分離變量法與有限差分法在電場(chǎng)的應(yīng)用剖析

1、分離變量法與有限差分法在電場(chǎng)的應(yīng)用 有一長(zhǎng)方形的導(dǎo)體槽，a = 20，b = 5，設(shè)槽的長(zhǎng)度為無(wú)限長(zhǎng)，槽上有兩塊與槽絕緣的蓋板，電位分別為100V和50V，其它板電位為0V，求槽內(nèi)的電位分布。yx10050ab用有限差分方程組近似原微分方程和定解條件把連續(xù)的定解區(qū)域用有限個(gè)離散點(diǎn)構(gòu)成的網(wǎng)格來(lái)代替；把連續(xù)定解區(qū)域上的連續(xù)變量的函數(shù)用在網(wǎng)格上定義的離散變量函數(shù)來(lái)近似；把原方程和定解條件中的微商用差商來(lái)近似，積分用積分和來(lái)近似。x=21; x=21; y=6; y=6; v1=ones(y,x); v1=ones(y,x); v1(y,:)=ones(1,x)v1(y,:)=ones(1,x)* *

2、100; 100; v1(1,:)=ones(1,x)v1(1,:)=ones(1,x)* *50; 50; fori=1:y;fori=1:y;v1(i,1)=0; v1(i,1)=0; v1(i,x)=0; v1(i,x)=0; endendmax=1;max=1;t=0; t=0; v2=v1;v2=v1;n=0;n=0;while(max1e-6) while(max1e-6) n=n+1;n=n+1;max=0; max=0; fori=2:y-1 ; fori=2:y-1 ; for j=2:x-1 ; for j=2:x-1 ; v2(i,j)=(v1(i,j+1)+v1v2(i

3、,j)=(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v2(i-(i+1,j)+v2(i-1,j)+v2(i,j-1)/4 ; 1,j)+v2(i,j-1)/4 ; t=abs(v2(i,j)-v1(i,j);t=abs(v2(i,j)-v1(i,j);if(tmax) if(tmax) max=t; max=t; endendendendendendv1=v2;v1=v2;endenddisp(v2);disp(v2);disp(n);disp(n);mesh(v2);mesh(v2); 主要思想是 把一個(gè)電勢(shì)場(chǎng)分成兩個(gè)。一個(gè)由0到100v變化，另一個(gè)有50v到0變化，然后電勢(shì)疊加，即可得到50

4、v到100v的電位變化.得而得而 由邊界條件 （m為奇數(shù)） (n為奇數(shù)) 通過(guò)（2）得而 （s為奇數(shù)）x=0:1:20;y=0:0.25:5;X,Y= meshgrid(x,y);z=ones(21);for n=1:2:110;j=sin(n*pi.*X/a);c=(200*a)/(n*pi);d=1-exp(2*n*b*pi/a);f=exp(n*pi.*Y/a);有限差分法優(yōu)點(diǎn)：從而使許多解析法很難解決的復(fù)雜電磁場(chǎng)邊值問(wèn)題，有可能通過(guò)電磁場(chǎng)的計(jì)算機(jī)輔助分析獲得很高精度的數(shù)值解；缺點(diǎn)：數(shù)據(jù)輸入量大、計(jì)算量大、受硬件條件的限制。 分離變量法優(yōu)點(diǎn)：可將解答表示為已知函數(shù)的顯式，從而計(jì)算出精確的數(shù)值結(jié)果； 可以作為近似解和數(shù)值解的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)； 在解析過(guò)程中和在解的顯式中可以觀察到問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系和各個(gè)參數(shù)對(duì)數(shù)值結(jié)果所起的作用。缺點(diǎn)：它僅能解決很少量的問(wèn)題。而用積分方程法是往往求不出結(jié)果，致使分析過(guò)程既困難又復(fù)雜。使用有限差分法求解電磁場(chǎng)邊值問(wèn)題是可行的，