第二十二講(晶體的各向異性 )

1、晶體的壓電性質(zhì)晶體的壓電性質(zhì) 晶體的各向異性 晶體的對稱性與對稱操作 晶體的結(jié)構(gòu)是以一個抽象的幾何圖形代表的一組原子，這種幾何圖形具有一定的對稱性，這種對稱性就稱為晶體的宏觀對稱性，如果深入到晶體結(jié)構(gòu)內(nèi)部，研究以空間點陣方式無限分布的各種質(zhì)點的分布規(guī)律，這種對稱性稱晶體的微觀對稱性。 晶體的對稱性與對稱操作 微觀對稱：晶體在微觀研究中作為一個周期性的不連續(xù)的結(jié)構(gòu)所表現(xiàn)出來的對稱，經(jīng)過對稱操作后晶體中每一點都移動到具有相同電子密度的另一點，微觀對稱的對稱元素是平移，滑移反射面和螺旋軸； 宏觀對稱：晶體在宏觀觀察（宏觀物理性質(zhì)測試）中作為一個均勻的連續(xù)的各向異性的物體所表現(xiàn)出來的對稱，經(jīng)過對稱操作

2、后晶體宏觀物理性質(zhì)不變，宏觀對稱的對稱元素是旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)反演軸（包括對稱中心和對稱面）； 稱操作（對稱變換）：能使某一圖形作有規(guī)律重復操作或變換。保持晶體內(nèi)任意兩點之間距離不變，把晶體移到與原始位置不能區(qū)別的位置上的操作，經(jīng)過對稱操作后，晶體的所有性質(zhì)不變 晶體的對稱性與對稱操作 進行對稱操作時所憑借的幾何元素稱對稱素，晶體只有為數(shù)不多的幾種對稱素，這些對稱素組合而產(chǎn)生的對稱類型也是有限的； 對稱元素：對稱操作所依賴的幾何元素（點、軸、面），宏觀對稱的對稱元素是旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)反演軸，包括對稱中心和對稱面；微觀對稱的對稱元素是平移，滑移反射面和螺旋軸； 宏觀對稱素：對稱中心（i）；對稱面（m） 晶

3、體的對稱性與對稱操作晶體的對稱性與對稱操作晶系名稱晶系名稱 晶軸上的周期晶軸上的周期 晶軸間的夾角晶軸間的夾角 三斜晶系abc90單斜晶系abc =90， 90正交晶系abc=90四方晶系a=bc=90六角晶系a=bc=90， =120三角晶系a=b=c=90立方晶系a=b=c=90晶體的對稱性與對稱操作 對稱操作晶體的對稱性與對稱操作晶體的對稱性與對稱操作晶體的物理性質(zhì) 晶體的物理性質(zhì)是晶體本身所固有的一種屬性，晶體的物理性質(zhì)大多是各向異性的，而這些物理量可以用張量來表征。 張量的定義：其是一種物理量，在坐標變換時，其是一種物理量，在坐標變換時， 只改變表達形式，不改變物理本質(zhì)。只改變表達形

4、式，不改變物理本質(zhì)。在三維實空間，用在三維實空間，用3n個分量來表征的物理量稱個分量來表征的物理量稱n階張量，故有：階張量，故有：零階張量（標量，一個分量）一階張量（三個分量；矢量）二階張量（九個分量）1. 三階張量（二十七個分量）晶體的物理性質(zhì) 標量：沒有方向性的物理量，用一個與任何參考軸無 關的簡單數(shù)來確定TWVUS（密 度）C（比熱） 矢量：有確定方向和大小的物理量，共有三個分量 ),(321EEEE ),(321PPPP ),(321DDDD 晶體的物理性質(zhì) 二階張量：二階張量：由九個分量所確定，二階張量把兩個矢量 聯(lián)系起來 例如：例如： jijiED33323123222113121

5、1ij是一個二階張量是一個二階張量 jkijkiTdP klijklijTsS 三階張量：三階張量：27個分量組成。三階張量可把矢量和二階張量聯(lián)系起來。例電場強度與應力的關系即壓電效應用三階張量的壓電系數(shù) 四階張量：四階張量：81個分量。 klijklijScT 晶體的物理性質(zhì)諾埃曼原理：諾埃曼原理：晶體對稱性與晶體宏觀物理性質(zhì)是有聯(lián)系的，即：晶體的任一物理性質(zhì)所擁有的對稱元素，必須包含晶體所屬晶類的對稱元素。也就是，晶體的宏觀物理性質(zhì)可以而且經(jīng)常具有比晶類更高的對稱性。思考：意義思考：意義以及重要性以及重要性晶體的物理性質(zhì)坐標變換 設原坐標系統(tǒng)為Z1Z2Z3，新坐標系統(tǒng)為321ZZZ其滿足如

6、下關系（正交坐標系）：333232131332322212123132121111ZaZaZaZZaZaZaZZaZaZaZ321333231232221131211321ZZZaaaaaaaaaZZZ晶體的物理性質(zhì)321332313322212312111321ZZZaaaaaaaaaZZZ將上式寫成張量形式：jjijjijiZaZaZ 注意其簡寫形式注意其簡寫形式同時新坐標系統(tǒng)也可由原坐標系統(tǒng)表示如下：jjjijjiiZaZaZ晶體的物理性質(zhì)在直角坐標系中，坐標變換矩陣中元素應滿足：1232221iiiaaa1232221iiiaaa00231312122111323122211211aa

7、aaaaaaaaaa晶體的物理性質(zhì)ijkjkijkikaaaa思考：思考：以上關系如何推導以上關系如何推導晶體的物理性質(zhì)張量空間變換 jijiEDjjiiEaE ttjijjijiEaEDjijiDaD ttjijpiipipEaaDaDpt晶體的物理性質(zhì)mnoplpkojnimijklTaaaaTjkllpoknjmimnopiTaaaaT對于多階張量，同理仍有以下關系：對于多階張量，同理仍有以下關系：晶體宏觀物理性能隨空間方向變化的理論依據(jù)理論依據(jù)：空間中任何的轉(zhuǎn)動都可以依據(jù)歐拉轉(zhuǎn)動定理 （Eulers rotation theorem)用三個歐拉角來 描述。歐拉角：是三個連續(xù)轉(zhuǎn)動的角度，

8、三次轉(zhuǎn)動可以給出三 個轉(zhuǎn)動矩陣。根據(jù)繞不同坐標軸的不同轉(zhuǎn)動次 序，在實際應用中有一些慣例。“x慣例”：對于坐標系xyz,首先繞z軸逆時針旋轉(zhuǎn) 角，得 到新坐標系 ；再繞 軸逆時針旋轉(zhuǎn) 角，得 到坐標系 ；最后再繞 軸逆時針旋轉(zhuǎn) 角，此時得到坐標系xyz。晶體宏觀物理性能隨空間方向變化的理論依據(jù) 設xyz繞z軸旋轉(zhuǎn)的坐標變換矩陣為D，則 設 繞 軸轉(zhuǎn)動的變換矩陣為C，則 最后繞 軸的變換矩陣為B，則 設直接的坐標變換為： ，則： A=BCD晶體宏觀物理性能隨空間方向變化的理論依據(jù)DxCBx Axx 晶體宏觀物理性能隨空間方向變化的理論依據(jù)1000cossin0sincosBcossin0sincos0001C1000cossin0sincosD物理性能隨空間方向變化（例） 4mm 以鈦酸鋇晶體為例：00000000000003331311515ddddd物