高等數(shù)學(xué)D12習(xí)題課ppt課件

1、級數(shù)的收斂、求和與展開級數(shù)的收斂、求和與展開 第十二章 )(0 xunn 求和)(xS展開(在收斂域內(nèi)進(jìn)行)(0 xunn基本問題：判別斂散；基本問題：判別斂散；求收斂域；求和函數(shù)；級數(shù)展開.時為數(shù)項級數(shù);0 xx 當(dāng)nnnxaxu)(當(dāng)時為冪級數(shù);一、數(shù)項級數(shù)的審斂法一、數(shù)項級數(shù)的審斂法1. 利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性2. 正項級數(shù)審斂法必要條件0limnnu不滿足發(fā) 散滿足比值審斂法 limn1nunu根值審斂法nnnulim1收 斂發(fā) 散1不定 比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限13. 任意項級數(shù)審斂法為收斂級數(shù)1nnuLeibniz判別法判別法: 假設(shè)假設(shè),01nnuu

2、且,0limnnu則交錯級數(shù)nnnu1) 1(收斂 ,概念概念:且余項.1nnur1nnu假設(shè)收斂 ,1nnu稱絕對收斂1nnu假設(shè)發(fā)散 ,1nnu稱條件收斂 證 因為11) 1(1) 1(12nnnn 設(shè)un和vn都是正項級數(shù), 且unkvn(k0, nN). 若級數(shù)vn收斂, 則級數(shù)un收斂; 若級數(shù)un發(fā)散, 則級數(shù)vn發(fā)散. vp級數(shù)的收斂性 證證 v比較審斂法 p級數(shù)pnn11當(dāng) p1 時收斂 當(dāng) p1 時發(fā)散 例 2 證明級數(shù)1) 1(1nnn是發(fā)散的 而級數(shù)111nn發(fā)散 故級數(shù)發(fā)散 故級數(shù)1) 1(1nnn也發(fā)散 例1v定理3(比較審斂法的極限形式) 設(shè)1nnu和1nnv都是正

3、項級數(shù) (1)如果lvunnnlim(0l) 且1nnv收斂 則1nnu收斂 (2)如果lvunnnlim(0l) 且1nnv發(fā)散 則1nnu發(fā)散 例 3 判別級數(shù)11sinnn的收斂性 解 因為111sinlim nnn 而級數(shù) 解解 所以級數(shù)11sinnn也發(fā)散 111sinlim nnn 而級數(shù)11nn發(fā)散 例2 例 4 判別級數(shù)12)11ln(nn的收斂性 解解 解 因為11)11ln(lim 22nnn 而級數(shù)11)11ln(lim 22nnn 而級數(shù)211nn收斂 所以級數(shù)12)11ln(nn也收斂 v定理 (比較審斂法的極限形式) 設(shè)1nnu和1nnv都是正項級數(shù) (1)如果lv

4、unnnlim(0l) 且1nnv收斂 則1nnu收斂 (2)如果lvunnnlim(0l) 且1nnv發(fā)散 則1nnu發(fā)散 例3 解 因為101lim 321) 1( 321lim lim 1 nnnuunnnnn收斂 當(dāng)1(或)時級數(shù)發(fā)散 當(dāng)1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 設(shè)1nnu為正項級數(shù) 如果nnnuu1lim 則當(dāng)1時級數(shù) v定理 (比值審斂法 達(dá)朗貝爾判別法) 解解 所以 根據(jù)比值審斂法可知所給級數(shù)收斂 例4 證明級數(shù) ) 1( 3211 3211211111 n 是收斂的 101lim 321) 1( 321lim lim 1 nnnuunnnnn101lim 321) 1( 32

5、1lim lim 1 nnnuunnnnn 所以 根據(jù)比值審斂法可知所給級數(shù)發(fā)散 下頁 例 6 判別級數(shù) 10! 10321102110132 nn的收斂性 解解 解 因為101lim ! 1010)!1(lim lim 11nnnuunnnnnnn101lim ! 1010)!1(lim lim 11nnnuunnnnnnn101lim ! 1010)!1(lim lim 11nnnuunnnnnnn 收斂 當(dāng)1(或)時級數(shù)發(fā)散 當(dāng)1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 設(shè)1nnu為正項級數(shù) 如果nnnuu1lim 則當(dāng)1時級數(shù) v定理 (比值審斂法 達(dá)朗貝爾判別法) 例5 例 7 判別級數(shù)nnn2)

6、12(1的收斂性 提示:1) 22() 12(2) 12(lim lim 1nnnnuunnnn所以 根據(jù)比值審斂法可知所給級數(shù)收斂 1) 22() 12(2) 12(lim lim 1nnnnuunnnn1) 22() 12(2) 12(lim lim 1nnnnuunnnn1) 22() 12(2) 12(lim lim 1nnnnuunnnn比值審斂法失效 下頁 解解 解 因為212) 12(1nnn212) 12(1nnn 而級數(shù)212) 12(1nnn 而級數(shù)211nn收斂 收斂 當(dāng)1(或)時級數(shù)發(fā)散 當(dāng)1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 設(shè)1nnu為正項級數(shù) 如果nnnuu1lim 則當(dāng)1

7、時級數(shù) v定理 (比值審斂法 達(dá)朗貝爾判別法) 例6v定理 (極限審斂法) 設(shè)1nnu為正項級數(shù) (1)如果)lim( 0limnnnnnulnu或 則級數(shù)1nnu發(fā)散 (2)如果 p1 而)0 ( limllunnpn 則級數(shù)1nnu收斂 例 10 判定級數(shù)12)11ln(nn的收斂性 因為 解 1)11ln(lim)11ln(limlim22222nnnnnnnnun根據(jù)極限審斂法 知所給級數(shù)收斂 1)11ln(lim)11ln(limlim22222nnnnnnnnun1)11ln(lim)11ln(limlim22222nnnnnnnnun 下頁例7v定理 (極限審斂法) 設(shè)1nnu為

8、正項級數(shù) (1)如果)lim( 0limnnnnnulnu或 則級數(shù)1nnu發(fā)散 (2)如果 p1 而)0 ( limllunnpn 則級數(shù)1nnu收斂 例 11 判定級數(shù))cos1 ( 11nnn的收斂性 222232321)(211lim)cos1 ( 1limlimnnnnnnnunnnnn222232321)(211lim)cos1 ( 1limlimnnnnnnnunnnnn 因為 解 根據(jù)極限審斂法 知所給級數(shù)收斂 首頁例8(1)1111nnunnu(n1, 2, ) (2)這是一個交錯級數(shù). 解解 由萊布尼茨定理, 級數(shù)是收斂的, 且其和su11,余項11|1nurnn 首頁則級

9、數(shù)收斂, 且其和su1, 其余項rn的絕對值|rn|un1. 如果交錯級數(shù)11) 1(nnnu滿足條件 v定理 (萊布尼茨定理) (1)unun1(n1 2 3 ) (2)0limnnu 因為此級數(shù)滿足 (n1, 2, ) (2)01limlimnunnn 例 10 證明級數(shù) 1) 1(11nnn收斂 并估計和及余項 例12 例9 三、絕對收斂與條件收斂v絕對收斂與條件收斂 若級數(shù)1|nnu收斂 則稱級數(shù)1nnu絕對收斂 若級數(shù)1nnu 收斂 而級數(shù)1|nnu發(fā)散 則稱級1nnu條件收斂 如果級數(shù)1nnu絕對收斂 則級數(shù)1nnu必定收斂 v定理 (絕對收斂與收斂的關(guān)系) 應(yīng)注意的問題 如果級數(shù)

10、1|nnu發(fā)散 我們不能斷定級數(shù)1nnu也發(fā)散 下頁 解 因為|221|sinnnna 而級數(shù) 解解 下頁 如果級數(shù)1nnu絕對收斂 則級數(shù)1nnu必定收斂 v定理 (絕對收斂與收斂的關(guān)系) 12|sin|nnna也收斂 從而級數(shù)221|sinnnna 而級數(shù)211nn是收斂的 所以級數(shù) 是收斂的 所以級數(shù) 從而級數(shù)12sinnnna絕對收斂 例 11 判別級數(shù)12sinnnna的收斂性 例13 例10完畢 如果級數(shù)1nnu絕對收斂 則級數(shù)1nnu必定收斂 v定理 (絕對收斂與收斂的關(guān)系) 解 由2)11 (21|nnnnu 有 解解 121)11 (lim21|limenunnnnn可知0l

11、imnnu 因此級數(shù)121)11 (lim21|limenunnnnn121)11 (lim21|limenunnnnn 0limnnu 因此級數(shù)12)11 (21) 1(nnnnn發(fā)散 例 12 判別級數(shù)12)11 (21) 1(nnnnn的收斂性 例14 例11二、求冪級數(shù)收斂域的方法二、求冪級數(shù)收斂域的方法 標(biāo)準(zhǔn)形式冪級數(shù): 先求收斂半徑 R , 再討論Rx 非標(biāo)準(zhǔn)形式冪級數(shù)通過換元轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式直接用比值法或根值法處的斂散性 .題7. 求下列級數(shù)的斂散區(qū)間:;)11 ()2(12nnnxn.2)4(21nnnxn下頁 例 1 求冪級數(shù)11) 1(nnnnx的收斂半徑與收斂域 當(dāng) x1

12、時冪級數(shù)成為1)1(nn是發(fā)散的 因而, 收斂域為(1, 1. 1)1(nn是發(fā)散的 當(dāng) x1 時冪級數(shù)成為111) 1(nnn是收斂的 111) 1(nnn是收斂的 解解 因為1 |lim 1nnnaa1 |lim 1nnnaa所以收斂半徑1 |lim 1nnnaa所以收斂半徑11R v定理 (收斂半徑的求法) 如果|lim1nnnaa 則冪級數(shù)0nnnxa的收斂半徑 R 為 當(dāng)0 時1R 當(dāng)0 時 R 當(dāng)時 R0 例12 解解 因為 0)!1(!lim !1)!1(1lim |lim 1nnnnaannnnn0)!1(!lim !1)!1(1lim |lim 1nnnnaannnnn0)!

13、1(!lim !1)!1(1lim |lim 1nnnnaannnnn 所以收斂半徑為R, 從而收斂域為(, ).下頁 例 2 求冪級數(shù)0!1nnxn的收斂域 v定理 (收斂半徑的求法) 如果|lim1nnnaa 則冪級數(shù)0nnnxa的收斂半徑 R 為 當(dāng)0 時1R 當(dāng)0 時 R 當(dāng)時 R0 例13 解解 因為 !)!1(lim |lim 1nnaannnn!)!1(lim |lim 1nnaannnn!)!1(lim |lim 1nnaannnn 所以收斂半徑為R0, 即級數(shù)僅在x0處收斂.下頁 例 3 求冪級數(shù)0!nnxn的收斂半徑 v定理 (收斂半徑的求法) 如果|lim1nnnaa 則

14、冪級數(shù)0nnnxa的收斂半徑 R 為 當(dāng)0 時1R 當(dāng)0 時 R 當(dāng)時 R0 例14提示: 此級數(shù)缺少奇次冪的項, 前述求收斂半徑的方法不能直接應(yīng)用.提示:2222) 1(221) 1() 12)(22() !()!2()!1()!1( 2)()(xnnnxnnxnnxuxunnnn2222) 1(221) 1() 12)(22() !()!2()!1()!1( 2)()(xnnnxnnxnnxuxunnnn 解解 這種缺項冪級數(shù)一般用比值審斂法來求收斂半徑. 冪級數(shù)的一般項為nnxnnxu22) !()!2()(因為 因為21| 4 |)()(|limxxuxunnn21| 4 |)()(|

15、limxxuxunnn 當(dāng)4|x|21即|x|1即|x| 時級數(shù)發(fā)散, 21下頁 例 4 求冪級數(shù)022!)()!2(nnxnn的收斂半徑 例15這種缺項冪級數(shù)一般用比值審斂法來求收斂半徑. 冪級數(shù)的一般項為nnxnnxu22) !()!2()(因為 因為21| 4 |)()(|limxxuxunnn21| 4 |)()(|limxxuxunnn 當(dāng)4|x|21即|x|1即|x| 時級數(shù)發(fā)散, 21所以收斂半徑為21R 下頁 解解 例 4 求冪級數(shù)022!)()!2(nnxnn的收斂半徑 例16 解解 令 tx1上述級數(shù)變?yōu)?2nnnnt 因為 21) 1(22 |lim 11nnaannnn

16、n21) 1(22 |lim 11nnaannnnn21) 1(22 |lim 11nnaannnnn 所以收斂半徑R2. 當(dāng) t2 時級數(shù)成為11nn此級數(shù)發(fā)散 當(dāng) t2 時級數(shù)成為1) 1(nn此級數(shù)收斂 所以原級數(shù)的收斂域為1, 3). 即2x12, 或1x3, 因此收斂域為2t 例19練習(xí)練習(xí):.) 1()4(1nnnnx;212) 1() 1(21nnnxn解解: (1) )(21121nnnx原式) 120(2x12)2(1nnxx222211xxx22xx222)2(2xx顯然 x = 0 時上式也正確,. )2,2(x故和函數(shù)為而在2xx0,)2(2)(222xxxS題8. 求

17、下列冪級數(shù)的和函數(shù)：級數(shù)發(fā)散,(4)nnxnn1111原式xnntt011dxnnttx01d1ttxd110tttxxd1100 x)1ln(x)1(ln11xx)1(ln)11(1xx) 10( xttnnxd110ttxnnxd1101) 1(nnnnx, )1(ln)11(1xx顯然 x = 0 時, 和為 0 ; 根據(jù)和函數(shù)的連續(xù)性 , 有)(xS110, )1(ln)11(1xxxx及0 0 x，1 1x，10 xx = 1 時,級數(shù)也收斂 . 即得00! )12() 1(! )2() 1(21nnnnnn練習(xí)練習(xí):0! ) 12(1) 1(nnnn解解: 原式原式=0! )12() 1(nnn1cos21的和 .1) 12(n211sin題9(2). 求級數(shù)四、函數(shù)的冪級數(shù)和付式級數(shù)展開法四、函數(shù)的冪級數(shù)和付式級數(shù)展開法 直接展開法 間接展開法練習(xí)練習(xí):1. 將函數(shù)將函數(shù)2)2(1x展開成 x 的冪級數(shù). 利用已知展式的函數(shù)及冪級數(shù)性質(zhì) 利用泰勒公式解解:xx21)2(1221121x0221nnnx,22111nnnxn)2,2(x1. 函數(shù)的冪級數(shù)展開法5 將函數(shù)211)(xxf展開成 x 的冪級數(shù) 例例5 因為 1112 nxxxx(1x1) 解解 知 把x換成x2, 得 ) 1