第7章數(shù)值微積分1

1、第第7章章基礎(chǔ)教學(xué)部數(shù)學(xué)教研室基礎(chǔ)教學(xué)部數(shù)學(xué)教研室 彭彭 曉曉 華華立體化教學(xué)資源系列立體化教學(xué)資源系列數(shù)值分析數(shù)值分析2xxfsin)(0 x48xdxxdxxfL48024802)(cos1)(1波形屋頂平材的長度波形屋頂平材的長度：一個(gè)波形屋一個(gè)波形屋頂是通過將一張平的鋁材料壓成橫頂是通過將一張平的鋁材料壓成橫斷面具有正弦波形式的材料而構(gòu)造斷面具有正弦波形式的材料而構(gòu)造出來的出來的. .現(xiàn)在需要一個(gè)現(xiàn)在需要一個(gè)4848英寸長的英寸長的波形屋頂，每個(gè)波的高度均離開中波形屋頂，每個(gè)波的高度均離開中心線心線1 1英寸，每個(gè)波的周期大約為英寸，每個(gè)波的周期大約為英寸英寸. .求原來平材的長度求原

2、來平材的長度. .（從（從英寸到英寸到從而這個(gè)問題歸結(jié)為從而這個(gè)問題歸結(jié)為求數(shù)值積分問題求數(shù)值積分問題. .7.1數(shù)值積分與數(shù)值微分?jǐn)?shù)值積分與數(shù)值微分確定此曲線的長度確定此曲線的長度. .根據(jù)微積分理論，此長度為根據(jù)微積分理論，此長度為引言：引言：英寸），英寸），問題為問題為: :給定給定年份年份 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 19901900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990人口人口 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 7

3、6.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4226.5 251.4610t)(tx)(/)(txdtdxtr人口相對增長率人口相對增長率：已知已知2020世紀(jì)美國人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表，世紀(jì)美國人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表，為了計(jì)算表中這些年份的人口相對增長率，記時(shí)刻為了計(jì)算表中這些年份的人口相對增長率，記時(shí)刻的的，則人口相對增長率為，則人口相對增長率為它表示每年人口增長的比例它表示每年人口增長的比例. .從而這個(gè)問題歸結(jié)為從而這個(gè)問題歸結(jié)為求數(shù)值求數(shù)值微分問題微分問題. .表表7-1 207-1 20世紀(jì)美國人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（世紀(jì)美國人口統(tǒng)計(jì)

4、數(shù)據(jù)（ ）人口為人口為在許多實(shí)際工程中，直接或間接地涉及計(jì)算導(dǎo)數(shù)和在許多實(shí)際工程中，直接或間接地涉及計(jì)算導(dǎo)數(shù)和計(jì)算定積分計(jì)算定積分.在這些微分積分的計(jì)算過程中存在如下在這些微分積分的計(jì)算過程中存在如下一些問題：一些問題：( )( )( )baIf x dxF bF a1、牛頓牛頓萊布尼茲公式萊布尼茲公式大量的被積函數(shù)找不到用初等函數(shù)表示的原函數(shù)；大量的被積函數(shù)找不到用初等函數(shù)表示的原函數(shù)；例如，積分例如，積分10sin xdxx 2、當(dāng)、當(dāng)( )f x微積分理論無法精確求積分，也無法精確求導(dǎo)數(shù)微積分理論無法精確求積分，也無法精確求導(dǎo)數(shù). 是由測量或數(shù)值計(jì)算給出的一張數(shù)據(jù)表時(shí)，是由測量或數(shù)值計(jì)算

5、給出的一張數(shù)據(jù)表時(shí)，* * 對于計(jì)算導(dǎo)數(shù)的問題，對于計(jì)算導(dǎo)數(shù)的問題，從導(dǎo)數(shù)定義想到用差商近似的算從導(dǎo)數(shù)定義想到用差商近似的算法，即法，即hxfhxfxf)()()(雖然這種近似計(jì)算的精度較差，但是它啟示我們可以用兩個(gè)雖然這種近似計(jì)算的精度較差，但是它啟示我們可以用兩個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值來近似求導(dǎo)，如果點(diǎn)上的函數(shù)值來近似求導(dǎo)，如果用有限個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值，能用有限個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值，能否建立一個(gè)求導(dǎo)公式并估計(jì)誤差呢？否建立一個(gè)求導(dǎo)公式并估計(jì)誤差呢？這是數(shù)值微分研究的問這是數(shù)值微分研究的問題題. .需要研究的問題：需要研究的問題：,ba)(f)(xf,ba)(f)(f,ba( )f從幾何方面看，公式（從幾何方面

6、看，公式（7.17.1）表示以區(qū)間）表示以區(qū)間的長度為的長度為底而高為底而高為恰等于恰等于在在邊梯形的面積，見圖邊梯形的面積，見圖7-2.7-2.問題在于問題在于一般一般是不知道的，因而難以準(zhǔn)確算出是不知道的，因而難以準(zhǔn)確算出的值的值. .區(qū)間區(qū)間只要對平均高度只要對平均高度數(shù)值求積方法數(shù)值求積方法. .如果近似地取如果近似地取. .上的積分上的積分值，即曲值，即曲的具體位置的具體位置稱為稱為提供提供一種算法，相應(yīng)地便獲得一種一種算法，相應(yīng)地便獲得一種,babaabfdxxf)()(對于計(jì)算定積分的問題，對于計(jì)算定積分的問題，根據(jù)積分中值定理：存在點(diǎn)根據(jù)積分中值定理：存在點(diǎn)使使. . （ 7.

7、1 7.1）圖圖7-2 矩形公式幾何意義矩形公式幾何意義 的矩形面積，的矩形面積，上函數(shù)的平均高度，上函數(shù)的平均高度，( ) ( )( )/2ff af b( ) ( )( )2babaf x dxf af b如果近似地取如果近似地取則由公式（則由公式（7.17.1）得）得梯形公式梯形公式，幾何，幾何意義見圖意義見圖7-3.7-3. 圖圖7-3 梯形公式幾何意義梯形公式幾何意義)2()(baff( )()()2baabf x dxfba則公式（則公式（7.17.1）稱為）稱為中矩形公式中矩形公式,bakx)(kxf)(f0( )()nbkkakIf x dxA f xkx), 1 , 0(nk

8、kA), 1 , 0(nkkAkx)(xf如果取如果取上有限個(gè)節(jié)點(diǎn)上有限個(gè)節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值的函數(shù)值的加權(quán)平的加權(quán)平，則公式（，則公式（7.17.1）稱為）稱為機(jī)械求積公式機(jī)械求積公式（7.27.2）稱為稱為求積節(jié)點(diǎn)求積節(jié)點(diǎn)，稱為稱為求積系數(shù)求積系數(shù).僅僅與節(jié)點(diǎn)僅僅與節(jié)點(diǎn)的選取有關(guān)，而不的選取有關(guān)，而不的具體形式的具體形式. 均值為均值為其中其中依賴于被積函數(shù)依賴于被積函數(shù)kx,kA問題問題: :的位置并確定求積系數(shù)的位置并確定求積系數(shù)才能使求得的積分值具有預(yù)先給定的任意的精確度？才能使求得的積分值具有預(yù)先給定的任意的精確度？(2)(2)怎樣估計(jì)數(shù)值計(jì)算的誤差？怎樣估計(jì)數(shù)值計(jì)算的誤差？(1)(1)如

9、何安排求積節(jié)點(diǎn)如何安排求積節(jié)點(diǎn) 尋找便于數(shù)值計(jì)算，又能滿足精度尋找便于數(shù)值計(jì)算，又能滿足精度要求的微積分公式和方法要求的微積分公式和方法. .數(shù)值積分與數(shù)值微分的基本內(nèi)容：數(shù)值積分與數(shù)值微分的基本內(nèi)容：復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)：拉格朗日插值多項(xiàng)式拉格朗日插值多項(xiàng)式一、滿足一、滿足插值條件插值條件 Pn(xi)=f(xi), ( i=0,1,2,n) n次插值多項(xiàng)次插值多項(xiàng)式式Pn(x)=a0+a1x+a2x2+anxn 存在而且惟一存在而且惟一。二、二、Lagrange插值多項(xiàng)式：插值多項(xiàng)式：0( )( )nnk kkL xy lx稱為稱為Lagrange插值基函數(shù)。插值基函數(shù)。011011()()()()(

10、 )()()()()kknkkkkkkknxxxxxxxxlxxxxxxxxx0,1,2,kn三、插值余項(xiàng)三、插值余項(xiàng): Rn (x)= f (x) - Pn (x)=(1)1()( )(1)!nxnfwxn( , )xa bx且依賴于10( )(),nniiwxxx,ba1nkx), 1 , 0(nk)(xfkA)()(xfxLn bankkbaknbaxfdxxldxxLdxxfI0)()()()(0()nkkkA f xbakkdxxlA)(), 1 , 0(nk7.2 7.2 牛頓牛頓- -柯特斯求積公式柯特斯求積公式上取定上取定個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn)，經(jīng)過這些點(diǎn)作插值多項(xiàng)式，用插值多項(xiàng)式，經(jīng)過這些

11、點(diǎn)作插值多項(xiàng)式，用插值多項(xiàng)式，進(jìn)而確定，進(jìn)而確定如果利用如果利用LagrangeLagrange插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式型求積公式型求積公式其中其中插值型求積公式的基本思想：插值型求積公式的基本思想：在在7.2.1 7.2.1 牛頓牛頓- -柯特斯求積公式柯特斯求積公式代替被積函數(shù)代替被積函數(shù)，則有插值，則有插值 (7.3)(7.3),bannabhnkkhaxk, 1 , 0, nnkjjbankjjjkjbakkhdthjkhjtthaxdxxxxxdxxlA000)()()()(ndtnkkkkkkkntktkttth0)() 1)(1() 1()() 1)(1() 1(nkndtntktk

12、tttknkh0)() 1)(1() 1()!( !) 1(等距節(jié)點(diǎn)情形等距節(jié)點(diǎn)情形: :將區(qū)間將區(qū)間劃分為劃分為等分，步長等分，步長，選取等距節(jié)點(diǎn)，選取等距節(jié)點(diǎn)，此時(shí)，此時(shí)， nnkjjkndtjtknkh00)()!( !) 1( ,bahnnkk記A = b-a C nnkjjknknkdtjtknknabAC00)()()!( !) 1()()()(0)(knknkbaxfCabdxxfI)(nkC nnkjjknnkdtjtknknC00)()()!( !) 1(即記即記將其代入公式（將其代入公式（7.37.3），得到），得到牛頓牛頓- -柯特斯公式柯特斯公式其中其中稱為稱為柯特斯系

13、數(shù)柯特斯系數(shù)， . . （7.57.5）， （7.47.4）對不同的對不同的n, ,柯特斯系數(shù)可按公式（柯特斯系數(shù)可按公式（7.57.5）計(jì)算）計(jì)算. .1n(1)(1)011/2,cc1() ( )( )2Tbaf af b2n6/1, 6/4, 6/1)2(2)2(1)2(0ccc ( )4 ()( )62baabSf aff b當(dāng)當(dāng)時(shí)（有兩個(gè)等距求積節(jié)點(diǎn)），時(shí)（有兩個(gè)等距求積節(jié)點(diǎn)），相應(yīng)的求積公式就是相應(yīng)的求積公式就是梯形公式梯形公式當(dāng)當(dāng)時(shí)（有三個(gè)等距求積節(jié)點(diǎn)），時(shí)（有三個(gè)等距求積節(jié)點(diǎn)），相應(yīng)的求積公式就是相應(yīng)的求積公式就是辛普森公式辛普森公式（7.77.7）（7.67.6）1 012(

14、1)1000( 1)11(1)11 0! (1 0)!22Ctdtt 1 11(1)2 1100( 1)11(0)1 1! (1 1)!22Ctdtt 2 12(2)101422 1! 2 1 !6ct tdt 時(shí)的牛頓時(shí)的牛頓- -柯特斯公式則特別稱為柯特斯公式則特別稱為柯特斯公式柯特斯公式4n012347 ()32 ()12 ()32 ()7 ()90baCf xf xf xf xf x,0,1,4,kxakh k4/ )(abh當(dāng)當(dāng)其中，其中，（7.87.8）柯特斯系數(shù)的部分?jǐn)?shù)據(jù)見柯特斯系數(shù)的部分?jǐn)?shù)據(jù)見教材教材179頁頁表表7-2.( )01.nnkkC( )1f x 8n ( )nkC

15、8n 【注注】 這是因?yàn)檫@是因?yàn)榇耸匠闪⒋耸匠闪? .這說明：求積系數(shù)與被積函數(shù)、節(jié)點(diǎn)的選取均無這說明：求積系數(shù)與被積函數(shù)、節(jié)點(diǎn)的選取均無關(guān)，其和恒為關(guān)，其和恒為1.1.時(shí)，時(shí)，出現(xiàn)負(fù)值，計(jì)算不穩(wěn)定，故不能應(yīng)用出現(xiàn)負(fù)值，計(jì)算不穩(wěn)定，故不能應(yīng)用的牛頓的牛頓- -時(shí)，公式時(shí)，公式（7.47.4）精確成立，因此必有精確成立，因此必有（2 2） 根據(jù)表根據(jù)表7-27-2，當(dāng)當(dāng)柯特斯系數(shù)柯特斯系數(shù)柯特斯公式柯特斯公式.（1 1） 柯特斯系數(shù)的和恒為柯特斯系數(shù)的和恒為1 1，即，即,ba1nkx), 1 , 0(nk)(xf)(xLn)()()(xRxLxfnnbanbanbadxxRdxxLdxxfI)

16、()()(bandxxRfR)(bandxxwnf)()!1()()1(banndxxxxxnf)()()!1()(0)1(7.2.2 7.2.2 截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差上上個(gè)等距節(jié)點(diǎn)個(gè)等距節(jié)點(diǎn)，得到，得到的插值多項(xiàng)式的插值多項(xiàng)式. .由于由于，因此，因此牛頓牛頓- -柯特斯公式的截?cái)嗾`差（即余項(xiàng)）為柯特斯公式的截?cái)嗾`差（即余項(xiàng)）為（7.9）已知已知thaxnnhdthnthtthnf0)1()() 1()!1()(nnndtntttfnh0)1(2)() 1()()!1(當(dāng)當(dāng)1n時(shí)，時(shí)，梯形公式的截?cái)嗾`差梯形公式的截?cái)嗾`差為為10)2(31) 1()(! 2)(dtttfhdxxRTIRbaT0)

17、 1( tt)()2(xf10)2(3) 1()(2dtttfhRT,)(12)()2(3bafab注意到注意到，若要求，若要求連續(xù)，根據(jù)連續(xù)，根據(jù)中值定理，則有梯形公式的截?cái)嗾`差中值定理，則有梯形公式的截?cái)嗾`差返回例返回例1)()4(xf4(4)()( ) , 1802SbabaRISfa b 6(6)2()()( ) , 9454CbabaRICfa b 如果如果連續(xù)，連續(xù)，辛普森公式的截?cái)嗾`差為辛普森公式的截?cái)嗾`差為柯特斯公式的截?cái)嗾`差為柯特斯公式的截?cái)嗾`差為（7.117.11）返回例返回例1 110dxeIx8591409. 1)(20110eeTIxexf)(xexf )(23. 0

18、12)(max12110 exfTIRxT7188612. 1)4(60112/10eeeSIx）（exf)(400094. 02880)(max28801410exfSIR）（xS例例1 1 計(jì)算積分計(jì)算積分，并估計(jì)誤差，并估計(jì)誤差. .由于由于，所以，所以，于是，于是，梯形公式的誤差梯形公式的誤差2 2） 用用辛普森公式辛普森公式計(jì)算，計(jì)算，由于由于，于是，于是，辛普森公式的誤差辛普森公式的誤差解解 1 1） 用用梯形公式梯形公式計(jì)算計(jì)算(2)( )0fx (4)( )0fx ( )f xn( )f x【注注】 時(shí)，梯形求積公式準(zhǔn)確成立；時(shí)，梯形求積公式準(zhǔn)確成立；即梯形公式對一次多項(xiàng)式準(zhǔn)確

19、成立，即梯形公式對一次多項(xiàng)式準(zhǔn)確成立，是是（3 3） 數(shù)值求積方法是一種近似方法，因此，要求求積公式數(shù)值求積方法是一種近似方法，因此，要求求積公式 作為衡量公式逼近好壞的標(biāo)準(zhǔn)之一，下面給出作為衡量公式逼近好壞的標(biāo)準(zhǔn)之一，下面給出代數(shù)精度代數(shù)精度的概念的概念. .時(shí)，辛普森公式準(zhǔn)確成立時(shí)，辛普森公式準(zhǔn)確成立. .（2 2） 一般地，由余項(xiàng)一般地，由余項(xiàng)公式公式(7.9)(7.9)知，當(dāng)知，當(dāng)次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式時(shí)，積分余項(xiàng)為零，從而牛頓時(shí)，積分余項(xiàng)為零，從而牛頓- -柯特斯求積公式準(zhǔn)確成立柯特斯求積公式準(zhǔn)確成立. .對盡可能多的被積函數(shù)對盡可能多的被積函數(shù)能準(zhǔn)確計(jì)算積分值能準(zhǔn)確計(jì)算積分值. .而辛普

20、森公式對三次多項(xiàng)式準(zhǔn)確成立而辛普森公式對三次多項(xiàng)式準(zhǔn)確成立. .當(dāng)當(dāng)（1 1） 當(dāng)當(dāng)m1mm7.2.3 7.2.3 代數(shù)精度代數(shù)精度能準(zhǔn)確求出積分值，而對某個(gè)能準(zhǔn)確求出積分值，而對某個(gè)積分，則稱該求積公式具有積分，則稱該求積公式具有次代數(shù)精度次代數(shù)精度. .【定義定義1 1】 如果某求積公式對于次數(shù)小于等于如果某求積公式對于次數(shù)小于等于的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式次多項(xiàng)式就不能準(zhǔn)確求出次多項(xiàng)式就不能準(zhǔn)確求出例例1：驗(yàn)證梯形公式的代數(shù)精度：驗(yàn)證梯形公式的代數(shù)精度m=1( ) ( )( )2babaf x dxf af b解：解：(1)當(dāng)當(dāng)f(x)=1時(shí)時(shí)1badxba左端：左端：(1 1)2baba右端：右

21、端：左端左端=右端右端這表明求積公式對這表明求積公式對f(x)=1是準(zhǔn)確成立的是準(zhǔn)確成立的(2)當(dāng)當(dāng)f(x)=x時(shí)時(shí)221()2baxdxba左端：左端：221()()22baabba右端：右端：左端左端=右端右端這表明求積公式對這表明求積公式對f(x)=x是準(zhǔn)確成立的是準(zhǔn)確成立的(3)當(dāng)當(dāng)f(x)=x2時(shí)時(shí)2331()3bax dxba22()2baab右端：右端：左端左端右端右端這表明求積公式對這表明求積公式對f(x)=x2不能準(zhǔn)確成立不能準(zhǔn)確成立左端：左端：故梯形公式的代數(shù)精度故梯形公式的代數(shù)精度m=1辛普生公式的代數(shù)精度辛普生公式的代數(shù)精度分別取分別取 f(x) = f(x) = 1,

22、 x, x2, x3 ， 則有則有所以，所以，辛普生公式的代數(shù)精度為辛普生公式的代數(shù)精度為3 3。554d462but d4562()( )( )( )(),()( )( )(),bababaabI ff xxf aff bS fbabaabI fxxf aff bS fd462()( ) ( )()( )()babaabf xxf aff bS fmmxxxf, 1)(1)(mxxfnkbammmmkknkbakknkbakmabdxxxAabxdxxAabdxA0110220,1,2,1kxkAm由定義由定義1 1，具有，具有次代數(shù)精度的求積公式（次代數(shù)精度的求積公式（7.37.3）對）對

23、時(shí)精確成立，而對時(shí)精確成立，而對成立成立. .為了構(gòu)造形如公式（為了構(gòu)造形如公式（7.37.3）的求積公式，通過解方程組）的求積公式，通過解方程組可得求積節(jié)點(diǎn)可得求積節(jié)點(diǎn)與求積系數(shù)與求積系數(shù)，由此求得具有，由此求得具有次代數(shù)精度的求積公式次代數(shù)精度的求積公式. .不能精確不能精確nn1n( )f xn(1)( )0nfx( )0bnaR x dx n1( )nf xx(1)( )(1)!nfxn2000( )()()nnbbnnnjaajjR x dxxx dxhtj dt2ntu2202( )()2nnbnnnajnR x dxhuj du0()2njnujun( )0bnaR x dx 對牛頓對牛頓- -柯特斯求積公式，有下面結(jié)論柯特斯求積公式，有下面結(jié)論. .數(shù)精度，而當(dāng)數(shù)精度，而當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，至少具有為偶數(shù)時(shí)，至少具有次代數(shù)精度次代數(shù)精度. .為任何次數(shù)不高于為任何次數(shù)不高于的多項(xiàng)式時(shí)，的多項(xiàng)式時(shí)，所以，所以, ,顯然結(jié)論成立顯然結(jié)論成立. .為偶數(shù)時(shí)，只須對為偶數(shù)時(shí)，只須對時(shí)的結(jié)論驗(yàn)證時(shí)的結(jié)論驗(yàn)證. .因?yàn)橐驗(yàn)?，由截?cái)嗾`差公式，由截?cái)嗾`差公式若令若令，則有，則有注意到注意到是是的奇