10個(gè)導(dǎo)數(shù)題極值點(diǎn)的偏移

1、極值點(diǎn)偏移的問題1.已知f(x)=lnx-ax,(a為常數(shù))(1若函數(shù)“刈在*=1處的切線與洋由平行，求a的值;1(2)當(dāng)a=1時(shí)，試比較f(m)與f()的大小;m(3)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,證明：x1,x2e2變式：已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2,a為常數(shù)。(1)討論f(x)的單調(diào)性；若有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,，試證明：x1x2e.2 .已知f(x)=x2+ax+sin葭,xw(0,1);(1)若f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；(2)當(dāng)a=-2時(shí)，記f(x)取得極小值為f(x0)若f(x1)=f(x2)，求證x1+x22x0.3.已知f(x)=lnx-ax2+x,(awR

2、)2(1)若f(1)=0,求函數(shù)f(x)的最大值；(2)令g(x)=f(x)-(ax1),求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若a=-2,正實(shí)數(shù)為，x2，滿足f(x)十f(x2)+x1x2=0,證明：為十x2至，5上14.設(shè)a0,函數(shù)f(x)=lnx-ax,g(x)=lnx-(1)證明:當(dāng)xi時(shí)，g(x)0恒成立;(2)若函數(shù)f(x)無零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)相異零點(diǎn)x1,x2,求證：x1x2e25 .已知f(x)=|x2aalnx,常數(shù)awR。(1求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,且x1：x2;(i)指出a的取值范圍，并說明理由；(ii)求證：

3、XIx28a36.設(shè)函數(shù) f(x)=exax+a(a 亡 R R),其圖象與x軸交于 A(x1，0),B,0)兩點(diǎn)，且x10,則函數(shù) f(x)是單調(diào)增函數(shù)，這與題設(shè)矛盾.所以 a0,令fx)=0,則x=lna.當(dāng)xlna時(shí)，f(x)0,f(x)是單調(diào)增函數(shù)；于是當(dāng)x=Ina時(shí)，f(x)取得極小值.因?yàn)楹瘮?shù) f(x)=exax+a(aRR R)的圖象與x軸交于兩點(diǎn) A(x1，0),B(x2,0)(x1x2),所以 f(Ina)=a(2-Ina)e2.此時(shí)，存在 10;存在 3lnalna,f(3lna)=a3-3aIna+aa3-3a2+a0,又由 f(x)在(-oo,Ina)及(Ina,十 a

4、)上的單調(diào)性及曲線在 R 上不間斷，可知 ae2為所求取值范圍.(2)因?yàn)?F 一叫+”0，兩式相減得a=戌-ax2+a=0,x2x1x，xx1隊(duì)Yyy-f-y12x222_r記_=3($:0),貝 Ufx_2ye-e-e-=e-2s-(es-e)I,設(shè) 22x2-x12s-g(s)=2s(ese。，則 gr(s)=2-(es+e)0,所以 g(s)是單調(diào)減函數(shù)，x1x2則有 g(s)0,所以 f一；x2)0.又 f(x)=exa 是單調(diào)增函數(shù)，且 x2X2xx所以 f(7x1x2)0=x1(i=1,2).xi與于是 e=aj(xi1)(X2-1),在等腰三角形 ABC 中，顯然 Cx1-x?

5、X0=-2w(x1,x2),即 yo=f(x0)g(x)(出)如果x1=x2,且f(xj=f(x2),證明x1+x22(i)解：f(x)=f(1x)e”令 f(x)=0,解得 x=1當(dāng) x 變化時(shí)，f(x),f(x)的變化情況如下表X(-0,1)1(1,f(x)+0一f(x)極大值所以 f(x)在(一的,1)內(nèi)是增函數(shù)，在(1,+皿)內(nèi)是減函數(shù)。1函數(shù) f(x)在 x=1 處取得極大值 f(1)且 f(1)=e(n)證明：由題意可知 g(x)=f(2-x),得 g(x)=(2-x)ex令 F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=xe/十(x_2)ex/2x2x于是F(x)=(x-1)(e-1

6、)e當(dāng) x1 時(shí)，2x-20,從而e2x-2-10,又e/0,所以F(x)0,從而函數(shù) F(x)在1,+)是增函數(shù)。又 F(1)=e-1-e-1=0,所以x1時(shí),有 F(x)F(1)=0,即 f(x)g(x).m)證明：(1)若(x11)(x21)=0，由(D及f(x1)=f(x2)，則x1=x2=1.與x1豐*2矛盾。(2)若(x11)(x2-1)A0,由(D及f(x1)=f(x2),彳導(dǎo)x1=x2.與x1#x2矛盾。根據(jù)(1)(2)得(x11)(x2-1)0,不妨設(shè)x11.由(n)可知，f(x2)g(x2)，則g(x2)=f(2-x2)，所以f(x2)f(2-x2)，從而f(x1)f(2-

7、x2).因?yàn)閤21,所以2x22x2，即為+x22.8 .已知函數(shù) f(x)=lnx-ax2+(2-a)x(12 分)討論 f(x)的單調(diào)性；(II)設(shè) a0,證明：當(dāng)0cxf(-x)；aaa(III)若函數(shù) y=f(x)的圖像與 x 軸交于 A、B 兩點(diǎn)，線段 AB 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為證明：廠的)01-xV9 .已知函數(shù)f(x)=2e.1x(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(n)證明：當(dāng)f(x1)=f(x2)(x1手x2)時(shí)，x1+x20解:(i)f(x)(二1_1二x)ex(1_x2)二(1二x)ex_2x(1x2)2x=xe二3二x2_2x(1x2)2;A=22420,y=f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x0

8、,+m)時(shí)，f(x)M0,y=f(x)單調(diào)遞減.所以，y=f(x)在在(g,0上單調(diào)遞增；在xw0,十好)上單調(diào)遞減.(n)由(I)知，只需要證明：當(dāng) x0 時(shí) f(x)f(x)即可。x1-xx1x_xe2xf(x)-f(-x)=-_re-_re=-_r(1x)e-1-x1x1x1x令g(x)=(1-x)e2x-1-x,x0=g(x)=(1-2x)e2x-1。令 h(x)=(1-2x)e2x-1=h(x)=(1-2x)e2x=-4xe2x:二 0,=y=h(x)在(0,十好)上單調(diào)遞減=h(x)h(0)=0=y=g(x)在(0,+o)上單調(diào)遞減=g(x)g(0)=0-x=y=2-(1-x)e2

9、x-1-x在(0,+好)上單調(diào)遞減，但乂=0時(shí)丫=0.1x二f(x)-f(-x)：二0=f(x):二f(一x)所以，當(dāng)f(x1)=f(x2)且x1x2時(shí)，x1+x20.210.已知函數(shù)f(x)=alnxx.1(1)當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)y=f(x)在1,2上的最大值；2令g(x)=f(x)+ax,若y=g(x)在區(qū)間(0,3)上不單調(diào)，求a的取值范圍;當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)h(x)=f一m圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(XI,0),B(x2,0),且0Xx2,又/儀)是h(x)的導(dǎo)函數(shù).若正常數(shù)%P 滿足條件1M+P=1P之 s.證明：h(:X:x2):022-9Y2解(1)-f(x)-2-2x=,xx函數(shù)y=f

10、(x)在1,1是增函數(shù)，在1,2是減函數(shù)，3 分所以f(x)max=f(1)=2ln112=-1.4分a(2)因?yàn)間(x)=alnx-x2+ax,所以g(x)=2x+a,5分x因?yàn)間(x)在區(qū)間(0,3)上不單調(diào)，所以g(x)=0在(0,3)上有實(shí)數(shù)解，且無重根，2Y219由g，(x)=0,有a=,=2(x+1+，)_4w(0,9),(xw(0,3)x1x12又當(dāng)a=當(dāng)時(shí)，g（x）=0有重根x=N,、，9綜上a=(0,_)8 分2一2(3)h(x)=2xm,又f(x)mx=0有兩個(gè)實(shí)根XL,x2(lnx1-Inx2)m=_(x1+x2),x1-x2，-2-2(lnx1-Inx2)于是h(:x1

11、：x2)二：-2(.：sx1：x2)(x1x2)-x1&x-x222(lnx1-Inx2)xrxi十(2*1)(一 0:眇二上,.2 一0.(*)12 分:x1-x2x2x1-t._1-t令一=tu(0,1),.(*)化為+lnt0,只證u(t)=lnt+0即可.，u(t)在x2:t-P、壯,：1T一 r 一X-x2,x1-(0,1)上單倜遞增，u(t)u(1)=0，二lnt+fr，即F-+ln0./.:tT,-x2h(0(x1+Px2)e2變式：已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2,a為常數(shù)。(1)討論f(x)的單調(diào)性；若有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,試證明：x1,x2e.2.已知f(x)=x2

12、+ax+sin,x-(0,1);(1)若f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；(2)當(dāng)a=-2時(shí)，記f(x)取得極小值為f(x0)若f(%)=f(x2)，求證x1十x22x0.19_3.已知f(x)=lnx-ax 十 x,(awR)(1)若f(1)=0,求函數(shù)f(x)的最大值；令g(x)=f(x)-(ax-1),求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間;(3)若a=-2,正實(shí)數(shù)x，x2，滿足f(x1)+f(x2)+x1x2=0,證明：十 x22 號(hào) r4.設(shè)a0,函數(shù)f(x)=lnx-ax,g(x)=lnx-(1)證明:當(dāng)x1時(shí)，g(x)0恒成立;2(x-1)x1(2)若函數(shù)f(x)無零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取

13、值范圍;(3)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)相異零點(diǎn)x1,x2,求證：x1x2e25.已知f(x)=|x-2a-alnx,常數(shù)awR。(1求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,且xx2；(i)指出a的取值范圍，并說明理由；(ii)求證：XIx28a36.設(shè)函數(shù) f(x)=ex-ax+a(aR R),其圖象與x軸交于 A(x-0),B(x2,0)兩點(diǎn)，且為x2.(1)求 a 的取值范圍；(2)證明：f,JxiX2)0,則函數(shù) f(x)是單調(diào)增函數(shù)，這與題設(shè)矛盾.所以 a0,令fx)=0,則 x=lna.當(dāng) xlna 時(shí)，f(x)0,f(x)是單調(diào)增函數(shù)；于是當(dāng) x=lna 時(shí)，f(x)

14、取得極小值.因?yàn)楹瘮?shù) f(x)=exax+a(awR R)的圖象與x軸交于兩點(diǎn) A(x,0),B(x2,0)(xvx?),所以 f(lna)=a(2-lna)e2.此時(shí)，存在 10;332存在 3lnalna,f(3lna)=a3alna+aa-3a+a0,求取值范圍.因?yàn)椤J；兩式相減得a=exg(s)=2s(ese。，則 gr(s)=2-(es+e)0,所以 g(s)是單調(diào)減函數(shù),%,x2則有 g(s)0,所以 f仁；)0.Xx1x2又 f(x)=ex-a 是單調(diào)增函數(shù)，且七 2AJx 抵所以 f(&x2)0=x1(i=1,2).又由 f(x)在(-oo,lna)及(lna,十

15、g)上的單調(diào)性及曲線在R R 上不間斷，可知2,一ae 為所x1x2=s(s0),貝 Uf(fx2ex1一二囁 2s.(es.exi與于是 e=aj(xi1)(x2-1),在等腰三角形 ABC 中，顯然 CXx2x=-2W(x1,x2)，即 yo=f(x0)g(x)(出)如果x1x2,且f(x1)=f(x2),證明x1+x22(I)解：f(x)=f(1x)e”令 f(x)=0,解得 x=1當(dāng) x 變化時(shí)，f(x),f(x)的變化情況如下表X(-0,1)1(1,Ef(x)+0一f(x)極大值所以 f(x)在(一的,1)內(nèi)是增函數(shù)，在(1,+皿)內(nèi)是減函數(shù)。函數(shù) f(x)在 x=1 處取得極大值

16、f(1)且 f(1)=-e(n)證明：由題意可知 g(x)=f(2-x),得 g(x)=(2-x)ex-令 F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=xe/+(x-2)ex2x2x于是F(x)=(x-1)(e-1)e當(dāng) x1 時(shí)，2x-20,從而e2x-210,又e0,所以F(x)0,從而函數(shù) F(x)在1,+)是增函數(shù)。又 F(1)=e-1-e-1=0,所以x1時(shí)，有 F(x)F(1)=0,即 f(x)g(x).m)證明：(1)若(x11)(x21)=0，由(D 及f(x1)=f(x2),則x1=x2=1.與x1豐x2矛盾。(2)若(x11)(x2-1)A0,由(I)及f(x1)=f(x2)

17、,彳導(dǎo)x1=x2.與x10 x2矛盾。根據(jù)(1)(2)得(x11)(x2-1)0,不妨設(shè)x11.由(n)可知，f(x2)g(x2)，則g(x2)=f(2-x2)，所以f(x2)f(2-x2),從而f(x1)f(2-x2).因?yàn)閤21,所以2-x22x2，即為+x22.8 .已知函數(shù) f(x)=lnx-ax2+(2-a)x(12 分)討論 f(x)的單調(diào)性；(II)設(shè) a0,證明：當(dāng)0 xf(-x)；aaa(III)若函數(shù) y=f(x)的圖像與 x 軸交于 A、B 兩點(diǎn)，線段 AB 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為布，證明：fx0)01fx9 .已知函數(shù)f(x)=2e.1x2(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(n)證明

18、：當(dāng)f(x1)=f(x2)(x1#x2)時(shí)，x1+x20:A=22-420,y=f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)xW0,+)時(shí)，f(x)M0,y=f(x)單調(diào)遞減.解:(i)f(x)(二1_1二x)ex(1_x2)二(1二x)ex_2x(1x2)2x=xe二3二x2_2x(1x2)2所以，y=f(x)在在(g,0上單調(diào)遞增；在xw0,+s)上單調(diào)遞減.(n)由(I)知，只需要證明：當(dāng) x0 時(shí) f(x)f(x)即可。xix?e2x-2e=-r(1-x)e-1-xo1x1x令g(x)二(1-x)e2x-1x,x0二令 h(x)=(1-2x)e2x-1=h(x)=(1-2x)e2x=-4xe2x:二 0,=y

19、=h(x)在(0,十好)上單調(diào)遞減=h(x)h(0)=0=y=g(x)在(0,+o)上單調(diào)遞減=g(x)g(0)=0-x=y=2-(1-x)e2x-1-x在(0,+好)上單調(diào)遞減，但乂=0時(shí)丫=0.1x二f(x)-f(-x)：二0=f(x):二f(一x)所以，當(dāng)f(x1)=f(x2)且x1x2時(shí)，+乂20.210.已知函數(shù)f(x)=alnxx.1(1)當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)y=f(x)在萬，2上的最大值；令g(x)=f(x)+ax,若y=g(x)在區(qū)間(0,3)上不單調(diào)，求a的取值范圍;(3)當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)h(x)=f(x)-mx的圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(x1,0),B(x2,0),且0Xx2,又h(x)是h(x)的導(dǎo)函數(shù).若正常數(shù)%P滿足條件1M+P=1甲之口.證明：h(:X:x2)：022-9Y2斛(1)f(x)=