固體物理的思考題

1、1. 解理面是面指數(shù)低的晶面還是面指數(shù)高的晶面，為什么？答：解理面是指面與面之間的相互作用力比較弱，容易解離的面，若面間距比較大，則容易形成解理，晶面指數(shù)越大，面間距越小，晶面指數(shù)越小，面間距越大，所以是面指數(shù)低的晶面容易解離。2. 高指數(shù)的晶面族與低指數(shù)的晶面族相比，對于同級衍射，那一晶面族衍射光弱？為什么？答：由布拉格衍射公式2dsin=n，其中𝜽為入射x射線的掠射角，高指數(shù)的晶面族晶面間距d比較小，對于同級衍射，d越大，則越小，光的透射能力就越弱，此時形成的衍射光就比較弱。也可以從另一方面考慮，晶面指數(shù)越大，晶面間距越小，原子密度也越小，此時對入射光的反射作用就比較弱，所

2、以高指數(shù)晶面組的衍射光弱。3. 對于x射線衍射，可否將入射光改為可見光？答：不可以，主要由于原子的間距在Å的數(shù)量級，根據(jù)布拉格衍射公式，可知入射光波的波長也應(yīng)在Å的數(shù)量級，然而可見光的波長一般為幾百nm所以不可以改為可見光入射，常用的入射光一般為Cu的K線1.54Å。4. 在一般的單式格子中是否存在強(qiáng)烈的紅外吸收，為什么？答：在離子晶體中的長光學(xué)支格波有特別重要的作用，因為不同離子間的相對振動產(chǎn)生電偶極矩，從而可以和電磁波相互作用，長光學(xué)波與紅外光波的共振，引起對入射波的強(qiáng)烈吸收，但是對于單式格子（簡單晶格）而言，由于是只包含單個原子，并不存在光學(xué)支格波，所以不會

3、引起對紅外光波的強(qiáng)烈吸收。5. 色散曲線中，能否判斷哪知格波的模式密度比較大，是光學(xué)支格波還是聲學(xué)支格波？答：在色散曲線中，光學(xué)支格波的色散曲線比較平緩，而聲學(xué)支的色散曲線比較陡峭，模式密度表示在頻率附近單位頻率間隔內(nèi)的格波數(shù)，由于光學(xué)支格波色散曲線變化平緩，對應(yīng)小的 區(qū)間就具有了較大的波矢q的變化，所以光學(xué)支格波的模式密度比較大。6. 拉曼散射中光子會不會產(chǎn)生倒逆散射？答：拉曼散射是長光學(xué)波聲子與光子（紅外光）的相互作用，長光學(xué)波聲子的波矢很小，響應(yīng)的動量小，產(chǎn)生倒逆散射的條件要求波長小，波矢大，散射角大，拉曼散射不滿足條件所以不會產(chǎn)生倒逆散射。7. 長聲學(xué)支格波能否產(chǎn)生離子晶體的宏觀極化？

4、答：光學(xué)支格波描述了原子的相對運(yùn)動，在離子晶體中，它使正負(fù)離子之間產(chǎn)生了相對位移，所以使晶體呈現(xiàn)宏觀極化，但是長聲學(xué)支格波描述了原子的同向運(yùn)動，原子之間的位移相同，沒有相對位移，所以長聲學(xué)格波不能導(dǎo)致離子晶體的宏觀極化。8. 在絕對零度時還有格波存在嗎？若存在，格波間還有能量交換嗎？答：格波能量En=12+n，當(dāng)T0K時，n0，此時格波能量為零點(diǎn)能12，此時格波的能量只剩下零點(diǎn)能，格波之間的能量交換是以為單位進(jìn)行交換的，即是聲子的產(chǎn)生的湮滅，但是此時聲子數(shù)為零，所以格波間沒有了能量交換。9. 晶體中的聲子數(shù)目是否守恒？答：平均聲子數(shù)目n=1expKBT-1，利用德拜模型，總的聲子數(shù)目N=0Dn

5、gd，此時容易推得聲子數(shù)n與T3成正比。第三章 晶格振動這一章主要介紹了晶體內(nèi)原子的運(yùn)動形式以及能量的傳輸特性，并且引入了格波和聲子的概念。一不考慮格波之間的相互作用1.以一位雙原子鏈為例介紹晶體內(nèi)原子的運(yùn)動形式（在牛頓經(jīng)典力學(xué)的框架內(nèi)考慮F=ma）：采用的模型：一維雙原子鏈的振動模型；近似條件：近鄰近似（只考慮近鄰原子之間的相互作用）以及簡諧近似（只考慮是勢能函數(shù)的二級偏倒）在求解過程中假設(shè)波長a，此時將一個非連續(xù)的方程轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)方程，并且經(jīng)過推導(dǎo)得到了波動方程d2u(x,t)dt2=02d2u(x,t)dx2 利用波動方程求得方程的解，即：ux,t=Aei(qx-wt)，但是此時是根據(jù)a得

6、到的解，假若與a比較接近時，則晶體不可以看成是連續(xù)的得到了試探解ux,t=Aei(qna-wt)，但是在周期性晶體結(jié)構(gòu)中波長為不連續(xù)的分立的，從而引入了玻恩卡曼邊界條件，進(jìn)而得到q=2mNa,m=0,±1,±210. 格波的性質(zhì)a. 波速，群速度以及相速度之間的關(guān)系；b. 色散關(guān)系 q之間的關(guān)系 聲學(xué)支格波和光學(xué)支格波 聲學(xué)支格波與光學(xué)支格波最顯著的區(qū)別在對于光學(xué)支格波而言q=0,0 而聲學(xué)支格波q=0,=0。最重要的區(qū)別在于描述了晶體內(nèi)格波的不同運(yùn)動狀態(tài)。c. 格波數(shù) 此時以三維晶體為例來說明，假設(shè)初級元胞中包含了s個原子，此時一個q對應(yīng)3s個頻率，對應(yīng)3s支格波，其中包

7、含3支聲學(xué)支格波，3(s-1)支光學(xué)支格波，由于在第一布里淵區(qū)中包含有N（初級元胞樹目）個波矢q，則總的格波數(shù)為3NS。d. 格波態(tài)密度的概念 在附近，單位頻率間隔內(nèi)的格波數(shù)目 g=i=13sV23dswqi(q) 求解格波態(tài)密度是很困難的，主要體現(xiàn)在兩個方面：一是色散關(guān)系不確定，二是曲面不一定是規(guī)范的圖形，有可能是不規(guī)則的。11. 對晶格振動的簡諧近似的量子修正a. 晶體中簡諧振動的3NS個格波的總能量，通過引入簡正坐標(biāo)消去交叉項后很容易的證明了晶格振動能量可以看成3NS個諧振子的能量，從而進(jìn)行量子力學(xué)修正，諧振子的能量利用量子力學(xué)的結(jié)果表示：En=(12+n) 相鄰狀態(tài)的能量差為，它為諧振

8、子哦能量量子，稱為聲子。聲子同樣遵循能量守恒與準(zhǔn)動量守恒。 此時三維晶體的3NS個格波與3NS個量子諧振子一一對應(yīng)，所以上式描述了頻率為的格波的能量?？傮w而言，對于晶格振動的考慮是基于牛頓力學(xué)+量子力學(xué)修正的綜合，簡稱為半經(jīng)典理論，其中量子力學(xué)的修正就體現(xiàn)在諧振子的能量采用的是量子諧振子能量。12. 考慮晶體的熱容定容熱容：單位質(zhì)量的物體在定容過程中，能量升高1，系統(tǒng)內(nèi)能的增量。Cv=limT0(UT)=(UT)vCV=0mKB(KBT)2eKBT(KBT-1)2 gd g=i=13sV23dswqi(q)此時的主要困難就是g求解十分復(fù)雜。所以引入了兩個模型愛因斯坦模型以及德拜模型a. 愛因斯

9、坦模型的基本思想晶體內(nèi)所有原子都以相同的頻率獨(dú)立振動，則晶體內(nèi)所有格波的頻率均相同。同時引入了愛因斯坦溫度E。b. 德拜模型的基本思想把晶體視為各向同性的連續(xù)彈性媒質(zhì)，此時的色散關(guān)系為線性的，=pq，根據(jù)態(tài)密度函數(shù)g=i=13sV23dswqi(q) 得g=3V22p32，代入熱容公式求得CV。c. 兩種模型之間的對比1 高溫情況下兩者均與杜隆-柏替定律相一致，熱容為一個常數(shù)；2 低溫情況下對平均聲子數(shù)進(jìn)行討論的過程中，定性的認(rèn)為，當(dāng)iKBT的那些格波在溫度T時才會被激發(fā)，并且只有這些格波才會對熱容有貢獻(xiàn)，而iKBT的格波將會被凍結(jié)，對熱容無貢獻(xiàn)。在愛因斯坦模型中假設(shè)所有的格波均以相同的頻率獨(dú)

10、立的振動，也就是說在任何溫度下所有的格波均會被激發(fā)，所以這也是愛因斯坦模型在低溫下定量上與試驗不相符的原因。 固體中的原子之間存在很強(qiáng)的相互作用，一個原子不可能孤立的振動而不帶動近鄰原子。因此愛因斯坦模型中把固體中各原子的振動視作相互波的頻率分布，把晶體當(dāng)作彈性媒質(zhì)來處理，在低溫情況下，溫度越低，被激發(fā)的格頻率也越低，對應(yīng)的波長越長，把晶體視作連續(xù)媒質(zhì)的近似程度越好。所以溫度越低，德拜模型近似程度越好。二非簡諧近似利用簡諧近似以及量子理論修正成功的描述的晶體內(nèi)原子的運(yùn)動狀態(tài)（格波）以及相應(yīng)的色散關(guān)系，引入了聲子，并且成功解釋了宏觀熱容（愛因斯坦模型以及德拜模型），但是這一近似卻不能解釋熱膨脹與

11、熱傳導(dǎo)等宏觀現(xiàn)象。但是會發(fā)現(xiàn)，假若晶體內(nèi)部的格波之間為相互獨(dú)立的不發(fā)生任何的相互作用或者能量交換，這與宏觀材料的熱膨脹現(xiàn)象以及熱傳導(dǎo)現(xiàn)象相矛盾，所以將理論進(jìn)行進(jìn)一步的修正，引入了勢能的高次項。a. 晶體體膨脹系數(shù)等壓條件下，當(dāng)溫度升高一度時提及的相對增量，即v=1V0(dVdT)p。通過求解得到v=KVCVb. 熱傳導(dǎo)熱能流密度：單位時間垂直通過單位面積的熱能 x=-Tx ， 為熱導(dǎo)率，衡量晶體導(dǎo)熱性能的物理量，負(fù)號表示熱能是逆著溫度梯度的方向傳播。經(jīng)過一系列的推倒之后，=13CVl 固體能帶理論1 基本思想固體能帶理論主要討論晶體中電子的狀態(tài)與能譜，基本思想就是首先采用絕熱近似以及單電子近似

12、，將多體問題首先簡化為多電子問題，進(jìn)而再簡化為單電子問題。具體方法就是就接薛定諤方程，求解本征能量E(K)K之間的關(guān)系，其中求解薛定諤方程首先需要確定的是：周期勢場是什么形式以及采用何種本征波函數(shù)。2 Bloch定理Bloch發(fā)現(xiàn)在周期勢場（不管周期勢場是何種形式）中運(yùn)動的電電子波函數(shù)，不再是簡單的平面波而是按照周期勢場進(jìn)行調(diào)幅的平面波。具體形式K,r=UK,reiKr，其中UK,r具有正晶格的周期性UK,r=UK,r+Rn，晶體中的電子波稱為布洛赫波，晶體中的電子稱為布洛赫電子。晶體中的電子滿足布洛赫定理具有以下的性質(zhì)：a. 電子出現(xiàn)的機(jī)率具有正晶格周期性 K,r2=K,r+Rn2b. 布洛

13、赫定理可以表示為K,r+Rn=eiKRnK,rc. 波函數(shù)本身并沒有正晶格周期性K,rK,r+Rn 所以說波函數(shù)本身并沒有實際的物理意義。d. K態(tài)與K+Gh態(tài)相同，利用公式表示即是K,r=K+Gh,r，EK=E(K+Gh)e. EK=E-K，在倒空間選用合適的坐標(biāo)系，能量具有K=0的中心反演對稱性。f. 電子的能量E(K)具有正晶格相同的對稱性。3 需要根據(jù)實際的物理特性選用合適的周期勢場函數(shù)以及波函數(shù)主要介紹的幾種模型：近自由電子模型、緊束縛模型（原子軌道的線性組合模型）以及克隆尼克-潘納模型a. 近自由電子模型的發(fā)展特魯?shù)履Ｐ停ㄗ杂呻娮託饽Ｐ停簝r電子構(gòu)成自由電子氣，無規(guī)則的熱運(yùn)動與原子

14、實碰撞，滿足經(jīng)典的波爾茲曼統(tǒng)計分布，并且采用的是牛頓方程；兩次碰撞之間，電子不受力的作用，電子能量只有動能，同時假設(shè)受到邊界條件的限制，由周期邊界條件K不連續(xù)。成功解釋了金屬的導(dǎo)電、導(dǎo)熱線性，但是忽略了原子實周期勢場和電子間的相互作用，不能正確解釋金屬的比熱。索末菲模型（自由電子費(fèi)米氣模型），在特魯多模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行量子修正，假設(shè)周期勢場很弱并且是一個常數(shù)（假設(shè)為0），滿足周期性邊界條件，滿足費(fèi)米-狄拉克分布，而不是經(jīng)典的玻氏分布，滿足泡利不相容原理，采用了薛定諤方程進(jìn)行求解。近自由電子模型：是在索末菲模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，此時將周期勢場看作微擾，并且具有倒格子周期性，零級能量和波函數(shù)與自由電

15、子的能量和波函數(shù)完全相同，最后求解得到的波函數(shù)是自由電子平面波與相差倒格矢的散射波的疊加，此時的電子波函數(shù)是布洛赫電子波函數(shù)，具有布洛赫電子波函數(shù)的一切性質(zhì)。禁帶出現(xiàn)的解釋：理論的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)波矢位于布里淵區(qū)邊界時，由于周期勢場的作用，K'和K態(tài)的能量發(fā)生變化，具有2Vn的能量跳躍，出現(xiàn)了寬度為2Vn禁帶。因此說禁帶是周期勢場作用的結(jié)果，兩個允許帶被禁帶隔開，禁帶對應(yīng)的能量狀態(tài)是晶體中電子不能占據(jù)的；物理解釋：求解布里淵區(qū)邊界上的電子波函數(shù)，電子波函數(shù)模值的平方代表了電子出現(xiàn)的機(jī)率，+0xa=2L-12Acos(xa)-0xa=2L-12Asin(xa)+=|+（0） |2=4L-

16、1A2cos2(xa)-=|-（0） |2=4L-1A2sin2(xa)上面兩式給出了電子云的駐波分布，-(a,x)對應(yīng)的電子分布為大部分負(fù)電荷遠(yuǎn)離帶正電荷的原子實，+(a,x)對應(yīng)的電子分布為大部分負(fù)電荷靠近帶正電的原子實，所以-(a,x)的勢能比+(a,x)的勢能高，這是布里淵區(qū)邊界上能量產(chǎn)生不連續(xù)跳躍的原因。在一維情況下布里淵區(qū)邊界處能量的跳躍一定伴隨著禁帶的產(chǎn)生，但是對于二維三維晶體而言則不一定，雖然在布里淵區(qū)邊界產(chǎn)生能量的跳躍，但是由于能量交疊，所以不一定產(chǎn)生禁帶。b. 緊束縛模型（原子軌道的線性組合模型）適用于絕緣體電子被緊緊的束縛在原子核周圍，當(dāng)其形成晶體時，各原子核對電子的束縛

17、能力仍然很強(qiáng)，此時晶體中的電子狀態(tài)和孤立原子中的電子狀態(tài)很相似，計算晶體能帶時，仍然利用微擾理論求解薛定諤方程，波函數(shù)的零級近似采用孤立原子的波函數(shù)，勢能函數(shù)為Vr-V(r-Rn)作為微擾，式中Vr為晶體中的所有原子在r處的勢能函數(shù)，V(r-Rn)為Rn處的孤立原子在r處產(chǎn)生的勢能函數(shù)。 將孤立原子的電子波函數(shù)和能量看作零級近似，對于由N個初基原胞組成的晶體（假設(shè)為簡單晶體），對于每個原子都具有-22m2+Vatr-RnatK,r-Rn=EatatK,r-Rn的形式，且每個原子中電子的能量均相同，也就是N重簡并的，利用簡并微擾理論的處理方法，微擾后的狀態(tài)時N個簡并態(tài)的線性組合，即用孤立原子軌道

18、的線性組合來構(gòu)成晶體中電子運(yùn)動的軌道，這種方法稱為原子軌道的線性組合法。禁帶形成的原因：孤立原子中的每個能級在形成晶體后均會分裂為一個能帶，也就是說原子中的一個電子能級對應(yīng)著一個能帶稱為子能帶，如果兩個以上的子能帶相互交疊則形成一個混合能帶，如果子能帶之間沒有交疊則就有帶隙存在。因此從緊束縛近似的模型來看，能隙不過是孤立原子能級之間的不連續(xù)能量區(qū)域在能級分裂成能帶之后所余下的部分?？偠灾?，所謂的計算固體能帶的所有近似模型，并不具有普適性，都具有一定的局限性，所以要根據(jù)實際的需求選用合適的模型才會得到比較理想的結(jié)果。一般情況下利用軟件計算的禁帶寬度都比實際值低，所以通常根據(jù)實際測量值，在實踐結(jié)

19、果上附加一常數(shù)值U“+U”算法來進(jìn)行下面的計算。4 電子輸運(yùn)電子的本征態(tài)和本征值是描述了電子的運(yùn)動問題的基礎(chǔ)，但是大多數(shù)晶體都處于外場下作用。由于電子在外場中吸收了能量可以激發(fā)聲子，也就是晶格振動，把能量傳給晶體，所以電子與聲子之間的相互作用是重要的微觀過程。由于一般情況下外場要比周期勢場弱的多，所以此時可以以周期勢場中電子的本征態(tài)為基礎(chǔ)進(jìn)行討論。主要有兩種：準(zhǔn)經(jīng)典方法，一種是量子力學(xué)方法，量子力學(xué)方法考慮了粒子之間的相互作用更加精確，但是很復(fù)雜。準(zhǔn)經(jīng)典方法又分為兩個：一是把電子在布洛赫態(tài)中的平均速度作為它們的速度，把電子視為具有一定速度、有效質(zhì)量的準(zhǔn)粒子處理，故稱為電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動；另一種方法就是求解波爾茲曼方程得到在外場作用下載流子的分布函數(shù)，從而求解所需的輸運(yùn)參數(shù)，該方法也是比較復(fù)雜，但是精度也比較高。此時主要討論了電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動。固體物理學(xué)復(fù)習(xí) 研究對象：晶體、非晶以及準(zhǔn)晶等固相物質(zhì)，在本書中主要介紹原子排列具有周期性結(jié)構(gòu)的晶體。 研究任務(wù)：研究固體物質(zhì)的物理性質(zhì)、微觀結(jié)構(gòu)、構(gòu)成物質(zhì)的粒子的運(yùn)動形態(tài)及其相互關(guān)系的科學(xué) 。 理論基礎(chǔ)：量子力學(xué)，熱力學(xué)統(tǒng)計物理等 主要方法：經(jīng)典理論與量子理論相結(jié)合 主要主題：一是晶格理論，二是固體電子理論 晶格理論包括