初等幾何變換(一)概述

1、初等幾何變換初等幾何變換( (一一) )變向:反射變換.保向:平移變換,旋轉(zhuǎn)變換.2.相似變換:(保持形狀不變)1.合同變換:(保持距離不變)一一. .復(fù)習(xí)介紹復(fù)習(xí)介紹: :特殊地,位似變換.1.合同變換分:平移、反射、旋轉(zhuǎn)三個(gè)變換.反射自身不構(gòu)成“群”.平移變換：每一個(gè)平移之逆也是平移，任二個(gè)平移之積仍是平移.二二. .變換與變換的乘積變換與變換的乘積: :a.任二反射之積當(dāng)反射軸平行時(shí),積是一次平移.反射變換：“平移成群”b.任二反射之積當(dāng)反射軸斜交時(shí),積是一次旋轉(zhuǎn).c.任二反射之積當(dāng)反射軸垂直時(shí),積是中心對(duì)稱(chēng).注:中心對(duì)稱(chēng)屬于旋轉(zhuǎn).（見(jiàn)P564-565)旋轉(zhuǎn)變換：a.有同一個(gè)旋轉(zhuǎn)中心的所

2、有旋轉(zhuǎn)成“群”.b.不同中心旋轉(zhuǎn)之積(、是旋轉(zhuǎn)角）時(shí)，成為一次平移。當(dāng)時(shí)，仍是一個(gè)旋轉(zhuǎn)；當(dāng)360360圖形見(jiàn)P563.應(yīng)用-斯坦納(Steiner)問(wèn)題: 設(shè)有不共線的三村A、B、C,欲共挖一井,問(wèn)挖在何處,方使鋪向三村的輸水管總長(zhǎng)最短。.,120,120,120000000PCPBPACPBPAPACPCBPBAPABC求證：中，已知在問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：CCPPN N定理:任一合同變換可分解為不多于三個(gè)的反射之積. P565合同變換:平面到自身的變換,若保持距離不變,則稱(chēng)它為合同變換.所有的合同變換組成“群”.也可以說(shuō),合同變換不外是由平移、旋轉(zhuǎn)和反射復(fù)合而成.2.位似變換:（位似比）是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，與

3、，位似中心kOPPOPPO的同側(cè)；在、時(shí)，稱(chēng)同向位似，這時(shí)當(dāng)OPPk0的異側(cè)。在、時(shí)，稱(chēng)反向位似，這時(shí)當(dāng)OPPk0DCBACDAB:.即之比是位似的不變量基本不變量：任二線段.保角性、保圓性基本不變性：平行性、.性、對(duì)稱(chēng)性、傳遞性圖形的位似還具有反身3.相似變換:（相似比）有，與，與任二對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)kABBABBAA時(shí)，稱(chēng)同向相似；當(dāng)0k時(shí)，稱(chēng)反向相似。當(dāng)0k.變夾角在相似變換下也不任二直線的在相似變換下不變，不變量：任二線段之比.下的像還是圓不變性：圓在相似變換.變換的乘積成一個(gè)位似與一個(gè)合同任一相似變換皆可分解相似變換的分解定理：.似變換群所有的相似變換構(gòu)成相三三. .舉例舉例: :.43,:

4、. 1ABCCBASSCFACBECBADBACBACFBEADABCCFBEAD求證：，使，作成一個(gè)新、由的三條中線，是、已知例N N(A)(B)(C)MM.:. 2BNEAMENMBCADEFBCADFCDFEBAECDABFEABCD點(diǎn)，求證：、交于延長(zhǎng)線分別、與，且邊上的點(diǎn)，、分別是、中，已知四邊形例G GH H1221.:. 2BNEAMENMBCADEFBCADFCDFEBAECDABFEABCD點(diǎn)，求證：、交于延長(zhǎng)線分別、與，且邊上的點(diǎn)，、分別是、中，已知四邊形例K K1221.:,. 3PCAPBAAPCAPBABCPACABABC求證且有內(nèi)一點(diǎn)是中已知例Q Q.:. 5321

5、321321三點(diǎn)共線、證是它們的位似中心，求依次、兩兩彼此位似，、圖形例OOOOOOFFF位似軸位似軸133332222111AOOAAOOAAOOA1113333222211ACCAACCAACCA.321三點(diǎn)共線、OOO321AAA對(duì)于.:,:)(6585的內(nèi)心的中點(diǎn)是線段求證，、分別切于、的外接圓，且與于內(nèi)切有一圓中，在已知例ABCPQQPACABABCOACABABCPMMT TE ED D思路:如圖,T為O與ABC的切點(diǎn)，PQ交AT于M，圖形以AT為對(duì)稱(chēng)軸，即在以A為中心,ABC與ADE的位似變換下,k為位似比,而O是ADE的內(nèi)心,故M是ABC的內(nèi)心.PQAT,BCAT,DEAT,DTPM.ADA