大題橢圓求方程離心率

1、橢圓一 方程（易）（10 天津）（20）（本小題滿(mǎn)分12分）已知橢圓的離心率，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4。（1） 求橢圓的方程；【解析】本小題主要考察橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線(xiàn)的方程，平面向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查運(yùn)算和推理能力，滿(mǎn)分12分（1）解：由，得，再由，得由題意可知， 解方程組 得 a=2,b=1所以橢圓的方程為（10 遼寧）(20)（本小題滿(mǎn)分12分）設(shè)橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)l的傾斜角為60o,.(I) 求橢圓C的離心率；(II) 如果|AB|=，求橢圓C的方程.（20）解：設(shè)，由

2、題意知0，0.（）直線(xiàn)l的方程為 ，其中.聯(lián)立得解得因?yàn)椋?即 得離心率 . 6分（）因?yàn)?，所?由得.所以，得a=3，.橢圓C的方程為. 12分（10 山東）（21）（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為.一等軸雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)為該雙曲線(xiàn)上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線(xiàn)和與橢圓的交點(diǎn)分別為和.（）求橢圓和雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；【解析】（）由題意知，橢圓離心率為，得，又，所以可解得，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），因?yàn)殡p曲線(xiàn)為等軸雙曲線(xiàn)，且頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，所以該雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為。（10 江西）2

3、1. （本小題滿(mǎn)分12分）設(shè)橢圓，拋物線(xiàn)。（1） 若經(jīng)過(guò)的兩個(gè)焦點(diǎn)，求的離心率；（2） 設(shè)A（0，b），,又M、N為與不在y軸上的兩個(gè)交點(diǎn)，若AMN的垂心為，且QMN的重心在上，求橢圓和拋物線(xiàn)的方程。【解析】考查橢圓和拋物線(xiàn)的定義、基本量，通過(guò)交點(diǎn)三角形來(lái)確認(rèn)方程。（1）由已知橢圓焦點(diǎn)(c,0)在拋物線(xiàn)上，可得：，由。(2)由題設(shè)可知M、N關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，設(shè),由的垂心為B，有。 由點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，解得：故，得重心坐標(biāo). 由重心在拋物線(xiàn)上得：，又因?yàn)镸、N在橢圓上得：，橢圓方程為，拋物線(xiàn)方程為。（10 新課標(biāo)全國(guó)）（20）（本小題滿(mǎn)分12分）設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)斜率為1的直線(xiàn)與相交于兩點(diǎn)，且

4、成等差數(shù)列。（1）求的離心率； （2） 設(shè)點(diǎn)滿(mǎn)足，求的方程解：（I）由橢圓定義知，又，得的方程為，其中。設(shè)，則A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組化簡(jiǎn)的則因?yàn)橹本€(xiàn)AB斜率為1，所以得故所以E的離心率（II）設(shè)AB的中點(diǎn)為，由（I）知，。由，得，即得，從而故橢圓E的方程為。（10 陜西）20.（本小題滿(mǎn)分13分）如圖，橢圓C：的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)為,. ()求橢圓C的方程；(i) 當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)l的方程為,由l與n垂直相交于P點(diǎn)且得，即. = =1+0+0-1=0，即將代入橢圓方程，得 ，由求根公式可得 將，代入上式并化簡(jiǎn)得 將代入并化簡(jiǎn)得，矛盾.即此時(shí)直線(xiàn)不存在.（10 北京）（19）（本小題共14分）在

5、平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A（-1,1）關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線(xiàn)AP與BP的斜率之積等于.()求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；19，解：（1）因點(diǎn)B與（-1,1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，得B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1）。設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，則，由題意得，化簡(jiǎn)得：。即P點(diǎn)軌跡為：（10 福建）17（本小題滿(mǎn)分13分）已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，3），且點(diǎn)F（2，0）為其右焦點(diǎn)。（1）求橢圓C的方程；【命題意圖】本小題主要考查直線(xiàn)、橢圓等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想。【解析】（1）依題意，可設(shè)橢圓C的方程為，且可知左焦點(diǎn)為（11 重慶）（20）

6、（本小題滿(mǎn)分12分，（）小問(wèn)4分，()小問(wèn)8分.） 如題（20）圖，橢圓的中心為原點(diǎn)，離心率，一條準(zhǔn)線(xiàn)的方程為. （）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（11 湖南）A. (本小題滿(mǎn)分13分） 如圖7，橢圓的離心率為，軸被曲線(xiàn) 截得的線(xiàn)段長(zhǎng)等于的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)。（）求，的方程；解析：（I）由題意知，從而，又，解得。故，的方程分別為。（09 遼寧）（20）（本小題滿(mǎn)分12分）已知，橢圓C過(guò)點(diǎn)A，兩個(gè)焦點(diǎn)為（1，0），（1，0）。（1） 求橢圓C的方程；（2） E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線(xiàn)AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線(xiàn)EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值。（20）解：（）由題意，c=1,可設(shè)橢圓方程為

7、，解得，（舍去）所以橢圓方程為。 4分（）設(shè)直線(xiàn)AE方程為：，代入得 設(shè),因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以 8分又直線(xiàn)AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以K代K，可得所以直線(xiàn)EF的斜率即直線(xiàn)EF的斜率為定值，其值為。 12分（09 四川）20（本小題滿(mǎn)分12分）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，離心率，右準(zhǔn)線(xiàn)方程為。（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與該橢圓交于兩點(diǎn)，且，求直線(xiàn)的方程。（20）本小題主要考查直線(xiàn)、橢圓、平面向量等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題及推理運(yùn)算能力。 解：（）有條件有，解得。 。 所以，所求橢圓的方程為。4分（）由（）知、。 若直線(xiàn)l的斜率不存在，則直線(xiàn)l的方程為x

8、=-1. 將x=-1代入橢圓方程得。 不妨設(shè)、， . ,與題設(shè)矛盾。 直線(xiàn)l的斜率存在。 設(shè)直線(xiàn)l的斜率為k，則直線(xiàn)的方程為y=k（x+1）。設(shè)、，聯(lián)立，消y得。由根與系數(shù)的關(guān)系知，從而，又，?；?jiǎn)得解得（09 山東）（22）（本小題滿(mǎn)分14分）（注意：在試題卷上作答無(wú)效） 設(shè)橢圓E：，O為坐標(biāo)原點(diǎn) （）求橢圓E的方程； （）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒在兩個(gè)交點(diǎn)A，B且？若存在，寫(xiě)出該圓的方程，關(guān)求的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由。22. 解:（1）因?yàn)闄E圓E: （a,b>0）過(guò)M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn),所以解得所以橢圓E的方程為（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的

9、圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線(xiàn)方程為解方程組得,即,則=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因?yàn)橹本€(xiàn)為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線(xiàn),所以圓的半徑為,所求的圓為,此時(shí)圓的切線(xiàn)都滿(mǎn)足或,而當(dāng)切線(xiàn)的斜率不存在時(shí)切線(xiàn)為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿(mǎn)足,綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.因?yàn)?所以, 當(dāng)時(shí)因?yàn)樗?所以,所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取”=”. 當(dāng)時(shí),. 當(dāng)AB的斜率不存在時(shí), 兩個(gè)交點(diǎn)為或,所以此時(shí),綜上, |AB |的取值范圍為即: （09 全國(guó)2）（21）（本小題滿(mǎn)分12分） 已知橢圓的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)

10、F的直線(xiàn)與相交于、糧店，當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為 （I）求，的值； （II）上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立？若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與的方程；若不存在，說(shuō)明理由。（09 寧夏）（20）（本小題滿(mǎn)分12分） 已知橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在s軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1.（）求橢圓C的方程；（）若P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，M為過(guò)P且垂直于x軸的直線(xiàn)上的點(diǎn)，=，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線(xiàn)。（09 海南）（20）（本小題滿(mǎn)分12分） 已知橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在s軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1.

11、（）求橢圓C的方程；（）若P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，M為過(guò)P且垂直于x軸的直線(xiàn)上的點(diǎn)，=，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線(xiàn)。二 離心率（10 遼寧）(20)（本小題滿(mǎn)分12分）設(shè)橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)l的傾斜角為60o,.(III) 求橢圓C的離心率；(IV) 如果|AB|=，求橢圓C的方程.（20）解：設(shè)，由題意知0，0.（）直線(xiàn)l的方程為 ，其中.聯(lián)立得解得因?yàn)?，所?即 得離心率 . 6分（）因?yàn)?，所?由得.所以，得a=3，.橢圓C的方程為. 12分（10 江西）21. （本小題滿(mǎn)分12分）設(shè)橢圓，拋物線(xiàn)。（3） 若經(jīng)過(guò)的兩個(gè)焦點(diǎn)，求的離心率；

12、（4） 設(shè)A（0，b），,又M、N為與不在y軸上的兩個(gè)交點(diǎn)，若AMN的垂心為，且QMN的重心在上，求橢圓和拋物線(xiàn)的方程。【解析】考查橢圓和拋物線(xiàn)的定義、基本量，通過(guò)交點(diǎn)三角形來(lái)確認(rèn)方程。（1）由已知橢圓焦點(diǎn)(c,0)在拋物線(xiàn)上，可得：，由。(2)由題設(shè)可知M、N關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，設(shè),由的垂心為B，有。 由點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，解得：故，得重心坐標(biāo). 由重心在拋物線(xiàn)上得：，又因?yàn)镸、N在橢圓上得：，橢圓方程為，拋物線(xiàn)方程為。（10 新課標(biāo)全國(guó)）（20）（本小題滿(mǎn)分12分）設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)斜率為1的直線(xiàn)與相交于兩點(diǎn)，且成等差數(shù)列。（1）求的離心率； （2） 設(shè)點(diǎn)滿(mǎn)足，求的方程解：（I）由橢圓定義知

13、，又，得的方程為，其中。設(shè)，則A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組化簡(jiǎn)的則因?yàn)橹本€(xiàn)AB斜率為1，所以得故所以E的離心率（II）設(shè)AB的中點(diǎn)為，由（I）知，。由，得，即得，從而故橢圓E的方程為。（10 北京）19（本小題共14分）已知橢圓.過(guò)點(diǎn)（m,0）作圓的切線(xiàn)I交橢圓G于A，B兩點(diǎn).（I）求橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；（II）將表示為m的函數(shù)，并求的最大值.（19）（共14分）解：（）由已知得所以所以橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)為離心率為（）由題意知，.當(dāng)時(shí)，切線(xiàn)l的方程，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為此時(shí)當(dāng)m=1時(shí)，同理可得當(dāng)時(shí)，設(shè)切線(xiàn)l的方程為由設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則又由l與圓所以由于當(dāng)時(shí)，所以.因?yàn)榍耶?dāng)時(shí)，|AB|

14、=2，所以|AB|的最大值為2.（11 天津）18（本小題滿(mǎn)分13分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)已知為等腰三角形（）求橢圓的離心率；（）設(shè)直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，是直線(xiàn)上的點(diǎn)，滿(mǎn)足，求點(diǎn)的軌跡方程18本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線(xiàn)的方程、平面向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查解決問(wèn)題能力與運(yùn)算能力.滿(mǎn)分13分. （I）解：設(shè) 由題意，可得即整理得（舍），或所以（II）解：由（I）知可得橢圓方程為直線(xiàn)PF2方程為A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組消去y并整理，得解得 得方程組的解不妨設(shè)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，由于是由即，化簡(jiǎn)得將所以因此

15、，點(diǎn)M的軌跡方程是（09 天津）（21）（本小題滿(mǎn)分14分） 以知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交與兩點(diǎn)，且。（1） 求橢圓的離心率；（2） 求直線(xiàn)AB的斜率；（3） 設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)上有一點(diǎn)在的外接圓上，求的值（21）本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線(xiàn)的方程、圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查運(yùn)算能力和推理能力，滿(mǎn)分14分（I） 解：由/且，得，從而 整理，得，故離心率（II） 解：由（I）得，所以橢圓的方程可寫(xiě)為 設(shè)直線(xiàn)AB的方程為，即. 由已知設(shè)，則它們的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組消去y整理，得.依題意，而 由題設(shè)知，點(diǎn)B為線(xiàn)段A