離散數(shù)學第二章2

1、12.2 命題邏輯等值演算命題邏輯等值演算 2.2.1 等值式與等值演算等值式與等值演算 等值式與基本等值式等值式與基本等值式 真值表法與等值演算法真值表法與等值演算法 2.2.2 聯(lián)結(jié)詞完備集聯(lián)結(jié)詞完備集 聯(lián)結(jié)詞完備集聯(lián)結(jié)詞完備集 與非聯(lián)結(jié)詞與非聯(lián)結(jié)詞, 或非聯(lián)結(jié)詞或非聯(lián)結(jié)詞2等值式等值式定義定義2.11 若等價式若等價式AB是重言式是重言式, 則稱則稱A與與B等值等值, 記作記作AB, 并稱并稱AB是是等值式等值式說明說明: (1) 是是元語言符號元語言符號, 不要混同于不要混同于和和=(2) A與與B等值當且僅當?shù)戎诞斍覂H當A與與B在所有可能賦值下的真值都相在所有可能賦值下的真值都相同同

2、, 即即A與與B有相同的真值表有相同的真值表(3) n個命題變項的真值表共有個命題變項的真值表共有 個個, 故每個命題公式都有故每個命題公式都有無窮多個等值的命題公式無窮多個等值的命題公式(4) 可能有啞元出現(xiàn)可能有啞元出現(xiàn). 在在B中出現(xiàn)中出現(xiàn), 但不在但不在A中出現(xiàn)的命題變中出現(xiàn)的命題變項稱作項稱作A的的啞元啞元. 同樣同樣,在在A中出現(xiàn)中出現(xiàn), 但不在但不在B中出現(xiàn)的命題變中出現(xiàn)的命題變項稱作項稱作B的啞元的啞元. 啞元的值不影響命題公式的真值啞元的值不影響命題公式的真值.n223真值表法真值表法例例1 判斷判斷 (p q) 與與 p q 是否等值是否等值解解結(jié)論結(jié)論: (p q) (

3、p q) p q p q p q (p q) p q (p q)( p q) 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 14真值表法真值表法(續(xù)續(xù))例例2 判斷下述判斷下述3個公式之間的等值關(guān)系個公式之間的等值關(guān)系: p(qr), (pq)r, (p q)r解解 p q r p(qr) (pq)r (p q)r 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 p(qr)與

4、與(p q)r等值等值, 但與但與(pq)r不等值不等值5基本等值式基本等值式雙重否定律雙重否定律 AA冪等律冪等律 A AA, A AA交換律交換律 A BB A, A BB A結(jié)合律結(jié)合律 (A B) CA (B C) (A B) CA (B C)分配律分配律 A (B C)(A B) (A C) A (B C) (A B) (A C)德摩根律德摩根律 (A B)AB (A B)AB吸收律吸收律 A (A B)A, A (A B)A6基本等值式基本等值式(續(xù)續(xù))零律零律 A 11, A 00 同一律同一律 A 0A, A 1A排中律排中律 AA1矛盾律矛盾律 AA0蘊涵等值式蘊涵等值式 A

5、BA B等價等值式等價等值式 AB(AB) (BA)假言易位假言易位 ABBA等價否定等值式等價否定等值式 ABAB歸謬論歸謬論 (AB) (AB) A7等值演算等值演算等值演算等值演算: 由已知的等值式推演出新的等值式的過程由已知的等值式推演出新的等值式的過程置換規(guī)則置換規(guī)則: 若若AB, 則則 (B) (A) 例例3 證明證明 p(qr) (p q)r證證 p(qr) p ( q r) （蘊涵等值式）蘊涵等值式） ( pq) r （結(jié)合律）結(jié)合律） (p q) r （德摩根律）德摩根律） (p q) r （蘊涵等值式）蘊涵等值式）8實例實例等值演算不能直接證明兩個公式不等值等值演算不能直接

6、證明兩個公式不等值. 證明兩個公式不證明兩個公式不等值的基本思想是找到一個賦值使一個成真等值的基本思想是找到一個賦值使一個成真, 另一個成假另一個成假.例例4 證明證明: p(qr) (pq) r方法一方法一 真值表法（見例真值表法（見例2）方法二方法二 觀察法觀察法. 容易看出容易看出000使左邊成真使左邊成真, 使右邊成假使右邊成假.方法三方法三 先用等值演算化簡公式先用等值演算化簡公式, 再觀察再觀察.9實例實例例例5 用等值演算法判斷下列公式的類型用等值演算法判斷下列公式的類型(1) q(pq) 解解 q(pq) q( p q) （蘊涵等值式）蘊涵等值式） q (pq) （德摩根律）德

7、摩根律） p (qq) （交換律，結(jié)合律）交換律，結(jié)合律） p 0 （矛盾律）矛盾律） 0 （零律）（零律）該式為矛盾式該式為矛盾式.10實例實例(續(xù)續(xù))(2) (pq)( qp) 解解 (pq)( qp) ( p q)(qp) （蘊涵等值式）蘊涵等值式） ( p q)( p q) （交換律）交換律） 1該式為重言式該式為重言式.11實例實例(續(xù)續(xù))(3) (p q) (pq) r) 解解 (p q) (pq) r) (p (qq) r （分配律）分配律） p 1 r （排中律）排中律） p r （同一律）同一律）非重言式的可滿足式非重言式的可滿足式. .如如101是它的成真賦值是它的成真賦值

8、, ,000是它的是它的成假賦值成假賦值.總結(jié)總結(jié):A為矛盾式當且僅當為矛盾式當且僅當A0; A為重言式當且僅當為重言式當且僅當A1說明說明:演算步驟不惟一演算步驟不惟一, ,應(yīng)盡量使演算短些應(yīng)盡量使演算短些12聯(lián)結(jié)詞完備集聯(lián)結(jié)詞完備集定義定義2.13 設(shè)設(shè)S是一個聯(lián)結(jié)詞集合是一個聯(lián)結(jié)詞集合, 如果任何如果任何n(n 1) 元真值元真值函數(shù)都可以由僅含函數(shù)都可以由僅含S中的聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的公式表示中的聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的公式表示, ,則稱則稱S是是聯(lián)結(jié)詞完備集聯(lián)結(jié)詞完備集定理定理2.1 下述聯(lián)結(jié)詞集合都是完備集下述聯(lián)結(jié)詞集合都是完備集:(1) S1= , , , , (2) S2= , , , (3) S

9、3= , , (4) S4= , (5) S5= , (6) S6= , AB (AB) (BA)AB A BA B (A B) ( AB)A B ( AB)A B ( A) B AB13復合聯(lián)結(jié)詞復合聯(lián)結(jié)詞與非式與非式: p q(p q), 稱作稱作與非聯(lián)結(jié)詞與非聯(lián)結(jié)詞或非式或非式: p q(p q), 稱作稱作或非聯(lián)結(jié)詞或非聯(lián)結(jié)詞p q為真當且僅當為真當且僅當p,q不同時為真不同時為真p q為真當且僅當為真當且僅當p,q同時為假同時為假定理定理2.2 , 是聯(lián)結(jié)詞完備集是聯(lián)結(jié)詞完備集證證 p (p p) p p p q (p q) (p q) (p q) (p q)得證得證 是聯(lián)結(jié)詞完備集

10、是聯(lián)結(jié)詞完備集. 對于對于 可類似證明可類似證明.142.3 范式范式 2.3.1 析取范式與合取范式析取范式與合取范式 簡單析取式與簡單合取式簡單析取式與簡單合取式 析取范式與合取范式析取范式與合取范式 2.3.2 主析取范式與主合取范式主析取范式與主合取范式 極小項與極大項極小項與極大項 主析取范式與主合取范式主析取范式與主合取范式 主范式的用途主范式的用途15簡單析取式與簡單合取式簡單析取式與簡單合取式文字文字: :命題變項及其否定的統(tǒng)稱命題變項及其否定的統(tǒng)稱簡單析取式簡單析取式: :有限個文字構(gòu)成的析取式有限個文字構(gòu)成的析取式如如 p, q, pq, p q r, 簡單合取式簡單合取式

11、: :有限個文字構(gòu)成的合取式有限個文字構(gòu)成的合取式如如 p, q, pq, p q r, 定理定理2.3 (1) 一個簡單析取式是重言式當且僅當它同時含一個簡單析取式是重言式當且僅當它同時含某個命題變項和它的否定某個命題變項和它的否定(2) 一個簡單合取式是矛盾式當且僅當它同時含某個命題一個簡單合取式是矛盾式當且僅當它同時含某個命題變項和它的否定變項和它的否定16析取范式與合取范式析取范式與合取范式析取范式析取范式: :由有限個簡單合取式組成的析取式由有限個簡單合取式組成的析取式 A1 A2Ar, 其中其中A1,A2,Ar是是簡單合取式簡單合取式合取范式合取范式: :由有限個簡單析取式組成的合

12、取式由有限個簡單析取式組成的合取式 A1 A2Ar , 其中其中A1,A2,Ar是是簡單析取式簡單析取式范式范式: :析取范式與合取范式的統(tǒng)稱析取范式與合取范式的統(tǒng)稱 定理定理2.4 (1) 一個析取范式是矛盾式當且僅當它的每一個一個析取范式是矛盾式當且僅當它的每一個簡單合取式都是矛盾式簡單合取式都是矛盾式(2) 一個合取范式是重言式當且僅當它的每一個簡單析取一個合取范式是重言式當且僅當它的每一個簡單析取式都是重言式式都是重言式17范式存在定理范式存在定理定理定理2.5 任何命題公式都存在著與之等值的析取范式與合任何命題公式都存在著與之等值的析取范式與合取范式取范式. .證證 求公求公式式A的

13、范式的步驟：的范式的步驟：(1) 消去消去A中的中的, ABA B AB( A B) (AB)(2) 否定聯(lián)結(jié)詞否定聯(lián)結(jié)詞 的內(nèi)移或消去的內(nèi)移或消去 A A (A B)AB (A B)AB18范式存在定理范式存在定理(續(xù)續(xù))(3) 使用分配律使用分配律 A (B C)(A B) (A C) 求合取范式求合取范式 A (B C) (A B) (A C) 求析取范式求析取范式例例1 1 求求 (pq)r 的析取范式與合取范式的析取范式與合取范式解解 (pq)r ( p q)r (pq)r 析取范式析取范式 (pr) ( qr) 合取范式合取范式注意注意: 公式的析取范式與合取范式不惟一公式的析取范

14、式與合取范式不惟一.19極小項與極大項極小項與極大項定義定義2.17 在含有在含有n個命題變項的簡單合取式個命題變項的簡單合取式( (簡單析取式簡單析取式) )中中, ,若每個命題變項均以文字的形式出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次，若每個命題變項均以文字的形式出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次，而且第而且第i( (1 i n) )個文字個文字( (按下標或字母順序排列按下標或字母順序排列) )出現(xiàn)在左出現(xiàn)在左起第起第i位上位上, ,稱這樣的簡單合取式稱這樣的簡單合取式( (簡單析取式簡單析取式) )為為極小項極小項( (極大項極大項) )說明說明: :(1) n個命題變項產(chǎn)生個命題變項產(chǎn)生2n個極小項和個極小項和2n個極大項個

15、極大項(2) 2n個極小項個極小項( (極大項極大項) )均互不等值均互不等值(3) 用用mi表示第表示第i個極小項個極小項, ,其中其中i是該極小項成真賦值的十是該極小項成真賦值的十進制表示進制表示. 用用Mi表示第表示第i個極大項個極大項, ,其中其中i是該極大項成假賦是該極大項成假賦值的十進制表示值的十進制表示, mi( (Mi) )稱為極小項稱為極小項( (極大項極大項) )的名稱的名稱. 20極小項與極大項極小項與極大項(續(xù)續(xù))定理定理2.6 設(shè)設(shè)mi 與與Mi是由同一組命題變項形成的極小項和極是由同一組命題變項形成的極小項和極大項大項, 則則 mi Mi , Mi mi 極小項極小

16、項 極大項極大項 公式公式 成真賦值成真賦值 名稱名稱 公式公式 成假賦值成假賦值 名稱名稱 pq 0 0 m0 p q 0 0 M0 p q 0 1 m1 pq 0 1 M1 pq 1 0 m2 p q 1 0 M2 p q 1 1 m3 pq 1 1 M3 p,q形成的極小項與極大項形成的極小項與極大項21主析取范式與主合取范式主析取范式與主合取范式主析取范式主析取范式: :由極小項構(gòu)成的析取范式由極小項構(gòu)成的析取范式主合取范式主合取范式: :由極大項構(gòu)成的合取范式由極大項構(gòu)成的合取范式例如，例如，n=3, 命題變項為命題變項為p, q, r時，時， ( pq r) ( p q r) m1

17、 m3 是是主析取范式主析取范式 (p qr) ( p qr) M1 M5 是是主合取范式主合取范式定理定理2.7 任何命題公式都存在著與之等值的主析取范式和任何命題公式都存在著與之等值的主析取范式和主合取范式主合取范式, 并且是惟一的并且是惟一的. .22求主析取范式的步驟求主析取范式的步驟設(shè)公式設(shè)公式A含命題變項含命題變項p1,p2,pn(1) 求求A的析取范式的析取范式A =B1 B2 Bs, 其中其中Bj是簡單合取是簡單合取式式 j=1,2, ,s (2) 若某個若某個Bj既不含既不含pi, 又不含又不含 pi, 則將則將Bj展開成展開成 Bj Bj (pi pi) (Bj pi) (

18、Bj pi)重復這個過程重復這個過程, 直到所有簡單合取式都是長度為直到所有簡單合取式都是長度為n的極小的極小項為止項為止(3) 消去重復出現(xiàn)的極小項消去重復出現(xiàn)的極小項, 即用即用mi代替代替mi mi(4) 將極小項按下標從小到大排列將極小項按下標從小到大排列23求主合取范式的步驟求主合取范式的步驟設(shè)公式設(shè)公式A含命題變項含命題變項p1,p2,pn(1) 求求A的合取范式的合取范式A =B1 B2 Bs, 其中其中Bj是簡單析取是簡單析取式式 j=1,2, ,s (2) 若某個若某個Bj既不含既不含pi, 又不含又不含 pi, 則將則將Bj展開成展開成 Bj Bj (pi pi) (Bj

19、pi) (Bj pi)重復這個過程重復這個過程, 直到所有簡單析取式都是長度為直到所有簡單析取式都是長度為n的極大的極大項為止項為止(3) 消去重復出現(xiàn)的極大項消去重復出現(xiàn)的極大項, 即用即用Mi代替代替Mi Mi(4) 將極大項按下標從小到大排列將極大項按下標從小到大排列24實例實例例例1(1(續(xù)續(xù)) ) 求求 (pq)r 的主析取范式與主合取范式的主析取范式與主合取范式解解 (1) (1) (pq)r (pq)r pq (pq) 1 同一律同一律 (pq) ( r r) 排中律排中律 (pqr) (pq r) 分配律分配律 m4 m5 r ( p p) ( q q)r 同一律同一律, 排中

20、律排中律 ( pqr) ( p qr) (pqr) (p qr) m0 m2 m4 m6 分配律分配律得得 (pq)r m0 m2 m4 m5 m6可記作可記作 (0,2,4,5,6)25實例實例(續(xù)續(xù))(2) (pq)r (pr) ( qr) pr p 0r 同一律同一律 p (qq)r 矛盾律矛盾律 (p qr) (pqr) 分配律分配律 M1 M3 qr (pp)qr 同一律同一律, 矛盾律矛盾律 (pqr) ( pqr) 分配律分配律 M3 M7得得 (pq)r M1 M3 M7可記作可記作 (1,3,7)26快速求法快速求法設(shè)公式含有設(shè)公式含有n個命題變項個命題變項, 則則長度為長度

21、為k的簡單合取式可展開成的簡單合取式可展開成2n-k個極小項的析取個極小項的析取例如例如 公式含公式含p,q,r q ( p qr) ( p q r) (p qr) (p q r) m2 m3 m6 m7長度為長度為k的簡單析取式可展開成的簡單析取式可展開成2n-k個極大項的合取個極大項的合取例如例如 pr (p qr) (pqr) M1 M327實例實例例例2 (1) 求求 A ( p q) ( pq r) r的主析取范式的主析取范式解解 用快速求法用快速求法(1) p q ( p qr) ( p q r) m2 m3 pq r m1 r ( pq r) ( p q r) (pq r) (p

22、 q r) m1 m3 m5 m7得得 A m1 m2 m3 m5 m7 (1,2,3,5,7)28實例實例(續(xù)續(xù))(2) 求求 B p (p qr)的主合取范式的主合取范式解解 p ( p q r) ( p qr) ( pq r) ( pqr) M4 M5 M6 M7 p qr M1得得 B M1 M4 M5 M6 M7 (1,4,5,6,7)29主析取范式的用途主析取范式的用途(1) 求公式的成真賦值和成假賦值求公式的成真賦值和成假賦值設(shè)公式設(shè)公式A含含n個命題變項個命題變項, A的主析取范式有的主析取范式有s個極小項個極小項, 則則A有有s個成真賦值個成真賦值, 它們是極小項下標的二進制

23、表示它們是極小項下標的二進制表示, 其余其余2n-s個賦值都是成假賦值個賦值都是成假賦值 例如例如 (pq)r m0 m2 m4 m5 m6 成真賦值成真賦值: 000,010,100,101,110; 成假賦值成假賦值: 001,011,11130主析取范式的用途主析取范式的用途( (續(xù)續(xù)) )(2) 判斷公式的類型判斷公式的類型 設(shè)設(shè)A含含n個命題變項，則個命題變項，則 A為重言式當且僅當為重言式當且僅當A的主析取范式含的主析取范式含2n個極小項個極小項A為矛盾式當且僅當為矛盾式當且僅當 A的主析取范式不含任何極小項的主析取范式不含任何極小項, ,記作記作0 A為可滿足式當且僅當為可滿足式

24、當且僅當A的主析取范式中至少含一個極小項的主析取范式中至少含一個極小項31實例實例例例3 用主析取范式判斷公式的類型用主析取范式判斷公式的類型:(1) A (pq) q (2) B p(p q) (3) C (p q)r解解 (1) A ( p q) q ( pq) q 0 矛盾式矛盾式(2) B p (p q) 1 m0 m1 m2 m3 重言式重言式(3) C (p q) r ( pq) r ( pq r) ( pqr) ( pq r) ( p q r) (pq r) (p q r) m0 m1 m3 m5 m7 非重言式的可滿足式非重言式的可滿足式32主析取范式的用途主析取范式的用途(

25、(續(xù)續(xù)) )(3) 判斷兩個公式是否等值判斷兩個公式是否等值例例4 用主析取范式判斷下面用主析取范式判斷下面2組公式是否等值組公式是否等值:(1) p與與( p q)(p q)解解 p p ( q q) (pq) (p q) m2 m3 ( p q)(p q) ( p q) (p q) (pq) (p q) m2 m3故故 p ( p q)(p q)33實例實例(續(xù)續(xù))(2) (p q) r 與與 p (q r)解解 (p q) r (p qr) (p q r) ( pq r) ( p q r) (pq r) (p q r) m1 m3 m5 m6 m7 p (q r) (p q) (p r) (p qr) (p q r) (pq r) (p q r) m5 m6 m7故故 (p q) r p (q r)34實例實例例例5 某單位要從某單位要從A,B,C三人中選派若干人出國考察三人中選派若干人出國考察, 需滿需滿足下述條件足下述條件:(1) 若若A去去, 則則C必須去必須去;(2) 若若B去去, 則則C不能去不能去;(3) A和和B必須去一人且只能去一人必須去一人且只能去一人.問有幾種可能的選派方案問有幾種可能的選派方案?解解 記記p:派派A去去, q:派派B去去, r:派派C去去(1) pr, (2) qr, (3) (pq) (