牛頓迭代微課

1、牛頓迭代法微課初始值的取值范圍和所取得的根的關(guān)系 當(dāng)初始值在什么區(qū)間內(nèi)的時(shí)候，牛頓迭代均收斂至某個(gè)根？ 猜想：x0在根附近的區(qū)間時(shí)，收斂至這個(gè)根 我們做個(gè)試驗(yàn)，在每個(gè)跟附近均勻取一些點(diǎn) 以實(shí)根x=1為模型演示我的思路實(shí)根x=1X 迭代結(jié)果1.10 1.00000000284157541.20 0.99999997914953531.30 1.00000000579826441.40 1.5199693720627943（下一個(gè)實(shí)根約為1.51996937264001）實(shí)根x=1 X 迭代結(jié)果 0.90 0.9999999874041303 0.80 0.9999999930180635 0.7

2、0 0.9999999888080713 -0.40 -0.7733874116506424 -0.50 -0.7733874116506424 （下一個(gè)實(shí)根約為1.51996937264001）以上述 模型為例，我以0.01為一個(gè)單位長度，計(jì)算了x0屬于-2到5的所有近似根，發(fā)現(xiàn) 間斷點(diǎn)區(qū)間 近似根【-2.00，-0.34】 -0.7733874116506424【-0.33，-0.29】 4.25341803958785【-0.28，-0.22】 1.51996937206279【-0.21， 1.33】 1.0000000163027822 1.34 -0.773387411650642

3、4 1.35 4.253418039587853【1.36，3.36】 1.519969372062788 間斷點(diǎn)區(qū)間 近似根 3.37 -0.7733874116506424【3.38，3.47】 0.9999999863284457【3.48，3.58】 -0.7733874116506424【3.59，5.00】 4.253418039587853這就是我試給出的根所對(duì)應(yīng)的區(qū)間。Question！ 為什么會(huì)在其他根附近迭代出某個(gè)根？ 為什么在較長區(qū)間之間總會(huì)有一些短的區(qū)間里迭代結(jié)果凌亂？我們來觀察一下函數(shù)圖像函數(shù)圖像上局部函數(shù)圖像下局部觀察結(jié)果 混亂的迭代值出現(xiàn)在函數(shù)的谷峰和谷底混亂的迭代值出現(xiàn)在函數(shù)的谷峰和谷底 為什么出現(xiàn)這種情況？ 再次觀察函數(shù)圖像原因 由于谷峰和谷底的斜率的絕對(duì)值較小，在谷峰和谷底做切線可能交于函數(shù)圖像中離得很遠(yuǎn)的地方的點(diǎn)，因此出現(xiàn)了混亂的迭代值。 這種大的誤差很難通過迭代公式發(fā)現(xiàn)，需要圖像輔助小結(jié) 我們不能單純根據(jù)圖像或迭代公式中的任何一個(gè)來判斷x0的迭代結(jié)果。應(yīng)該綜合起來用，既有計(jì)算也觀察圖像，才能判斷 取x0時(shí)盡量避免取到谷峰或谷底附近，防止迭代值出現(xiàn)較大誤差哪些實(shí)根所需迭代次數(shù)較多？ 實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)根x=1附近迭代次數(shù)較多觀察結(jié)果 根x=1附近曲線較為平緩（|f(x)|的值較?。?其他根附近曲線較為陡峭（|f(x)|的值較大） 這和迭代次數(shù)有什