培優(yōu)專題3_用分組分解法進行因式分解(含答案)

1、4、用分組分解法進行因式分解【知識精讀】分組分解法的原則是分組后可以直接提公因式，或者可以直接運用公式。使用這種方法 的關鍵在于分組適當，而在分組時，必須有預見性。能預見到下一步能繼續(xù)分解。而“預見” 源于細致的“觀察”，分析多項式的特點，恰當?shù)姆纸M是分組分解法的關鍵。應用分組分解法因式分解， 不僅可以考察提公因式法， 公式法，同時它在代數(shù)式的化簡， 求值及一元二次方程，函數(shù)等學習中也有重要作用。下面我們就來學習用分組分解法進行因式分解?！痉诸惤馕觥?. 在數(shù)學計算、化簡、證明題中的應用例1.把多項式2a(a2+a + 1)+a4+a2+1分解因式，所得的結果為()A. (a + a- 12

2、B. (a- a+ 1)C. (a + a+ 12 D. (a- a 1)分析：先去括號，合并同類項，然后分組搭配，繼續(xù)用公式法分解徹底。解：原式=2a(a2+a+1) + a4+a2+1432=a4 +2a3 +3a2 +2a+1= (a4+2a3+a2)+(2a2+2a)+1= (a2 +a)2+2(a2 +a)+1= (a2 +a+1)2故選擇C5432例2.分解因式x - x +x - x +x- 1分析：這是一個六項式，很顯然要先進行分組，此題可把X5 - X4 +X3和-X2 +X- 1分別看成一組，此時六項式變成二項式，提取公因式后，再進一步分解；此題也可把X5- X4，X3-

3、X2和 X- 1分別看作一組，此時的六項式變成三項式，提取公因式后再進行分解。解法1：原式二(X5- X4+X 3- (X - X + 1) = (X3- 1)(X2- X+1)2 2=(x- 1)(x + x + 1)(x -x+1)解法2：原式=(x5 - x4) +(x 3- x )2+(x - 1)=x4(x- 1)+x2(x- 1)+(x- 1)=(x- 1)(x4 + x2 +1)= (x- 1)(x4+2x2+1)- x22 2=(x- 1)(x +x+1)(x - x+1)2. 在幾何學中的應用2 2 2例：已知三條線段長分別為 a、b、c,且滿足a>b, a +c &l

4、t;b +2 ac證明：以a、b、c為三邊能構成三角形分析：構成三角形的條件，即三邊關系定理，是“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”證明：2 2 , 2 ,a +c <b +2aca2 + c2 - b 2- 2ac < 0a2 - 2ac+ c2- b 2<0,即(a- c) - b 0(a- c + b)(a- c- b) <0又 7a- c + b>a- c- ba- c+b>0, a- c- b<0a+b>c, a- b<c即a- b<c<a +b以a、b c為三邊能構成三角形3. 在方程中的應用例：求方程x- y

5、 = xy的整數(shù)解直接求解有困難，因等式兩邊都含有x與y，分析：這是一道求不定方程的整數(shù)解問題, 故可考慮借助因式分解求解解：x- y = xyxy - x + y = 0xy-x+y-1 = -1即 x(y- 1) + (y- 1) = -1(y- 1)(x + 1) = -1x, y是整數(shù)镲x + 1 = 1 亠 x + 1 = -1眄或镲-1 = -1 y-1 = 14、中考點撥2 2例1.分解因式： 1- m - n +2mn二。2 2解：1 -m -n +2mn2 2=1- (m - 2mn +n )=1- (m- n)2=(1 + m- n)(1- m + n)說明：觀察此題是四項

6、式，應采用分組分解法，中間兩項雖符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，應把后三項結合在一起，再應用完全平方公式和平方差公式。例2.分解因式：2 2x - y - x + y =解: x2 - y2 -x + y = (x2- y2)- (x- y)= (x+y)(x- y)- (x- y)= (x- y)(x+y- 1)說明：前兩項符合平方差公式，把后兩項結合，看成整體提取公因式。32例3.分解因式：x +3x - 4x- 12=3232解: x + 3x - 4x - 12 = x - 4x + 3x - 12=x(x2 - 4)+3(x2- 4)= (x+3)(x+2)(x- 2)說明

7、：分組的目的是能夠繼續(xù)分解。5、題型展示:2 2 2例 1.分解因式： m (n -1)+4mn- n +1解：m2(n2 -1) +4mn-n2 +12 2 2 . 2 .=m n - m +4mn- n +1=(m2n2+2mn +1)- (m 2- 2mn- n )22 2=(mn + 1) - (m- n)= (mn- m + n +1)(mn + m- n +1)說明：觀察此題，直接分解比較困難，不妨先去括號，再分組，把4mn分成2mn和2mn， 配成完全平方和平方差公式。2 2 2 2例 2.已知：a+b=1, c+d=1,且 ac+bd = 0，求 ab+cd 的值。解：ab+c

8、d= ab? 1 cd ? 12 2 2 2= ab(c +d ) +cd(a +b )= abc2 +abd2 +cda2 +cdb2=(abc2 +cdb2) + (abd2 +cda2)= bc(ac+bd) +ad(bd +ac)=(ac + bd)(bc+ad):ac+ b(=0原式=0說明：首先要充分利用已知條件a2 +b2 = 1, c2 + d2 =1中的1 （任何數(shù)乘以1，其值不變），其次利用分解因式將式子變形成含有ac+bd因式乘積的形式,由ac+bd=0可算出結果。例3.分解因式：x3 +2x- 3分析：此題無法用常規(guī)思路分解，需拆添項。觀察多項式發(fā)現(xiàn)當x=1時，它的值為

9、0,這就意味著x- 1是x3 +2x- 3的一個因式，因此變形的目的是湊x- 1這個因式。解一(拆項)：x3 +2 x- 3 =3)< - 3 - 2k3 +2x= 3(x- 1)(x2 +x + 1)- 2x(x2- 1) = (x- 1)(x2 +x+3)解二(添項)：x3+2x-3=f - x +x 2 x 32=x (x-1)+ (x - 1)X + 3)=(x - 1 )( +x + 3)請同學們試拆一次項和常數(shù)項，看看是說明：拆添項法也是分解因式的一種常見方法， 否可解？【實戰(zhàn)模擬】1. 填空題:(1 分解因式：a2 - 3a- b2+3b = _(2)分解因式：x2 - 2

10、x- 4xy+4y2 + 4y = 分解因式：1 - mn(1- mn) - m3n3 = _2.已知：a + b+c = 0,求a3 + a2c- abc + b2c + b3的值。53.分解因式：a +a +14. 已知：x2 - y2 - z2 =0, A是一個關于x,y,z的一次多項式，且x3 - y3 - z3 = (x - y)(x- z)A，試求 A 的表達式。5.證明：(a + b- 2ab)(a + b- 2)+(1- ab)2 =(a- 1)2(b-1)2【試題答案】1. (1)解：原式=(a2- b2)-3(a-b)=(a b)(a - b) - 3(a -b)=(a -

11、b)(a b -3)(2) 解： 原式=(x -4xy 4y ) - 2(x - 2y)2= (x-2y)-2(x -2y)=(x _2y)(x _2y -2)(3) 解：原式=1 mn m2 n2 m3 n32 2=(1mn)亠 m n (1mn)2 2=(1 - mn)(1 m n )2. 解：原式=(a b)(a2 - ab b2) c(a2 - ab b2)二(a2ab b2)(a b c)a b c =0.原式=0說明：因式分解是一種重要的恒等變形，在代數(shù)式求值中有很大作用。53. 解：a5 a 1=a5 _a2 a2a 1=a2 (a3 T) (a2 a 1)=a2 (a1)(a2 a 1) (a2 a 1)= (a2 a 1)(a3 - a21)4.解：2 x2 2_y z 0222 2 2y=X-z ， z =x -y333.x-y-z=(X3 -y3)z z2=(x -y)(x2 xy y2) -z(x2 -y2)=(x -y)x2xy y2 -z(x y)=(x -y)x(x -z) y(x z) (x2 z2)=(xy)(x z)(x y x z)=(x -y)(x -z)(2x y z).A =2x y z5. 證明：(a b -2ab)(a b -2)(1 -ab)22 2 2 2 2 2=aab 2a ab b 2b