排列組合典型例題

1、典型例題一例1用0到9這10個數(shù)字.可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？解法1：當(dāng)個位數(shù)上排“0”時，千位，百位，十位上可以從余下的九個數(shù)字中任選3 個來排列，故有個；當(dāng)個位上在“2、4、6、8”中任選一個來排，則千位上從余下的八個非零數(shù)字中任選一 個，百位，十位上再從余下的八個數(shù)字中任選兩個來排，按乘法原理有（個）.沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有A； += 504 + 1792 = 2296 個.典型例題二例2三個女生和五個男生排成一排（1）如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？（2）如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？（3）如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？（4）如果兩端

2、不能都排女生，可有多少種不同的排法？解：（1）（捆綁法）因為三個女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一個整體，這 樣同五個男生合一起共有六個元素，然成一排有種不同排法.對于其中的每一種排法，三個女生之間又都有對種不同的排法，因此共有=4320種不同的排法.（2）（插空法）要保證女生全分開，可先把五個男生排好，每兩個相鄰的男生之間留出 一個空檔.這樣共有4個空檔，加上兩邊兩個男生外側(cè)的兩個位置，共有六個位置，再把三 個女生插入這六個位置中，只要保證每個位置至多插入一個女生，就能保證任意兩個女生都 不相鄰.由于五個男生排成一排有種不同排法，對于其中任意一種排法，從上述六個位 置中選出三個來讓三個

3、女生插入都有種方法，因此共有A；=14400種不同的排法.（3）解法1：（位置分析法）因為兩端不能排女生，所以兩端只能挑選5個男生中的2 個，有種不同的排法，對于其中的任意一種排法，其余六位都有A扌種排法，所以共有=14400種不同的排法.（4）解法1：因為只要求兩端不都排女生，所以如果首位排了男生，則未位就不再受條件限制了，這樣可有種不同的排法；如果首位排女生，有種排法，這時末位就 只能排男生，有種排法，首末兩端任意排定一種情況后，其余6位都有種不同的排法, 這樣可有種不同排法.因此共有 A； += 36000種不同的排法.解法2:3個女生和5個男生排成一排有種排法，從中扣去兩端都是女生排法

4、種，就能得到兩端不都是女生的排法種數(shù).因此共有=36000種不同的排法.典型例題三例3排一有5個歌唱節(jié)目和4個舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單。（1）任何兩個舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？（2）歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？解：（1）先排歌唱節(jié)目有種，歌唱節(jié)目之間以及兩端共有6個位子，從中選4個放 入舞蹈節(jié)目，共有中方法，所以任兩個舞蹈節(jié)目不相鄰排法有：Al At =43200.（2）先排舞蹈節(jié)目有中方法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有5個空位，恰好供5 個歌唱節(jié)目放入。所以歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有：4： 4； =2880種方法。典型例題四例4某一天的課程表要排入政治、語文、數(shù)學(xué)、物理、

5、體育、美術(shù)共六節(jié)課，如果第 一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，那么共有多少種不同的排課程表的方法.分析與解法1: 6六門課總的排法是其中不符合要求的可分為：體育排在第一書有種排法，如圖中I ;數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)有種排法，如圖中II;但這兩種排法，都包括體育排在第一書數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)，如圖中11【, 這種情況有種排法，因此符合條件的排法應(yīng)是:A： 2A； +=504 （種）.典型例題五例5現(xiàn)有3輛公交車、3位司機(jī)和3位售票員，每輛車上需配1位司機(jī)和1位售票員.問 車輛、司機(jī)、售票員搭配方案一共有多少種？分析：可以把3輛車看成排了順序的三個空：匚匚口，然后把3名司機(jī)和3名售票員分 別填入.因此可認(rèn)為事

6、件分兩步完成，每一步都是一個排列問題.解：分兩步完成.第一步，把3名司機(jī)安排到3輛車中，有A/=6種安排方法；第二步 把3名售票員安排到3輛車中，有4； =6種安排方法.故搭配方案共有種.典型例題六例6下是表是高考第一批錄取的一份志愿表.如果有4所重點院校，每所院校有3個 專業(yè)是你較為滿意的選擇.若表格填滿且規(guī)定學(xué)校沒有重復(fù)，同一學(xué)校的專業(yè)也沒有重復(fù)的 話，你將有多少種不同的填表方法？學(xué)校專業(yè)112212312解：填表過程可分兩步.第一步，確定填報學(xué)校及其順序，則在4所學(xué)校中選出3所并加排列，共有種不同的排法；第二步，從每所院校的3個專業(yè)中選出2個專業(yè)并確定其順序，其中又包含三小步，因此總的排

7、列數(shù)有種.綜合以上兩步，由分步計數(shù) 原理得不同的填表方法有：種.典型例題七例57名同學(xué)排隊照相.(1) 若分成兩排照，前排3人，后排4人，有多少種不同的排法？(2) 若排成兩排照，前排3人，后排4人，但其中甲必須在前排，乙必須在后排，有多 少種不同的排法？(3) 若排成一排照，甲、乙、丙三人必須相鄰，有多少種不同的排法？(4) 若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相鄰，有多少種不面的排 法？解：=5040 種.(2) 第一步安排甲，有種排法；第二步安排乙，有A：種排法；第三步余下的5人排 在剩下的5個位置上，有&種排法，由分步計數(shù)原理得，符合要求的排法共有 £&

8、#163;£=1440 種.(3) 第一步，將甲、乙、丙視為一個元素，有其余4個元素排成一排，即看成5個元素 的全排列問題，有種排法；第二步，甲、乙、丙三人部全排列，有種排法.由分步計 數(shù)原理得，共有種排法.(4) 第一步，4名男生全排列，有種排法；第二步，女生插空，即將3名女生插入4 名男生之間的5個空位，這樣可保證女生不相鄰，易知有種插入方法.由分步計數(shù)原理 得，符合條件的排法共有：&=1440種.典型例題八例8從2、3、4、5、6五個數(shù)字中每次取出三個不同的數(shù)字組成三位數(shù)，求所有三位數(shù) 的和.的數(shù)共有盂個，當(dāng)這些數(shù)相加時，由“2”產(chǎn)生的和是眉2；形如固須的數(shù)也有眉個，當(dāng)

9、這些數(shù)相加時，由“2”產(chǎn)生的和是A：210；形如臣畫的數(shù)也有盂 個，當(dāng)這些數(shù)相加時，由"2”產(chǎn)生的和應(yīng)是A；-2-100.這樣在所有三位數(shù)的和中，由“2” 產(chǎn)生的和是A；2111 .同理由3、4、5、6產(chǎn)生的和分別是, A；-4111 ,A：5lll, A；-6111 ,因此所有三位數(shù)的和是A；-111 -（2 + 3 + 4 + 5 + 6） = 26640典型例題九例9計算下列各題:A：； A：；：3 W!護(hù)狀存+罟解：(1) A=15xl4 = 210；(2)= 6!=6x5x4x3x2xl = 720 ；原式=一加）！一!= Ef 一加）!一）/? -1 一伽 一 1）!（/

10、? -!）! （n 一 m）!（一 1）!原式=(2 !_1) + (3! 2!) + (4! 3!) +(n + l) ! ！=(+ 1)!-1；=1 一 1 , P + 3+-1(h-1)! n2! 3! 4!n111111 11 t 11! 2! 2! 3! 3! 4!（n-1）! n n本題計算中靈活地用到下列各式：h! = /7（/?-1）!；加！ = （n + l）!-川；=一!；使問題解得簡單、快捷.n !（n 一 1）! n !典型例題十例10 “，b,c,d,ej六人排一列縱隊，限定"要排在b的前面（"與”可以相鄰， 也可以不相鄰），求共有幾種排法.對這個

11、題目，A、B、C、D四位同學(xué)各自給出了一 種算式：A的算式是丄；B的算式是（£+£+£+£ + £）/：； C的算式是4：；2D的算式是上面四個算式是否正確，正確的加以解釋，不正確的說明理由.解：A中很顯然，''"在前的六人縱隊”的排隊數(shù)目與"b在"前的六人縱隊”排隊 數(shù)目相等，而''六人縱隊”的排法數(shù)目應(yīng)是這二者數(shù)目之和.這表明：A的算式正確.3中把六人排隊這件事劃分為"占位，b占位，其他四人占位這樣三個階段，然后用乘 法求出總數(shù)，注意到"占位的狀況決定了方占位

12、的方法數(shù)，第一階段，當(dāng)"占據(jù)第一個位置 時，b占位方法數(shù)是A；當(dāng)"占據(jù)第2個位置時，占位的方法數(shù)是同；當(dāng)"占據(jù)第5個位置時，b占位的方法數(shù)是A：,當(dāng)a, b占位后,再排其他四人，他們有種排法, 可見3的算式是正確的.C中可理解為從6個位置中選4個位置讓占據(jù)，這時，剩下的兩個位置 依前后順序應(yīng)是的.因此C的算式也正確.D中把6個位置先圈定兩個位置的方法數(shù)C：,這兩個位置讓"，占據(jù)，顯然，a,b占 據(jù)這兩個圈定的位置的方法只有一種（“要在b的前面），這時，再排其余四人，又有種 排法，可見D的算式是對的.說明：下一節(jié)組合學(xué)完后，可回過頭來學(xué)習(xí)D的解法.典型例題

13、一例11八個人分兩排坐，每排四人，限定甲必須坐在前排，乙、丙必須坐在同一排， 共有多少種安排辦法？解法1：可分為"乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法''和''乙、丙在后排，甲坐 在前排的八人坐法”兩類情況.應(yīng)當(dāng)使用加法原理，在每類情況下，劃分“乙丙坐下”、'甲 坐下”；“其他五人坐下”三個步驟，又要用到分步計數(shù)原理，這樣可有如下算法：A £ £ + A： = 8 640 （種）.解法2：采取"總方法數(shù)減去不命題意的所有方法數(shù)”的算法.把''甲坐在第一排的八人坐法數(shù)”看成“總方法數(shù)”，這個數(shù)目是在這

14、種前提下，不合題意的方法是''甲坐第一排，且乙、丙坐兩排的八人坐法這個數(shù)目是其中第一個因數(shù)A：表示甲坐在第一排的方法數(shù)，C；表示從乙、丙中任選出一人的辦法數(shù)，表示把選出 的這個人安排在第一排的方法數(shù)，下一個起則表示乙、丙中沿未安排的那個人坐在第二排 的方法數(shù)，就是其他五人的坐法數(shù)，于是總的方法數(shù)為£.再_4；.（7；.&.&.& =8 640 （種）.說明：解法2可在學(xué)完組合后回過頭來學(xué)習(xí).典型例題十二例12計劃在某畫廊展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫，排成 一行列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且不彩畫不放在兩端，那么

15、不同列方式有 （ ）.A.B.C.D.解：將同一品種的畫“捆”在一起，注意到水彩畫不放在兩端，共有種排列.但4幅油畫、5幅國畫本身還有排列順序要求.所以共有種列方式.應(yīng)選D.說明：關(guān)于“若干個元素相鄰”的排列問題，一般使用“捆綁”法，也就是將相鄰的若 干個元素“擁綁”在一起，看作一個大元素，與其他的元素進(jìn)行全排列；然后，再“松綁”, 將被"捆綁”的若干元素，部進(jìn)行全排列.本例題就是一個典型的用"捆綁”法來解答的問 題.典型例題十三例13由數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)的 個數(shù)共有（）.A. 210 B. 300 C. 464 D.

16、 600解法1：（直接法）：分別用1,2,3,4,5作十萬位的排列數(shù)，共有5強種，所以其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有-5A；=3OO個.2解法2：（間接法）：取0,1,5個數(shù)字排列有農(nóng)，而0作為十萬位的排列有所 以其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有丄（-農(nóng)）=300（個）.應(yīng)選B.說明：（1）直接法.間接法是解決有關(guān)排列應(yīng)用題的兩種基本方法，何時使用直接法或 間接法要視問題而定，有的問題如果使用直接法解決比較困難或者比較麻煩，這時應(yīng)考慮能 否用間接法來解.(2) “個位數(shù)字小于十位數(shù)字”與"個位數(shù)字大于十位數(shù)字”具有對稱性，這兩類的六 位數(shù)個數(shù)一樣多，即各占全部六位數(shù)

17、的一半，同類問題還有6個人排隊照像時，甲必須站在 乙的左側(cè)，共有多少種排法.典型例題十四例14用1,2,3,4,5,這五個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有().A. 24 個 B. 30 個 C. 40 個 D. 60 個分析：本題是帶有附加條件的排列問題，可以有多種思考方法，可分類，可分步，可利 用概率，也可利用本題所提供的選擇項分析判斷.解法1：分類計算.將符合條件的偶數(shù)分為兩類.一類是2作個位數(shù)，共有個，另一類是4作個位數(shù)，也有個.因此符合條件的偶數(shù)共有=24個.解法2：分步計算.先排個位數(shù)字，有£種排法，再排十位和百位數(shù)字，有種排法，根據(jù)分步計數(shù)原理, 三位偶數(shù)應(yīng)

18、有個.解法3：按概率算.用15這5個數(shù)字可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有=60個，其中偶點其中的2?二.因此三位偶數(shù)共有60x二=2 4個.55解法4：利用選擇項判斷.用15這5個數(shù)字可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有個.其中偶數(shù)少于奇 數(shù)，因此偶數(shù)的個數(shù)應(yīng)少于30個，四個選擇項所提供的答案中，只有A符合條件.應(yīng)選A.典型例題十五例 15 計算 A；+2A；+3A；+ 8&.(2)求 S” =1! + 2! + 3! + ”！ («>10)的個位數(shù)字.分析：本題如果直接用排列數(shù)公式計算，在運算上比較困難，現(xiàn)在我們可以從和式中項 的待點以及排列數(shù)公式的特點兩方面考慮.在(1

19、)中，項可抽象為 加V；=(允 + l-l)/V：=( + l)&：-加V：=A驚一4；, ,(2) 中， 項 為 川= n(n l)S 2)321,當(dāng)n>5時，乘積中出現(xiàn)5和2,積的個位數(shù)為0,在加法運 算中可不考慮.解：由 nA； =(« + l)!-n!原式=2! 1! + 3! 2! + +9! 8! = 9! 1! = 362879 (2)當(dāng) n>5 時，n!=n(n-l)(n-2)- -3-21 的個位數(shù)為 0, S”=l! + 2! + 3! + + ！(“niO)的個位數(shù)字與1! + 2! + 3! + 4!的個位數(shù)字相 同.而1! + 2! +

20、3! + 4! = 33,：S “的個位數(shù)字為3說明：對排列數(shù)公式特點的分析是我們解決此類問題的關(guān)鍵，比如：求證:,我們首先可抓等式右邊的123n t 111F 4= 1 2!3!4!(/? +1)! (n + l)!n _ n +1 -1 _ +11_ 11(/7 +1)!" +1)! "(h + 1)! "(n + 1)! 一 7T 一 (/? +1)!.左邊亠丄+丄一丄+丄丄十丄=右邊.2!2!3!“！ （n + 1）!（« + 1）!典型例題十六例16用0、1、2、3、4、5共六個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，（1）可以組成多少 個無重復(fù)數(shù)字的3

21、位偶數(shù)？（2）可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字且被3整除的三位數(shù)？分析：3位偶數(shù)要求個位是偶數(shù)且首位數(shù)字不能是0,由于個位用或者不用數(shù)字0,對 確定首位數(shù)字有彩響，所以需要就個位數(shù)字用0或者用2、4進(jìn)行分類.一個自然數(shù)能被3整 除的條件是所有數(shù)字之和是3的倍數(shù)，本題可以先確定用哪三個數(shù)字，然后進(jìn)行排列，但要 注意就用與不用數(shù)字0進(jìn)行分類.解：（1）就個位用0還是用2、4分成兩類，個位用0,其它兩位從1、2、3、4中任取兩 數(shù)排列，共有盃=12（個），個位用2或4,再確定首位，最后確定十位，共有 2x4x4 = 32（個），所有3位偶數(shù)的總數(shù)為：12+32 = 44 （個）.（2）從0、1、2、3、4、5中取出和為3的倍數(shù)的三個數(shù)，分別有下列取法：（0 12）、（0 1 5）、（0 2 4）、（0 4 5）、（1 2 3）、（1 3 5）、（2 3 4）、（3 4 5）,前四組中有0, 后四組中沒有0,用它們排成三位數(shù)，如果用前4組，共有4x2xA； = 16 （個），如果用后 四組，共有4xA； = 24（個），所有被3整除的三位數(shù)的總數(shù)為16+24 =