :sin(180º+=-sin，cos(180º+=-cos 公式三： -sin sin(=-）cos cos(=-） tan tan(-=-

7、）它說明角-與角的正弦值互為相反數(shù)，而它們的余弦值相等這是因?yàn)椋魶]的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y ，則角-的終邊與單位圓的交點(diǎn)必為P ´(x，-y （如圖4-5-2）由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義，即可得 sin =y， cos=x, sin(-=-y, cos(-=x,所以：sin(-= -sin, cos(-= cos公式二、三的獲得主要借助于單位圓及正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義根據(jù)點(diǎn)P 的坐標(biāo)準(zhǔn)確地確定點(diǎn)P ´的坐標(biāo)是關(guān)鍵，這里充分利用了對(duì)稱的性質(zhì)事實(shí)上，在圖1中，點(diǎn)P ´與點(diǎn)P 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而在圖2中，點(diǎn)P ´與點(diǎn)P 關(guān)于x 軸對(duì)稱直觀的對(duì)稱形象為我

8、們準(zhǔn)確寫出P ´的坐標(biāo)鋪平了道路，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學(xué)思想的優(yōu)越性 公式四： 用弧度制可表示如下：sin 180sin(=-） sin sin(=-） -cos 180cos(=-） -cos cos(=-） 用心 愛心 專心 121號(hào)編輯 4tan 180tan(-=-） tan tan(-=-）公式五：-sin 360sin(=-） -sin 2sin(=-） cos 360cos(=-） cos 2cos(=-） tan 360tan(-=-） tan 2tan(-=-）這兩組公式均可由前面學(xué)過的誘導(dǎo)公式直接推出（公式四可由公式二、三推出，公式五可由公式一、三推出），體現(xiàn)了把

9、未知問題化為已知問題處理這一化歸的數(shù)學(xué)思想公式的推導(dǎo)并不難，然而推導(dǎo)中的化歸意識(shí)和策略是值得我們關(guān)注的五組誘導(dǎo)公式可概括為：+k·360º（k Z ），-，180º±，360º-的三角函數(shù)值，等于的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)這里的“同名三角函數(shù)值”是指等號(hào)兩邊的三角函數(shù)名稱相同；“把看成銳角”是指原本是任意角，這里只是把它視為銳角處理；“前面加上一個(gè)符號(hào)”是指的同名函數(shù)值未必就是最后結(jié)果，前面還應(yīng)添上一個(gè)符號(hào)（正號(hào)或負(fù)號(hào)，主要是負(fù)號(hào)，正號(hào)可省略），而這個(gè)符號(hào)是把任意角視為銳角情況下的原角原函數(shù)的符號(hào)應(yīng)注意講清這句話中每一

10、詞語的含義，特別要講清為什么要把任意角看成銳角建議通過實(shí)例分析說明 三、講解范例：例1下列三角函數(shù)值： （1）cos210º；(2sin45分析：本題是誘導(dǎo)公式二的鞏固性練習(xí)題求解時(shí)，只須設(shè)法將所給角分解成180º+或（+），為銳角即可解：（1）cos210º=cos(180º+30º=cos30º=23；（2）sin45=sin(4+=sin4=22.例2求下列各式的值：（1）sin(34 ；(2cos(60º sin(210º分析：本題是誘導(dǎo)公式二、三的鞏固性練習(xí)題求解時(shí)一般先用誘導(dǎo)公式三把負(fù)角的正弦、余弦化為

11、正角的正弦、余弦，然后再用誘導(dǎo)公式二把它們化為銳角的正弦、余弦來求解：（1）sin(34=sin(3+=sin3=23；用心 愛心 專心 121號(hào)編輯 5（2）原式=cos60º+sin(180º+30º=cos60ºsin30º=2121=0例3化簡(jiǎn) 180sin( 180cos( 1080cos( 1440sin(-+分析：這是誘導(dǎo)公式一、二、三的綜合應(yīng)用適當(dāng)?shù)馗淖兘堑慕Y(jié)構(gòu)，使之符合誘導(dǎo)公式中角的形式，是解決問題的關(guān)鍵 解：原式=180(sin180(cos 3603cos( 3604sin(+-+-+=180sin( 180cos(cos

12、 sin +-+ =sin cos (cos sin -=1例4已知cos(+=21，23<<2，則sin(2 的值是（ ）（A ）23 (B 21 (C23 (D±23分析：通過本題的求解，可進(jìn)一步熟練誘導(dǎo)公式一、二、三的運(yùn)用求解時(shí)先用誘導(dǎo)公式二把已知條件式化簡(jiǎn)，然后利用誘導(dǎo)公式一和三把sin(2 化成sin , 再用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可事實(shí)上，已知條件即cos =21，于是sin(2=sin =(2cos -=2211 -=23因此選A四、課堂練習(xí)：1求下式的值：2sin(1110º sin960º+ 210cos( 225cos(2-+-

13、答案：2提示：原式=2sin(30º+sin60º-30cos 45cos 2=2 選題目的：通過本題練習(xí)，使學(xué)生熟練誘導(dǎo)公式一、二、三的運(yùn)用 使用方法：供課堂練習(xí)用評(píng)估：求解本題時(shí)，在靈活地進(jìn)行角的配湊，使之符合誘導(dǎo)公式中角的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)方面有著較高的要求若只計(jì)算一次便獲得準(zhǔn)確結(jié)果，表明在利用誘導(dǎo)公式一、二、三求解三角函數(shù)式的值方面已達(dá)到了較熟練的程度2化簡(jiǎn) sin(2+cos(2·tan(24所得的結(jié)果是（ （A）2sin2 答案：C (B0 (C2sin2 (D 1 ） 選題目的：熟練掌握誘導(dǎo)公式一、二、三及同角三角函數(shù)關(guān)系中商數(shù)關(guān)系的靈活運(yùn)用 使用方法：供課堂

14、練習(xí)用 評(píng)估：本題不僅涉及了誘導(dǎo)公式一、二、三，而且還涉及了同角三角函數(shù)的關(guān)系，此外還 出現(xiàn)了如“sin(2”這樣的學(xué)生較為陌生的三角函數(shù)值，求解時(shí)若只計(jì)算一次便獲得準(zhǔn)確結(jié) 果，表明在新知識(shí)的運(yùn)用和舊知識(shí)的記憶方面都達(dá)到了較好的程度 五、小結(jié) 通過本節(jié)課的教學(xué)，我們獲得了誘導(dǎo)公式值得注意的是公式右端符號(hào)的確定在運(yùn)用誘 導(dǎo)公式進(jìn)行三角函數(shù)的求值或化簡(jiǎn)中，我們又一次使用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想通過進(jìn)行角的適當(dāng) 配湊，使之符合誘導(dǎo)公式中角的結(jié)構(gòu)特征，培養(yǎng)了我們思維的靈活性 六、布置作業(yè)： 布置作業(yè)： 1求下列三角函數(shù)值： （1） sin 5 ； 4 (2 cos 19 ；(3 sin( 240°

15、；(4 cos(1665° 6 2化簡(jiǎn)： sin 3 ( cos(5 + tan(2 + cos 3 ( 2 sin( 3 tan 3 ( 4 5 sin + (2k + 1 sin (2k + 1 時(shí)， (k z 的值是_ 4 sin( + 2k cos( 2k 3當(dāng) = 作業(yè)的答案與提示： 1 （1） 2 2 （2） 3 2 （3） 3 2 （4） 2 2 2提示：原式= sin 3 ( cos tan =1 cos 3 sin tan 3 3 2 2 提示：原式= sin sin 2 = sin cos cos 5 2 當(dāng) = 時(shí)，原式= =2 2 5 4 cos 4 補(bǔ)充題：

16、 用心 愛心 專心 121 號(hào)編輯 6 求值： sin 915° + cos( 225° sin 1065° 化簡(jiǎn)： sin 2 ( cos( + cos tan(2 + cos 3 ( 1 3 ， < < ，則 cos( 2 的值是_ 3 2 已知 sin( + = 2 cos 3 sin 2 ( + 2 cos( + 1 設(shè) f (= ，求 f ( 的值 2 3 2 + 2 cos (7 + + cos( 補(bǔ)充題的答案與提示： - 2 2 提示：原式= sin 15° cos 45° + sin 15° = 2 2 sin 提示：原式= sin 2 ( cos cos sin tan ( cos 3 1 3 2 2 3 提示：已知條件即 sin = ，故 cos( 2 = cos( = cos = 1 sin 2