小學(xué)數(shù)學(xué)解題方法解題技巧之解行程問題的方法

1、精品文檔第一章 小學(xué)數(shù)學(xué)解題方法解題技巧之 解行程問題的方法已知速度、時(shí)間、距離三個(gè)數(shù)量中的任何兩個(gè)，求第三個(gè)數(shù)量的應(yīng)用題，叫做行程問題。解答行程問題的關(guān)鍵是， 首先要確定運(yùn)動(dòng)的方向， 然后根據(jù)速度、 時(shí)間和路程的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算。行程問題的基本數(shù)量關(guān)系是：速度X時(shí)間二路程路程+速度=時(shí)間路程+時(shí)間=速度行程問題常見的類型是： 相遇問題， 追及問題 （即同向運(yùn)動(dòng)問題） ， 相離問題 （即相背運(yùn)動(dòng)問題）。（一）相遇問題兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體作相向運(yùn)動(dòng)或在環(huán)形跑道上作背向運(yùn)動(dòng)， 隨著時(shí)間的發(fā)展， 必然面對面地相遇，這類問題叫做相遇問題。它的特點(diǎn)是兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體共同走完整個(gè)路程。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的行程問題，一般是指相

2、遇問題。相遇問題根據(jù)數(shù)量關(guān)系可分成三種類型：求路程，求相遇時(shí)間，求速度。它們的基本關(guān)系式如下：總路程=（甲速+乙速）X相遇時(shí)間相遇時(shí)間二總路程+ （甲速+乙速）另一個(gè)速度= 甲乙速度和 - 已知的一個(gè)速度1. 求路程（ 1 ）求兩地間的距離例 1 兩輛汽車同時(shí)從甲、乙兩地相對開出，一輛汽車每小時(shí)行56 千米，另一輛汽車每小時(shí)行63 千米，經(jīng)過4 小時(shí)后相遇。甲乙兩地相距多少千米？（適于五年級程度）解：兩輛汽車從同時(shí)相對開出到相遇各行4 小時(shí)。一輛汽車的速度乘以它行駛的時(shí)間， 就是它行駛的路程； 另一輛汽車的速度乘以它行駛的時(shí)間， 就是這輛汽車行駛的路程。兩車行駛路程之和，就是兩地距離。56 X

3、 4=224 （千米）63 X 4=252 （千米）224+252=476 （千米）綜合算式：56 X 4+63 X 4=224+252=476 （千米）答略。例 2 兩列火車同時(shí)從相距480 千米的兩個(gè)城市出發(fā)，相向而行，甲車每小時(shí)行駛 40 千米，乙車每小時(shí)行駛42 千米。 5 小時(shí)后，兩列火車相距多少千米？（適于五年級程度）解：此題的答案不能直接求出，先求出兩車5小時(shí)共行多遠(yuǎn)后，從兩地的距離4 80千米中，減去兩車5小時(shí)共行的路程，所得就是兩車的距離。480- （40+42 ） X5=480- 82 X 5=480-410=70 （千米）答：5小時(shí)后兩列火車相距70千米例3甲、乙二人分別

4、從A、B兩地同時(shí)相向而行，甲每小時(shí)行 5千米，乙每小 時(shí)行4千米。二人第一次相遇后，都繼續(xù)前進(jìn)，分別到達(dá) B、A兩地后又立即按原速 度返回。從開始走到第二次相遇，共用了 6小時(shí)。A、B兩地相距多少千米？（適于 五年級程度）解：從開始走到第一次相遇，兩人走的路程是一個(gè) AB之長；而到第二次相遇，兩人 走的路程總共就是3個(gè)AB之長（圖35-1 ）,這三個(gè)AB之長是：,%三1A hmE衛(wèi)巴,”.圖 35-1（5+4）義 6=54 （千米）所以，A、B兩地相距的路程是:54+3=18 （千米）答略。例4兩列火車從甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)對面開來，第一列火車每小時(shí)行駛60千米，第二列火車每小時(shí)行駛55千米。兩

5、車相遇時(shí)，第一列火車比第二列火車多行了 20千米。求甲、乙兩地間的距離。（適于五年級程度）解：兩車相遇時(shí)，兩車的路程差是 20千米。出現(xiàn)路程差的原因是兩車行駛的速 度不同，第一列火車每小時(shí)比第二列火車多行（60-55 ）千米。由此可求出兩車相遇 的時(shí)間，進(jìn)而求出甲、乙兩地間的距離。（60+55 ） X 20 - 60-55 ）=115 X 20 + 5=460 （千米）答略。*例5甲、乙二人同時(shí)從A、B兩地相向而行，甲每小時(shí)走6千米，乙每小時(shí)走 5千米，兩個(gè)人在距離中點(diǎn)1.5千米的地方相遇。求A、B兩地之間的距離。（適于 五年級程度）解：由題意可知，當(dāng)二人相遇時(shí)，甲比乙多走了 1.5 X2千米

6、（圖35-2 ）,甲 比乙每小時(shí)多行（6-5）千米。由路程差與速度差，可求出相遇時(shí)間，進(jìn)而求出 A、 B兩地之間的距離。AmmB1一5千米圖 35'£(6+5 ) X 1.5 X 2 + 6-5 )=11 X 1.5 X2+1=11 X3=33 （千米）答略。例）6甲車的遞度是乙軍速度的，兩率同時(shí)從A、B兩站相同而行，在離 中點(diǎn)2千米處相遇。求兩站間的距離。（適于六年皴程度）解由“甲車的速度是乙車的? ”可知，甲車行的路程也是乙車所行路6程的二即甲車比乙車少行：012=1& 6由兩車”在離中點(diǎn)2千米處相遇”可知，甲車比乙車少行：2X2=4 （千米）所以，乙車行的路程是

7、：4 T ' = 24 （千米）6甲車行的路程是：24 X 1 = 20 （千米）6A、B兩站I可的距離是：24+20=44 （千米）例7從甲城往乙城開出一普通客車，每小時(shí)行6。千米，行駛到全程的 3方時(shí)，從乙城往甲城開出一列快年.每小時(shí)行駛的千米口快車開出必、時(shí)后同普通客車相遇。甲、乙兩城間相距多少千米？（適于六年級程度）解；昔逋客車從甲城開往乙城.每小時(shí)5。千米，行駛到全程的（時(shí)，快車從乙城開出，普通客車與快車相對而行。已知普通客車每小時(shí)行60千米,快車每小時(shí)行80千米，可以求出兩車速度之和。又已知兩車相遇時(shí)間，可以按“速 度之和X相遇時(shí)間”，求出兩車相對而行的總行程。普通客車已行

8、駛了全程的奈，可見兩科目對而行的總踣程占全程的C1-）-即稱。用除法可求出甲乙兩城間的距離©普通客車與快車速度之和是：60+80=140 （千米/小時(shí)）兩車相對而行的總路程是：140 X 4=560 （千米）兩車所行的總路程占全程的比率是：1 2=1117 17甲、乙兩城之間相距為：14560 680 （千米）綜合算式：3（60 +30）X4+ （1- ）=MO X 4 "=沏+指=680 （千將答略。2）求各行多少例1兩地相距37.5千米，甲、乙二人同時(shí)從兩地出發(fā)相向而行，甲每小時(shí)走3.5千米，乙每小時(shí)走4千米。相遇時(shí)甲、乙二人各走了多少千米？（適于五年級程 度）解：到甲

9、、乙二人相遇時(shí)所用的時(shí)間是：37.5 + （3.5+4 ） =5 （小時(shí)）甲行的路程是：3.5 X 5=17.5 （千米）乙行的路程是：4X5=20 （千米）答略。例2甲、乙二人從相距40千米的兩地同時(shí)相對走來，甲每小時(shí)走 4千米，乙 每小時(shí)走6千米。相遇后他們又都走了 1小時(shí)。兩人各走了多少千米？（適于五年 級程度）解：到甲、乙二人相遇所用的時(shí)間是：40+ （4+6） =4 （小時(shí)）由于他們又都走了 1 小時(shí)，因此兩人都走了：4+1=5 （小時(shí)）甲走的路程是：4X5=20 （千米）乙走的路程是：6X5=30 （千米）答略。例 3 兩列火車分別從甲、乙兩個(gè)火車站相對開出，第一列火車每小時(shí)行48

10、.65千米，第二列火車每小時(shí)行47.35 千米。在相遇時(shí)第一列火車比第二列火車多行了5.2 千米。到相遇時(shí)兩列火車各行了多少千米？（適于五年級程度）解：兩車同時(shí)開出，行的路程有一個(gè)差，這個(gè)差是由于速度不同而形成的?？梢愿鶕?jù)“相遇時(shí)間=路程差+速度差”的關(guān)系求出相遇時(shí)間，然后再分別求出所行的路程。從出發(fā)到相遇所用時(shí)間是：5.2 + （48.65-47.35 ）=5.2 + 1.3=4 （小時(shí)）第一列火車行駛的路程是：48.65 X 4=194.6 （千米）第二列火車行駛的路程是：47.35 X 4=189.4 （千米）答略。*例 4 東、西兩車站相距564 千米，兩列火車同時(shí)從兩站相對開出，經(jīng)6

11、 小時(shí)相遇。第一列火車比第二列火車每小時(shí)快2 千米。相遇時(shí)這兩列火車各行了多少千米？（適于五年級程度）解：兩列火車的速度和是：564 + 6=94 （千米/小時(shí)）第一列火車每小時(shí)行：（94+2 ） +2=48 （千米）第二列火車每小時(shí)行：48-2=46 （千米）相遇時(shí)，第一列火車行：48 X 6=288 （千米）第二列火車行：46 X 6=276 （千米）答略。2. 求相遇時(shí)間例 1 兩個(gè)城市之間的路程是500 千米， 一列客車和一列貨車同時(shí)從兩個(gè)城市相對開出，客車的平均速度是每小時(shí)55 千米，貨車的平均速度是每小時(shí)45 千米。兩車開了幾小時(shí)以后相遇？（適于五年級程度）解：已知兩個(gè)城市之間的路

12、程是 500千米，又知客車和貨車的速度，可求出兩 車的速度之和。用兩城之間的路程除以兩車的速度之和可以求出兩車相遇的時(shí)間。500 + （ 55+45 ）=500 + 100=5 （小時(shí)）答略。例2兩地之間的路程是420千米，一列客車和一列貨車同時(shí)從兩個(gè)城市相對開出，客車每小時(shí)行55千米，貨車每小時(shí)的速度是客車的辛，兩車開出后幾小時(shí)相遇？（適于六年級程度）解：本題i殳有直接告訴貨車的速度，可寸齷貨車的速度是客車的這一數(shù)量關(guān)系求出貨車的速度，然后再求兩車開出后JL小小目遇。420-（55+55x1）二 420+（55+50）= 420+ 105=4 （小時(shí)）答略。例3在一次戰(zhàn)役中，敵我雙方原來相距

13、 62.75千米。據(jù)偵察員報(bào)告，敵人已向 我處前進(jìn)了 11千米。我軍隨即出發(fā)迎擊，每小時(shí)前進(jìn) 6.5千米，敵人每小時(shí)前進(jìn)5 千米。我軍出發(fā)幾小時(shí)后與敵人相遇？（適于五年級程度）解：此題已給出總距離是62.75千米，由“敵人已向我處前進(jìn)了 11千米”可知 實(shí)際的總距離減少到（62.75-11 ）千米。（62.75-11 ） + （ 6.5+5 ）=51.75 +11.5=4.5 （小時(shí)）答：我軍出發(fā) 4.5 小時(shí)后與敵人相遇。例 4 甲、乙兩地相距200 千米，一列貨車由甲地開往乙地要行駛5 小時(shí)；一列客車由乙地開往甲地需要行駛4 小時(shí)。如果兩列火車同時(shí)從兩地相對開出，經(jīng)過幾小時(shí)可以相遇？（得數(shù)

14、保留一位小數(shù)）（適于五年級程度）解：此題用與平常說法不同的方式給出了兩車的速度。先分別求出速度再求和，根據(jù)“時(shí)間二路程+速度”的關(guān)系，即可求出相遇時(shí)間。200 + （ 200 + 5+200 + 4）=200 + （ 40+50 ）=200 + 90Q2.2 （小時(shí)）答：兩車大約經(jīng)過2.2 小時(shí)相遇。例 5 在復(fù)線鐵路上，快車和慢車分別從兩個(gè)車站開出，相向而行?？燔囓嚿黹L是 180 米，速度為每秒鐘 9 米；慢車車身長 210 米，車速為每秒鐘 6 米。從兩車頭相遇到兩車的尾部離開，需要幾秒鐘？（適于五年級程度）解：因?yàn)槭且詢绍囯x開為準(zhǔn)計(jì)算時(shí)間，所以兩車經(jīng)過的路程是兩個(gè)車身的總長?？傞L除以兩車

15、的速度和，就得到兩車從相遇到車尾離開所需要的時(shí)間。（180+210 ） + （9+6）=390 + 15=26 （秒）答略。3. 求速度例 1 甲、乙兩個(gè)車站相距550 千米，兩列火車同時(shí)由兩站相向開出， 5 小時(shí)相遇?？燔嚸啃r(shí)行60 千米。慢車每小時(shí)行多少千米？（適于五年級程度）解：先求出速度和，再從速度和中減去快車的速度，便得出慢車每小時(shí)行：550 - 5 -60=110-60=50 （千米）答略。例 2 A、 B 兩個(gè)城市相距380 千米?？蛙嚭拓涇噺膬蓚€(gè)城市同時(shí)相對開出，經(jīng)過 4 小時(shí)相遇。貨車比客車每小時(shí)快5 千米。這兩列車每小時(shí)各行多少千米？（適于五年級程度）解：客車每小時(shí)行：（

16、 380+4-5 ） +2=（95-5 ） +2=45 （千米）貨車每小時(shí)行：45+5=50 （千米）答略。例3甲、乙兩個(gè)城市相距980千米，兩列火車由兩城市同時(shí)相對開出， 經(jīng)過10 小時(shí)相遇?？燔嚸啃r(shí)行50千米，比慢車每小時(shí)多行多少千米？（適于五年級程度）解：兩城市的距離除以兩車相遇的時(shí)間， 得到兩車的速度和。從兩車的速度和中 減去快車的速度，得到慢車的速度。再用快車速度減去慢車的速度，即得到題中所求。50- （ 980+ 10-50 ）=50- （98-50 ）=50-48二2 （千米）答略。例4甲、乙兩地相距486千米，快車與慢車同時(shí)從甲、乙兩地相對開出，經(jīng)過6小時(shí)相遇。已知快車與慢車

17、的速度比是5 : 4。求快車和慢車每小時(shí)各行多少千米？ （適于六年級程度）解.快車與憬車速度之比是3； %快車速度是兩車速度之和的推，即小 慢車速度是兩年速度之和的 搭，即g口分別求出閡車的速度。兩車的速度和是：486 + 6=81 （千米/小時(shí)）快車每小時(shí)行：81 x 45 （千米）慢車每小時(shí)行：SIX 1 = 36 C千米）答略。例5兩輛汽車同時(shí)從相距465千米的兩地相對開出，4.5小時(shí)后兩車還相距120 千米。一輛汽車每小時(shí)行37千米。另一輛汽車每小時(shí)行多少千米？（適于五年級程 度）解：如果兩地間的距離減少120千米，4.5小時(shí)兩車正好相遇。也就是兩車 4.5 小時(shí)行465-120=34

18、5 千米，345千米除以4.5小時(shí)，可以求出兩車速度之和。從 速度之和減去一輛車的速度，得到另一輛車的速度。（465-120）4.5-37二 345 - 45-372-76-372 = 39：（千米）答略。例6甲、乙兩人從相距40千米的兩地相向而行。甲步行，每小時(shí)走5千米，先出發(fā)0.8小時(shí)。乙騎自行車，騎2小時(shí)后，兩人在某地相遇。乙騎自行車每小時(shí) 行多少千米？（適于五年級程度）解：兩人相遇時(shí)，甲共走：0.8+2=2.8 （小時(shí)）甲走的路程是：5X2.8=14 （千米）乙在2小時(shí)內(nèi)行的路程是：40-14=26 （千米）所以，乙每小時(shí)行：26+2=13 （千米）綜合算式：40- 5X （0.8+2

19、 ） +2=40-5X2.8 +2=40- 14 +2=26+2=13 （千米）答略。例 7 甲、乙二人從相距50 千米的兩地相對而行。甲先出發(fā)，每小時(shí)步行5 千米。 1 小時(shí)后乙騎自行車出發(fā)，騎了 2 小時(shí)，兩人相距11 千米。乙每小時(shí)行駛多少千米？（適于五年級程度）解：從相距的 50 千米中，去掉甲在1 小時(shí)內(nèi)先走的 5 千米，又去掉相隔的 11千米，便得到：50-5-11=34 （千米）這時(shí)， 原題就改變成“兩地相隔 34 千米， 甲、 乙二人分別從兩地同時(shí)相對而行。甲步行，乙騎自行車，甲每小時(shí)走5 千米。經(jīng)過2 小時(shí)兩人相遇。乙每小時(shí)行多少千米？”由此可知，二人的速度和是：34+2=1

20、7 （千米/小時(shí)）乙每小時(shí)行駛的路程是：17-5=12 （千米）綜合算式：（50-5-11 ）+2-5= 34 + 2 -5=17-5=12 （千米）答略。（二）追及問題追及問題的地點(diǎn)可以相同（如環(huán)形跑道上的追及問題），也可以不同，但方向一般是相同的。由于速度不同，就發(fā)生快的追及慢的問題。根據(jù)速度差、距離差和追及時(shí)間三者之間的關(guān)系，常用下面的公式：距離差=速度差X追及時(shí)間追及時(shí)間=距離差+速度差速度差二距離差+追及時(shí)間速度差 =快速 -慢速解題的關(guān)鍵是在互相關(guān)聯(lián)、互相對應(yīng)的距離差、速度差、追及時(shí)間三者之中，找出兩者，然后運(yùn)用公式求出第三者來達(dá)到解題目的。4. 1 甲、乙二人在同一條路上前后相距

21、9 千米。他們同時(shí)向同一個(gè)方向前進(jìn)。甲在前，以每小時(shí)5 千米的速度步行；乙在后，以每小時(shí)10 千米的速度騎自行車追趕甲。幾小時(shí)后乙能追上甲？（適于高年級程度）解：求乙?guī)仔r(shí)追上甲，先求乙每小時(shí)能追上甲的路程，是：10-5=5 （千米）再看，相差的路程9 千米中含有多少個(gè)5 千米，即得到乙?guī)仔r(shí)追上甲。9+5=1.8 （小時(shí)）綜合算式：9+ （10-5 ）=9 + 5=1.8 （小時(shí)）答略。*例 2 甲、乙二人在相距6 千米的兩地，同時(shí)同向出發(fā)。乙在前，每小時(shí)行5千米；甲在后，每小時(shí)的速度是乙的 1.2 倍。甲幾小時(shí)才能追上乙？（適于高年級程度）解：甲每小時(shí)行：5 X 1.2=6 （千米）甲每小

22、時(shí)能追上乙：6-5=1 （千米）相差的路程6 千米中，含有多少個(gè)1 千米，甲就用幾小時(shí)追上乙。6+1=6 （小時(shí)）答：甲 6 小時(shí)才能追上乙。*例 3 甲、 乙二人圍繞一條長400 米的環(huán)形跑道練習(xí)長跑。 甲每分鐘跑350 米，乙每分鐘跑250 米。二人從起跑線出發(fā)，經(jīng)過多長時(shí)間甲能追上乙？（適于高年級程度）解： 此題的運(yùn)動(dòng)路線是環(huán)形的。 求追上的時(shí)間是指快者跑一圈后追上慢者， 也就是平時(shí)所說的“落一圈”，這一圈相當(dāng)于在直線上的 400 米，也就是追及的路程。因此，甲追上乙的時(shí)間是：400 + （ 350-250 ）=400 + 100=4 （分鐘）答略。*例 4 在解放戰(zhàn)爭的一次戰(zhàn)役中， 我

23、軍偵察到敵軍在我軍南面6 千米的某地， 正以每小時(shí) 5.5 千米的速度向南逃竄，我軍立即以每小時(shí)8.5 千米的速度追擊敵人。在追上敵人后， 只用半小時(shí)就全殲敵軍。 從開始追擊到全殲敵軍， 共用了多長時(shí)間？（適于高年級程度）解：敵我兩軍行進(jìn)的速度差是：8.5-5.5=3 （千米 / 小時(shí)）我軍追上敵軍用的時(shí)間是：6+3=2 （小時(shí)）從開始追擊到全殲敵軍，共用的時(shí)間是：2+0.5=2.5 （小時(shí)）綜合算式：60+ （ 8.5-5.5 ） +0.5=6+ 3+0.5=2.5 （小時(shí)）答略。*例 5 一排解放軍從駐地出發(fā)去執(zhí)行任務(wù)， 每小時(shí)行 5 千米。 離開駐地 3 千米時(shí)，排長命令通訊員騎自行車回駐地取地圖。通訊員以每小時(shí)10 千米的速度回到駐地，取了地圖立即返回。通訊員從駐地出發(fā)，幾小時(shí)可以追上隊(duì)伍？（適于高年級程度）解：通訊員離開隊(duì)伍時(shí)，隊(duì)伍已離開駐地3 千米。通訊員的速度等于隊(duì)伍的 2倍（10+5=2）,通訊員返回到駐地時(shí)，隊(duì)伍又前進(jìn)了（3+2）千米。這樣，通訊員需追及的