抽樣定理及應(yīng)用

1、抽樣定理及應(yīng)用一 課程設(shè)計(jì)的目的1. 掌握利用MATLAB分析系統(tǒng)頻率響應(yīng)的方法，增加對(duì)仿真軟件MATLAB的感性認(rèn)識(shí)，學(xué)會(huì)該軟件的操作和使用方法。2. 掌握利用MATLAB實(shí)現(xiàn)連續(xù)信號(hào)采用與重構(gòu)的方法，加深理解采樣與重構(gòu)的概念。3 . 初步掌握線性系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法，培養(yǎng)獨(dú)立工作能力。4. 學(xué)習(xí)MATLAB中信號(hào)表示的基本方法及繪圖函數(shù)的調(diào)用，實(shí)現(xiàn)對(duì)常用連續(xù)時(shí)間信號(hào)的可視化表示，加深對(duì)各種電信號(hào)的理解。5. 加深理解采樣對(duì)信號(hào)的時(shí)域和頻域特性的影響；驗(yàn)證信號(hào)與系統(tǒng)的基本概念、基本理論，掌握信號(hào)與系統(tǒng)的分析方法。6. 加深對(duì)采樣定理的理解和掌握，以及對(duì)信號(hào)恢復(fù)的必要性；掌握對(duì)連續(xù)信號(hào)在時(shí)域的采樣與

2、重構(gòu)的方法。二 課程設(shè)計(jì)的內(nèi)容及要求1.課程設(shè)計(jì)的內(nèi)容離散正弦序列的MATLAB表示與連續(xù)信號(hào)類似，只不過(guò)是用stem函數(shù)而不是用plot函數(shù)來(lái)畫出序列波形。命令窗口沒(méi)打開時(shí)，從“Desktop”菜單中選擇“Command Window”選項(xiàng)可以打開它。“>>”符號(hào)是輸入函數(shù)的提示符，在提示符后面輸入數(shù)據(jù)和運(yùn)行函數(shù)。退出MATLAB時(shí)，工作空間中的內(nèi)容隨之清除。可以將當(dāng)前工作中的部分或全部變量保存在一個(gè)MAT文件中，它是一種二進(jìn)制文件，擴(kuò)展名為.mat。然后可在以后使用它時(shí)載入它。用MATLAB的當(dāng)前目錄瀏覽器搜索、查看、打開、查找和改變MATLAB路徑和文件。在MATLAB桌面上

3、，從“Desktop”菜單中選擇“Current Directory”選項(xiàng)，或者在命令窗口鍵入“filebrowser”，打開當(dāng)前目錄瀏覽器。使用當(dāng)前目錄瀏覽器可以完成下面的主要任務(wù)：查看和改變路徑；創(chuàng)建、重命名、復(fù)制和刪除路徑和文件；打開、運(yùn)行和查看文件的內(nèi)容；由于函數(shù)不是嚴(yán)格的帶限信號(hào)，其帶寬可根據(jù)一定的精度要求做一近似。根據(jù)以下三種情況用MATLAB實(shí)現(xiàn)采樣信號(hào)及重構(gòu)并求出兩者誤差，分析三種情況下的結(jié)果。（1）的臨界采樣及重構(gòu)：，；（2）的過(guò)采樣及重構(gòu)：，；（3）的欠采樣及重構(gòu)：，。2.課程設(shè)計(jì)的方案2.1課程設(shè)計(jì)的原理2.1.1連續(xù)信號(hào)的采樣定理模擬信號(hào)經(jīng)過(guò) (A/D) 變換轉(zhuǎn)換為數(shù)字

4、信號(hào)的過(guò)程稱為采樣，信號(hào)采樣后其頻譜產(chǎn)生了周期延拓，每隔一個(gè)采樣頻率 fs，重復(fù)出現(xiàn)一次。為保證采樣后信號(hào)的頻譜形狀不失真，采樣頻率必須大于信號(hào)中最高頻率成分的兩倍，這稱之為采樣定理。時(shí)域采樣定理從采樣信號(hào)恢復(fù)原信號(hào)必需滿足兩個(gè)條件： (1) 必須是帶限信號(hào)，其頻譜函數(shù)在 各處為零；（對(duì)信號(hào)的要求，即只有帶限信號(hào)才能適用采樣定理。） (2) 取樣頻率不能過(guò)低，必須 2 （或 2）。（對(duì)取樣頻率的要求，即取樣頻率要足夠大，采得的樣值要足夠多，才能恢復(fù)原信號(hào)。）如果采樣頻率大于或等于，即（為連續(xù)信號(hào)的有限頻譜），則采樣離散信號(hào)能無(wú)失真地恢復(fù)到原來(lái)的連續(xù)信號(hào) 。一個(gè)頻譜在區(qū)間（- ，）以外

5、為零的頻帶有限信號(hào)，可唯一地由其在均勻間隔 （ ）上的樣點(diǎn)值所確定。根據(jù)時(shí)域與頻域的對(duì)稱性，可以由時(shí)域采樣定理直接推出頻域采樣定理。一個(gè)時(shí)間受限信號(hào)，它集中在（）的時(shí)間范圍內(nèi)，則該信號(hào)的頻譜在頻域中以間隔為的沖激序列進(jìn)行采樣，采樣后的頻譜可以惟一表示原信號(hào)的條件為重復(fù)周期，或頻域間隔（其中）。采樣信號(hào) 的頻譜是原信號(hào)頻譜 的周期性重復(fù)，它每隔 重復(fù)出現(xiàn)一次。當(dāng)2 時(shí)，不會(huì)出現(xiàn)混疊現(xiàn)象，原信號(hào)的頻譜的形狀不會(huì)發(fā)生變化，從而能從采樣信號(hào) 中恢復(fù)原信號(hào) 。（注：2 的含義是：采樣頻率大于等于信號(hào)最高頻率的2倍；這里的“不混疊”意味著信號(hào)頻譜沒(méi)有被破壞，也就為后面恢復(fù)原信號(hào)提供了可能！）(a)(b)

6、(c)圖* 抽樣定理a) 等抽樣頻率時(shí)的抽樣信號(hào)及頻譜（不混疊）b) 高抽樣頻率時(shí)的抽樣信號(hào)及頻譜（不混疊）c) 低抽樣頻率時(shí)的抽樣信號(hào)及頻譜（混疊）2.1.2信號(hào)采樣 如圖1所示，給出了信號(hào)采樣原理圖信號(hào)采樣原理圖（a） 由圖1可見，其中，沖激采樣信號(hào)的表達(dá)式為： 其傅立葉變換為，其中。設(shè)，分別為，的傅立葉變換，由傅立葉變換的頻域卷積定理，可得 若設(shè)是帶限信號(hào)，帶寬為， 經(jīng)過(guò)采樣后的頻譜就是將在頻率軸上搬移至處（幅度為原頻譜的倍）。因此，當(dāng)時(shí)，頻譜不發(fā)生混疊；而當(dāng)時(shí)，頻譜發(fā)生混疊。一個(gè)理想采樣器可以看成是一個(gè)載波為理想單位脈沖序列的幅值調(diào)制器，即理想采樣器的輸出信號(hào)，是連續(xù)輸入信號(hào)調(diào)制在載波

7、上的結(jié)果，如圖2所示。圖2 信號(hào)的采樣用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述上述調(diào)制過(guò)程，則有理想單位脈沖序列可以表示為 其中是出現(xiàn)在時(shí)刻，強(qiáng)度為1的單位脈沖。由于的數(shù)值僅在采樣瞬時(shí)才有意義，同時(shí)，假設(shè)所以又可表示為2.1.3信號(hào)重構(gòu)設(shè)信號(hào)被采樣后形成的采樣信號(hào)為，信號(hào)的重構(gòu)是指由經(jīng)過(guò)內(nèi)插處理后，恢復(fù)出原來(lái)信號(hào)的過(guò)程。又稱為信號(hào)恢復(fù)。若設(shè)是帶限信號(hào)，帶寬為，經(jīng)采樣后的頻譜為。設(shè)采樣頻率，則由式（9）知是以為周期的譜線?，F(xiàn)選取一個(gè)頻率特性（其中截止頻率滿足）的理想低通濾波器與相乘，得到的頻譜即為原信號(hào)的頻譜。顯然，與之對(duì)應(yīng)的時(shí)域表達(dá)式為 （10）而將及代入式（10）得 （11）式（11）即為用求解的表達(dá)式，是利用MA

8、TLAB實(shí)現(xiàn)信號(hào)重構(gòu)的基本關(guān)系式，抽樣函數(shù)在此起著內(nèi)插函數(shù)的作用。例：設(shè)，其為：即的帶寬為，為了由的采樣信號(hào)不失真地重構(gòu)，由時(shí)域采樣定理知采樣間隔，?。ㄟ^(guò)采樣）。利用MATLAB的抽樣函數(shù)來(lái)表示，有。據(jù)此可知：通過(guò)以上分析，得到如下的時(shí)域采樣定理：一個(gè)帶寬為wm的帶限信號(hào)f(t)，可唯一地由它的均勻取樣信號(hào)fs(nTs)確定，其中，取樣間隔Ts</wm, 該取樣間隔又稱為奈奎斯特間隔。 根據(jù)時(shí)域卷積定理，求出信號(hào)重構(gòu)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為： 式中的抽樣函數(shù)Sa(wct)起著內(nèi)插函數(shù)的作用，信號(hào)的恢復(fù)可以視為將抽樣函數(shù)進(jìn)行不同時(shí)刻移位后加權(quán)求和的結(jié)果，其加權(quán)的權(quán)值為采樣信號(hào)在相應(yīng)時(shí)刻的定義值。利用

9、MATLAB中的抽樣函數(shù)來(lái)表示Sa(t)，有，于是，信號(hào)重構(gòu)的內(nèi)插公式也可表示為： 2.2設(shè)計(jì)的思路連續(xù)信號(hào)是指自變量的取值范圍是連續(xù)的，且對(duì)于一切自變量的取值，除了有若干個(gè)不連續(xù)點(diǎn)以外，信號(hào)都有確定的值與之對(duì)應(yīng)。嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，MATLAB并不能處理連續(xù)信號(hào)，而是用等時(shí)間間隔點(diǎn)的樣值來(lái)近似表示連續(xù)信號(hào)。當(dāng)取樣時(shí)間間隔足夠小時(shí)，這些離散的樣值就能較好地近似連續(xù)信號(hào)。時(shí)域?qū)B續(xù)時(shí)間信號(hào)進(jìn)行采樣，是給它乘以一個(gè)采樣脈沖序列，就可以得到采樣點(diǎn)上的樣本值，信號(hào)被采樣前后在頻域的變化，可以通過(guò)時(shí)域頻域的對(duì)應(yīng)關(guān)系分別求得了采樣信號(hào)的頻譜。 在一定條件下，一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)完全可以用該信號(hào)在等時(shí)間間隔上的瞬時(shí)值來(lái)表

10、示，并且可以用這些樣本值把信號(hào)完全恢復(fù)過(guò)來(lái)。這樣，抽樣定理為連續(xù)時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間信號(hào)的相互轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)。通過(guò)觀察采樣信號(hào)的頻譜，發(fā)現(xiàn)它只是原信號(hào)頻譜的線性重復(fù)搬移，只要給它乘以一個(gè)門函數(shù)，就可以在頻域恢復(fù)原信號(hào)的頻譜，在時(shí)域是否也能恢復(fù)原信號(hào)時(shí)，利用頻域時(shí)域的對(duì)稱關(guān)系，得到了信號(hào)。2.3詳細(xì)設(shè)計(jì)過(guò)程2.3.1的臨界采樣及重構(gòu)1實(shí)現(xiàn)程序代碼當(dāng)采樣頻率小于一個(gè)連續(xù)的同信號(hào)最大頻率的2倍，即時(shí)，稱為臨界采樣. 修改門信號(hào)寬度、采樣周期等參數(shù)，重新運(yùn)行程序，觀察得到的采樣信號(hào)時(shí)域和頻域特性，以及重構(gòu)信號(hào)與誤差信號(hào)的變化。Sa(t)的臨界采樣及重構(gòu)程序代碼；wm=1;%升余弦脈沖信號(hào)帶寬wc=w

11、m; %頻率Ts=pi/wm; %周期ws=2.4*pi/Ts; %理想低通截止頻率n=-100:100; %定義序列的長(zhǎng)度是201nTs=n*Ts %采樣點(diǎn)f=sinc(nTs/pi); %抽樣信號(hào)Dt=0.005;t=-20:Dt:20;fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t); %信號(hào)重建t1=-20:0.5:20;f1=sinc(t1/pi);subplot(211);stem(t1,f1);xlabel('kTs');ylabel('f(kTs)'

12、;);title('sa(t)=sinc(t/pi)的臨界采樣信號(hào)');subplot(212);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('由sa(t)=sinc(t/pi)的臨界采樣信號(hào)重構(gòu)sa(t)');grid;2程序運(yùn)行運(yùn)行結(jié)果圖與分析圖3 的臨界采樣及重構(gòu)圖運(yùn)行結(jié)果分析：為了比較由采樣信號(hào)恢復(fù)后的信號(hào)與原信號(hào)的誤差，可以計(jì)算出兩信號(hào)的絕對(duì)誤差。當(dāng)t選取的數(shù)據(jù)越大，起止的寬度越大。2.3.2的過(guò)采樣及重構(gòu)1實(shí)現(xiàn)程序代碼當(dāng)采樣頻率大于一個(gè)連續(xù)的同信號(hào)最大頻率的2倍，即時(shí)，稱為過(guò)

13、采樣.在不同采樣頻率的條件下，觀察對(duì)應(yīng)采樣信號(hào)的時(shí)域和頻域特性，以及重構(gòu)信號(hào)與誤差信號(hào)的變化。Sa(t)的過(guò)采樣及重構(gòu)程序代碼；wm=1;wc=1.1*wm; Ts=1.1*pi/wm;ws=2*pi/Ts;n=-100:100;nTs=n*Tsf=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-10:Dt:10;fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t);error=abs(fa-sinc(t/pi);t1=-10:0.5:10;f1=sinc(t1/pi);subplot(311);

14、stem(t1,f1);xlabel('kTs');ylabel('f(kTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的采樣信號(hào)');subplot(312);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('由sa(t)=sinc(t/pi)的過(guò)采樣信號(hào)重構(gòu)sa(t)');grid;subplot(313);plot(t,error);xlabel('t');ylabel('error(t)');title(&#

15、39;過(guò)采樣信號(hào)與原信號(hào)的誤差error(t)');2程序運(yùn)行運(yùn)行結(jié)果圖與分析。圖4 的過(guò)采樣信號(hào)、重構(gòu)信號(hào)及兩信號(hào)的絕對(duì)誤差圖運(yùn)行分析：將原始信號(hào)分別修改為抽樣函數(shù)Sa(t)、正弦信號(hào)sin(20*pi*t)+cos(20*pi*t)、指數(shù)信號(hào)e-2tu(t)時(shí)，在不同采樣頻率的條件下，可以觀察到對(duì)應(yīng)采樣信號(hào)的時(shí)域和頻域特性，以及重構(gòu)信號(hào)與誤差信號(hào)的變化。2.3.3Sa(t)的欠采樣及重構(gòu)1實(shí)現(xiàn)程序代碼當(dāng)采樣頻率小于一個(gè)連續(xù)的同信號(hào)最大頻率的2倍，即時(shí)，稱為過(guò)采樣。利用頻域?yàn)V波的方法修改實(shí)驗(yàn)中的部分程序，完成對(duì)采樣信號(hào)的重構(gòu)。Sa(t)的欠采樣及重構(gòu)程序代碼；wm=1;wc=wm;

16、Ts=2.5 *pi/wm;ws=2*pi/Ts;n=-100:100;nTs=n*Tsf=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-20:Dt:20;fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t);error=abs(fa-sinc(t/pi);t1=-20:0.5:20f1=sinc(t1/pi);subplot(311);stem(t1,f1);xlabel('kTs');ylabel('f(kTs)');title('sa(t)=sinc

17、(t/pi)的采樣信號(hào)sa(t)');subplot(312);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('由sa(t)=sinc(t/pi)的欠采樣信號(hào)重構(gòu)sa(t)');grid;subplot(313);plot(t,error);xlabel('t');ylabel('error(t)');title('欠采樣信號(hào)與原信號(hào)的誤差error(t)');2程序運(yùn)行運(yùn)行結(jié)果圖與分析圖5的欠采樣信號(hào)、重構(gòu)信號(hào)及兩信號(hào)的絕對(duì)誤差圖誤差分析：絕對(duì)誤差

18、error已大為增加，其原因是因采樣信號(hào)的頻譜混疊，使得在區(qū)域內(nèi)的頻譜相互“干擾”所致。2.4設(shè)計(jì)方案優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：MATLAB在繪圖方面提供了相當(dāng)高級(jí)的函數(shù)序及程序界面，即使用戶沒(méi)有豐富的程序設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，也能夠快速地得到自己想要的結(jié)果，熟練的使用MATLAB的程序員或研究人員能縮短研究開發(fā)時(shí)間，從而提高競(jìng)爭(zhēng)力，MATLAB和其他高級(jí)語(yǔ)言有良好的接口，可以方便地實(shí)現(xiàn)與其他語(yǔ)言的混合編程，從而進(jìn)一步擴(kuò)寬MATLAB的應(yīng)用潛力。缺點(diǎn)：MATLAB占用內(nèi)存空間很大，并且會(huì)因硬盤分區(qū)是NTFS格式還是FAT格式而有差異。3.程序中的常見函數(shù)和功能程序中的常見函數(shù)和功能:abs( )求絕對(duì)值;sinc( ) Sa(t)函數(shù);ones( )全1矩陣;plot( )繪圖;subplot( ) 繪制子圖;stem( ) 繪制離散序列數(shù)據(jù)圖 .三收獲和體會(huì)該課程設(shè)計(jì)使我對(duì)