第12講對稱性問題

1、第12講對稱性問題一、考情分析通過近幾年各地髙考試題可以發(fā)現(xiàn)，對對稱性問題的考査在逐漸加深，并與圓錐曲線相結(jié)合在一起命題, 成為一個(gè)新的動(dòng)向.與圓相關(guān)幾何性質(zhì)、最值問題、軌跡問題等都能與橢圓、雙曲線和拋物線想結(jié)合可以呈 現(xiàn)別具一格的新穎試題.二、經(jīng)驗(yàn)分享1. 對于圓錐曲線的相交的動(dòng)點(diǎn)問題，設(shè)出交點(diǎn)，由交點(diǎn)（或韋達(dá)立理）結(jié)合條件解決問題，在求解過程中、 數(shù)形結(jié)合是常用的打開思路的方式、形是引路、數(shù)是依據(jù)、二者聯(lián)手，解決問題就易如反掌、設(shè)而不求、 靈活消參是常用的策略。2. 中點(diǎn)弦問題（點(diǎn)差法）的呈現(xiàn)有多種形式，處理重直問題最好的方法是應(yīng)用向量的坐標(biāo)形式轉(zhuǎn)化， 常規(guī)的思路是:聯(lián)立方程組消去成y,得

2、到一個(gè)二次方程，設(shè)交點(diǎn)，韋達(dá)左理代人垂直的數(shù)量積坐標(biāo)公式整 理求解。3涉及弦長要注意圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用。三、題型分析（一）中點(diǎn)弦問題（點(diǎn)差法）例1.已知橢圓卡+$=l（“>b>0）的右焦點(diǎn)為F（3.0）,過點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo) 為（1, 一 1）,則E的方程為A厝B.C.賂 1D. =1X2 y2【變式訓(xùn)練1】過點(diǎn)M（l,l）作斜率為-一的直線與橢圓C： + = （a>b>0）相交于兩點(diǎn)，若M2 cr Zr是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率等于V-2 V23【變式訓(xùn)練2】（2011陜西）設(shè)橢圓C: + l_ = （a>b>0）過點(diǎn)（

3、0, 4）,藹心率為二cr b-5（I ）求c的方程；4（II）求過點(diǎn)（3, 0）且斜率為一的直線被C所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo).5(二) 點(diǎn)關(guān)于直線對稱2 2例2. (2015安徽)設(shè)橢圓E的方程為卡+和=1(">/?>0),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)4的坐標(biāo)為,0), 點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0, b),點(diǎn)M在線段AB上，滿足=直線OM的斜率為春.(I )求E的離心率"7(II)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,方)，N為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為牙，求E 的方程.【變式訓(xùn)練1】已知橢圓C：二+二=1(“">0)的離心率為生，點(diǎn)P(09 1)和點(diǎn)a ZT2A

4、(加，町(加H0)都在橢圓C上，直線交x軸于點(diǎn)M.(I) 求橢圓C的方程，并求點(diǎn)M的坐標(biāo)(用加，“表示)：(II) 設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)3與點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱，直線P3交X軸于點(diǎn)N.問：y軸上是否存在點(diǎn)0,使得乙OQM = ZONQ ?若存在，求點(diǎn)0的坐標(biāo)：若不存在，說明理由.（三）圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)2例3從P（-3,4）出發(fā)的一條光線經(jīng)x軸反射后經(jīng)過橢圓x2 + = 1的上頂點(diǎn)，以該橢圓的右頂點(diǎn)A為圓心,4r（r > 0）為半徑的圓與反射光線沒有公共點(diǎn)則r的取值范囤為.2【變式訓(xùn)練1 從P（-3,4）出發(fā)的一條光線經(jīng)x軸反射后經(jīng)過橢圓x2+ = 1的上頂點(diǎn)，以該橢圓的右頂 4點(diǎn)A為圓心，r（r

5、 > 0）為半徑的圓與反射光線沒有公共點(diǎn)則r的取值范用為.四、遷移應(yīng)用1. 若一個(gè)圓x2 + r-4A-4y-24 = 0上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l:y = x+h的距離為2返貝“的取值范圍是（）A. -1,13. 74 C. -8,8 D. 2,+s）2. 若曲線），=厶宀仆和直線l：y = kx + 4-4k有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）3 33A （-J） B. （-4 C. （-,+co） D. 1,+co）4 443. 已知A4BC是邊長為2的正三角形，P是平而ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA（PB+PC）的最小值是（）3 4A. 2B. C. D. 23224 已知雙曲線C：二-

6、=1（°>0小>0）的右頂點(diǎn)為以A為圓心的圓與雙曲線C的某一條漸近線交于 兩點(diǎn)只Q 若ZPAQ = 6OJ且OQ = 3OP （英中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線C的離心率為（）1y25已知離心率兮的橢吟+產(chǎn)內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接三角形ABC，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，邊AB、BC、AC的中點(diǎn)分別為D、E、F,直線AB、BC、AC的斜率分別為匕叫“ 且均不為0,若直線OD、OE.OF斜率之和為1,則丄+丄+丄=（）kl k2 U6.已知拋物線C： y2 = 2Px的焦點(diǎn)F與雙曲線|x2-4y2 = l的右焦點(diǎn)相同，過點(diǎn)F分別做兩條直線/, ；2 ,直線/I與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)，直線血拋物線C交于

7、D, E兩點(diǎn)，若心與J斜率的平方和為1，則|AB|+|DE| 的最小值為（）A、16B、20C、24D、327設(shè)橢圓E的方程為+ +缶=1（"0），點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)人的坐標(biāo)為（d,0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為 （0,b）,點(diǎn)M在線段AB上，滿足=直線OM的斜率為£.（I ）求E的離心率e；7（II）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,”），N為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為牙，求E 的方程.J18. 已知橢圓+/= 1上兩個(gè)不同的點(diǎn)人3關(guān)于直線=以+_對稱.22（I）求實(shí)數(shù)加的取值范用；（II）求AAO3而積的最大值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）9. (2017天津)設(shè)橢圓4 + 4 = l(t/>/7>0)的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為4,離心率為丄.已知4是拋物cr b2線y2 = 2pxp > 0)的焦點(diǎn)，F(xiàn)到拋物