中考數學復習專題：折疊問題

1、.2012年全國中考數學試題分類解析匯編(159套63專題）專題31：折疊問題一、選擇題1. （2012廣東梅州3分）如圖，在折紙活動中，小明制作了一張ABC紙片，點D、E分別是邊AB、AC上，將ABC沿著DE折疊壓平，A與A重合，若A=75°，則1+2=【 】A150°B210°C105°D75°【答案】A?！究键c】翻折變換（折疊問題），三角形內角和定理?！痉治觥緼DE是ABC翻折變換而成，AED=AED，ADE=ADE，A=A=75°。AED+ADE=AED+ADE=180°75°=105°，1+2=

2、360°2×105°=150°。故選A。2. （2012江蘇南京2分）如圖，菱形紙片ABCD中，A=600，將紙片折疊，點A、D分別落在A、D處，且AD經過B，EF為折痕，當DFCD時，的值為【 】A. B. C. D. 【答案】A?！究键c】翻折變換（折疊問題），菱形的性質，平行的性質，折疊的性質，銳角三角函數定義，特殊角的三角函數值?！痉治觥垦娱LDC與AD，交于點M，在菱形紙片ABCD中，A=60°，DCB=A=60°，ABCD。D=180°-A=120°。根據折疊的性質，可得ADF=D=120°，FD

3、M=180°-ADF=60°。DFCD，DFM=90°，M=90°-FDM=30°。BCM=180°-BCD=120°，CBM=180°-BCM-M=30°。CBM=M。BC=CM。設CF=x，DF=DF=y， 則BC=CM=CD=CF+DF=x+y。FM=CM+CF=2x+y，在RtDFM中，tanM=tan30°=，。故選A。3. （2012江蘇連云港3分）小明在學習“銳角三角函數”中發(fā)現，將如圖所示的矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC上的點E處，還原后，再沿過點E的直線折疊

4、，使點A落在BC上的點F處，這樣就可以求出67.5°角的正切值是【 】A1 B1 C2.5 D【答案】B?！究键c】翻折變換(折疊問題)，折疊的性質，矩形的性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，銳角三角函數定義，勾股定理?！痉治觥繉⑷鐖D所示的矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC上的點E處，ABBE，AEBEAB45°，還原后，再沿過點E的直線折疊，使點A落在BC上的點F處，AEEF，EAFEFA22.5°。FAB67.5°。設ABx，則AEEFx，an67.5°tanFABt。故選B。4. （2012廣東河源3分）如圖，在折紙活

5、動中，小明制作了一張ABC紙片，點D、E分別在邊AB、AC上，將ABC沿著DE折疊壓平，A與A重合若A75º，則12【 】A150º B210º C105º D75º【答案】A?！究键c】折疊的性質，平角的定義，多邊形內角和定理。【分析】根據折疊對稱的性質，AA75º。 根據平角的定義和多邊形內角和定理，得121800ADA1800AEA3600（ADAAEA）AA1500。故選A。5. （2012福建南平4分）如圖，正方形紙片ABCD的邊長為3，點E、F分別在邊BC、CD上，將AB、AD分別和AE、AF折疊，點B、D恰好都將在點G處，

6、已知BE=1，則EF的長為【 】A B C D3 【答案】B?！究键c】翻折變換（折疊問題），正方形的性質，折疊的性質，勾股定理?！痉治觥空叫渭埰珹BCD的邊長為3，C=90°，BC=CD=3。根據折疊的性質得：EG=BE=1，GF=DF。設DF=x，則EF=EGGF=1x，FC=DCDF=3x，EC=BCBE=31=2。在RtEFC中，EF2=EC2FC2，即（x1）2=22（3x）2，解得：。DF= ，EF=1。故選B。6. （2012湖北武漢3分）如圖，矩形ABCD中，點E在邊AB上，將矩形ABCD沿直線DE折疊，點A恰好落在邊BC的點F處若AE5，BF3，則CD的長是【 】A

7、7 B8 C9 D10【答案】C?！究键c】折疊的性質，矩形的性質，勾股定理?！痉治觥扛鶕郫B的性質，EF=AE5；根據矩形的性質，B=900。 在RtBEF中，B=900，EF5，BF3，根據勾股定理，得。CD=AB=AEBE=54=9。故選C。7. （2012湖北黃石3分）如圖所示，矩形紙片ABCD中，AB=6cm，BC=8 cm，現將其沿EF對折，使得點C與點A重合，則AF長為【 】A.B.C.D. 【答案】B?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊對稱的性質，矩形的性質，勾股定理。【分析】設AF=xcm，則DF=（8-x）cm，矩形紙片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，現將其沿EF對折

8、，使得點C與點A重合，DF=DF，在RtADF中，AF2=AD2DF2，即x2=62（8x）2，解得：x=。故選B。8. （2012湖北荊門3分）如圖，已知正方形ABCD的對角線長為2，將正方形ABCD沿直線EF折疊，則圖中陰影部分的周長為【 】A 8 B 4C 8 D 6【答案】C?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊的對稱性質，正方形的性質，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，正方形ABCD的對角線長為2，即BD=2，A=90°，AB=AD，ABD=45°，AB=BDcosABD=BDcos45°=2。AB=BC=CD=AD=2。由折疊的性質：AM=AM，DN=DN，AD=

9、AD，圖中陰影部分的周長為AM+BM+BC+CN+DN+AD=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8。故選C。9. （2012四川內江3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5點E、F分別在AB、CD上，將矩形ABCD沿EF折疊，使點A、D分別落在矩形ABCD外部的點A1、D1處，則陰影部分圖形的周長為【 】A.15 B.20 C.25 D.30【答案】D?！究键c】翻折變換（折疊問題），矩形和折疊的性質。【分析】根據矩形和折疊的性質，得A1E=AE，A1D1=AD，D1F=DF，則陰影部分的周長即為矩形的周長，為2（10+5）=30。故選D。10

10、. （2012四川資陽3分）如圖，在ABC中，C90°，將ABC沿直線MN翻折后，頂點C恰好落在AB邊上的點D處，已知MNAB，MC6，NC，則四邊形MABN的面積是【 】A BCD【答案】C?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊對稱的性質，相似三角形的判定和性質，【分析】連接CD，交MN于E，將ABC沿直線MN翻折后，頂點C恰好落在AB邊上的點D處，MNCD，且CE=DE。CD=2CE。MNAB，CDAB。CMNCAB。在CMN中，C=90°，MC=6，NC= ，。故選C。11. （2012貴州黔東南4分）如圖，矩形ABCD邊AD沿拆痕AE折疊，使點D落在BC上的F處，已知

11、AB=6，ABF的面積是24，則FC等于【 】A1 B2 C3 D4【答案】B?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊的性質，矩形的性質，勾股定理?！痉治觥坑伤倪呅蜛BCD是矩形與AB=6，ABF的面積是24，易求得BF的長，然后由勾股定理，求得AF的長，根據折疊的性質，即可求得AD，BC的長，從而求得答案：四邊形ABCD是矩形，B=90°，AD=BC。AB=6，SABF=ABBF=×6×BF=24。BF=8。由折疊的性質：AD=AF=10，BC=AD=10。FC=BCBF=108=2。故選B。12. （2012貴州遵義3分）如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將A

12、BE沿BE折疊后得到GBE，延長BG交CD于F點，若CF=1，FD=2，則BC的長為【 】ABCD【答案】B?！究键c】翻折變換（折疊問題），矩形的性質和判定，折疊對稱的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理?！痉治觥窟^點E作EMBC于M，交BF于N。四邊形ABCD是矩形，A=ABC=90°，AD=BC，EMB=90°，四邊形ABME是矩形。AE=BM，由折疊的性質得：AE=GE，EGN=A=90°，EG=BM。ENG=BNM，ENGBNM（AAS）。NG=NM。E是AD的中點，CM=DE，AE=ED=BM=CM。EMCD，BN：NF=BM：CM。BN=NF。NM=

13、CF=。NG=。BG=AB=CD=CF+DF=3，BN=BGNG=3。BF=2BN=5。故選B。13. （2012山東泰安3分）如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點B與CD的中點重合，若AB=2，BC=3，則FCB與BDG的面積之比為【 】A9：4B3：2C4：3D16：9【答案】D。【考點】翻折變換（折疊問題），折疊對稱的性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質?！痉治觥吭OBF=x，則由BC=3得：CF=3x，由折疊對稱的性質得：BF=x。點B為CD的中點，AB=DC=2，BC=1。在RtBCF中，BF2=BC2+CF2，即，解得：，即可得CF=。DBG=DGB=90°，DBG+

14、CBF=90°，DGB=CBF。RtDBGRtCFB。根據面積比等于相似比的平方可得： 。故選D。14. （2012山東濰坊3分）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一點E，沿AE將ABE向上折疊，使B點落在AD上的F點，若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD=【 】 A B C . D2【答案】B?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊的性質，矩形的性質，正方形的判定和性質，相似多邊形的性質。【分析】矩形ABCD中，AF由AB折疊而得，ABEF是正方形。又AB=1，AF= AB=EF=1。設AD=x，則FD=x1。四邊形EFDC與矩形ABCD相似，即。解得，（負值舍去）。經檢驗

15、是原方程的解。故選B。15. （2012廣西河池3分）如圖，在矩形ABCD中，ADAB，將矩形ABCD折疊，使點C與點A重合，折痕為MN，連結CN若CDN的面積與CMN的面積比為14，則 的值為【 】A2B4 CD【答案】D。【考點】翻折變換（折疊問題），折疊的性質，矩形、菱形的判定和性質，勾股定理?！痉治觥窟^點N作NGBC于G，由四邊形ABCD是矩形，易得四邊形CDNG是矩形，又由折疊的性質，可得四邊形AMCN是菱形，由CDN的面積與CMN的面積比為1：4，根據等高三角形的面積比等于對應底的比，可得DN：CM=1：4，然后設DN=x，由勾股定理可求得MN的長，從而求得答案： 過點N作NGBC

16、于G，四邊形ABCD是矩形，四邊形CDNG是矩形，ADBC。CD=NG，CG=DN，ANM=CMN。由折疊的性質可得：AM=CM，AMN=CMN，ANM=AMN。AM=AN。AM=CM，四邊形AMCN是平行四邊形。AM=CM，四邊形AMCN是菱形。CDN的面積與CMN的面積比為1：4，DN：CM=1：4。設DN=x，則AN=AM=CM=CN=4x，AD=BC=5x，CG=x。BM=x，GM=3x。在RtCGN中，在RtMNG中，。故選D。16. （2012河北省3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，A=70°，將平行四邊形折疊，使點D、C分別落在點F、E處（點F、E都在AB所在的直線上

17、），折痕為MN，則AMF等于【 】A70° B40° C30° D20°【答案】B?！究键c】翻折變換（折疊問題），平行四邊形的性質，平行線的性質，平角的定義?！痉治觥克倪呅蜛BCD是平行四邊形，ABCD。根據折疊的性質可得：MNAE，FMN=DMN，ABCDMN。A=70°，FMN=DMN=A=70°。AMF=180°DMNFMN=180°70°70°=40°。故選B。17. （2012青海西寧3分）折紙是一種傳統(tǒng)的手工藝術，也是每一個人從小就經歷的事，它是一種培養(yǎng)手指靈活性、協調能力

18、的游戲，更是培養(yǎng)智力的一種手段在折紙中，蘊涵許多數學知識，我們還可以通過折紙驗證數學猜想把一張直角三角形紙片按照圖的過程折疊后展開，請選擇所得到的數學結論【 】A角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等B在直角三角形中，如果一個銳角等于30º，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半C直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半D如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形【答案】C?！究键c】翻折變換（折疊問題）?！痉治觥咳鐖D，CDE由ADE翻折而成，AD=CD。如圖，DCF由DBF翻折而成，BD=CD。AD=BD=CD，點D是AB的中點。CD=AB，即直角三角形斜邊上的中線等于斜邊

19、的一半。故選C。二、填空題1. （2012上海市4分）如圖，在RtABC中，C=90°，A=30°，BC=1，點D在AC上，將ADB沿直線BD翻折后，將點A落在點E處，如果ADED，那么線段DE的長為 【答案】?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊對稱的性質，銳角三角函數定義，特殊角的三角函數值，三角形內角和定理，等腰三角形的判定和性質?！痉治觥吭赗tABC中，C=90°，A=30°，BC=1，。將ADB沿直線BD翻折后，將點A落在點E處，ADB=EDB，DE=AD。ADED，CDE=ADE=90°，EDB=ADB=。CDB=EDBCDE=135

20、°90°=45°。C=90°，CBD=CDB=45°。CD=BC=1。DE=AD=ACCD=。2. （2012浙江麗水、金華4分）如圖，在等腰ABC中，ABAC，BAC50°BAC的平分線與AB的中垂線交于點O，點C沿EF折疊后與點O重合，則CEF的度數是 【答案】50°。【考點】翻折變換(折疊問題)，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，線段垂直平分線的判定和性質?！痉治觥坷萌热切蔚呐卸ㄒ约按怪逼椒志€的性質得出OBC40°，以及OBCOCB40°，再利用翻折變換的性質得出EOEC，CEFFEO，進而

21、求出即可：連接BO，ABAC，AO是BAC的平分線，AO是BC的中垂線。BOCO。BAC50°，BAC的平分線與AB的中垂線交于點O，OABOAC25°。等腰ABC中， ABAC，BAC50°，ABCACB65°。OBC65°25°40°。OBCOCB40°。點C沿EF折疊后與點O重合，EOEC，CEFFEO。CEFFEO（18002×400）÷250°。3. （2012浙江紹興5分）如圖，在矩形ABCD中，點E，F分別在BC，CD上，將ABE沿AE折疊，使點B落在AC上的點B處，又將

22、CEF沿EF折疊，使點C落在EB與AD的交點C處則BC：AB的值為 ?！敬鸢浮俊！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊的性質，矩形的性質，平行的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，銳角三角函數定義，特殊角的三角函數值。【分析】連接CC，將ABE沿AE折疊，使點B落在AC上的點B處，又將CEF沿EF折疊，使點C落在EB與AD的交點C處,EC=EC，ECC=ECC，DCC=ECC，ECC=DCC.CC是EC'D的平分線。CBC=D=90°，CC=CC，CBCCDC（AAS）。CB=CD。又AB=AB，B是對角線AC中點，即AC=2AB。ACB=30°。tanAC

23、B=tan30°=。BC：AB=。4. （2012浙江臺州5分）如圖，將正方形ABCD沿BE對折，使點A落在對角線BD上的A處，連接AC，則BAC= 度【答案】67.5?！究键c】折疊問題，折疊的對稱性質，正方形的性質，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質，三角形內角和定理，平角定義?！痉治觥坑烧郫B的對稱和正方形的性質，知ABEABE，BEA=67.50，ADE是等腰直角三角形。 設AE=AE=AD =x，則ED=。設CD=y，則BD=。 。 又EDA=ADC=450，EDAADC。DAC=DEA=67.50450=112.50。 BAC=1800112.50=

24、67.50。5. （2012江蘇宿遷3分）如圖，將一張矩形紙片ABCD沿EF折疊，使頂點C，D分別落在點C，D處，CE交AF于點G.若CEF=70°，則GFD= °.【答案】40?！究键c】折疊問題矩形的性質，平行的性質?！痉治觥扛鶕郫B的性質，得DFE=DFE。ABCD是矩形，ADBC。GFE=CEF=70°，DFE=1800CEF=110°。GFD=DFEGFE=110°70°=40°。6. （2012江蘇鹽城3分）如圖,在ABC中，D,、E分別是邊AB、AC的中點, B=50°º.現將ADE沿DE折疊

25、，點A落在三角形所在平面內的點為A1,則BDA1的度數為 °.【答案】80?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊對稱的性質，三角形中位線定理，平行的性質?！痉治觥緿、E分別是邊AB、AC的中點，DEBC（三角形中位線定理）。ADE=B=50°（兩直線平行，同位角相等）。又ADE=A1DE（折疊對稱的性質），A1DA=2B。BDA1=180°2B=80°。7. （2012江蘇揚州3分）如圖，將矩形ABCD沿CE折疊，點B恰好落在邊AD的F處，如果，那么tanDCF的值是【答案】?！究键c】翻折變換(折疊問題)，翻折對稱的性質，矩形的性質，勾股定理，銳角三角函數

26、定義?！痉治觥克倪呅蜛BCD是矩形，ABCD，D90°，將矩形ABCD沿CE折疊，點B恰好落在邊AD的F處，CFBC，。設CD2x，CF3x，。tanDCF。8. （2012湖北荊州3分）如圖，已知正方形ABCD的對角線長為2，將正方形ABCD沿直線EF折疊，則圖中陰影部分的周長為 【答案】8?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊的對稱性質，正方形的性質，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，正方形ABCD的對角線長為2，即BD=2，A=90°，AB=AD，ABD=45°，AB=BDcosABD=BDcos45°=2。AB=BC=CD=AD=2。由折疊的性質：AM=AM

27、，DN=DN，AD=AD，圖中陰影部分的周長為AM+BM+BC+CN+DN+AD=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8。9. （2012湖南岳陽3分）如圖，在RtABC中，B=90°，沿AD折疊，使點B落在斜邊AC上，若AB=3，BC=4，則BD= 【答案】?！究键c】翻折變換（折疊問題）。1052629【分析】如圖，點E是沿AD折疊，點B的對應點，連接ED，AED=B=90°，AE=AB=3，在RtABC中，B=90°，AB=3，BC=4，。EC=ACAE=53=2。設BD=ED=x，則CD=BCBD=4x，在RtCDE中

28、，CD2=EC2+ED2，即：（4x）2=x2+4，解得：x=。BD=。10. （2012四川達州3分）將矩形紙片ABCD，按如圖所示的方式折疊，點A、點C恰好落在對角線BD上，得到菱形BEDF.若BC=6，則AB的長為 .【答案】?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊的性質，菱形和矩形的性質，勾股定理?！痉治觥吭OBD與EF交于點O。四邊形BEDF是菱形，OB=OD=BD。四邊形ABCD是矩形，C=90°。 設CD=x，根據折疊的性質得：OB=OD= CD=x，即BD=2x，在RtBCD中，BC2+CD2=BD2，即62+x2=（2x）2，解得：x=。AB=CD=。11. （2012貴

29、州黔西南3分）把一張矩形紙片（矩形ABCD）按如圖方式折疊，使頂點B和點D重合，折痕為EF，若AB3cm，BC5cm，則重疊部分DEF的面積為 cm 2。【答案】。【考點】折疊問題，折疊的性質，矩形的性質，勾股定理?！痉治觥吭OED=x，則根據折疊和矩形的性質，得AE=AE=5x，AD=AB=3。根據勾股定理，得，即，解得。 （cm 2）。12. （2012河南省5分）如圖，在RtABC中，C=900，B=300，BC=3，點D是BC邊上一動點（不與點B、C重合），過點D作DEBC交AB邊于點E，將B沿直線DE翻折，點B落在射線BC上的點F處，當AEF為直角三角形時，BD的長為 【答案】1或2。

30、13. （2012內蒙古包頭3分）如圖，將ABC 紙片的一角沿DE向下翻折，使點A 落在BC 邊上的A 點處，且DEBC ，下列結論：AEDC； BC= 2DE ；。其中正確結論的個數是個。【答案】4?！究键c】折疊問題，折疊對稱的性質，平行線的性質，等腰三角形的判定和性質，直角三角形兩銳角的關系，三角形中位線定理，全等、相似三角形的判定和性質。【分析】DEBC，根據兩直線平行，同位角相等，得AEDC。正確。根據折疊對稱的性質，A D=AD，A E=AE。DEBC，根據兩直線分線段成比例定理，得。正確。連接A A ，根據折疊對稱的性質，A，A 關于DE對稱。A A DE。DEBC，A A BC。

31、A D=AD，DA A D A A。DB A D A B。BD= A D。BD=AD。DE是ABC的中位線。BC= 2DE。正確。DEBC，ABCADE。由BC= 2DE，。根據折疊對稱的性質，ADEADE。，即。正確。綜上所述，正確結論的個數是4個。14. （2012黑龍江綏化3分）長為20，寬為a的矩形紙片（10a20），如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于此時矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形為正方形，則操作停止當n=3時，a的值為 .【答案】12或15。【考點】

32、翻折變換（折疊問題），正方形和矩形的性質，剪紙問題，分類歸納（圖形的變化類）。【分析】根據操作步驟，可知每一次操作時所得正方形的邊長都等于原矩形的寬所以首先需要判斷矩形相鄰的兩邊中，哪一條邊是矩形的寬。當10a20時，矩形的長為20，寬為a，所以，第一次操作時，所得正方形的邊長為a，剩下的矩形相鄰的兩邊分別為20a，a。第二次操作時，由20aa可知所得正方形的邊長為20a，剩下的矩形相鄰的兩邊分別為20a，a（20a）=2a20。（20a）（2a20）=403a，20a與2a20的大小關系不能確定，需要分情況進行討論。第三次操作時，當20a2a20時，所得正方形的邊長為2a20，此時，20a（

33、2a20）=403a，此時剩下的矩形為正方形，由403a=2a20得a=12。當2a2020a時，所得正方形的邊長為20a，此時，2a20（20a）=3a40，此時剩下的矩形為正方形，由3a40=20a得a=15。故答案為12或15。15. （2012黑龍江黑河、大興安嶺、雞西3分）如圖所示，沿DE折疊長方形ABCD的一邊，使點C落在AB邊上的點F處，若AD=8，且AFD的面積為60，則DEC的 面積為 【答案】?！究键c】翻折變換（折疊問題），矩形的性質，折疊對稱的性質，勾股定理?！痉治觥克倪呅蜛BCD是矩形，A=B=90°，BC=AD=8，CD=AB。AFD的面積為60，即ADAF

34、=60，解得：AF=15。由折疊的性質，得：CD=CF=17。AB=17。BF=ABAF=1715=2。設CE=x，則EF=CE=x，BE=BCCE=8x，在RtBEF中，EF2=BF2BE2，即x2=22（8x）2，解得：x=，即CE=，DEC的面積為： CDCE=×17×。三、解答題1. （2012天津市10分）已知一個矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標系中，點A（11，0），點B（0，6），點P為BC邊上的動點（點P不與點B、C重合），經過點O、P折疊該紙片，得點B和折痕OP設BP=t（）如圖，當BOP=300時，求點P的坐標；（）如圖，經過點P再次折疊紙片

35、，使點C落在直線PB上，得點C和折痕PQ，若AQ=m，試用含有t的式子表示m；（）在（）的條件下，當點C恰好落在邊OA上時，求點P的坐標（直接寫出結果即可）【答案】解：（）根據題意，OBP=90°，OB=6。在RtOBP中，由BOP=30°，BP=t，得OP=2t。OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=，t2=（舍去）點P的坐標為（ ，6）。（）OBP、QCP分別是由OBP、QCP折疊得到的，OBPOBP，QCPQCP。OPB=OPB，QPC=QPC。OPB+OPB+QPC+QPC=180°，OPB+QPC=90°。BOP+OPB

36、=90°，BOP=CPQ。又OBP=C=90°，OBPPCQ。由題意設BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，則PC=11t，CQ=6m。（0t11）。（）點P的坐標為（，6）或（，6）?！究键c】翻折變換（折疊問題），坐標與圖形性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質?！痉治觥浚ǎ└鶕}意得，OBP=90°，OB=6，在RtOBP中，由BOP=30°，BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。 （）由OBP、QCP分別是由OBP、QCP折疊得到的，可知OBPOBP，QCPQCP，易證得OBPPCQ

37、，然后由相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案。（）首先過點P作PEOA于E，易證得PCECQA，由勾股定理可求得CQ的長，然后利用相似三角形的對應邊成比例與，即可求得t的值： 過點P作PEOA于E，PEA=QAC=90°。PCE+EPC=90°。PCE+QCA=90°，EPC=QCA。PCECQA。PC=PC=11t，PE=OB=6，AQ=m，CQ=CQ=6m，。，即，即。將代入，并化簡，得。解得：。點P的坐標為（，6）或（，6）。2. （2012海南省11分）如圖（1），在矩形ABCD中，把B、D分別翻折，使點B、D分別落在對角線BC上的點E、F處，折痕分別為

38、CM、AN.（1）求證：ANDCBM.（2）請連接MF、NE，證明四邊形MFNE是平行四邊形，四邊形MFNE是菱形嗎.請說明理由.（3）P、Q是矩形的邊CD、AB上的兩點，連結PQ、CQ、MN，如圖（2）所示，若PQ=CQ，PQMN。且AB=4，BC=3，求PC的長度.【答案】（1）證明：四邊形ABCD是矩形，D=B，AD=BC，ADBC。 DAC=BCA。 又由翻折的性質，得DAN=NAF，ECM=BCM，DAN=BCM。 ANDCBM（ASA）。（2）證明：ANDCBM，DN=BM。 又由翻折的性質，得DN=FN，BM=EM， FN=EM。 又NFA=ACDCNF=BACEMA=MEC，

39、FNEM。四邊形MFNE是平行四邊形。四邊形MFNE不是菱形，理由如下：由翻折的性質，得CEM=B=900，在EMF中，FEMEFM。FMEM。四邊形MFNE不是菱形。（3）解：AB=4，BC=3，AC=5。 設DN=x，則由SADC=SANDSNAC得3 x5 x=12，解得x=，即DN=BM=。過點N作NHAB于H，則HM=43=1。在NHM中，NH=3，HM=1，由勾股定理，得NM=。PQMN，DCAB，四邊形NMQP是平行四邊形。NP=MQ，PQ= NM=。又PQ=CQ，CQ=。在CBQ中，CQ=，CB=3，由勾股定理，得BQ=1。NP=MQ=。PC=4=2?！究键c】翻折問題，翻折的性

40、質，矩形的性質，平行的性質，全等三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，菱形的判定，勾股定理?！痉治觥浚?）由矩形和翻折對稱的性質，用ASA即可得到ANDCBM。 （2）根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定即可證明。 （3）設DN=x，則由SADC=SANDSNAC可得DN=BM=。過點N作NHAB于H，則由勾股定理可得NM=，從而根據平行四邊形的性質和已知PQ=CQ，即可求得CQ=。因此，在CBQ中，應用勾股定理求得BQ=1。從而求解。3. （2012廣東省9分）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8把BCD沿對角線BD折疊，使點C落在C處，BC交AD于點G；E、F分

41、別是CD和BD上的點，線段EF交AD于點H，把FDE沿EF折疊，使點D落在D處，點D恰好與點A重合（1）求證：ABGCDG；（2）求tanABG的值；（3）求EF的長【答案】（1）證明：BDC由BDC翻折而成， C=BAG=90°，CD=AB=CD，AGB=DGC，ABG=ADE。在ABGCDG中，BAG=C，AB= CD，ABG=AD C，ABGCDG（ASA）。（2）解：由（1）可知ABGCDG，GD=GB，AG+GB=AD。設AG=x，則GB=8x，在RtABG中，AB2+AG2=BG2，即62+x2=（8x）2，解得x=。（3）解：AEF是DEF翻折而成，EF垂直平分AD。H

42、D=AD=4。tanABG=tanADE=。EH=HD×=4×。EF垂直平分AD，ABAD，HF是ABD的中位線。HF=AB=×6=3。EF=EH+HF=。【考點】翻折變換（折疊問題），翻折變換的性質，矩形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，銳角三角函數定義，三角形中位線定理?！痉治觥浚?）根據翻折變換的性質可知C=BAG=90°，CD=AB=CD，AGB=DGC，故可得出結論。（2）由（1）可知GD=GB，故AG+GB=AD，設AG=x，則GB=8-x，在RtABG中利用勾股定理即可求出AG的長，從而得出tanABG的值。（3）由AEF是DEF翻

43、折而成可知EF垂直平分AD，故HD=AD=4，再根據tanABG的值即可得出EH的長，同理可得HF是ABD的中位線，故可得出HF的長，由EF=EH+HF即可得出結果。4. （2012廣東深圳8分）如圖，將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點C與點A重合，折痕交AD于點E、交BC于點F，連接AF、CE.(1)求證：四邊形AFCE為菱形；(2)設AE=a，ED=b，DC=c.請寫出一個a、b、c三者之間的數量關系式【答案】（1）證明：四邊形ABCD是矩形，ADBC，AEF=EFC。由折疊的性質，可得：AEF=CEF，AE=CE，AF=CF，EFC=CEF。CF=CE。AF=CF=CE=AE。四邊形AF

44、CE為菱形。（2）解：a、b、c三者之間的數量關系式為：a2=b2+c2。理由如下：由折疊的性質，得：CE=AE。四邊形ABCD是矩形，D=90°。AE=a，ED=b，DC=c，CE=AE=a。在RtDCE中，CE2=CD2+DE2，a、b、c三者之間的數量關系式可寫為：a2=b2+c2?！究键c】翻折變換（折疊問題），矩形的性質，折疊的性質，平等的性質，菱形的判定，勾股定理?！痉治觥浚?）由矩形ABCD與折疊的性質，易證得CEF是等腰三角形，即CE=CF，即可證得AF=CF=CE=AE，即可得四邊形AFCE為菱形。（2）由折疊的性質，可得CE=AE=a，在RtDCE中，利用勾股定理即

45、可求得：a、b、c三者之間的數量關系式為：a2=b2+c2。（答案不唯一）5. （2012廣東珠海9分） 已知，AB是O的直徑，點P在弧AB上（不含點A、B），把AOP沿OP對折，點A的對應點C恰好落在O上（1）當P、C都在AB上方時（如圖1），判斷PO與BC的位置關系（只回答結果）；（2）當P在AB上方而C在AB下方時（如圖2），（1）中結論還成立嗎.證明你的結論；（3）當P、C都在AB上方時（如圖3），過C點作CD直線AP于D，且CD是O的切線，證明：AB=4PD【答案】解：（1）PO與BC的位置關系是POBC。（2）（1）中的結論POBC成立。理由為：由折疊可知：APOCPO，APO=C

46、PO。又OA=OP，A=APO。A=CPO。又A與PCB都為所對的圓周角，A=PCB。CPO=PCB。POBC。（3）證明：CD為圓O的切線，OCCD。又ADCD，OCAD。APO=COP。由折疊可得：AOP=COP，APO=AOP。又OA=OP，A=APO。A=APO=AOP。APO為等邊三角形。AOP=60°。又OPBC，OBC=AOP=60°。又OC=OB，BC為等邊三角形。COB=60°。POC=180°（AOP+COB）=60°。又OP=OC，POC也為等邊三角形。PCO=60°，PC=OP=OC。又OCD=90°

47、，PCD=30°。在RtPCD中，PD=PC，又PC=OP=AB，PD=AB，即AB=4PD?！究键c】折疊的性質，圓心角、弧、弦的關系，圓周角定理，平行的判定和性質，切線的性質，全等三角形的性質，等腰三角形的性質，等邊三角形的判定和性質，含30度角的直角三角形的性質。6. （2012福建龍巖12分）如圖1，過ABC的頂點A作高AD，將點A折疊到點D（如圖2），這時EF為折痕，且BED和CFD都是等腰三角形，再將BED和CFD沿它們各自的對稱軸EH、FG折疊，使B、C兩點都與點D重合，得到一個矩形EFGH（如圖3），我們稱矩形EFGH為ABC的邊BC上的折合矩形 （1）若ABC的面積為

48、6，則折合矩形EFGH的面積為；（2）如圖4，已知ABC，在圖4中畫出ABC的邊BC上的折合矩形EFGH；（3）如果ABC的邊BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a，那么，BC邊上的高AD=，正方形EFGH的對角線長為【答案】解：（1）3。 （2）作出的折合矩形EFGH：（3）2a ； 。 【考點】新定義，折疊問題，矩形和正方形的性質，勾股定理。 【分析】（1）由折疊對稱的性質，知折合矩形EFGH的面積為ABC的面積的一半， （2）按題意，作出圖形即可。 （3）由如果ABC的邊BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a，那么，正方形邊長為a，BC邊上的高AD為EFGH邊長的兩倍2a

49、。 根據勾股定理可得正方形EFGH的對角線長為。 7. （2012福建龍巖13分）矩形ABCD中，AD=5，AB=3，將矩形ABCD沿某直線折疊，使點A的對應點A落在線段BC上，再打開得到折痕EF （1）當A與B重合時（如圖1），EF=；當折痕EF過點D時（如圖2），求線段EF的長； （2）觀察圖3和圖4，設BA=x，當x的取值范圍是時，四邊形AEAF是菱形；在的條件下，利用圖4證明四邊形AEAF是菱形【答案】解：(1)5。 由折疊（軸對稱）性質知AD=AD=5，A=EAD=900。 在RtADC中，DC=AB=2， 。AB=BCAC=54=1。 EABBEA=EABFAC=900，BEA=F

50、AC。 又 B=C=900，RtEBARtACF。，即 。在RtAEF中，。 （2）。 證明：由折疊（軸對稱）性質知AEF=FEA，AE=AE，AF=AF。 又 ADBC，AFE=FEA 。AEF=AFE 。 AE=AF。AE=AE=AF=AF。四邊形AEAF是菱形。【考點】折疊的性質，矩形的性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質，平行的性質，等腰三角形的性質，菱形的判定?！痉治觥?1)根據折疊和矩形的性質，當A與B重合時（如圖1），EF= AD=5。 根據折疊和矩形的性質，以及勾股定理求出AB、AF和FC的長，由RtEBARtACF求得，在RtAEF中，由勾股定理求得EF的長。 （2）由圖3

51、和圖4可得，當時，四邊形AEAF是菱形。 由折疊和矩形的性質，可得AE=AE，AF=AF。由平行和等腰三角形的性質可得AE=AF。從而AE=AE=AF=AF。根據菱形的判定得四邊形AEAF是菱形。8. （2012湖北恩施8分）如圖，用紙折出黃金分割點：裁一張正方的紙片ABCD，先折出BC的中點E，再折出線段AE，然后通過折疊使EB落到線段EA上，折出點B的新位置B，因而EB=EB類似地，在AB上折出點B使AB=AB這是B就是AB的黃金分割點請你證明這個結論【答案】證明：設正方形ABCD的邊長為2，E為BC的中點，BE=1。又BE=BE=1，AB=AEBE=1。又AB=AB，AB=1。點B是線段AB的黃金分割點?！究键c】翻折（折疊）問題，正方形的性質，勾股定理，折疊對稱的性質，黃金分割?！痉治觥吭O正方形ABCD的邊長為2，根據勾股定理求出AE的長，再根據E為BC的中點和翻折不變性，求出AB的長，二者相比即可得到黃金比。9. （2012湖北天門、仙桃、潛江、江漢油田12分）如圖，拋物線y=ax2+bx+2交x軸于A（1，0），B（4，0）兩點，交y軸于點C，與過點C且平行于x軸的直線交于另一點D，點P是拋物線上一動點（1）求拋物線解析式及點D坐標；（2）點E在x軸上，若以A，E，D，P為頂點的四邊形是平行四邊形，求此時點P的