高等數(shù)學(xué)第六章定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用

1、定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用 前面我們已經(jīng)介紹了定積分在幾何方前面我們已經(jīng)介紹了定積分在幾何方面的應(yīng)用，我們看到，在利用定積分解決幾面的應(yīng)用，我們看到，在利用定積分解決幾何上諸如平面圖形的面積、平面曲線的弧長、何上諸如平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積等問題時，關(guān)鍵在于寫出所求旋轉(zhuǎn)體的體積等問題時，關(guān)鍵在于寫出所求量的微元量的微元 定積分在物理方面的應(yīng)用的關(guān)鍵也是定積分在物理方面的應(yīng)用的關(guān)鍵也是如此，希望大家注意如何寫出所求量的微元如此，希望大家注意如何寫出所求量的微元微功、微壓力、微引力等微功、微壓力、微引力等 由物理學(xué)知道，如果一個物體在由物理學(xué)知道，如果一個物體

2、在常力常力F作用下，使得物體沿力的方向作直線運動作用下，使得物體沿力的方向作直線運動 ，物體有位移物體有位移 s 時，力時，力F對物體所作的功為：對物體所作的功為：W=F*s 這個公式只有在力這個公式只有在力F是是不變不變的情況下才的情況下才適用，但在實際問題中，物體在運動過程中適用，但在實際問題中，物體在運動過程中所受到的力是變化的。下面我們通過例子來所受到的力是變化的。下面我們通過例子來說明如何利用微元法來求變力所作的功。說明如何利用微元法來求變力所作的功。例例1 已知彈簧每伸長已知彈簧每伸長 0.02 m 要用要用 9,8 N 的力，的力，求把彈簧拉長求把彈簧拉長 0,1 m 需作多少功

3、需作多少功一、變力沿直線作功一、變力沿直線作功 當(dāng)我們拉長彈簧時，需要克服彈性力當(dāng)我們拉長彈簧時，需要克服彈性力作功，由作功，由 Hoke 定律，彈性力定律，彈性力F與伸長與伸長量量 x 之間有函數(shù)關(guān)系：之間有函數(shù)關(guān)系： F=kx k 彈性系數(shù)彈性系數(shù)用微元法用微元法由題設(shè)由題設(shè) 9.8=0.02k k= 490要求的是變力所作的功要求的是變力所作的功F=490 x 取取 x 為積分變量為積分變量 積分區(qū)間為積分區(qū)間為 0 ,0.1 1 . 0 , 0 , dxxx 彈簧由彈簧由 x 處拉到處拉到 x +dx 處，由處，由 F (x ）的連續(xù)性，當(dāng)?shù)倪B續(xù)性，當(dāng) dx 很小時，彈性力很小時，彈性

4、力F (x) 變變化很小，可近似地看作是不變的（常力）化很小，可近似地看作是不變的（常力）解解 于是在小區(qū)間于是在小區(qū)間 x， x +dx 上對應(yīng)的變上對應(yīng)的變力力F所作的功近似于把變力所作的功近似于把變力F看作常力看作常力 F =490 x 所作的功所作的功xdxdxxFdW490)( 1 . 0045. 2490JxdxW例例2 發(fā)射火箭需要計算克服地球引力所發(fā)射火箭需要計算克服地球引力所作的功，設(shè)火箭的質(zhì)量為作的功，設(shè)火箭的質(zhì)量為 m ，問將火箭，問將火箭垂直地向上發(fā)射到離地面高垂直地向上發(fā)射到離地面高H 時，需作時，需作多少功。并由此計算初速度至少為多少多少功。并由此計算初速度至少為多

5、少時，方可使火箭脫離地球的引力范圍時，方可使火箭脫離地球的引力范圍解解取取 ox 軸豎直向上軸豎直向上xoRR+H地球半徑設(shè)為地球半徑設(shè)為R 質(zhì)量為質(zhì)量為M，由萬有引力定律，由萬有引力定律，即即 x =R 時時火箭所受的引力就是火箭的重力火箭所受的引力就是火箭的重力mg 2xmMkf 火箭所受地球的引力火箭所受地球的引力隨火箭發(fā)射的高度隨火箭發(fā)射的高度 x 而變化而變化當(dāng)火箭在地面上當(dāng)火箭在地面上22,gRkMmgRmMk 代入上式代入上式221xmgRf 為了發(fā)射火箭，必須克服地球引力，為了發(fā)射火箭，必須克服地球引力， 克服地球引力的外力克服地球引力的外力F與與 f 大小相等大小相等 221

6、)(xmgRxF 下面用微元法來求變力所作的功。下面用微元法來求變力所作的功。 ,HRRx dxxmgRdxxFdW221)( dxxmgRWHRRH 221)11(2HRRmgR 取取 x 為積分變量為積分變量mgRHRRmgRwwHHH )11(2limlimH所須作的功所須作的功 為了使火箭脫離地球引力范圍，也為了使火箭脫離地球引力范圍，也 就是說要把火箭發(fā)射到無窮遠(yuǎn)處就是說要把火箭發(fā)射到無窮遠(yuǎn)處0v則動能為則動能為2021mv因此要使火箭脫離地球引力范圍，須有因此要使火箭脫離地球引力范圍，須有mgRmv 2021gRv20 kmRskmg6371,108 . 923 代入上式得代入上式

7、得skmv2 .110 第二宇宙速度第二宇宙速度 這功是由火箭上的動能轉(zhuǎn)化而來，若火箭這功是由火箭上的動能轉(zhuǎn)化而來，若火箭離開地面時的初速度為離開地面時的初速度為 半徑為半徑為R，高為，高為H 的圓柱形貯水桶，盛滿了水，的圓柱形貯水桶，盛滿了水，問將水桶中的水全部吸出須作多少功？問將水桶中的水全部吸出須作多少功？解解 這個問題雖然不是變力作功問題，但是由于吸這個問題雖然不是變力作功問題，但是由于吸出同樣重量不同深度的水時所作的功是不同的，所出同樣重量不同深度的水時所作的功是不同的，所以也要用定積分來計算?？梢岳斫馑且粚右粚拥匾砸惨枚ǚe分來計算?？梢岳斫馑且粚右粚拥乇晃酵翱诘谋晃酵翱诘?/p>

8、在區(qū)間在區(qū)間 y ,y + dy 上對應(yīng)一小薄柱體上對應(yīng)一小薄柱體該水柱重為該水柱重為 dyR2 將這一小水柱提到桶口所經(jīng)過的距離將這一小水柱提到桶口所經(jīng)過的距離yH 例例3dyyHRdw)(2 22022)(HRdyyHRwH 將以上幾例的解法一般化將以上幾例的解法一般化 可得可得若一物體在變力若一物體在變力 F ( x ) 的作用下，沿的作用下，沿力的方向（力的方向（ox 軸）作直線運動，當(dāng)物體由軸）作直線運動，當(dāng)物體由 x = a 移到移到 x = b 時，變力時，變力 F ( x ) badxxFw)(對物體所作的功為對物體所作的功為 由物理學(xué)知道，一水平放置在液體中的薄板，由物理學(xué)知

9、道，一水平放置在液體中的薄板，其面積為其面積為A，距液面的深度為，距液面的深度為 h ，則該薄板的一，則該薄板的一側(cè)所受的壓力側(cè)所受的壓力P等于液體的壓強(qiáng)等于液體的壓強(qiáng) p 與受力面積的與受力面積的乘積，而壓強(qiáng)等于深度與比重的乘積，于是乘積，而壓強(qiáng)等于深度與比重的乘積，于是hApAP 但在實際問題中，往往需要計算與液面垂直但在實際問題中，往往需要計算與液面垂直放置的薄板一側(cè)的所受的壓力，由于薄板在不同深放置的薄板一側(cè)的所受的壓力，由于薄板在不同深度處壓強(qiáng)不同，因而不能直接應(yīng)用上述公式進(jìn)行計度處壓強(qiáng)不同，因而不能直接應(yīng)用上述公式進(jìn)行計算，需要采用微元法，利用定積分來計算。算，需要采用微元法，利用

10、定積分來計算。例例4 設(shè)半徑為設(shè)半徑為R的圓形水閘門，水面與閘頂平齊，的圓形水閘門，水面與閘頂平齊，求閘門一側(cè)所受的壓力。求閘門一側(cè)所受的壓力。 二、液體的側(cè)壓力二、液體的側(cè)壓力取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖oxyy+dy2Ry ,dyyy2 , 0RxdyydP2 dyRyRyPR 2022)( dttRRtRytRR 22)(2)( 令dttRdttRtRRRR 222222 奇函數(shù)奇函數(shù) 偶函數(shù)偶函數(shù)dttRR 0224 3R 四分之一圓面積四分之一圓面積x解解 邊長為邊長為 a , b 的矩形薄板，與液面成的矩形薄板，與液面成 角角斜沉于液體中，長邊平行于液面而位于深斜沉于液體中，長邊平行于

11、液面而位于深 h 處處，設(shè)，設(shè) a b 液體的比重為液體的比重為 ，求板的一側(cè)，求板的一側(cè)所受的壓力。所受的壓力。 解解如圖建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系 sin,sin00hxxh 坐標(biāo)為坐標(biāo)為 x 處液體的深度為處液體的深度為 sinxadxxdF sin0 xxx+dxbx 0ab例例5 bxxxdxaF00sin )(sin212020 xbxa )sin2(21 bhab 得液體的側(cè)壓力的計算公式得液體的側(cè)壓力的計算公式 badxxgxfxP)()( oxyabx)(xfy )(xgy 將以上幾例的解法一般化將以上幾例的解法一般化由萬有引力定律：兩個質(zhì)量分別為由萬有引力定律：兩個質(zhì)量分別為

12、 21,mm相距為相距為 r 的質(zhì)點間的引力的質(zhì)點間的引力221rmmkF 若要計算一細(xì)長桿對一質(zhì)點的引力，此時由若要計算一細(xì)長桿對一質(zhì)點的引力，此時由于細(xì)桿上各點與質(zhì)點的距離是變化的，所以不于細(xì)桿上各點與質(zhì)點的距離是變化的，所以不能直接利用上述公式計算。能直接利用上述公式計算。例例6 設(shè)有一長為設(shè)有一長為 l 質(zhì)量為質(zhì)量為 M 的均勻細(xì)桿，另的均勻細(xì)桿，另有一質(zhì)量為有一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點和桿在一條直線上，它的質(zhì)點和桿在一條直線上，它到桿的近端距離為到桿的近端距離為 a ，求細(xì)桿對質(zhì)點的引力。，求細(xì)桿對質(zhì)點的引力。三、引力三、引力取取 x 為積分變量為積分變量, 0,ldxxx 該小段細(xì)桿的質(zhì)

13、量為該小段細(xì)桿的質(zhì)量為 dxlMdxaxlMmkdF2)( dxaxlmMkFl 02)(1)(alakmM 若把問題改為求細(xì)桿對位于它的一端垂線上距若把問題改為求細(xì)桿對位于它的一端垂線上距桿桿 a 處的質(zhì)量為處的質(zhì)量為 m 質(zhì)點的引力。質(zhì)點的引力。 解解 取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖0lmaxdxx 取取 x 為積分變量為積分變量, 0,ldxxx 該小段細(xì)桿的質(zhì)量為該小段細(xì)桿的質(zhì)量為 dxlMdxaxlMmkdF2)( dxaxlmMkFl 02)(1)(alakmM 若把問題改為求細(xì)桿對位于它的一端垂線上距若把問題改為求細(xì)桿對位于它的一端垂線上距桿桿 a 處的質(zhì)量為處的質(zhì)量為 m 質(zhì)點的引力

14、。質(zhì)點的引力。 解解如圖建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系2F1F, 0,ldxxx dxaxlmMkdF)(22 dxaxxaxlmMkdFx2222)()( dxaxaaxlmMkdFy2222)()( )(2222023221alalaalkmMdxaxxlmMkFl 22023222)(1laakmMdxaxlkmMaFl 尤其是如何在具體問題中取尤其是如何在具體問題中取“微元微元”微微功、微壓力、微引力等。這對于從形式到內(nèi)容功、微壓力、微引力等。這對于從形式到內(nèi)容真正地把握公式是非常必要的，相反如果僅滿真正地把握公式是非常必要的，相反如果僅滿足于套用公式解決一些簡單問題而不求甚解，足于套用公式

15、解決一些簡單問題而不求甚解，那么遇到一些稍有靈活性的問題，便可能束手那么遇到一些稍有靈活性的問題，便可能束手無策，不知如何下手。無策，不知如何下手。四、平均值和均方根四、平均值和均方根 badxxfaby)(1 badxxfabs)(12 關(guān)于定積分在物理方面的應(yīng)用，除了應(yīng)熟記關(guān)于定積分在物理方面的應(yīng)用，除了應(yīng)熟記各個公式的結(jié)果外，還須了解其推導(dǎo)過程各個公式的結(jié)果外，還須了解其推導(dǎo)過程關(guān)于定積分的應(yīng)用說明三點：關(guān)于定積分的應(yīng)用說明三點：1。選擇合適的坐標(biāo)系。選擇合適的坐標(biāo)系2。善于根據(jù)問題的性質(zhì)和要求構(gòu)造積。善于根據(jù)問題的性質(zhì)和要求構(gòu)造積分元素，主要是選擇好參數(shù)，并能正分元素，主要是選擇好參數(shù)

16、，并能正確地確定出積分限，確地確定出積分限，3。具體計算定積分時，要特別注意和。具體計算定積分時，要特別注意和充分并且慎重應(yīng)用對稱性及等量關(guān)系充分并且慎重應(yīng)用對稱性及等量關(guān)系以簡化定積分的計算，對此，熟悉區(qū)以簡化定積分的計算，對此，熟悉區(qū)域或曲線的形狀，對于解決問題是十域或曲線的形狀，對于解決問題是十分有益的。分有益的。利用利用“微元法微元法”思想求變力作功、思想求變力作功、水壓力和引力等物理問題水壓力和引力等物理問題（注意熟悉相關(guān)的物理知識）（注意熟悉相關(guān)的物理知識）思考題思考題 一球完全浸沒水中，問該球面所受的總一球完全浸沒水中，問該球面所受的總壓力與球浸沒的深度有無關(guān)系？它所受的總壓力與

17、球浸沒的深度有無關(guān)系？它所受的總壓力與它在水中受到的浮力有何關(guān)系？壓力與它在水中受到的浮力有何關(guān)系？ 五、小結(jié)五、小結(jié)該球面所受的總壓力方向向上（下半球面該球面所受的總壓力方向向上（下半球面所受的壓力大于上半球面），其值為該球所受的壓力大于上半球面），其值為該球排開水的重量，即球的體積，也就是它在排開水的重量，即球的體積，也就是它在水中受到的浮力因此該球面所受的總壓水中受到的浮力因此該球面所受的總壓力與球浸沒的深度無關(guān)力與球浸沒的深度無關(guān)思考題解答思考題解答練練 習(xí)習(xí) 題題一一、 直直徑徑為為20厘厘米米， 高高為為80厘厘米米的的圓圓柱柱體體內(nèi)內(nèi)充充滿滿壓壓強(qiáng)強(qiáng)為為310厘厘米米牛牛的的蒸蒸

18、汽汽，設(shè)設(shè)溫溫度度保保持持不不變變，要要使使蒸蒸汽汽體體積積縮縮小小一一半半，問問需需要要作作多多少少功功？ 二二、 一一物物體體按按規(guī)規(guī)律律3tcx 作作直直線線運運動動， 媒媒質(zhì)質(zhì)的的阻阻力力與與速速度度的的平平方方成成正正比比，計計算算物物體體由由0 x移移至至ax 時時，克克服服媒媒質(zhì)質(zhì)阻阻力力所所作作的的功功 . . 三三、 有有一一等等腰腰梯梯形形閘閘門門，它它的的兩兩條條底底邊邊各各長長610米米和和米米，高高為為20米米，較較長長的的底底邊邊與與水水面面相相齊齊. .計計算算閘閘門門的的一一側(cè)側(cè)所所受受的的水水壓壓力力 . . 四、四、 半徑為半徑為的球沉的球沉r入水中，球的上部與水面相切，球入水中，球的上部與水面相切，球的比重與水相同，現(xiàn)將球從水中取出，需要作多少的比重與水相同，現(xiàn)將球從水中取出，需要作多少功？功？ 五、五、 一塊一塊a高為高為 ，b底為底為的等腰