角函數(shù)講義適用于高三第一輪復(fù)習(xí)精選

1、1 .同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2cos21叫tancos2 .誘導(dǎo)公式（奇變偶不變，符號看象限）3 .兩角和與差的公式4.倍角公式 sin2 2sin cos cos2 cos2sin21 2 sin22cos215 .降幕公式sin6 .幅角公式asin1 cos 221 cos2cos 22x bcos xa2 b2 sin( xsin cos sin 22 b),其中tan a8.補(bǔ)充公式（sincos )2 1 2sin cos 1 sin 2 , 41sinsin cos一22知識點(diǎn)睛.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象最值當(dāng)且僅當(dāng)x 2k-時(shí)取到最大值21；當(dāng)且僅當(dāng)x 2k一時(shí)取到最

2、小值21當(dāng)且僅當(dāng)x 2k時(shí)取到最大值1;當(dāng)且僅當(dāng)x 2k時(shí)取到最小值1周期最小正周期為2最小正周期為2奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào) 性在2k-,2k上單調(diào)增；22.3在2k, 2k上單調(diào)減22在2k,2k 上單調(diào)增；在2k ,2k上單調(diào)減對稱軸x k 一；對稱中心（k , 0） 2對稱軸x k ;對稱中心（k 一，0）2說明：表格中的k都是屬于Z,在選擇“代表”的區(qū)間或點(diǎn)時(shí)，先盡量選擇離坐標(biāo)原點(diǎn)近 的，再盡量選擇正的。正切函數(shù)y tan x的圖象與性質(zhì)：方法一：先平移變換后伸縮變換定義域?yàn)閤 | x k , k Z,值域?yàn)镽 2最小正周期是，在（k -,k）上單調(diào)增22沒有對稱軸，對稱中心為（土，0

3、）,奇函數(shù)2,正弦型函數(shù)y Asin( x ) (A0,0）的圖象伸縮變換：縱坐標(biāo)不變，將y sin（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短（1）或伸長（01)平移變換：將y sinx圖象向左（0）或向右（0）平移|個(gè)單位，得到y(tǒng) sin（x ）的圖到原來的1倍，得到y(tǒng) sin（ x）的圖象，此時(shí)函數(shù)周期為T振幅變換：橫坐標(biāo)不變，將y sin（ x）圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（A 1）或縮短（0 A 1）到原來的A倍，彳4到y(tǒng) Asin（ x ）的圖象，此時(shí)函數(shù)的最值分別為A、 A;方法二：先伸縮變換后平移變換伸縮變換：縱坐標(biāo)不變，將y sin x圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短（1）或伸長（01）到原來的- 倍

4、，所得函數(shù)y sin x的圖象，此時(shí)函數(shù)的周期為T平移變換：將y sin x圖象向左（0）或向右（0）平移一個(gè)單位，得到y(tǒng) sin（ x ）的圖象振幅變換：同上解三角形1.解三角形：（1）邊的關(guān)系：abc,acb,bca （或滿足：兩條較短的邊長之和大于較長 邊）（2）角的關(guān)系：ABC , 0 A、B、C , sin A 0, sin（A B） sin C ,cos(A B)cosC.Asin2Acos2sinC ,22.正弦定理:sin A sin B2R,其中R為ABC的外接圓半徑 sin C3.余弦定理：在 ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,則有余弦定理:a2 b2 c2 2

5、bccosAb2 a2 c2 2accosB , 其變式為:c2 a2 b2 2abcosCcosAcosBcosC222b c a2bc222a c b2ac222a b c2ab4.三角形的面積公式:c1 cS abc- ab sin C21 . 1bcsin A acsin B2 2三角恒等變換例題精講【例11考查對三角函數(shù)值“知一求二”的掌握(1)已知是第二象限角，且sin3 一一,則 cos5, tan _(2)已知是第四象限角，且tan,sin 12, cos(3)已知8cos,求 sin17、tan 的值點(diǎn)評：利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式能夠做到三角函數(shù)值“知一求二”，但要注意正

6、負(fù)符 號的確定【例2】已知tan 2,計(jì)算:sin 2 cos1(1) ； (2) sin cos ; (3)-3sin 4cos2sin cos cos點(diǎn)評：如果根據(jù)tan的值求sin 、cos的值，則需考慮的象限，這里把1寫成sin2cos2 構(gòu)造關(guān)于sin 、cos的齊次式，解法干凈利索【例3】(1),425sincostan 的值是364(2)已知cos()1，則 sin(-)22(3)若記 cos( 80 )k ,則 tan100點(diǎn)評：此題主要考查誘導(dǎo)公式的使用，關(guān)于誘導(dǎo)公式希望大家牢記：互補(bǔ)的兩個(gè)角正弦值相等，余弦值、正切值互為相反數(shù)，互余的兩個(gè)角正弦值、余弦值互換【例4】(1)已

7、知sin4(一，),cos5是第三象限角，求cos()5213(2)已知sin3是第四象限角，求sin(一)、cos(一)、tan( 一)54444(3)右 為弟一象限角，且sin -，則tan25【例5】(1)已知一，求(1 tan )(1 tan )的值 4一，2. A BAB .,.(2)已知 A B ,求 tan tan «3tantan的值32222點(diǎn)評：正切的和差角公式把tan()、tan tan 、tan tan聯(lián)系到一塊，任一項(xiàng)都能由另兩項(xiàng)表示，如 tan tan tan( )(1 tan tan )【例6】(1)若1 tantan一 _ 12008 ,貝U tan

8、2cos2(2)若 sincos3 . 25_2sin 22 sin1 tan(3)設(shè) 0一,若 sin 4cos點(diǎn)評：在三角函數(shù)的化簡與求值問題中，一要盡量減少三角函數(shù)名，二要盡量減少角的個(gè)數(shù), 這里用到“化切為弦”，即將正切化為我們更熟悉的正弦和余弦【例7】(1)已知 是第三象限角，且cos2,則 tan( 2 )41 tan(2)已知是第三象限角，且cos2,cos2的值為2 tan 2(2)已知 sin cos 3,且一 84一,則cos sin 的值為 2點(diǎn)評：此題主要考查sin cos與sin cos 之間的關(guān)系：(cos sin )23 1 2 sin cos【例 9】若sin

9、cos 【例8】(1)已知sin cos 23 ,貝U sin的值為,求值：(1) sin cos ; (2) sin2cos2 ; (3) sin3cos35常見題型一：給角求值在求值過程中，先整體分析三角函數(shù)式的特點(diǎn)，如果整體符合三角公式，則整體變形，否則進(jìn)行局部變換。另外要觀察所給角與特殊角之間的關(guān)系， 要盡量利用三角公式將非特殊角轉(zhuǎn) 化為特殊角。【例11求值：(1) sin163osin 223o sin 253osin313 o/ c、 sin 65 sin15 sin10；(2sin 25 cos15 cos803 2(3) sin 6 sin 42 sin 66 sin 78;

10、(4) sin 20 cos 50 sin 20 cos50 例 2】求化 (1) cos20 (2) Q3tan1223)；cos35 1 sin20sin12 (4cos2 122)常見題型二：給值求值解決此類問題的關(guān)鍵在于角的“整體代換”，找出已知式與欲求式的角的和、差、倍、半、 互余、互補(bǔ)等關(guān)系，另外還要注意角的范圍的討論【例】(1)已知cos(一)立，-3-,則 sin ；41024(2)已知 cos(33-)7，TTT，則 cos(2 ) ;45224(3)已知 tan(21)tan( -)則 tan( -) 5444常見題型三：給值求角解決此類問題的關(guān)鍵是先求出此角的某一個(gè)三角函

11、數(shù)值，然后根據(jù)角的范圍確定角的大小，此時(shí)要注意根據(jù)三角函數(shù)值的正負(fù)號或比較特殊角的三角函數(shù)值大小挖掘隱含條件，要盡量減小角的范圍?！纠?】若sin , sinW0,且、 為銳角，求510111例2已知、均為銳角，且tan ，tan - , tan -,求258【例 3】已知 tan( ) 1，tan 1,、(0,),求 2三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)說明：(1)伸縮變換不會改變 的值，只是將x變?yōu)閤；(2)若 相同，就不用做伸縮變換，若 不同，就一定要做伸縮變換；若 相同，就不用做平移變換，若 不同，就一定要做平移變換；(2)左右平移的量要看發(fā)生在自變量 x上的變化。三.復(fù)合函數(shù)y Asin( x )

12、 B的性質(zhì)最值：A B和 A B ;單調(diào)性：若A 0,則正向討論，即令2k x 2k 一,可求得函數(shù)的單調(diào)增22區(qū)間;若A 0,則反向討論，即令2k x 2k ,可求得函數(shù)的單調(diào)增 22區(qū)間周期：最小正周期是T 2對稱性：函數(shù)f (x) Asin( x ) B的圖象仍然是波形，它有無數(shù)條對稱軸和無數(shù)個(gè)對稱 中心令sin( Xo)1,可求得函數(shù)f(x)的所有對稱軸x x。；令sin( xo) 0,可求得函數(shù)f(x)的所有對稱中心(xo, B)【例11考查三角函數(shù)圖象的變換(1)2由函數(shù)y sin(x )的圖象怎么變換到函數(shù)y sin(2x 與)的圖象(2)將函數(shù)y sin(x )的圖象上所有點(diǎn)的

13、橫坐標(biāo)伸長到原來的 2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將所得的圖象向左平移 一個(gè)單位，得到的圖象的對應(yīng)解析式是。3八11八1A. y sin xB. y sin( x -)C. y sin( x ) D. y sin(2x )222266(3)要得到y(tǒng) sin(2x §)的圖象，只需將函數(shù)y sin(2x)的圖象()A.向左平移一單位？B.向左平移一單位？C.向右平移一單位？?D.向右平移一單 4242位【例2】考查三角函數(shù)的對稱軸和對稱中心(1)函數(shù)f(x) sin(2x ) (0)是R上的偶函數(shù)，則 的值是()A. 0B. J. 2D.(2)已知函數(shù)f(x) sin( x )的最小正周期為，

14、則函數(shù)f(x)的圖象()A.關(guān)于(,0)對稱B.關(guān)于x 對稱C.關(guān)于(一,0)對稱D.關(guān)于x 一對稱 3443(3)已知函數(shù)f (x) asin x cosx的圖象關(guān)于直線x 成軸對稱圖形，則實(shí)數(shù) 4a (4)若函數(shù)y 3cos(2x )的圖像關(guān)于點(diǎn)(工，0)中心對稱，那么| |的最小值為() 3A.B C. 3D (5)已知函數(shù)f (x) sin( x ) (0) , f (-)f(),且f (x)在區(qū)間 q , g)上有最小值，無最大值，則【例3】考查三角函數(shù)的單調(diào)性(1)函數(shù) f(x)(2)函數(shù) f(x)2sin(2x石)的單調(diào)減區(qū)間是cos(x §)的單調(diào)遞增區(qū)間是【例 4】

15、已知函數(shù) f (x) sin【例6】考查三角函數(shù)的最值求法 1(1)設(shè)M和m分別表小函數(shù)y -cosx 1的最大值和最小值，則 M m (2)若函數(shù)f (x) V3sin x cosx , 0 x 、則f(x)的最小值為 2 (3)當(dāng)x ，7時(shí)，函數(shù)y 3 sin x 2cos2 x的最小值是，最大值是 6(4)求函數(shù)y sinx的值域 x <3sin xcosx 2cos2 x , x R(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求函數(shù)f(x)的最小值，并求函數(shù)f(x)取得最小值時(shí)的x的集合;(3)求函數(shù)f(x)在區(qū)間,上的最小值；4 4(4)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)問；(5)求函數(shù)f(

16、x)在區(qū)間一,一上的單調(diào)增區(qū)問；4 4(6)求函數(shù)f(x)的所有對稱軸和對稱中心；(7)函數(shù)f(x)的圖象可以由函數(shù)y sin2x, x R的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到;【例 5】已知函數(shù) f(x) cos(2x -) 2sin(x )sin( x )344(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和對稱軸方程；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間,一上的值12 2域(3) y asin取值范圍【例 10(1)若函數(shù) f(x) sin2x 1 (x R),則 f(x)是() A.最小正周期為萬的奇函數(shù)B.最小正周期為的奇函數(shù)C.最小正周期為2的偶函數(shù)D.最小正周期為的偶函數(shù)(2)函數(shù)f(x) sin4x cos4 x

17、的最小正周期是 ,最小值是(3)函數(shù)f (x) sin x的最小正周期是 ； 2(4)函數(shù)f (x) sin(2x ) 1的最小正周期是 2點(diǎn)撥：(1)利用降幕公式、幅角公式把已知函數(shù)轉(zhuǎn)化為y Asin( x ) B形式，從而得到周期；x bsinx c型：配方后求二次函數(shù)的最值，應(yīng)注意 sinx 1的約束；(4) y asinx b型:分離常數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性 csin x d(5) y asinx b型:數(shù)形結(jié)合法，這里用到直線斜率的幾何意義，也可用純代數(shù)法求法 ccos x d(6) y a(sin x cosx) bsin x cosx c型：換元 sinx cosx t,要注意

18、變量 t 的范圍【例7】(1)求函數(shù)y x*x2的值域;(2)求函數(shù)y k7 J15 3x的值域；(5)已知函數(shù)y 2cos2 x 2acosx 2a 1有最大值5,求實(shí)數(shù)a的值【例 81 設(shè)函數(shù) f(x) sin2 x cosx a(1)若方程f(x) 0有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若方程f(x) 0在x (0,萬內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；-17(3)若1 f(x)彳對一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍點(diǎn)撥：解決方程有解問題最有效的方法是分離變量求值域【例9】若關(guān)于x的方程sin 2x 73cos2x a 1在0,g上有兩個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的當(dāng) 2時(shí)，f(x)g(x)的最小正周

19、期是_；2當(dāng) 1時(shí)，f(x) g(x)的最大值是9,最小值是2;8當(dāng) 2時(shí)，將函數(shù)f(x)的圖象向左平移可以得到函數(shù)g(x)的圖象；2 一 k . 一一 ，一.一 k當(dāng) 2時(shí)，f(x) g(x)的對稱中心是(口 一，0)(k Z)28其中正確命題的序號是(把你認(rèn)為正確的命題的序號都填上)13.已知函數(shù)f(x) Asin(ax ),( A 9,0,| | , x R)的圖象的一部分如下圖所示。(1)2求函數(shù)f(x)的解析式;2(2)當(dāng)* 6, ”，求函數(shù)y f(x) f(x 2)的最大值與最小值及相應(yīng)的x的值。解三角形例題精講【例1】(1)在 ABC中，sin A sinB是A B的條件(2)在

20、銳角 ABC中，B 2A,則b的取值范圍是 a35(3)在 ABC 中，已知 sin A - , cosB ,則 cosC 51313 . .一 【例2】(1)在 ABC中，若a 7,b 8 , cosC 、則 ABC中最大角的余弦值為14(2)某人要制作一個(gè)三角形，要求它的三條高的長度分別為則。13 11 5A.不能作出這樣的三角形B.作出一個(gè)銳角三角形C.作出一個(gè)直角三角形D.作出一個(gè)鈍角三角形(3)以3、4、x為三邊組成一個(gè)銳角三角形，則x的取值范圍為 點(diǎn)評：最大角決定三角形的形狀，由余弦定理得，較小兩邊的平方和與最大邊的平方的差決定最大角是銳角、直角和鈍角?！纠?】考查正余弦定理的靈活

21、使用1 O O .(1)在 ABC 中，右 acosB bcosA csinC ,其面積 S -(b c a),則 B 4(2)在 ABC 中，若(U3b c) cos A acosC ,貝 U cosA (3)在 ABC 中，若 a2 b2 癡bc , sinC 2V3sin B ,貝A (4)在銳角ABC中，若b a 6cosC,則坦nC坦nC a btan A tan B【例4】判斷滿足下列條件的三角形形狀(1) acosA bcosB ccosC ; (2) sinC 2cosAsinB； a b2222(3) cos A cosB ; (4) (a b )sin( A B) (a b

22、 )sin(A B)c點(diǎn)評：與三角形形狀相關(guān)的幾個(gè)結(jié)論：(1)在 ABC中，若acosA bcosB ,則 ABC為等腰三角形或直角三角形(2)在 ABC中，若一a- -b 則 ABC為等邊三角形 cosA cosB cosC(3)在 ABC中，若acosB bcosA csinC ,則 ABC為直角三角形(4)在 ABC中，若 sinA(cosB cosC) sin B sinC ,則 ABC為直角三角形3 o【例5】在 ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c , cos(A C) cosB , b ac , 2求B 4【例6】在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且cosB

23、 - , b 25(1)當(dāng)a 【例13】在 ABC中，角A、B、Clj勺對邊分別是a、b、c,已知3acosA ccosB bcosC.時(shí)，求角A的度數(shù)；(2)求ABC面積的最大值 3【例 7】ABC 中，A, B, C 所對的邊分別為 a,b,c, tanC sin A sin B , sin(B A) cosC. cos A cos B(1)求 A,C ； (2)若 Sabc 3 73,求 a,c 1 【例 8】在 ABC 中，sin(C A) 1, sin B 1 3(1)求sinA的值；(2)設(shè)AC J6,求 ABC的面積【例9】在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且2as

24、in A (2b c)sin B (2c b)sin C(1)求A的大小；(2)求sinB sinC的最大值 3。 c.【例10在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c, Sabc (a2 b2 c2) 4(1)求Clj勺大?。?2)求sin Asin B的范圍【例11】設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知A C 90 , a c /2b , 求C C 【例12】在 ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c,已知sin C cosC 1 sin. 2(1)求sinC的值；(2)若a2 b2 4(a b) 8,求邊c的值.(1)求cosA的值；(2)若cosB cosC

25、 包3 a 1 求邊c的值3一、選擇題1 .設(shè)tan , tan是方程x2 3x 2 0的兩個(gè)根，則tan()的值為(A) -3 (B) -1 (C) 1 (D) 32 .把函數(shù)y=cos2x+1的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的 2倍(縱坐標(biāo)不變)，然后向左平移1個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度，得到的圖像是3 .已知0,函數(shù)f(x) sin( x )在(一，)上單調(diào)遞減.則的取值范圍是()4 24 .如圖，正方形ABCD的邊長為1,延長BA至E,使AE 1,連接EC、ED則sin CED ()3 1010 c 石 510、10、10、155 .在ABC中，角A,B,C所對邊長分別為a,b

26、,c,若a2 b2 2c2,則cosC的最小值為()3 .2 1137一 一右 ,sin 2 =,則 sin2 2 2 24 28(A)3(B)4(C)(D)355447 .已知 sin cosJ2,(0, nt)則 tan =(A) 1(B)卑(C)£(D)18 .若 tan + =4,則 sin2 = tanA. 1111函數(shù) f (x) =sinx-cos(x+ )的值域?yàn)? 4 3 26A. -2,2B.-.3, .3C.-1,1D.-23, -2310 .在 ABC 中，若 sin2 A sin 2 B sin2C,則 ABC 的形狀是()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍

27、角三角形D.不能確定11 .設(shè) R,則“ 0”是“f(x) cos(x )(x R)為偶函數(shù)”的(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充分必要條件(D)既不充分與不必要條件cosC=12 .在 ABC中，內(nèi)角A, B, C所對的邊分別是a,b,c,已知8b=5c, C=2B,(A) (B)-72525(C) (D)馬2525cos13.已知a為第二象限角，sinY(B)李常松、填空題14 .函數(shù) f (x) =sin( x)的導(dǎo)函數(shù)y f(x)的部分圖像如圖4所示，其中y軸的交點(diǎn)，A,C為圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，B為圖像的最低點(diǎn)(1)若iP的坐標(biāo)為(°,言)，則(2)若在曲

28、線段ABC與x軸所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一 點(diǎn)在ABCft的概率為.15 .設(shè) ABC的內(nèi)角A , B, C所對的邊分別為a, b, c. (a b c)(a b c) ab ,則角 C .，,一1 一16 .在AABC 中，若 a=2, b+c=7, cosB= , WJ4b=oJP為圖像與點(diǎn)，則該若17 .設(shè) ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊為a,b,c;則下列命題正確的是 若ab c2 ；則C 若a b 2c ;則C 33若 a3 b3 c3 ；則 C 若(a b)c 2ab ;則 C 22若(a2 b2)c2 2a2b2;則 C 318 .已知 ABC得三邊長成公比為 五的等比數(shù)列，則其最大

29、角的余弦值為35一19.設(shè) ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且cosA , cosB , b 3則c 51321 .當(dāng)函數(shù) ni m一 一二二取得最大值時(shí)，x=.422 .設(shè) 為銳角，右cos -，則sin(2a )的值為.6512二、解答題23 .已知a,b,c分別為 ABC三個(gè)內(nèi)角A, B,C的對邊，acosC QasinC b c 0(1)求A (2)若a 2, ABC的面積為J3 ;求b,c.24 .已知向量 a (cos x sin x, sin x) , b ( cos x sin x,243cos x),設(shè)函數(shù)f(x) a b (x R)的圖象關(guān)于直線x兀對稱，其中

30、，為常數(shù)，且(-2, 1).(I )求函數(shù)f (x)的最小正周期；(H)若y f (x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-,0),求函數(shù)f (x)在區(qū)間0,上的取值范圍. 4525 .設(shè)函數(shù) f (x) /cos(2x ) sin2 x o(I)求函數(shù)f(x)的最小正周期；1(II)設(shè)函數(shù) g(x)對任思 x R ,有 g(x ) g(x),且當(dāng) x 0,時(shí)，g(x) 一 f (x),222求函數(shù)9J)在,0上的解析式。3(0)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，A為圖象的最26 .函數(shù) f (x) 6cos2 x 73cos x 2(H )若 f (Xo)且 x0 (5O10 2一-,-),求 f(xc 1)的值3

31、327.函數(shù) f (x) Asin( xA 0,0)的最大值為3,其圖像相鄰兩條對稱軸之間的高點(diǎn)，B、C為圖象與x軸的交點(diǎn)，且 ABC為正三角形。 (I )求的值及函數(shù)f(x)的值域；距離為一，2(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)設(shè)(0,一),則 f (一) 2 ,求 的值。2228.已知函數(shù)f(x) 2cos( x 一),(其中>0, xCR)的最小正周期為10 7t.6(1)求的值;(2)設(shè),0, f(5 2ur29.已知向量 m (sinx,1),n(I )求 A；一)-,f (5 一)一，求 COS ( a + B )的值.35617Air r(J3Acosx, cos2x)(A 0),函數(shù) f