2025屆浙江強(qiáng)基高三數(shù)學(xué)上學(xué)期10月聯(lián)考試卷（附答案解析）

2025屆浙江強(qiáng)基高三數(shù)學(xué)上學(xué)期10月聯(lián)考試卷

試卷滿分150分，考試時間120分鐘.

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

L『人A=（x|必―4x-5<0},集合5={-2,0,2,4,10},則zn8=()

1.已知集合1

A{-2,0,2,4}B.{-2,10)C.{0,2,4}D.{254}

2.已知z=—l—i,則()

A-2B.1C.V2D.2

b,貝甘卡+”是“向量萬上『'的（）

3.已知非零向量5—3

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.若過點(diǎn)（2j?,0）與圓/+,=4相切的兩條直線的夾角為則coscr=（）

34「2#nV5

A.-B.-\_z.LJ.

5555

5.二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（)

A.480B.240C.120D.15

6.已知底面半徑為2的圓錐SO,其軸截面是正三角形，它的一個內(nèi)接圓柱的底面半徑為1,則此圓柱

側(cè)面積與圓錐SO側(cè)面積的比值為（）

A.1B.D.

2

7.函數(shù)/(x)=sinx-cosxcos在區(qū)間（-兀,2兀）上的所有零點(diǎn)之和為（)

A71B.2兀C.3兀D.4

8.已知函數(shù)/（x）的定義域?yàn)椋?,1］,當(dāng)x=0或x=l或x是無理數(shù)時，/（x）=0;當(dāng)x=K（"＜加，

m

m,“是互質(zhì)的正整數(shù)）時，/（%）=—.那么當(dāng)。，b,a+b,°方都屬于［0,1］時，下列選項(xiàng)恒成立

m

的是()

A./(a+6)〈/(a)+/(b)B./(a+A"/(a)./伍)

C./(ab)N/(a)+/(b)D.f(ab)>f(a)-f(b)

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.隨機(jī)變量X,V分別服從正態(tài)分布和二項(xiàng)分布，且X?N(2,l),8(4,0.5),貝！J()

A,P(X<0)=P(X>4)B.P(K<0)=P(y>4)

c.￡(x)=￡(y)D,p(x<2)=p(r<2)

10.在正四棱柱4BCD—中，AB=2AAi,點(diǎn)M是棱。2上的動點(diǎn)(不自躺點(diǎn))，貝(I()

A.過點(diǎn)M有且僅有一條直線與直線ZC,都垂直

B.過點(diǎn)M有且僅有一條直線與直線ZC,及〃都相交

C.有且僅有一個點(diǎn)M滿足△M4C和的面積相等

D.有且僅有一個點(diǎn)M滿足平面M4C_L平面

11.已知P(x(),比)是曲線。：/+,鏟=>—x上的一點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的是()

A.曲線C的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱

B.對任意x°eR,直線x=/與曲線C有唯一交點(diǎn)尸

C.對任意比e[—1,1],恒有闖<g

7F

D.曲線。在-1<y<1的部分與軸圍成圖形的面積小于一

4

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

22

12.已知橢圓亍+q=1的左、右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,橢圓上一點(diǎn)P滿足「鳥，為K，則線段

|叫=-

13.已知曲線y=e工在x=l處的切線/恰好與曲線^=。+1曲相切，則實(shí)數(shù)。的值為.

14.數(shù)學(xué)老師在黑板上寫上一個實(shí)數(shù)天,然后老師拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果正面向上，就將黑板

2

上的數(shù)飛乘以-2再加上3得到百，并將毛擦掉后將為寫在黑板上；如果反面向上，就將黑板上的數(shù)X。

除以-2再減去3得到占，也將天擦掉后將巧寫在黑板上.然后老師再拋擲一次硬幣重復(fù)剛才的操作得

到黑板上的數(shù)為3?現(xiàn)已知吃>玉)的概率為0.5,則實(shí)數(shù)玉)的取值范圍是.

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

15.在V48c中，角4民C的對邊分別為a,b,c,已知c?=/+從+仍，sin(C-S)=cos^.

(1)求角。和角8.

(2)若邊上的高為G，求VZ8C的面積.

22</71

16.已知雙曲線C：?—4=i(a〉0,/,〉())與過點(diǎn)Z七-,0,8(0,-血)的直線有且只有一個公共

abI31

點(diǎn)7,且雙曲線C的離心率6=

(1)求直線48和雙曲線C的方程；

(2)設(shè)片，名為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，M為線段2工的中點(diǎn)，求證：NMTF[=NTF[A.

17.如圖，在四棱錐尸―Z8CD中，底面Z8CD是菱形，ABAD=60°1側(cè)面是正三角形，又是

棱PC的中點(diǎn).

(.1)證明：ADLDM；

(2)若二面角P-/。-8為60°，求直線與平面P/3所成角的正弦值.

18.已知函數(shù)/1(x)=(尤-a)e”.

(1)若a=2,求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間和最值；

⑵若a?0,且一次函數(shù)y=g(x)的圖象和曲線y=/(x)相切于x=-1處，求函數(shù)g(x)的解析式

并證明：g(x)V/(x)恒成立.

(3)若a=l,且函數(shù)/z(x)=/(x)-《x2—*在上有兩個極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)/的取值范圍.

3

19.已知整數(shù)〃…4,數(shù)列｛%｝是遞增的整數(shù)數(shù)列，即%,%，…，a〃eZ且可<?<??<%.數(shù)列也｝滿

足〃=%,bn=an.若對于｛2,3,…，〃—1｝,恒有4—%等于同一個常數(shù)左，則稱數(shù)列出｝為｛%｝

的“左左型間隔數(shù)列”；若對于於｛2,3,…，〃-1｝,恒有%+]-4等于同-個常數(shù)左，則稱數(shù)列｛4｝為｛4｝

的“右左型間隔數(shù)列“；若對于，e｛2,3,…，〃—1｝,恒有為+「4=左或者也.—/=后，則稱數(shù)列｛〃｝為

｛%,｝的“左右左型間隔數(shù)列

（1）寫出數(shù)列｛4｝：1,3,5,7,9的所有遞增的“左右1型間隔數(shù)列”；

（2）已知數(shù)列｛%｝滿足%=8"（"-1）,數(shù)列出｝是｛?！埃摹白笞笮烷g隔數(shù)列”，數(shù)列｛%｝是｛4｝的“右

左型間隔數(shù)列“，若〃=10,且有4+%H----\-bn=cx+c2-\---\-cn,求左的值；

（3）數(shù)列｛4｝是遞增的整數(shù)數(shù)列，且q=0,%=7.若存在｛%｝的一個遞增的“右4型間隔數(shù)列也卜,

使得對于任意的，Je｛2,3,-1｝,都有為求％的關(guān)于〃的最小值（即關(guān)于〃的最

小值函數(shù)/（"））.

2025屆浙江強(qiáng)基高三數(shù)學(xué)上學(xué)期10月聯(lián)考試卷

試卷滿分150分，考試時間120分鐘.

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.已知集合'=｛"/一以-5<0｝,集合3=｛-2,0,2,4,10｝,則/門3=（）

A.｛-2,0,2,4｝B.｛-2,10｝C.｛0,2,4｝D.｛254｝

【答案】C

【解析】

【分析】先求出集合后根據(jù)交集概念計算即可.

【詳解】因?yàn)?=｛x|-l<x<5｝,5=｛-2,0,2,4,10）

所以ZcB=｛0,2,4｝.

故選：C.

4

2.已知z=—1—i,貝|z(l—i)=()

A.-2B.1C.72D.2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可求解.

【詳解】因?yàn)閦(l—i)=(―1—i)(l—i)=(―i)"—l=—2.

故選：A.

3.已知非零向量3,b，貝產(chǎn)卜+可叩―B卜是“向量方4”的()

A,充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義及數(shù)量積的運(yùn)算律判斷即可.

【詳解】因?yàn)椴粸榉橇阆蛄浚?/p>

若歸+目=卜-可，則卜+町=(5-3『，則/+2)石+小=十一2己石+/?,

所以4展B=o，所以彳工3，故充分性成立；

若G_Lb，貝!=a2+2a-b+b2=a2—2a-b+b2f

所以=(1—則卜+,=歸一同，故必要性成立；

所以+目=區(qū)—3”是“向量方工B”的充要條件.

故選：C.

4.若過點(diǎn)(2技0)與圓/+/=4相切的兩條直線的夾角為則cosa=()

.342V5nV5

5555

【答案】A

【解析】

【分析】由題意求出點(diǎn)(2㈠,0)到圓心的距離為進(jìn)而可得sin5=彳，結(jié)合二倍角的余弦公式計算

即可求解.

5

【詳解】點(diǎn)（2逐,0）到圓心（0,0）的距離為d=2石，圓的半徑為r=2,

,ar219a/1丫3

所以仙5=廠乖二正,于是cosa?2sin

故選：A.

5.二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

A.480B.240C.120D.15

【答案】B

【解析】

【分析】運(yùn)用通項(xiàng)公式計算即可.

【詳解】因?yàn)?]=晨（/）6-[2]=晨2'”',得到常數(shù)項(xiàng)，貝11廠=4.

C^24=15x16=240.

故選:B.

6.已知底面半徑為2的圓錐SO,其軸截面是正三角形，它的一個內(nèi)接圓柱的底面半徑為1,則此圓柱

側(cè)面積與圓錐SO側(cè)面積的比值為（）

R61

A.1D.--------D.-

22

【答案】C

【解析】

【分析】借助于軸截面求圓柱的高為道，再結(jié)合圓柱、圓錐的側(cè)面積公式運(yùn)算求解.

【詳解】作出軸截面，如圖所示,

由題意可得：AB=4,DE=2,可知RE分別為S4sB的中點(diǎn)，

則N分別為04的中點(diǎn)，則ZW=工SO=百，

2

可得S圓柱側(cè)面積=2?rxG=2j§7r；S圓錐側(cè)面積=7ix2x4=87i,所以比值為

6

故選：c.

(5x兀?

7.函數(shù)/(力=$加-(：08%(:(45+4)在區(qū)間(-兀,271)上的所有零點(diǎn)之和為()

A.TTB.2兀C.3兀D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)與其對應(yīng)方程的根、函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)之間的關(guān)系，作出函數(shù)

(5x兀、

y=cos三+^和歹=tanx的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想即可求解.

【詳解】由/⑴得黑=c°s［m+；］，

5x71

函數(shù)/(x)的零點(diǎn)即方程tanx=cos一+—的根,

24

5x71

作出函數(shù)^=cos一+—和歹=tanx的圖象，如圖,

24

由圖可知兩個圖均關(guān)于］，°中心對稱且在T71，2兀上有兩個交點(diǎn)，

2

故函數(shù)/(X)在區(qū)間(-兀,2兀)上有4個零點(diǎn)，所以4個零點(diǎn)的和為2兀.

8.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)椋?,1］,當(dāng)x=0或x=l或x是無理數(shù)時，/(x)=0；當(dāng)x=K(〃<加，

m

m,〃是互質(zhì)的正整數(shù))時，/(%)=-.那么當(dāng)。，b,a+b,ab都屬于［0』時，下列選項(xiàng)恒成立

m

的是()

A.f(a+b)<f(a)+f(b)B.f(a+b)>f(a)-f(b)

C.f(ab)>f(a)+f(b)D.f(ab)>f(a)-f(b)

7

【答案】D

【解析】

【分析】使用特值法可排除A,B,C,據(jù)。，b的取值可分類討論證明D正確.

【詳解】當(dāng)=；時,/(a+b).⑴=0,/(仍)=/■(；］=：,/(?)=/'(/))=/-(1)=|,

所以/(a+6)</(tz“(6),f(ab)<f(a)-f(b),故排除B、C；

當(dāng)a=Q=|時，小+。)，￡|=，/S)m，/㈤需)］，

所以/(a+6)>/(a)+/(Z)),故排除A.

下面證明D的正確性：

當(dāng)。，b之一為無理數(shù)或者0或者1時，不等式右邊為0,顯然成立.

na

當(dāng)a,b都是真分?jǐn)?shù)時，不妨設(shè)a=—,b=E

mp

11

則不等式右邊為一，顯然有左邊大于或等于一.

mpmp

所以不等式成立.

故選：D.

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.隨機(jī)變量X,V分別服從正態(tài)分布和二項(xiàng)分布，且X?N(2,l),y~8(4,0.5),貝!!()

AP(^<0)=P(X>4)B,P(K<0)=P(r>4)

c.￡(x)=￡(y)D,p(x<2)=p(r<2)

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)和二項(xiàng)分布的性質(zhì)計算即可.

【詳解】對A,因?yàn)椤?X)=2,根據(jù)對稱性，知道，故A正確；

對B,因?yàn)槭?y<o)=尸(y=o)=\=c：(g)4(；)°=p(y=4)=p(y24),故B正確；

8

對C,因?yàn)椤辏╔）=2,E（y）=4xO.5=2,故C正確；

對D,因?yàn)槭╔<2）=g,P（Y<2）=C：（1）°（1）4+Cicj）1^）3+C4（1）2（1）2=>故D錯誤.

故選：ABC.

10.在正四棱柱4BCD—中，AB=2A\,點(diǎn)M是棱上的動點(diǎn)（不合賺點(diǎn)），貝!I（）

A.過點(diǎn)M有且僅有一條直線與直線ZC,4口都垂直

B.過點(diǎn)M有且僅有一條直線與直線ZC,8以都相交

C.有且僅有一個點(diǎn)M滿足乙MAC和△〃片A的面積相等

D.有且僅有一個點(diǎn)M滿足平面平面MS1，

【答案】AB

【解析】

【分析】由空間線線、線面、面面的位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.

由圖可知直線ZC和直線異面,

則過空間中一點(diǎn)都是有且僅有一條直線與它們垂直，故A正確;

又易知與/C,34都相交，且點(diǎn)M在。A上，

所以過點(diǎn)M有且僅有一條直線與直線NC,耳口都相交，故B正確;

連接5。交ZC于0,易知M4=MC,所以

可知M到ZC的距離大于DO,且。。=券4g=41AAC

又M到4口的距離小于Z4,結(jié)合/。=用。1所以三角形面積不可能相等，故C錯誤;

由正四棱柱易得：ZCL平面〃與，，又/Cu平面M4C,

所以對任意M恒有平面平面故D錯誤.

故選：AB.

11.已知尸（%,比）是曲線=y—x上的一點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的是（）

A.曲線C的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱

9

B.對任意x()eR,直線與曲線C有唯一交點(diǎn)尸

C.對任意比e[—1,1],恒有聞<g

7F

D.曲線C在-14了<1的部分與歹軸圍成圖形的面積小于一

4

【答案】ACD

【解析】

【分析】將x,了替換為-X,一y計算即可判斷A；取x=0,可判斷有三個交點(diǎn)即可判斷B；利用函

數(shù)y=x-/的單調(diào)性來得出外-只的取值范圍，再結(jié)合/(x)=Y+x的單調(diào)性進(jìn)行求解即可判斷C；

利用圖象的對稱性和半圓的面積進(jìn)行比較即可判斷D.

【詳解】A.對于/+/=了一x,將x,>替換為一x,r,所得等式與原來等價，故A正確；

B.取x=0,可以求得y=0,y=l,y=-1均可，故B錯誤;

C.由/+/=為一歹；，y0,函數(shù)y=x—x3,故J/=1—3X2,

令_/=1-3/=0,解得：%=土旦在xe—￡,-,1時，/<0,函數(shù)單調(diào)遞減,

3|_3J|_3

在時，V>0，函數(shù)單調(diào)遞增，所以%-—，

又因?yàn)?(x)=d+x是增函數(shù)，/[；)=(〉乎，所以有上|<3,故C正確；

D.當(dāng)先￡[(),1]時，XQ+x0二%—%20,又Xo+Xo22xo,

Jo_-2Jo_，所以x：Vj?。一V：.

曲線％2二歹一/與y軸圍成半圓，又曲線。的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,

7F

則曲線C與了軸圍成圖形的面積小于一，故D正確.

4

10

故選：ACD.

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

22

12.已知橢圓寧+（=1的左、右焦點(diǎn)分別為片，耳，橢圓上一點(diǎn)P滿足「鳥，為3，則線段

1叫=-

3

【答案】-##1.5

2

【解析】

【分析】由已知可得尸點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=l,代入橢圓方程即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)闄E圓;+g=l,則a=2,b=g,c=l,所以耳（—1,0）,乙（1,0）,

因?yàn)槭?，與用，

33

所以p點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=i,代入求得縱坐標(biāo)為±5，即忸月卜5.

3

故答案為：-

2

13.已知曲線y=ex在x=l處的切線/恰好與曲線^=。+1曲相切，則實(shí)數(shù)。的值為.

【答案】2

【解析】

【分析】根據(jù)/是曲線y=e工在x=l處的切線求出/的方程，再求出/與曲線歹=a+lnx相切的切點(diǎn)即

可求解.

【詳解】由^=/得y'=e"又切點(diǎn)為（l,e）,故左=e,切線/為y=酬，

設(shè)/與曲線y=a+lnx的切點(diǎn)為（Xo，exo）,y=-,所以:=e,解得切點(diǎn)為

所以a+ln—=。-1=1,解得a=2.

e

故答案為：2.

14.數(shù)學(xué)老師在黑板上寫上一個實(shí)數(shù)飛,然后老師拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果正面向上，就將黑板

上的數(shù)飛乘以-2再加上3得到為，并將與擦掉后將為寫在黑板上；如果反面向上，就將黑板上的數(shù)天

11

除以-2再減去3得到占，也將天擦掉后將巧寫在黑板上.然后老師再拋擲一次硬幣重復(fù)剛才的操作得

到黑板上的數(shù)為現(xiàn)已知吃〉毛的概率為。-5,則實(shí)數(shù)玉)的取值范圍是.

【答案】(-%-2)U(l,+8)

【解析】

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=-2x+3,g(x)=-j-3,由兩次復(fù)合列出不等式求解即可.

【詳解】由題意構(gòu)造/(x)=-2x+3,g(x)=-|-3,

則有/(/(x))=4x—3,/(g(x))=x+9,g(/(x))=x—g,g(g(x))=：—

因?yàn)?(g(x))>x，g(/(x))<x恒成立，

又馬〉%的概率為0.5,

4x-3>x,4x-3<x,

所以必有<x3或者<X3解得X￡8,-2)u(l,+oo)

----<X,--------->X,

[42[42

故答案為：(-00,-2)U(1,4-00)

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

15.在V48c中，角4民C的對邊分別為。，b,c,已知c?=/+從+仍，sin(C-S)=cos^.

(1)求角。和角B.

(2)若邊上的高為百，求V4BC的面積.

【答案】(1)C=—,B=-

34

(2)

2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)余弦定理求出°=牛，再將sin(C—B)=cos/化簡為5詁1]一5]=5由15+1

TT

從而求出8=—即可；

4

(2)根據(jù)邊8C上的高為G求出6=2,c=?利用S=gbcsirU求解即可.

【小問1詳解】

12

由余弦定理知cosCo'=—工,故。=空.

2ab23

因?yàn)閟in（C_8）=cosA,所以sin一臺］=cos一臺］=s^n+~

又0<8（巴，所以女—8=8+4，故8=巴.

3364

【小問2詳解】

因?yàn)锽C邊上的高〃=bsinC=csinB-，解得6=2，c=V6?

向0

又siiL4=sin（5+C）=sin5cosc+sinCcos5二

4

所以V4BC的面積s=-bcsinA=匕.

22

22//7A

16.已知雙曲線C：*—彳=1（?！?4〉0）與過點(diǎn)2今-,0,3（0,—而）的直線有且只有一個公共

abI3J

點(diǎn)T,且雙曲線C的離心率6=指.

（1）求直線45和雙曲線。的方程；

（2）設(shè)片，8為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，M為線段力心的中點(diǎn)，求證：ZMTF2=ZTF1A.

2

【答案】（1）AB:y=y/15x-Ji0,——匕=i；

.5

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）由離心率求出關(guān)系，并化簡雙曲線方程，再求出直線方程代入雙曲線方程中，利用△=0

求解即可；

（2）求出點(diǎn)T坐標(biāo)，可進(jìn)一步證明△片用,進(jìn)而證明NM7耳=/班2.

【小問1詳解】

因?yàn)殡p曲線的離心率0=指，

所以二^1=6,解得6=底，

a

13

22

設(shè)雙曲線方程1;=1.

a5a

（［J）

直線48過點(diǎn)5（0,-V10）,

2L+^^=i

所以直線48方程為RS-VlO，即=JI?x—JHL

丁

代入雙曲線方程5x2-/=5a2,得-2x2+2瓜x-2-a2=0.

由題意，A=24—8（2+/）=0,解得/=1

2

所以雙曲線C的方程：——匕=1.

5

【小問2詳解】

因?yàn)?=1，于是一2/+2瓜一2—/=。即2/—2瓜+3=0，

所以x=半，代入y=JBx—而得了=乎，

則T乎，平，又月（遙,0）,所以|距『=4,

\7

因?yàn)楹訛榫€段么寫的中點(diǎn)，所以/,0,

所以囚M?囚周=手乂2后=4=內(nèi)邛?

又NF\FJ=NTF[M,所以△片鳥Ts△隼M,故/MTF?=NTRA.

17.如圖，在四棱錐尸—N8CD中，底面Z8CD是菱形，ABAD=60°1側(cè)面P4￡）是正三角形，M是

棱PC的中點(diǎn).

14

（1）證明：ADLDM；

（2）若二面角P-40-8為60°，求直線。〃與平面尸48所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵巫

13

【解析】

【分析】（1）取4D與網(wǎng)中點(diǎn)。，N.連接P。，OB,ON,MN,證明四邊形ODMN是平行四

邊形.得到線面垂直，再用性質(zhì)即可.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面尸48的一個法向量為萬，再用向量夾角計算公式計算即可.

【小問1詳解】

證明：分別取4D與尸3中點(diǎn)。，N.連接P。，OB,ON,MN,

則運(yùn)用中位線性質(zhì)知//工BC,=工8C且OD//工8C,,8C,則

2222

OD//MN,OD=MN,

則四邊形ODMN是平行四邊形.

側(cè)面上4。是正三角形，易知，ADLOP.

底面48CD是菱形，ABAD=60°;則底面34。是正三角形，則40,05.

.?.3_1平面？。5，

■：ON^nPOB,:.ADLON.

由于四邊形ODMN是平行四邊形.DM//ON,:.ADVDM.

【小問2詳解】

由（1）知NP05為二面角P—/O—8的平面角，即NPOB=60°，前面知道40,05,

則過。做/。的垂線。z,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z如圖,

15

設(shè)/2=2,則力(1,0,0),￡>(-1,0,0),C(-2,V3,0),5(0,Ao),P0,乎」，

I22JI44

W=fo,—,方=(—1,百,0),P5=fo,—

I44J<)I22J

設(shè)平面尸的一個法向量為元=(久,y,z),

一：十島=°,進(jìn)而求得一個法向量為方=(3,6,1).

則《

島-3z=0''

設(shè)直線1W與平面P4B所成角為a,

--?n93

DM-n\0+7+42^/13

則sma=一1=-——

MHx屈13

18.已知函數(shù)/'(x)=(x-a)e*.

(1)若a=2,求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間和最值;

(2)若a<0,且一次函數(shù)y=g(x)的圖象和曲線y=/(x)相切于x=-1處，求函數(shù)g(x)的解析式

并證明：g(x)V/(x)恒成立.

(3)若a=l,且函數(shù)"x)=/(x)T(x2—x)在上有兩個極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)/的取值范圍.

【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8),最小值為/(1)=—e,無最大值.

(2)g(x)=—@x—匕網(wǎng)，證明見解析

ee

(2e2^

⑶e,—.

【解析】

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求解單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合單調(diào)性求解最值即可；

(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出g(x)=—qx—二且；令

ee

JC

M(x)=/(x)-g(x)=(x-?)e+-x+^^,利用導(dǎo)數(shù)求出M(x)最小值為M(—l)=0即可；

ee

(3)因?yàn)楹瘮?shù)/z(x)=(x-I)e—(x2_x)在上有兩個極值點(diǎn)，所以〃'(x)=xeX—(2x—1)在

16

上有兩個變號零點(diǎn)，分離參數(shù)得：=2三，求解直線丁=：與函數(shù)笈在ga］上

的圖象有兩個交點(diǎn)即可.

【小問1詳解】

因?yàn)?=2,所以/(x)=(x—2)e\定義域?yàn)镽,求導(dǎo)得/'(x)=(x—l)e”，

故當(dāng)xe(—00,l)時，/(X)<0；當(dāng)xe(l,+8)時，/(%)>0,

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8),

所以最小值為/(1)=-e,無最大值.

【小問2詳解】

/'(x)=(x—a+l)e)所以廣(_1)=_@,又/(一1)=—1±￡,

ee

所以g(x)=_q(x+l)_^^,BPg(x)=--+；

eeee

令"(x)=/(x)-g(x)=(x-6z)ex+—x++,

ee

l!]M,(x)=(x-a+l)ex+—,/(%)=(尤-a+2)e*,這里表示/(x)的導(dǎo)函數(shù).

e

令〃"(x)=0,則％=a-2,

當(dāng)x變化時，"〃(％)與/(x)的變化情況如下表:

X-2)Q—2(Q-2,+8)

—0+

M(x)單調(diào)遞減-ea-2+—@單調(diào)遞增

e

所以當(dāng)x=a-2時，函數(shù)/(x)有極小值，極小值為-e"-2+q,也是最小值，

e

因?yàn)楫?dāng)Xfi時，/(x)無限趨向于@<0,所以當(dāng)x<"2時，/(x)<0,

e

又/(—1)=0,此時，“(X)在(—8,—1)上單調(diào)遞減，在(—1,+8)上單調(diào)遞增,

所以M(X)"(—1)=0,即不等式g(x)Wf(x)恒成立,

【小問3詳解】

17

因?yàn)楹瘮?shù)人(%)=(%-1”一《/一》)在，,2)上有兩個極值點(diǎn),

所以〃'(x)在1g,2)上有兩個變號零點(diǎn),

因?yàn)椤?(%)=xe'-(2x—l),令〃'(x)=0,即xe"-121-1)=0,

因?yàn)閤=0不是xe、—/(2x—1)=0的根，所以一=——,

tXQ

人口(、2x-1(1A2x_—(x+l)(2x_l)eX_(x-l)(2x+l)

令坦x)=---——<x<2,則〃⑺—-0,

-xexU)(xe]xe

當(dāng)g<x<l時，〃'(x)>0；當(dāng)l<x<2時，H'(x)<0,

所以函數(shù)》(x)在?,1)上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減，

又《1=0,理1)=:,笈(2)=2，作出函數(shù)X(x)在上的圖象,

當(dāng)—r<-<—>即e<f<上一時，直線:V與函數(shù)7/(x)在上的圖象有兩個交點(diǎn),

2e2te3

設(shè)兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為Xi，/，且項(xiàng)</，

由圖可知，當(dāng)!<%<再或/<1<2時，1〉2XJ,止匕時(x)=及e”|—2%*1)〉0,

2txe\txe)

當(dāng)芭<xv%2時，2-J,止匕時h1(x)二及e%J]<0,

txe\txeJ

所以函數(shù)/i(x)在g,xj上單調(diào)遞增，在(%,9)上單調(diào)遞減，在(9,2)上單調(diào)遞增,

此時，函數(shù)/(x)有兩個極值點(diǎn)，合乎題意.

(2e2)

因此，實(shí)數(shù)，的取值范圍為e,—.

3

18

19.已知整數(shù)〃…4,數(shù)列｛%｝是遞增的整數(shù)數(shù)列，即%,%，…，a〃eZ且可<?:??<%.數(shù)列也｝滿

足〃=%,bn=an.若對于｛2,3,…，〃—1｝,恒有4—的等于同一個常數(shù)左，則稱數(shù)列出｝為｛%｝

的“左左型間隔數(shù)