圖形折疊問題

1、 圖形折疊問題圖形折疊問題在一張長方形在一張長方形ABCDABCD紙片紙片中，中，ADAD25cm, AB25cm, AB20cm20cm 點(diǎn)點(diǎn)E E，F(xiàn) F分別為分別為CDCD，ABAB的中點(diǎn)，現(xiàn)將這張紙的中點(diǎn)，現(xiàn)將這張紙片按圖示方式折疊，求片按圖示方式折疊，求DAH的大小及的大小及EGEG的長。的長。（浙教版九下（浙教版九下P17題題6）BCE FHGAD2010203030303031031025 二二 解決翻折問題解決翻折問題 我們把翻折問題分為兩類：我們把翻折問題分為兩類：“依點(diǎn)翻折依點(diǎn)翻折”和和“依線翻折依線翻折”。一一 認(rèn)識(shí)翻折問題認(rèn)識(shí)翻折問題 1.關(guān)注關(guān)注“兩點(diǎn)一線兩點(diǎn)一線”

2、在翻折過程中，我們應(yīng)關(guān)注在翻折過程中，我們應(yīng)關(guān)注“兩點(diǎn)兩點(diǎn)”，即，即對稱點(diǎn)對稱點(diǎn)，思考，思考自問自問“哪兩個(gè)點(diǎn)是對稱點(diǎn)哪兩個(gè)點(diǎn)是對稱點(diǎn)?” ；還應(yīng)關(guān)注；還應(yīng)關(guān)注“一線一線”，即折線，即折線，也就是，也就是對稱軸對稱軸。這是解決問題的基礎(chǔ)。這是解決問題的基礎(chǔ)。 2. 聯(lián)想到重合與相等聯(lián)想到重合與相等遇到這類問題，我們應(yīng)馬上聯(lián)想到遇到這類問題，我們應(yīng)馬上聯(lián)想到“重合的線段相等重合的線段相等,重合的角相等重合的角相等”，這是解決問題的關(guān)鍵，這是解決問題的關(guān)鍵。圖形的翻折是圖形的運(yùn)動(dòng)形式之一圖形的翻折是圖形的運(yùn)動(dòng)形式之一 例例1.將矩形將矩形ABCD紙對折，設(shè)折痕為紙對折，設(shè)折痕為EF，再把，再把B點(diǎn)

3、折點(diǎn)折到折痕線到折痕線EF上（見圖點(diǎn)上（見圖點(diǎn)B），若），若 ，則，則EB=_ 3AB B AB G D C E F3303030232323例例2、有一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，其具體操作過程是：有一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，其具體操作過程是：第一步：第一步：對折矩形紙片對折矩形紙片ABCD，使，使AD與與BC重合，得到折痕重合，得到折痕EF，把紙片展開（，把紙片展開（如圖如圖1）；）；第二步：第二步：再一次折疊紙片，使點(diǎn)再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在落在EF上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕，得到折痕BM，同時(shí)得到線段，同時(shí)得到線段BN（如圖（如圖2）請解答以下問題：（請解答以下問題：（1）如圖）如圖2，若

4、延長，若延長MN交交BC于于P，BMP是什么三角形？是什么三角形？請證明你的結(jié)論請證明你的結(jié)論圖圖1圖圖2p（1）BMP是等邊三角形是等邊三角形 證明：連結(jié)證明：連結(jié)AN, EF垂直平分垂直平分AB AN BN.由折疊知由折疊知 :AB BNAN AB BN ABN為等邊三角形為等邊三角形ABN 60 PBN 30 又又ABM NBM 30，BNM A 90 BPN 60,MBP MBN PBN 60BMP 60MBP BMP BPM 60BMP為等邊三角為等邊三角形形 306030例例2、（2）在圖）在圖2中，若中，若ABa，BCb，a、b滿足什么關(guān)系，才能在矩形紙滿足什么關(guān)系，才能在矩形紙

5、片片ABCD上剪出符合（上剪出符合（1）中結(jié)論的三角形紙片）中結(jié)論的三角形紙片BMP ？圖圖1圖圖2p。樣的等邊時(shí)，在矩形上能剪出這當(dāng)中，在，則上剪出等邊要在矩形紙片BMPbabaabaBPPBNaBABNBNPRtBPBCBMPABCD23,23,30cos,30cos,30,)2(000aba332（3）設(shè)矩形）設(shè)矩形ABCD的邊的邊AB2，BC4，并建立如圖，并建立如圖3所示的直所示的直角坐標(biāo)系角坐標(biāo)系. 設(shè)直線設(shè)直線BM/為為y=kx，當(dāng)當(dāng)M/BC60時(shí)，求時(shí)，求k的值的值.此時(shí)，將此時(shí)，將ABM沿沿BM折疊，折疊，點(diǎn)點(diǎn)A是否落在是否落在EF上（上（E、F分別分別為為AB、CD中點(diǎn)）？

6、為什么？中點(diǎn)）？為什么？例例2、第一步：第一步：對折矩形紙片對折矩形紙片ABCD，使，使AD與與BC重合，得到折痕重合，得到折痕EF，把紙片展，把紙片展開（如圖開（如圖1）；）；第二步：第二步：再一次折疊紙片，使點(diǎn)再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在落在EF上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕，得到折痕BM，同時(shí)得到線段，同時(shí)得到線段BN（如圖（如圖2）圖圖1圖圖2圖圖3A/H上。落在），（，中，在，。于，交作過，內(nèi)的點(diǎn)為落在矩形折疊后，點(diǎn)沿設(shè)中，得。代入中，在EFAABHBAHABHARtMBAMBHBHAABBAMABMBAMABBHAHBCBCHAAAABCDAMBMABkkxyMMA

7、ABMAMABAMABRtMABBC3)2,332(,33230tan2,tan306090,60)3(00000001 ,3xy33030230例例3. （2007年濟(jì)寧市）如圖，先把一矩形年濟(jì)寧市）如圖，先把一矩形ABCD紙片紙片對折，設(shè)折痕為對折，設(shè)折痕為MN，再把，再把B點(diǎn)疊在折痕線上，得到點(diǎn)疊在折痕線上，得到ABE.過過B點(diǎn)折紙片使點(diǎn)折紙片使D點(diǎn)疊在直線點(diǎn)疊在直線AD上，得折痕上，得折痕PQ.(1)求證：求證：PBEQAB；(2)你認(rèn)為你認(rèn)為PBE和和BAE相似嗎？如果相似給出證相似嗎？如果相似給出證明，如不相似請說明理由；明，如不相似請說明理由；(3)如果

8、沿直線如果沿直線EB折疊紙片，點(diǎn)折疊紙片，點(diǎn)A是否能疊在直線是否能疊在直線EC上？為什么？上？為什么？例例4.如圖，長方形如圖，長方形ABCD沿沿AE折疊，使折疊，使D落落在邊在邊BC上的上的F點(diǎn)處，如果點(diǎn)處，如果BAF=60，則，則DAE= A BCD FE根據(jù)折疊的規(guī)律：可證根據(jù)折疊的規(guī)律：可證ADE AFE,從而從而DAE=FAE =(90-60)2 = 1515601515ABCDFE透過現(xiàn)象看本質(zhì)透過現(xiàn)象看本質(zhì): :折折疊疊軸軸對對稱稱實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)軸對稱性質(zhì)：軸對稱性質(zhì)：ADEF1.圖形的全等性：重合部分是全等圖形，對應(yīng)邊角相等圖形的全等性：重合部分是全等圖形，對應(yīng)邊角相等.2.點(diǎn)的對稱

9、性：對稱點(diǎn)連線被對稱軸（折痕）垂直平分點(diǎn)的對稱性：對稱點(diǎn)連線被對稱軸（折痕）垂直平分.由折疊可得：由折疊可得：1.AFEAFE ADEADE2.AEAE是是DFDF的中垂的中垂線線例例5.如圖，折疊長方形的一邊如圖，折疊長方形的一邊AD，點(diǎn)，點(diǎn)D落在落在BC邊的邊的點(diǎn)點(diǎn)F處，已知處，已知AB=8cm, BC=10cm ,求求EC的長的長分析：設(shè)分析：設(shè)EC=x,則則EF=DE=8-x .在在RtABF中，中，AF=AD=10，AB=8，所以所以BF=6，F(xiàn)C=4RtPOERtBPA解得解得EC=3(cm) A BCD FE8101064FCECABBF3例例6. （08 浙江寧波）如圖浙江寧波

10、）如圖1，把一張標(biāo)準(zhǔn)紙一次又一次對開，得到，把一張標(biāo)準(zhǔn)紙一次又一次對開，得到“2開開”紙、紙、“4開開”紙、紙、“8開開”紙、紙、“16開開”紙紙已知標(biāo)準(zhǔn)紙的短邊長為已知標(biāo)準(zhǔn)紙的短邊長為a .（1）如圖）如圖2，把這張標(biāo)準(zhǔn)紙對開得到的，把這張標(biāo)準(zhǔn)紙對開得到的“16開開”張紙按如下步驟折疊：張紙按如下步驟折疊：第一步第一步 將矩形的短邊將矩形的短邊AB與長邊與長邊AD對齊折疊，點(diǎn)對齊折疊，點(diǎn)B落在落在AD上的點(diǎn)上的點(diǎn)B處，鋪平處，鋪平后得折痕后得折痕AE；第二步第二步 將長邊將長邊AD與折痕與折痕AE對齊折疊，點(diǎn)對齊折疊，點(diǎn)D正好與點(diǎn)正好與點(diǎn)E重合，鋪平后得折痕重合，鋪平后得折痕AF則則AD:A

11、B的值是的值是 ，AD,AB的長分別是的長分別是 ， ABCDFEB4開開2開開8開開16開開圖圖1圖圖2a（2）“2開開”紙、紙、“4開開”紙、紙、“8開開”紙的長與寬之比是否都相等？若相等，紙的長與寬之比是否都相等？若相等，直接寫出這個(gè)比值；若不相等，請分別計(jì)算它們的比值直接寫出這個(gè)比值；若不相等，請分別計(jì)算它們的比值2a42a412相等，比值為相等，比值為 a41a41a42a42例例7. （2007年臺(tái)州市）如圖，四邊形年臺(tái)州市）如圖，四邊形OABC是一張放在平面是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，點(diǎn)直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，點(diǎn)A在在x軸上，點(diǎn)軸上，點(diǎn)C在在y軸上，將邊軸上，將邊BC折

12、疊，使點(diǎn)折疊，使點(diǎn)B落在邊落在邊OA的點(diǎn)的點(diǎn)D處已知折痕處已知折痕 ，且且 (1)判斷判斷OCD與與ADE是否相似？請說明理由；是否相似？請說明理由；(2)求直線求直線CE與與x軸交點(diǎn)軸交點(diǎn)P的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；43tanEDAP6X8X3X4X5510X5X5X關(guān)鍵是找出對稱點(diǎn)，并畫出來。例8 . 08湖州湖州已知：在矩形已知：在矩形AOBC中，中，OB=4,OA=3分別以分別以O(shè)B,OA所在直所在直線為線為x軸和軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系F是邊是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與（不與B,C重合），過重合），過F點(diǎn)的反比例函數(shù)點(diǎn)的反比例函數(shù) 的圖象

13、與的圖象與AC邊交于邊交于點(diǎn)點(diǎn)E請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點(diǎn)請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點(diǎn)F，使得將，使得將CEF沿沿EF對折后，對折后，C點(diǎn)恰好落在點(diǎn)恰好落在OB上？若存在，求出點(diǎn)上？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由(0)kykx（ ,3）3k(4, )4k34k43k34K例例9.在平面直角坐標(biāo)系中，正方形在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCO的邊長為的邊長為6，兩邊，兩邊OA、OC分別落在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)分別落在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)E在射線在射線BC上，且上，且BE=2CE，將，將ABE沿直線沿直線AE翻轉(zhuǎn)，點(diǎn)翻轉(zhuǎn)，點(diǎn)B落在點(diǎn)落在點(diǎn)B1處。處。（1）請?jiān)趫D中作出點(diǎn)）請?jiān)趫D中

14、作出點(diǎn)B1及翻轉(zhuǎn)后圖形及翻轉(zhuǎn)后圖形.0CBAyx0CBAyEB1（2）對于圖）對于圖1，若，若E在在BC上，求點(diǎn)上，求點(diǎn)B1的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。兩種情況兩種情況F利用相似，列出方程求解利用相似，列出方程求解E0CBAyB1x圖圖1圖圖264a6-a46例例10. （07湖北荊門）湖北荊門）如圖如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，有一張矩在平面直角坐標(biāo)系中，有一張矩形紙片形紙片OABC，已知，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，點(diǎn)，點(diǎn)P是是OA邊邊上的動(dòng)點(diǎn)上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)與點(diǎn)O、A不重合不重合)現(xiàn)現(xiàn)將將PAB沿沿PB翻折，得到翻折，得到PDB；再在再在OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)E，將，將P

15、OE沿沿PE翻折，得到翻折，得到PFE，并使直線并使直線PD、PF重合重合(1)設(shè)設(shè)P(x，0)，E(0，y)，求，求y關(guān)關(guān)于于x的函數(shù)關(guān)系式，并求的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最大的最大值；值；圖圖1解：解：(1)由已知由已知PB平分平分APD，PE平分平分OPF，且，且PD、PF重合，則重合，則BPE=90OPEAPB=90又又APBABP=90，OPE=PBA RtPOERtBPAPOBAOEAP34xyx2114(4)333xxxx y= (0 x4) 即即 xy4-x3 (2)如圖如圖2，若翻折后點(diǎn)，若翻折后點(diǎn)D落在落在BC邊上，求過點(diǎn)邊上，求過點(diǎn)P、B、E的拋的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；物線的函

16、數(shù)關(guān)系式；圖圖2(2)由已知，由已知，PAB、POE均為等腰直角三角均為等腰直角三角形，可得形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3) 故該拋物線上存在兩點(diǎn)故該拋物線上存在兩點(diǎn)Q(4，3)、(5，6)滿足條件滿足條件 1,0,1643.cabcabc則則 1,23,21.abc y=213122xx例例11 . 直線直線 分別與分別與x軸、軸、y軸交于軸交于B、A兩點(diǎn)兩點(diǎn).把把AOB以直線以直線AB為軸翻折，點(diǎn)為軸翻折，點(diǎn)O落在平面上的點(diǎn)落在平面上的點(diǎn)C處，再把處，再把BOC以直線以直線BC為軸翻折得為軸翻折得BCE，求點(diǎn)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)的坐標(biāo).133xy由（由（1）知）知 OA1， OB ， OBA30. ABC和和ABO關(guān)于關(guān)于AB成軸對稱，成軸對稱， BCBO ，CBA=OBA30. CBO60. 過點(diǎn)過點(diǎn)C作作CMx軸于軸于M，如圖，則在，如圖，則在RtBC