導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用

1、4.7 導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用一、利用單調(diào)性證明不等式單調(diào)性本身就是體現(xiàn)了不等式關(guān)系，因而利用單調(diào)性來證明不等式便是順理成章的事.在4.4中，我們利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)就能判斷函數(shù)的單調(diào)性。例1. 設(shè)，證明 分析: 證1: 設(shè) ， 則 ，當(dāng)時(shí)，故單調(diào)減小從而，當(dāng) 時(shí)，單調(diào)增加，即，故不等式成立. 注：有時(shí)需要多次使用導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷單調(diào)性.證2 分析: ， ，從而，即： 注：綜合使用中值定理和單調(diào)性.例2 證明 .分析：證 令則 從而 在單調(diào)減少，當(dāng)時(shí)， 即 . 二、 利用中值定理證明不等式1、利用Lagrange中值定理證明不等式設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則有 于是，我們依據(jù)關(guān)于的，得到不等式. 如：（1

2、） （2）單調(diào)，（3）如果 例3 證明：當(dāng)時(shí)，分析： 證 注意到，故可將不等式組變形為對(duì)函數(shù)在上利用拉格朗日中值定理，于是，存在,使由于故，即2、利用柯西中值定理證明不等式設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且則存在，使得 如果，則可建立相應(yīng)不等式. 例4 設(shè)當(dāng)，證明：當(dāng)， (4.7.1)分析： => 證 當(dāng)時(shí)，式(4.7.1)的等號(hào)成立.當(dāng)時(shí)，有由柯西中值定理知，存在，使得考慮到故單調(diào)增加，有綜上可知，當(dāng)時(shí)，式(4.7.1)成立.3、 利用泰勒中值定理證明不等式由泰勒公式或馬克勞林公式可知，如果涉及具有二階或更高階導(dǎo)數(shù)，可考慮借助于函數(shù)的泰勒公式或馬克勞林公式來證明，如果是已知最高階導(dǎo)數(shù)的取值范圍時(shí)

3、，可用此條件來估計(jì)有關(guān)的量，從而可以證明某些不等式.例5設(shè)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)且證明解 由于函數(shù)且具有一階導(dǎo)數(shù)且故得，利用函數(shù)一階馬克勞林公式： 其中介于x與0之間，.所以 例6 設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo)，且.試證證 注意到條件中含有高階導(dǎo)數(shù)，故我們對(duì)函數(shù)在點(diǎn)處用一階泰勒公式：分別將代入上式,注意到,兩式相減，整理得到因此， 三、 利用凹凸性證明不等式曲線的凹凸性反映的也是不等關(guān)系：或如果可以從的符號(hào)判斷曲線是凹或者凸的，則對(duì)應(yīng)上面的不等式就一定成立.例7 證明 當(dāng)時(shí)，證 設(shè)函數(shù)，則因此當(dāng)?shù)膱D形是凹的.根據(jù)定義，有例8 證明當(dāng)時(shí)，有證 設(shè)，有則曲線在內(nèi)是凸的. 又,所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)和所連的弦在曲線的下方，即，從而四、 利用最值證明不等式最值關(guān)系本身也是不等關(guān)系，因此要證明或 ,則只需證明例9 證明證 令,顯然在上連續(xù)，故在上有最大值，最小值.又由于令,得駐點(diǎn)，另有區(qū)間端點(diǎn),比較得的最大值,最小值因此，當(dāng)時(shí)，例10 證明 證 令由得惟一駐點(diǎn)x=1.又，當(dāng)時(shí)單調(diào)減少；當(dāng)時(shí)