教案拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1、拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案  教學(xué)目標(biāo)1使學(xué)生理解拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過程，并能初步利用它們解決有關(guān)問題2通過教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、類比、猜測、歸納等合情推理的方法，提高學(xué)生抽象、概括、分析、綜合的能力，既教猜想，又教證明3培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想理解有關(guān)問題教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及有關(guān)應(yīng)用既是教學(xué)重點(diǎn)，又是難點(diǎn)教學(xué)過程師：請(qǐng)同學(xué)們回憶橢圓和雙曲線的第二定義生：與一個(gè)定點(diǎn)的距離和一條定直線的距離的比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌道，當(dāng)e1時(shí)，是橢圓，當(dāng)e1時(shí)，是雙曲線(計(jì)算機(jī)演示動(dòng)畫圖2-45)(1)不妨設(shè)定點(diǎn)F到定直線l的距離為p(2)通過提問，讓學(xué)生思考隨著e

2、的變化曲線的形狀的變化規(guī)律同時(shí)演示動(dòng)畫，讓學(xué)生充分體會(huì)這種變化規(guī)律，為學(xué)生猜測e=1時(shí)曲線形狀奠定基礎(chǔ)師：那么，當(dāng)e=1時(shí)，軌跡的位置和形狀是怎樣的？大膽地猜一猜！(可請(qǐng)學(xué)生直接畫出自己想象中曲線的形狀，并利用投影展示)師：同學(xué)的猜測對(duì)不對(duì)呢？請(qǐng)同學(xué)看屏幕(圖2-46)我們利用電腦精確地計(jì)算展示到定點(diǎn)F的距離和它到定直線距離的比為1的點(diǎn)的軌跡師：你見過這種曲線嗎？(拋物線)這就是我們這節(jié)課主要的研究對(duì)象(師板書課題拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程)師：能否給拋物線下個(gè)定義？生：與一個(gè)定點(diǎn)的距離和一條定直線的距離的比是1的點(diǎn)的軌跡叫拋物線師：換句話說，就是與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫

3、做拋物線點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線(投影)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線師：它的方程是什么樣子呢？我們可以預(yù)先做一個(gè)估計(jì)如圖2-47(1)，橢圓的圖形是關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱的，其方程為：如圖2-47(2)，雙曲線的圖形是關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱的，其方程為：在方程中都僅有x、y的二次項(xiàng)當(dāng)e=1時(shí)，圖形變成了開口的一支，從而喪失了關(guān)于y軸和原點(diǎn)的對(duì)稱性，那么方程將會(huì)發(fā)生怎樣的變化？生：在方程中，一定會(huì)失去x2項(xiàng)，而且會(huì)出現(xiàn)x的一次項(xiàng)，(否則方程變成y2=b2，它表示直線)所以方程應(yīng)為Ay2+Bx+C

4、=0的形式師：同學(xué)的猜測對(duì)不對(duì)呢？可否從理論上給予說明？生：建立直角坐標(biāo)系師：如何建立？學(xué)生甲：取經(jīng)過定點(diǎn)F且垂直于定直線l的直線為x軸，設(shè)x軸與l相交于點(diǎn)K，以線段KF的垂直平分線為y軸，設(shè)所求軌跡上一點(diǎn)坐標(biāo)為M(x，y)師：點(diǎn)M滿足什么條件？生：到定點(diǎn)F的距離和到定直線l的距離的比是1師：這些條件能否轉(zhuǎn)化成點(diǎn)M的坐標(biāo)所滿足的條件？請(qǐng)同學(xué)化簡上式，并通過投影展示演算過程，得：y2=2px(1)師：顯然符合預(yù)想的形式這個(gè)方程就叫作拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程在你以往的學(xué)習(xí)過程中，是否見到過類似這種形式的方程？生：二次函數(shù)的表達(dá)式師：若將x與y換個(gè)位置，它就是缺少一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)，而曲線的形狀也與拋

5、物線完全一致師：由于拋物線開口方向的不同，共有4種不同情況(計(jì)算機(jī)演示圖2-48)師：請(qǐng)同學(xué)們寫出其它3種情況下的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，并說明理由觀察圖形，分辨這些圖有何相同點(diǎn)和不同點(diǎn)生：共同點(diǎn)有：原點(diǎn)在拋物線上對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸準(zhǔn)線與對(duì)稱軸垂直，垂足與焦點(diǎn)分別對(duì)稱于原點(diǎn)，它們與原點(diǎn)的距離都等于一次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的四分之一不同點(diǎn)：拋物線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，方程左端是y2，右端是2px；當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，方程左端是x2，右端是2py開口方向與x軸(y軸)正半軸同向時(shí)，焦點(diǎn)在x軸(y軸)的正半軸上，方程右端取正號(hào)開口方向與x軸(y軸)負(fù)半軸同向時(shí)，焦點(diǎn)在x軸(y軸)的負(fù)半軸上，方程右端取

6、負(fù)號(hào)師：作為應(yīng)用，請(qǐng)同學(xué)們看下面的例題(展示投影)例1  (1)已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=6x，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(0，-2)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)分析  要求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，需確定焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，求出p值例2  經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F，作一條直線垂直于x軸，和拋物線相交，兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y1，y2求y1·y2的值(計(jì)算機(jī)演示圖形圖2-49)師：首先弄清題意條件有哪些？求什么？如何求？(師板書)故y1·y2=-p2師：還有其他辦法嗎？可否根據(jù)拋物線的定義？生：如圖2-50，根據(jù)拋物線的定義，|AF|

7、=|BF|=|AM|=p，故y1·y2=-p2引申1：上例中若缺少“垂直于x軸”的條件，結(jié)果怎樣？(計(jì)算機(jī)演示動(dòng)畫圖2-51)師：由于缺少垂直的條件，上例中的方法均不適用了怎樣求交點(diǎn)坐標(biāo)？生：只需求直線方程與拋物線方程的公共解師：如何建立直線方程？生：利用點(diǎn)斜式(請(qǐng)同學(xué)自行寫出解題過程，并利用投影儀展示解題過程)與拋物線方程聯(lián)立，消去x可得：引申2：以AB為直徑的圓和準(zhǔn)線具有怎樣的位置關(guān)系？(計(jì)算機(jī)演示動(dòng)畫圖2-52)學(xué)生乙：以AB為直徑的圓和準(zhǔn)線相切師：能否給予證明？這作為思考題，請(qǐng)同學(xué)們課下完成師：請(qǐng)同學(xué)小結(jié)這節(jié)課的內(nèi)容(拋物線的定義；p的幾何意義；標(biāo)準(zhǔn)方程的4種形式)作業(yè)：課本

8、第98頁習(xí)題八：1，2設(shè)計(jì)說明1關(guān)于教學(xué)過程(1)由于拋物線的定義是本章的主要內(nèi)容之一，因而將它作為教學(xué)目標(biāo)之一(2)MM教學(xué)方式在課堂教學(xué)中十分重視的一個(gè)方面就是合情推理方法的運(yùn)用，邏輯思維能力的提高以及良好個(gè)性品質(zhì)的培養(yǎng)這對(duì)于提高學(xué)生的一般科學(xué)素養(yǎng)，形成和發(fā)展他們的數(shù)學(xué)品質(zhì)，必將起著十分重要的作用，因而制定了目標(biāo)2(3)按照大綱的要求，在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決有關(guān)問題，據(jù)此制定了目標(biāo)32關(guān)于教學(xué)重點(diǎn)為實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，把充分展現(xiàn)拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的探索、發(fā)現(xiàn)、推理的思維過程和知識(shí)形成的過程作為本節(jié)課的重點(diǎn)3關(guān)于教學(xué)方法按照MM教學(xué)方式“學(xué)習(xí)、教學(xué)、研究同步協(xié)調(diào)原則”和“二主方針

9、”，運(yùn)用問題性，給學(xué)生創(chuàng)造一種思維情境，一種動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口的機(jī)會(huì)，提高能力、增長才干，采用啟發(fā)式4關(guān)于教學(xué)手段利用計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，演示圖形的動(dòng)態(tài)變化過程，彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)手段(如投影片、模型等)的不足之處(1)在新課引入部分，通過動(dòng)畫演示，使學(xué)生充分理解并且掌握3種圓錐曲線的統(tǒng)一定義，以及曲線形狀變化與常數(shù)e的大小之間的關(guān)系(2)在拋物線定義的引入部分，利用電腦精確測算“兩個(gè)距離”，以及動(dòng)點(diǎn)M的任意選取，充分展示了滿足條件的點(diǎn)的軌跡，避免了傳統(tǒng)教學(xué)中此處的生硬與牽強(qiáng)(3)在例2及引申中也采用動(dòng)畫演示，彌補(bǔ)了投影片無法實(shí)現(xiàn)的動(dòng)態(tài)效果5關(guān)于教學(xué)過程(1)復(fù)習(xí)內(nèi)容的確定，旨在通過聯(lián)想，為運(yùn)用類比方法探索拋物線的定義奠定基礎(chǔ)(2)通過引導(dǎo)學(xué)生觀察橢圓、雙曲線圖形的變化規(guī)律，類比、聯(lián)想、進(jìn)而猜想出e=1時(shí)軌跡形狀是拋物線，然后進(jìn)行推理證明即通過既教猜想、又教證明這一MM可控變量的操作，旨在揭示科學(xué)實(shí)驗(yàn)的規(guī)律，從而暴露知識(shí)的形成過程，體現(xiàn)科學(xué)發(fā)現(xiàn)的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生合理