2020版高考理科一輪復(fù)習(xí)：課后限時(shí)集訓(xùn)51曲線與方程

1、課后限時(shí)集訓(xùn)（五十一）曲線與方程（建議用時(shí)：60分鐘）A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1 .若方程x2+y-= 1（a是常數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（）aA.任意實(shí)數(shù)a方程表示橢圓B.存在實(shí)數(shù)a方程表示橢圓C.任意實(shí)數(shù)a方程表示雙曲線D.存在實(shí)數(shù)a方程表示拋物線B 當(dāng)a>0且awl時(shí)，該方程表示橢圓；當(dāng)a<0時(shí)，該方程表示雙曲線；當(dāng)a= 1時(shí)，該方程表示圓.故選B.x2 y2一 1 一 一2.已知點(diǎn)Q在橢圓O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)i為橢圓C的左焦點(diǎn)），C: +1o=1 上，點(diǎn) P滿足 OP= -(OFi + OQ(其中則點(diǎn)P的軌跡為（）A.圓B,拋物線C.雙曲線D.橢圓一 1 一 一x2 y2D 因?yàn)?/p>

2、點(diǎn)P滿足OP= 2（OF1 + OQ,所以點(diǎn)P是線段QF的中點(diǎn)，設(shè)P（x, y）,由于F1為橢圓C:耗+元=221 的左焦點(diǎn)，則 F1（46, 0）,故 Q（2x + 46, 2y）, 由點(diǎn)Q在橢圓C：十器1上，得點(diǎn)P的軌跡方程為D.2 2y 2-+ 記一=1,故點(diǎn)P的軌跡為橢圓.故選3.已知點(diǎn)F（0,1）,直線l ： y = 1, P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為 Q且QPQF=FP- FQ則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為()A. x2=4yB. y2=3xC. x2= 2yD. y2= 4xA 設(shè)點(diǎn) P(x, y),則 Q(x, 1). QP- QF= FP - FQ .(0, y

3、+ 1) ( x,2) =(x, y1) (x, 2),即 2(y + 1) = x22(y 1),整理得 x2=4y,，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2 = 4y.故選A.4.設(shè)點(diǎn)A為圓(x 1)2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，PA是圓的切線，且|PA| = 1,則P點(diǎn)的軌跡方程為()A. y2= 2xC. y2= 2xB. (x 1)2+y2=4D. (x-1)2+y2=2D 如圖，設(shè) P(x , y),圓心為 M(1,0).連接 MA PM 則 MAL PA 且 |MA| = 1 , 又,|PA| = 1, .|PM|= q|MA|2+|PA| 2 =y/2,即 |PM|2 = 2, (x 1)2+y2

4、=2.5 .設(shè)圓(x+ 1)2+y2=25的圓心為C, A(1,0)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，Q為圓周上任一點(diǎn).線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點(diǎn)M,則M的軌跡方程為()4x2 4y24x2 4y2C.24x24y2521=14x2D石+24y21A. 27 25 = 1B. 21+25= 1第3頁(yè) 共7頁(yè)D 因?yàn)镸為AQ垂直平分線上一點(diǎn)，則 |AM| = |MQ|,所以 |MC| 十 |MA| = |MC| + |MQ| = |CQ| = 5,5故M的軌跡為以點(diǎn) C, A為焦點(diǎn)的橢圓，所以 a=2，c=1.所以橢圓的方程為4xr+4y7=1.2521二、填空題6 .已知 ABC的頂點(diǎn)B(0,0) ,

5、 C(5,0) , AB邊上的中線長(zhǎng)|CD| = 3,則頂點(diǎn)A的軌跡方程為(x 10)2+y2 = 36(y W0)設(shè) A(x , y),x 則D,.|CD| =化簡(jiǎn)得(x 10)2+y2=36,由于A, B, C三點(diǎn)構(gòu)成三角形, 1-A不能落在x軸上, 即 yw0.7 . 一條線段的長(zhǎng)等于6,兩端點(diǎn)A, B分別在x軸和y軸的正半軸上滑動(dòng)，P在線段AB上且AP= 2PB,則點(diǎn)P的軌跡方程是. 4x2+y2=16 設(shè) P(x, y) , A(a,0) , B(0 , b),則 a2+b2=36.因?yàn)?AP= 2PB,所以(x -a, y) =2( x, b-y),x=3，a=3x，所以即 3代入

6、 a2+b2=36,得 9x2+-y2=36,即 4x2+y2= 16.2bb = 3y,4y=728 .已知圓的方程為 x2+y2 = 4,若拋物線過點(diǎn) A( 1,0) , B(1,0)且以圓的切線為準(zhǔn)線，則拋物線的焦點(diǎn)軌跡方程是.22x4+y3- = 1(yW0)設(shè)拋物線焦點(diǎn)為F,過A,B,O作準(zhǔn)線的垂線AA, BB , OO,則 |AA1|十 |BB1| =2|0O| =4,由拋物線定義得|AAi|十|BBi| =|FA| + |FB| ,所以|FA| 十 |FB| =4,故F點(diǎn)的軌跡是以 A, B為焦點(diǎn),22長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓(去掉長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)).所以拋物線的焦點(diǎn)軌跡方程為x+y=i(yw

7、0).43三、解答題9.如圖所示，已知圓 A:僅+ 2)2+丫2=1與點(diǎn)B(2,0),分別求出滿足下列條件的 動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.(1) 4PAB的周長(zhǎng)為10;(2)圓P與圓A外切，且過 B點(diǎn)(P為動(dòng)圓圓心)；(2)圓P與圓A外切，且與直線 x=1相切(P為動(dòng)圓圓心).解(1)根據(jù)題意，知 |PA| +|PB| +|AB| =10,即 |PA| 十|PB| =6>4=|AB| ,故 P 點(diǎn)軌跡是橢圓，且 2a = 6,2c=4,即 a=3, c= 2, b=5.因此其軌跡方程為 ：+=1" w0).95(2)設(shè)圓 P的半徑為 r,則 |PA| =r+ 1, |PB| =r,因此

8、|PA| -|PB| =1.由雙曲線的定義知，P點(diǎn)的軌跡為雙曲線的右支，且 2a= 1,2c =4,即 a = c= 2, b=,因此其軌跡方程為 4x2；y2=1 x.22152(3)依題意，知?jiǎng)狱c(diǎn) P到定點(diǎn)A的距離等于到定直線 x=2的距離，故其軌跡為拋物線，且開口向左, 4.因此其軌跡方程為 y2= 8x.10.已知?jiǎng)狱c(diǎn) M到定點(diǎn)F1( 2,0)和F2(2,0)的距離之和為 4、叵(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；(2)設(shè)N(0,2),過點(diǎn)P(-1, 2)作直線l ,交曲線C于不同于N的兩點(diǎn)A, B,直線NA NB的斜率分別為 k1, k2,求 kdk2 的值.解(1)由橢圓的定義，可知點(diǎn)M

9、的軌跡是以F1, F2為焦點(diǎn)，4、”為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓.由 c = 2, a= 2/2,彳導(dǎo) b= 2.22故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程為= 1.(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y+2=k(x +1),22得(1 + 2k2)x 2 + 4k(k 2)x +2k2-8k = 0.由 8 + L1y+2=k x+1A= 4k(k 2) 24(1 +2kj(2k 28k) > 0,則 k > 0 或 k v 4.設(shè) A(x1, y1) , B(x2, y2),則 x1+x2=4k k-21 + 2k2，2k2 8kxx2= -2-.1 + 2k第4頁(yè) 共7頁(yè)從而 k1+k2= +T x1x

10、22kx 1x2+k 4x1+x2xx24k k- 2= 2k(k4) 2k2_ 8k =4.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，得 A - 1142 ，B -1142 ，所以 ki + k2= 4.綜上，恒有ki + k2=4.B組能力提升1.已知A B為平面內(nèi)兩定點(diǎn)，過該平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)2M作直線AB的垂線，垂足為 N.若MN=入AN-NB,其中入為常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn) M的軌跡不可能是()A.圓B.橢圓C.拋物線D.雙曲線C 以AB所在直線為x軸，AB的中垂線為y軸，建立坐標(biāo)系，設(shè)M(x, y) , A( a,0) , B(a,0),則N(x,0).因?yàn)镸N=入AN-NB,所以 y2=入(x + a)(a x),

11、即 入 x 2+ y入=1時(shí)，軌跡是圓;入0且入wi時(shí)，軌跡是橢圓;入V 0時(shí)，軌跡是雙曲線;入=0時(shí)，軌跡是直線.綜上，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡不可能是拋物線.2.已知F122F2分別為橢圓c： 1y31的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn) P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則4 PF1F2的重心G的軌跡方程為()22A.36+ 2r 吁0)B.4x- + y1 2=i(y w0)99x22C.1- + 3y =i(y W0)D. x2+4y2-=i(y W0)C 依題意知Fi(-1,0) ， F2(1,0)設(shè) P(x0 , y。), G(x , y)角形重心坐標(biāo)關(guān)系可得x0 1 + 1x=3yo y=3-'X0 = 3x 即y

12、o= 3y.22x0 y0 一, ,、_代入7+=1得重心G的軌跡方程為9x22+3y =1(y*0).第9頁(yè) 共7頁(yè)AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x , y),則有1y=2解(1)如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC勺方向?yàn)閤軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.3.若過點(diǎn)P(1,1)且互相垂直的兩條直線11, 12分別與x軸，y軸交于A, B兩點(diǎn)，則AB中點(diǎn)M的軌跡方程為.x+y-1 = 0 當(dāng)直線11的斜率存在時(shí)，12的斜率也存在，設(shè)直線11的方程是y1 = k(x 1),則直線1 2111的方程是y1 = k(x1),所以直線|1與x軸的交點(diǎn)為A 1-, 0 , l 2與y軸的交點(diǎn)為B0, 1+，設(shè)1

13、兩式相加消去k,得x + y=1 xw2 ,即x + y11=0 XW2 ,、1依題意得B 2, 0 , C 0 .所以AB中點(diǎn)M的軌跡方程為x+y1=0 xw2 .由 |AB| + |AC| + |BC| =6+32, 得 |AB| 十 |AC| =6.因?yàn)?|AB| + |AC| = 6> |BC| ,所以點(diǎn)A的軌跡是以B, C為焦點(diǎn)，6為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓(除去長(zhǎng)軸端點(diǎn))，所以點(diǎn)A的軌跡方程為 92 = 991(x w±3).1設(shè) A(X0, yo) , T(x , y),依題意知。仁-GA, 31Xo = 3x,所以(=3(x0, y0),即加一了.x2 2y0又8 +拳=1

14、,所以3x 2 2 3y 2-9 一十 9i即 x212x1-x1- m x1同理，x1x3=21 +1-2 1 x1 mm+ 2y2= 1,所以點(diǎn)T的軌跡E的方程為x2 + 2y2=1(xw±1).(2)證明：設(shè) M(m,0)(mw1), Nm, 0 ,Q(x1, y1), P(x2, y2), R(x3, y3).由題意得直線QM與坐標(biāo)軸平行，所以直線QM勺方程為y = x1 m(x - m), 與x2+ 2y2= 1聯(lián)立并整理可得, (m2 + 1 2mx)x2 2m(1 x2)x + (2mx1一 x1 mx1) = 0,由根與系數(shù)的關(guān)系得2mx x2 mx2 x1x2= n2+1 2mx，2mx 一mx2 x2所以 x2=x3或 x1=0, 當(dāng) x2=x3時(shí)，PFUx 軸;2,2m 1 x1當(dāng) x1=° 時(shí),由 x1 + x2=n2+1_2mx ,得X2 =2mnf+ 1，同理,X312mm2+ 1X2,.PRLx 軸.因此|MP| = |MR| ,故 MPR是等腰三角形.1 1當(dāng)l1的斜率不存在時(shí)，AB的中點(diǎn)為2, 2