高職應(yīng)用數(shù)學第二節(jié) 一階微分方程ppt課件

1、第二節(jié) 一階微分方程一階微分方程的普通方式為 /( , ,)0,F x y y引見兩類一階微分方程的解法， 本節(jié)將分方程，另一類是一階線性微分方程.一類是可分別變量的微一一. 可分別變量的微分方程可分別變量的微分方程形如( )( )dyf xg ydx的方程稱為可分別變量的微分方程， 其中 ( ), ( )f x g y別是變量 x，y的知延續(xù)函數(shù), 且 分( )0g y 。詳細解法可分兩步： (1)分別變量( )( )dyf x dxg y(2)兩邊積分( )( )dyf x dxg y得方程的通解( )( )G yF xC這種求解微分方程的方法稱為分別變量法。例例6.2.1 求微分方程求微

2、分方程 yyx的通解.解解 分別變量得分別變量得 dydxyx兩邊積分 dydxyx得 1lnlnyxC化簡得 1cyex1cyex 即令 1,cCe 那么得 (0)yC x C留意到y(tǒng)=0也是原方程的解， 所以 C 也可取0。 這樣，方程的通解為 yCxC為恣意常數(shù)。 例例6.2.2 求方程求方程 22122dyyxxydx 求滿足初始條件 的通解, 并00 xy的特解. 解解 2(12 )(1)dyxydx分別變量得 2(12 )(1)dyx dxy兩邊積分 2(12 )(1)dyx dxy得通解 2arctan yxxC將初始條件 00 xy代入通解得C=0， 于是所求特解為 2arct

3、an yxx例例6.2.3 求解初值問題求解初值問題22()2(1)0 xy dxxydyy解解 原方程不是可分別變量的方程原方程不是可分別變量的方程作變形 2221( )22ydyxyxydxxyx令 ,yux即 ,yux那么 dyduuxdxdx代入方程得 212duuuxdxu化簡得 212duuxdxu可分別變量 221ududxux兩邊積分 221ududxux得 2ln(1)lnlnuxC即 2(1)1Cxu將 yux回代得原方程的通解 22()C xyx將初始條件 10 xy代入通解得C=0， 于是初值問題的解為 22yxx可以化為普通方式 /( ),yyfx齊次微分方程， 方程

4、。 簡稱齊次只需作變換 ,yux方程來求解。 原方程便化dyxydxxy可化為 11ydyxydxx2222sinyxydyxdxxy可化為 221( ) sin1( )yydyxxydxx定義定義6.2.2 這類方程稱為一階對它進展求解時，為可分別變量的微分二二. 一階線性微分方程一階線性微分方程形如 ( )( )yP x yQ x的方程稱為一其中P(x)、Q(x)都是已知函數(shù)。當Q(x) = 0時，方程 ( )0yP x y稱為一階線性齊次微分方程； 當Q(x) 0 ，方程稱為一階線性非齊次微分方程。定義定義6.2.3 階線性微分方程，1. 一階線性齊次微分方程的解法一階線性齊次微分方程的

5、解法將方程 ( )yP x y變量分別得 ( )dyP x dxy 兩邊積分得 ln( )lnyP x dxC 方程的通解為 ( )P x dxyCe(C為恣意常數(shù)) 例例6.2.4 求微分方程求微分方程 20yxy的通解。 解法1分別變量法 所給方程是一階線性齊次方程變量分別得 2dyxdxy 兩邊積分得 21ln yxC 即 21xCye令 1CCe方程的通解為 2xyCe解法2公式法將P(x) =2x代入通解公式，得通解2( )2P x dxxdxxyCeCeCe2. 一階線性非齊次微分方程的解法一階線性非齊次微分方程的解法非齊次方程與齊次方程的差別僅是方程右邊的項Q(x)。 從齊次方程

6、的通解 ( )P x dxyCe的構(gòu)造及導數(shù)運算的規(guī)律,我們有理由推測非齊次方程的解形如( )( )P x dxyC x e(C(x)是關(guān)于x的函數(shù) 代入非齊次方程，得( )( )( )P x dxC xQ x edxC一階非齊次線性方程通解的公式為：( )( ) ( )P x dxP x dxyeQ x edxC或 ( )( )( )( )P x dxP x dxP x dxyCeeQ x edx 齊次方程非齊次方程的通解的特解上述求解方法稱為常數(shù)變易法. 用常數(shù)變易法求一階非齊次線性方程通解的步驟為： 1先求出非齊次線性方程所對應(yīng)的齊次方程的通解；2利用常數(shù)變易法設(shè)出非齊次線性方程的一個特

7、解；3將所設(shè)特解代入非齊次線性方程，解出C(x)，寫出非齊次線性方程的通解.例例6.2.5 求微分方程求微分方程 /2xyye的通解.解法解法1常數(shù)變易法常數(shù)變易法原方程變形為 /1122xyye對應(yīng)的齊次方程為 /102yy得通解 11( )22dxxP x dxyCeCeCe設(shè)原方程的解為 12( )xyC x e從而 11/221( )( )2xxyC x eC x e代入原方程得111/222111( )( )( )222xxxxC x eC x eC x ee化簡得 1( )2xC xe兩邊積分，得 2( )xC xeC所以，原方程的通解 122( )xxxyC x eCee解法解法2用公式法用公式法11( ),( )22xP xQ xe 把它們代入公式得11()2212dxdxxyeeedxC221()2xxxee edxC22()xxeeC例例6.2.6 求微分方程求微分方程2(21)0 x dyxyxdx1(1)2y初始條件 滿足的特解. 解解 將原方程化為將