數(shù)學(xué)分析含參量積分PPT課件

1、(2) d , , , .,)()(),()(),(,),(,)(),(),()(| ),(),(,baxdxcyyxfxFxFxbadcyyxfbaxbaxdxcbxaxdyxcyxGyxfx就有記為的函數(shù)上取值的積分值是在則其上可積的一元函數(shù)在作為于固定的若對上的連續(xù)函數(shù)為定義在其中上的二元函數(shù)是定義在設(shè)一般地. , 含參量積分含參量積分分分含參量x的(正常)積含參量x的(正常)積或上的通稱為定義在與個函數(shù)用積分形式定義的這兩,)()(ba21 d .,),()(,”的情形有關(guān)結(jié)論適用于“dcbaxyxfyJy第1頁/共68頁二、含參量積分的連續(xù)性二、含參量積分的連續(xù)性.,),()(,),

2、(上連續(xù)在則函數(shù)上連續(xù)在矩形若二元函數(shù)連續(xù)性badcyyxfxIdcbaRyxfd ) )( ( 19.119.1 定理定理.),(),(.)(),(),()()(.,),(),(),()()(,dccdyyxfyxxfxIxxI00RyxfdcyyxfyxxfxIxxIbaxxxxyxfyxfyyxxd d 22112121時，就有只要即一致連續(xù)上連續(xù)在有界閉區(qū)域因，于是證：設(shè)當(dāng)故.證畢第2頁/共68頁dcbayyxfdcyyxfxIxI0 x000 xxxx0 xx.,),(),(),()( ,dlimdlim lim :序即求極限與求積分可換其結(jié)論也可寫為.,),()(,),(,上連續(xù)在

3、則函數(shù)上連續(xù)在矩形若二元函數(shù)同理dcbaxyxfyJdcbaRyxfd badcxyxfbaxyxf0y00yyyy.,),(),( ,dlimdlim即有第3頁/共68頁.,.,)()(),()(,)(),(,),()(| ),(),(,上連續(xù)在則函數(shù)上的連續(xù)函數(shù)是在其中上連續(xù)在區(qū)域設(shè)連續(xù)性babaxdxcyyxfxFbaxdxcbxaxdyxcyxGyxfx(6) d , ) )( ( 19.219.2 定理定理.,)(1 .19,)()()()()(,10,)()()()()(,)()(),()(,)()(, 1 , 0,)()()()()(1 .19上連續(xù)在知，定理故由上連續(xù)，在故上取

4、值在之間取值時與在當(dāng)，今作積分換元，令證：要利用定理由于baxFbaxcxdxcxdtxcxftxcxdxcxdtxcxfxdxcyyxfxFtxcxdytxdxcyxcxdtxcy10dd dd 第4頁/共68頁11220 xxdlim 例1例1,11,1 ,:22的連續(xù)函數(shù)是解xx三、含參量積分的可微性三、含參量積分的可微性.arctan10124d10 xxx原式),()(.(),(),(,),()(,),(),(dcyyxfxIdcyyxfxdcyyxfxbadcyyxfxIdcbaRyxfxyxfxddd d 即且上可微在則上連續(xù)都在矩形區(qū)域與其偏導(dǎo)數(shù)若可微性) )( (19.319

5、.3 定理定理第5頁/共68頁.),(),()()(),()(,:dcyxyxfyxxfxxIxxIdcyyxfxIbaxxxd d 得由于是設(shè)證.),(),(),(),(),(, 0, 0,),(. 10 ,),(),(),(,yxfyxxfyxfxyxfyxxfRyxfxyxxfyxfyxxfxxxxxx 就有時，只要從而一致連續(xù)上連續(xù)在有界閉區(qū)域因由微分中值定理當(dāng)故).(dd cddcyyxfxyxfyxxfyyxfxIxdcx),(),(),(),(.dlim dcxxyyxfxI),(0),()(.(),(),(dcyyxfxIdcyyxfxdcyyxfxxddd 即第6頁/共68頁

6、 d 10.)0(arctan的導(dǎo)數(shù)對于參數(shù)求：yyxyx練習(xí)1練習(xí)1 連續(xù)，故和時，解：當(dāng)22arctanarctan0yxxyyyxyx dddd 1010arctanarctanxxyyyxyx .lnln(d221212102210221)yyyxxyxx第7頁/共68頁)7().()(,()()()()(,(),()(,)()(),()(,)(),(,),(),( d d , xcxcxfxdxdxcxdxfyyxfxFbaxdxcyyxfxFqpbaxdxcqpbaRyxfyxfxx且上可微在則函數(shù)內(nèi)的可微函數(shù)上其值含于為定義在上連續(xù)在設(shè)可微性 ) )( ( 19.419.4 定理

7、定理. 3 .19為常數(shù)時，得到定理和特別地，dc d2.)sin()(yyxxxyyF的導(dǎo)數(shù)：求練習(xí)2練習(xí)2 . dcos3yyyyyyyyyxyyyyyyxxyyFyyyy2223223sin2sin3sin2sinsinsin2sin)()(22解：第8頁/共68頁).()(0)()()!1(1)(,|,0)()(1xfxtxtftxnxxxxfnn且的各階導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)充分小時驗證當(dāng)?shù)哪硞€鄰域內(nèi)連續(xù)在設(shè) , d 例2例2，得由定理連續(xù)在原點的某個方鄰域內(nèi)及其偏導(dǎo)數(shù)解：由于被積函數(shù)txtftxnxfxxntxtftxnxtxFtftxtxFnnnxnd2 1d2 19.4 , 2220)(

8、)()!(1)()()!(10)()()!(1)(),()()(),(1).()(,0)()(,0)()()!1(1)()() 1(1)(xfxtxtfxtxtftxknxnnknk從而并有依次類推，d d 第9頁/共68頁.101)1ln(2xxxId 計算積分 例3例3.3 .19 1 , 0 1 , 0)(,) 1 (, 0)0(.10)(解21)1ln(的條件上滿足定理在且則設(shè)含參量積分：IIIIxIxx d )1ln(2ln11)1ln()1ln(1110111110)1)(1 ()(21421010221102222 arctan ddxxxxxxxxxxxI于是，).1 (2ln

9、) 1 (arctan2ln)1ln(10)() 0() 1 (410211028IIIII d . 2I8ln故第10頁/共68頁:可得和定理由定理19.219.219.119.1.,)()(,),( 上可積和分別在和則函數(shù)連續(xù)上在矩形區(qū)域若函數(shù)可積性dcbayJxIdcbaRyxf ) )( ( 19.519.5 定理定理ybaxyxfxdcyyxfyxfdcbadd dd : ),(),(,),(,與的積分同時存在兩個順序不同連續(xù)的假設(shè)下在即. , dd dd 這里確切地是二次積分它們通稱為累次積分求積積然后對求先對后者表示求積求積然后對先對前者表示與分別簡記為.),(,),(),(),

10、(yxyxfxyyxfbaxyxfyydcyxfxdcba四、含參量積分的可積性四、含參量積分的可積性第11頁/共68頁(8) dd dd dcbabaxyxfyydcyxfxdcbaRyxf),(),(,),(則上連續(xù)在矩形區(qū)域若函數(shù)積分換序 ) )( ( 19.619.6 定理定理.幾何意義.,),()(, 0)()(.)()(),(),()(),()(),()(11111，命題得證取故又則，證：記bubauuIuIaIaICuIuIuIydcyufuIuaxyxfyuIydcyxfxuIdcua22222 d ,dd dd 第12頁/共68頁).010lnabxxxxIab( d 求 例

11、4例4.10,ln dd dybaxxIxxxybaxyaby故解：因.11ln111106 .19,1abbayybayyxbaxxyIbaRxyyydddd 1010可交換積分次序得故由定理上連續(xù)，在由于 .11ln)1ln()()( ,abyaIbI Iba積分得.10)(3 .19).10ln)(yxxyIbyaxxxxyIyay11d ( d 得由定理令另解： 第13頁/共68頁小結(jié)小結(jié) 1、了解含參量積分的概念；、了解含參量積分的概念； 2、掌握含參量積分的連續(xù)性、可微性、可積性、換、掌握含參量積分的連續(xù)性、可微性、可積性、換序定理；序定理； 1）掌握求含參量積分的極限、導(dǎo)數(shù)；）掌

12、握求含參量積分的極限、導(dǎo)數(shù)； 2）會用含參量積分的微分（積分）換序求定積分。）會用含參量積分的微分（積分）換序求定積分。作業(yè)作業(yè)：P178, 2(1), 3, 4(1), 5(1).第14頁/共68頁2 2 含參量反常積分含參量反常積分(2) d (1) d , .,),()(),(,),(,),),(baxcyyxfxIxIxbabaxcyyxfbaxcbaRyxf就有記為的函數(shù)上取值的則其積分值是在都收斂反常積分固定的若對每一個上定義在無界區(qū)域設(shè)函數(shù)一、一致收斂性及其判別法一致收斂性及其判別法.,) 1 ( 含參量反常積分含參量反常積分積分積分含參量x的無窮限反常含參量x的無窮限反常簡稱為

13、上的式為定義在稱 ba如同反常積分與數(shù)項級數(shù)的關(guān)系那樣,含參量反常積分與函數(shù)項級數(shù)在一致收斂性問題及其論證方法上也極為相似。NkNkAAxkuxkucyyxfcyyxf11)(lim)(,lim)d,()d,(第15頁/共68頁).(,),(,)(),(, 0),(xIbaMyyxfxIMcyyxfbaxNMcNxI于上在則稱含參量反常積分即都有對一切時使得當(dāng)實數(shù)對與函數(shù)若含參量反常積分一致收斂一致收斂定義1定義1(1)d d (1) (3) d (1) .),(, 0:,2121AAyyxfbaxNAAcNba都有對一切時使得當(dāng)實數(shù)對一致收斂的充要條件是上在含參量反常積分一致收斂的柯西準(zhǔn)則

14、) )( ( 19.719.7 定理定理.,31一致收斂的柯西準(zhǔn)則函數(shù)項級數(shù)參見P第16頁/共68頁 0),(d .), 0),0sin上不一致收斂但在其中上一致收斂在試證含參量反常積分yyxy 例1例1).( . 0,0sinsinsinddd (1):證明注收斂又uuyuuAxuuxyuAyxyA1.dsin01, 2cos11dsin10.dsin 1 , 0sin, 1sin0lim .01dsin10dsindsinP274 收斂，單調(diào)趨于收斂上連續(xù)，在事實上，收斂注：參上冊xxxxAAxxxxxxxxxxxxxxxxxxx., 0, 0sin d AuuuMAM就有時使當(dāng).),0s

15、insinsin上一致收斂在就有時，對一切則當(dāng)取也就是yMAAxyxNANyxyAxAyxyMuuud)( d d 第17頁/共68頁.sinsin, 0, 0, 0,0000sinMxuuuuuuxMuuudd d (2)使得收斂.), 0(,0000sin0sinsinsin0sin21內(nèi)不一致收斂在也就是就有現(xiàn)令yuuyuyxyMxuuuuyxyuuMdddd d 第18頁/共68頁 20)(d 1.), 0(),0內(nèi)不一致收斂）在（；其中上一致收斂在，試證）（yxexy練習(xí)1練習(xí)1.) 1 (xeeAyxeAAxAxyxye，證：d0., 0, 00lim00AAAeAAAe時當(dāng)，又.

16、AxyeAyxed 0)(d .),0其中上一致收斂在yxexy第19頁/共68頁., 0, 0, 0:)2(000000d 0AyexxAAAyx使和對存在需證., 000100d1d00eAyexAxeAyexyxAxyx就有取注意 d 1010000001., 0, 02AeyexAxAAAyxe使得和對于故存在.d 內(nèi)不一致收斂在因此), 0(0yxexy第20頁/共68頁函數(shù)項級數(shù)其中的遞增數(shù)列對任一趨于是上一致收斂的充要條件在含參量反常積分 (1), )(:,1cAAban 19.819.8 定理定理(7) d 111),(),(nnnnnxuAAyyxf.上一致收斂在,ba.),

17、(, 0,: AAyyxfbaxMAAcMbad (1) 總有對于一切時使當(dāng)故上一致收斂在因含參量反常積分僅證必要性總有從而對于一切有時使當(dāng)存在所以對上述又, 0,),(baxMAANnmNMnAnmn11),(),()()(mmnnAAAAmnyyxfyyxfxuxudd .),(1mnAAyyxfd.,)7(上一致收斂在因此級數(shù)ba第21頁/共68頁.,),(.,),(| ),(|),(上一致收斂在則收斂若使得設(shè)有函數(shù)bacyyxfyygycbxaygyxfygcd,)d( 魏爾斯特拉斯M判別法魏爾斯特拉斯M判別法.32斯判別法魏爾斯特拉函數(shù)項級數(shù)的證明仿照P.d 上一致收斂在試證含參量反

18、常積分),(01cos2xxxy 例2例2.11cos,:22xxxyy1 對于任何證 02.,2d11收斂又xx上一致收斂在),(01cos2 d xxxy00.)0(的一致收斂性、試證xxexdsin練習(xí)2練習(xí)2.0 ,:0 xexexx0sin證00.,0收斂又1dxex0.)00(一致收斂xxxedsin第22頁/共68頁;),(,),(,MyyxfbaxcNMbaxyyxfcNNcNcd 0, , d (i) 都有一切對一切實數(shù)即存在一致有界上對參量含參量積分對一切實數(shù)設(shè)狄利克雷判別法狄利克雷判別法.),(,),(,0 (ii)一致收斂于對參量時單調(diào)遞減且當(dāng)關(guān)于函數(shù)對每一個yxgxy

19、yyxgbax.,),(),(上一致收斂在則含參量反常積分bacyyxgyxfd dcos.0)0(1收斂上一致在為常數(shù)證pxxxepx: :練習(xí)3練習(xí)3第23頁/共68頁 dcos1.0)0(上一致收斂在為常數(shù)證pxxxepx: :練習(xí)3練習(xí)3 .2sin1sindcos，一致有界證AxxA| ) 1 ( :1.(,) 1()2(0)001ppxpxxxexexx一致收斂于且對單減關(guān)于.別分一致收斂法知，該含參量反常積狄利克雷判由第24頁/共68頁 d (i) ;),(,上一致收斂設(shè)在bcyyxfa阿貝耳判別法阿貝耳判別法,),(,),(,一致有界且對參量的單調(diào)函數(shù)為函數(shù)對每一個yxgxyy

20、xgbax (ii).,),(),(上一致收斂在則含參量反常積分bacyyxgyxfd .d 上一致收斂在試證含參量反常積分, 00sindxxxexy 例3例3第25頁/共68頁).(d , ,d 自學(xué)上不一致收斂在則處發(fā)散但在上收斂在又上連續(xù)在若試證),),(),),(,),),(:bacyyxfbxbacyyxfcbayxf 例4例4小結(jié)小結(jié) 1.了解含參量反常積分一致收斂的概念、柯西準(zhǔn)則、充要條件; 2.了解不一致收斂的證明方法； 3.掌握M判別法、狄利克雷判別法、阿貝爾判別法。作業(yè)作業(yè)：P189, 1(1)(2)(3).第26頁/共68頁二、含參量反常積分的性質(zhì)及其應(yīng)用二、含參量反常

21、積分的性質(zhì)及其應(yīng)用.,)(,),()()(,),),()(上連續(xù)在那么函數(shù)上一致收斂在含參量反常積分上連續(xù)在區(qū)域函數(shù)如果連續(xù)性baxIbacyyxfxIcbayxfd ii i ) )( ( 19.919.9 定理定理.,)(,.,)(.),),(,),(),()(, )(1111上連續(xù)在性定理根據(jù)函數(shù)項級數(shù)的連續(xù)上連續(xù)在故每個上連續(xù)在又上一致收斂在級數(shù)的遞增數(shù)列對任意趨于由定理證baxIbaxucbayxfbaxuAAyyxfxIcAAnnnnnnn . d 19.8, :cbayyxfcyyxfxxxxx.,),(),(000 ,dlimdlim :其結(jié)論也可寫為第27頁/共68頁(15)

22、 d ,d iiid ii (i) cyyxfxIbaxIbacyyxfbacyyxfxIcbayxfyxfxxx.),()(,)(.,),()(,),()()(,),),(),(且上可微在那么函數(shù)上一致收斂在上收斂在上連續(xù)都在區(qū)域與函數(shù)如果可微性 ) )( ( 19.1019.10 定理定理 . dd 19.8,d19.3,d :上一致收斂在函數(shù)項級數(shù)定理由定理令遞增數(shù)列對任意趨于證，由，,),(),()(),()(),()(, )(111111bayyxfyyxfxuyyxfxuyyxfxucAAnnAnAcxxnnnAnAxnAAnnnn第28頁/共68頁.),(),()()()1 .1

23、3,40(1111 .13nnAnAcxxnnyyxfyyxfxuxIPdd 44定理定理求導(dǎo)定理根據(jù)函數(shù)項級數(shù)的逐項cyyxfxcyyxfx.),(),(dd :dd 其結(jié)論也就是第29頁/共68頁(16) .dd dd d ii (i) cbabaxyxfycyyxfxbaxIbacyyxfxIcbayxf),(),(,)(,),()()(,),),(且上可積在那么函數(shù)上一致收斂在上連續(xù)在區(qū)域函數(shù)如果可積性 ) )( ( 19.1119.11 定理定理.,)(,)(上可積在從而上連續(xù)在定理證由baxIbaxI19.9, :),1 .13(,)(,)()(,13 19.9定理分定理根據(jù)函數(shù)項

24、級數(shù)逐項積上連續(xù)在項且各上一致收斂，在證明中得知又在定理baxubaxuxInnn證畢定理定理 dddd ddd d 3.),(),(),()()(116 .191111 .13cnbanAnAnnAnAbanbanbabaxyxfyxyxfyyyxfxxxuxxI第30頁/共68頁 .dd dd ii.d d (i) caaxyxfycyyxfxbaxcyyxfdcayxyxfcayxf| ),(| ),(|:)(,),(,),(,),),),(與下列積分有一個收斂上一致收斂在任何閉區(qū)間對于上一致收斂在任何閉區(qū)間對于若上連續(xù)在區(qū)域設(shè) 19.1219.12 定理定理(19) .dd dd ca

25、axyxfycyyxfx),(),(, 且斂則其中另一個積分也收第31頁/共68頁.d )( abpxxaxbxeIpx, 00sinsin計算 例5例5故，解：因bayxyxaxbxdcossinsin0.0bapxbapxyxyexxyxyeIdcosd)ddcos( .,00,上一致收斂在區(qū)間及因由收斂baxxyeMxeexyepxpxpxpxdcos dcos判別法,魏爾斯特拉斯bapxpxxxyeyIbaxye0,), 011.19,11.19dcosd cos定理積分換序值不變定理故由上連續(xù)在又Cbabxbbxaexbxeaxax22sincosdcosbapapbyypp.arc

26、tanarctan22d第32頁/共68頁.sgn02sin02sinxxxxxaxadd 狄利克雷積分：證明 例6例6.0arctan0sin. 0. 00）（則中，令在例下面設(shè)時，原式解：當(dāng)ppaxxaxebaapx d 0,5 )1,0dd00阿貝爾判別法單減且關(guān)于在連續(xù)在一致收斂一致收斂|,(sin0sinsinpxpxxaxxaxpxxaxpxexepxxepe.2arctanlim0sinlim0sin0,sinsgn00apaxxaxexxaxpxxaxeppxppx dd 0d從而上連續(xù)在第33頁/共68頁 .d 02xxeeIxx計算練習(xí)4練習(xí)4 .)dd d 0(,2121

27、212xteItexexeexttxtxxx故因解：),(11.19,1|00|), 02 , 1 0積分換序定理上一致收斂在關(guān)于得知，且由故根據(jù)上連續(xù)，在又因1,2 dd ,|txeexeeeetxxxxtxtx .dddd 21210212ln10ttttetxeItxtx第34頁/共68頁 .dsin )( 000,baxmxxeeIbxax計算練習(xí)5練習(xí)5. 0. 00mIm下面設(shè)時，：當(dāng) 解解.00)0(.0, 0lim收斂收斂，從而，又連續(xù)被積函數(shù)在不是瑕點，故因xmxxxmxxxmxxbxeaxexbxeaxexbxeaxexbxeaxexbxeaxexdsindsin 0 si

28、n1),|(0,|00,0,0000判別法收斂，時當(dāng)又因一致收斂Mxeemxexmxexmxaaaxaxaaxaxxeeabxax1dsindsindsin.0,00022,)(),(1 .19均成立上式對任意性故根據(jù)由可微性定理aaxmxemamaIaxdsin 0Cbabxbbxaexinbxeaxax22cossinds第35頁/共68頁.arctanarctan)( .arctan ,arctan)(0.arctand)(0dsin 22mambaImbCCmbbIbaCmaamaaIxmxxeebxaxm于是，得，有令積分得000,. 0. 00 xmxetxmxtexmxxeeIb

29、amImtxbabatxbxaxdsinddsinddsin Th19.11 不妨下面設(shè)時，：當(dāng)另解另解Cbabxbbxaaxexbxaxe22cossindsin)0(一致收斂連續(xù)，xmxemxetxtxdsinsin.arctanarctanarctan2mambbamtbatmtmd 2第36頁/共68頁)269.,20022Pxexrxerxx見已知計算ddcos)( ( . 例7例7.0222收斂且證明xeerxexxxdcos .),(02上一致收斂在rxrxexdcos dsindcos ,00)(22xrxxexrxexrx dsin,0222收斂且xxexerxxexxx.)

30、,(02上一致收斂在rxrxxexdsin ).(ddsindsin 222121 ) ( limrxrxexrxrerxexrxxerrxrAxAxxATh000coscos|0)(222210.19 .20044ln222xxererrrd)(C ,C)( lnC,)(其中.422rer)( 第37頁/共68頁 . 20d ),0(0d0d 2222xeaxaeuexxau證明利用例題 . .40d1121 0d0d 0d0d 0d0d2 0d)( 2)1 (222222222得證取常值，證：xxaaexaexaeaIeaeIIxaeagxaaxaaaxa第38頁/共68頁 .d d (

31、3上連續(xù)在證明習(xí)題利用),2),189.(0)(022)(xeyFxeyxxP練習(xí)6練習(xí)6 .dddddd ( 上連續(xù)在上連續(xù)在上連續(xù)在從而證：),),),.2)(00)(000)(2222222yFtyeetyeeeuexeyFtttuyuyuyxutuuyxu第39頁/共68頁.,),(),(),),(. 含參量反常積分含參量反常積分常積分常積分含參量x的無界函數(shù)反含參量x的無界函數(shù)反簡稱為為則稱積分瑕點的為函數(shù)的某項值若對上有定義在區(qū)域設(shè)函數(shù)函數(shù)的非正常積分簡略提一下含參量無界 (25) d , , . dcyyxfyxfdyxdcbaRyxf.,并討論它們的性質(zhì)致收斂性判別法無界函數(shù)反

32、常積分的一類似地可以討論含參量 小結(jié)小結(jié) 1、了解含參量反常積分的性質(zhì)(連續(xù)性,可微性,積分性)； 2、會利用含參量反常積分的性質(zhì)計算定積分。作業(yè)作業(yè)：P189, 2, 4(1)(2)(3).第40頁/共68頁3 3 歐拉積分歐拉積分(2) d , 0, 0,10)1 (),(11qpxxxqpBqp.,歐拉積分歐拉積分函數(shù)函數(shù)函數(shù)函數(shù)統(tǒng)稱為和分別為 (1) d )( , 0,01sxexsxs含參量積分.下面討論其性質(zhì)它們在應(yīng)用中經(jīng)常出現(xiàn) ,第41頁/共68頁,),)(| )(|1),1| )(| )(|1),1| )(|,),0)(,)(babaxfxaxfpaxxxfxaxfpaxxxf

33、uaaaxfpp且在任何定義在有限區(qū)間：設(shè)發(fā)散。時，且）當(dāng)（收斂；時，且）當(dāng)（則有上可積有限區(qū)間且在任何定義在：設(shè)章的第柯西判別法II柯西判別法II柯西判別法I柯西判別法Id2d111一、一、函數(shù)函數(shù)),()(1100111sJsIxexxexxexsxsxsxs ddd )(.時收斂在由柯西判別法，0)(ss第42頁/共68頁.0)(并且可導(dǎo)內(nèi)連續(xù)在定義域 , 1.ss.0)(.,0),1,(1),10,10(10)0(,111111111內(nèi)連續(xù)在定義域連續(xù)上一致收斂在收斂時，當(dāng)一致收斂收斂時，當(dāng)一致收斂上，在任何閉區(qū)間這是因為于是ssbaxexxexexexxxexxexexexxxexa

34、baxsxbxbxsxsxaxaxsxsdd1ddd).0(0)().0(0,)0(,00(1)(111sxxexsssxxexsabaxxexxexnxsnxsxsxssd(ln )( dln )(dln)d 存在任意階導(dǎo)數(shù)：同理從而上一致收斂在任何閉區(qū)間用同樣方法第43頁/共68頁 2.).() 1(sss：遞推公式).() 1(,0100100,sssxexsxexxexsexxexxsxsAxsAxsAxsA，即得令分部積分dddd ).()() 1() 1(, 10, 1nsnssssns nsn 遞推得即設(shè)!.0!) 1 (12) 1() 1(nxennnnxd 第44頁/共68頁

35、.函數(shù)的圖象 3.)()()(在橫軸上方且下凸，恒大于和sss00,s .)(lim,) 1(lim)(lim00sssssss.)2 , 1 (1)2() 1 (內(nèi)，極小值點在 ).(s延拓 4.).0 , 1(,) 1()(ssss.),1, 2(.)( 的其他形式s 5.02022121yysyxxseyxexsdd )( .0d2)21(2xex第45頁/共68頁二、二、函數(shù)函數(shù) dd.)1 ()1 (),(1211121011xxxxxxqpBqpqp. 0, 0),(,0, 0,qpqpBqp定義域時兩積分收斂由柯西判別法.0, 0),(內(nèi)連續(xù)在定義域qpqpB 1.0, 0),(

36、.,),(,10)1 (),()1 ()1 (, 0, 00011001111000000內(nèi)連續(xù)在從而連續(xù)上一致收斂在判別法由收斂且對任何于是qpqpBqqppqpBMxxxqqppxxxxqpqpqpqpd ).,(),(pqBqpB對稱性 2. dd ).,(10)1 (10)1 (),(11111pqByyyxxxqpBqpyxqp證：第46頁/共68頁(8) )( 3.1, 0),1,(11),(:qpqpBqpqqpB遞推公式(9) )( 0, 1), 1(11),(qpqpBqppqpB )( 1, 1),1, 1()2)(1() 1)(1(),(qpqpBqpqpqpqpB ).

37、8(證：只需證.8 ).,(1)1,(1 10d)1)(1 (1 10d)1 (1)1 (10d)1 (),( 1, 0 211210111）得證（時，事實上，當(dāng)qpBpqqpBpqxxxxxpqxxxpqpxxxxxqpBqpqppqpqpqp第47頁/共68頁的其它形式),(qpB 4.(10) d ,0cossin2),(21212pqqpB2cosx d ,0)1 (),(1yqppyyqpB211111)(dd,yyxyxyyx第48頁/共68頁三、三、 函數(shù)與函數(shù)與函數(shù)的關(guān)系函數(shù)的關(guān)系mxxmBm110) 1 ,(1d .)!1()!1()!1(1112211) 1 ,(11221

38、1) 1,(11),(nmmnmmnmnnmnmBmnmnnmnnmBnmnnmB (12) .)()()(),(,qpqpqpB一般地(11) .)()()(),(nmnmnmB即第49頁/共68頁四、四、補充例題補充例題 ).() 1 ( 1 ,194.,)(2521P并求證明：例 . .1 1xex0d2故.2 .)(.0dcossin2cossin 10d)1 ()21,21(. 1) 1 () 1 ()()(),(2111sin2/ 12/ 1212121212/2tttttxxxBBtx又，.)()(4321212325利用例 . .2 2xxxsin)1 ()(：余元公式余元公式

39、(4).-13 P195, d 0）（類似地計算.113xx)B(d)1dd00032,3131(3113111313213233uuutttxxttutx解：uttuuuuudd2)1 (11,. 332sin31) 1 ()()(3133231第50頁/共68頁小結(jié)小結(jié)： 1、了解函數(shù)的分析性質(zhì)和遞推公式； 2、了解B函數(shù)的分析性質(zhì)和遞推公式； 3、了解函數(shù)和B函數(shù)之間的聯(lián)系，余元公式； 4、會求有關(guān)定積分作業(yè)作業(yè)：P194, 1(2)(3), 3(1)(2)(4).第51頁/共68頁釋疑解難釋疑解難.dxxbxaaI202222)cossinln()(解：設(shè)P178,4(1),P178,

40、4(1), 2d. 2lncosln5, 31102ExxxJ在“解答”中，. 2ln4212ln4)dcoslndsinln(412ln4dsinln41d2sinln41d22sinln21dcoslndsinln21,dsinlndcosln , 222222200000000JxxxxuuuuxxxxxxJxxxxJ因為這是. 2lnsinlncosln22002dd xxxx所以，第52頁/共68頁 d. 0,)cossinln()(202222baaxxbxaaI是參數(shù)，不妨其中解：設(shè)P178,4(1),P178,4(1),時，當(dāng)ba d.lnln)(202bxbbI時，當(dāng)ba d

41、xxbxaxaaI2022222cossinsin2)( duubuaauxu022222tan112 d-ubuabubaa22220222112 0022arctanarctan2bauabubaa ba .CbaaI)ln()(故 . 2lnln)(CbbI得，利用.ln)2ln(2)ln(baba一般地，原式第53頁/共68頁故連續(xù)且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)時當(dāng)解：,)cos21ln(, 0|21cos21.0cos21ln()().2(4 ,1782222axaaaaxaaxaxaaIP,1| )d 0d21220dcos212cos2)( 22222122111122taaaxaxaaxaItt

42、tttxtgt. 0222011arctanarctan2240)1 ()1 ()1)(1 (110)1()1 ()1()1 (1222222222ataataattaaaattttaataa dd.)()().()(000 ,1| aIICaIa，故又常數(shù)時當(dāng)于是，第54頁/共68頁.01cos2ln()()(,|ln2|ln222abbIxbxbbaIbIbbaa)()d 0,1,|,1| 1故則令時當(dāng). 0)2ln(42ln242ln225, 311022sinln0sinln24(ln0cos1 (2ln) 1 (ExxttxxxIad)d)d ,1| 時當(dāng). 0) 1(I 同理，.

43、1| |,|ln2; 1|, 00cos21ln()(2aaaxaxaaI )d故 . 2lndsinln202tt,2220cosln0sinlnttxxJtxdd 事實上，. 2ln2lnsinlnsinln2lnsinln0sinln02sinln2222212021202121212221得證相加 ddddd JxxxxuuuuxxJxu第55頁/共68頁10)cos(ln)cos(ln10)cos(ln, 10)cos(ln,)cos(ln,0).2(5 ,17811ln111lnxxbaybayxxxbyaxxxxybaxbaPyxyxxxxxyxyxyxxxababddd10dd

44、 00d 積分順序，得到積分號下的積分法交換故可利用上連續(xù)在則理解為在可將代入因解：bayyyttebayyttexd)(11 dd2 1cos0)1 (Cbabxbbxaexbxeaxax22sincosdcos.2222ln21ln2122aabbyba2)(11 ).1 (5同樣方法解決第56頁/共68頁期中測驗復(fù)習(xí)重點期中測驗復(fù)習(xí)重點 多元函數(shù)的連續(xù)性與極限多元函數(shù)的連續(xù)性與極限(參見教材目錄)1、了解平面點集的有關(guān)概念，了解平面上的完備性定理，了解多元函數(shù)的概念。2、理解二元函數(shù)的極限和累次極限的概念，知道它們之間的聯(lián)系，重點掌握極限和累次極限的計算，并會判重點掌握極限和累次極限的計

45、算，并會判斷極限或累次極限不存在。斷極限或累次極限不存在。 3、了解二元函數(shù)的連續(xù)性概念和有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。重點例題重點例題：P94, 例2,3；P97，例6,7,8.重點習(xí)題：重點習(xí)題：P99, 2；P104, 1,2.第57頁/共68頁（參見目錄）1.理解可微和全微分的概念,掌握有關(guān)的證明題和計算題, 了解可微的必要條件和充分條件,知道全微分幾何意義。2.會求曲面的切平面和法線，會用全微分作近似計算。3.熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法,會用一階全微分形式不變性。4.會計算方向?qū)?shù)，梯度及其模。5.熟練掌握高階偏導(dǎo)數(shù)的計算。6.會中值定理，會用泰勒公式， 熟練掌握極值的必要條件和充分條件，

46、及其應(yīng)用。重點例題重點例題：P110,例5；P124,例1,例3；P132,例3,6,7,8.重點習(xí)題：重點習(xí)題：P117, 7,9,11；P127,2；P141,1(5)(7),8.第58頁/共68頁第第1818章章 隱函數(shù)定理及其應(yīng)用隱函數(shù)定理及其應(yīng)用（參見目錄）1、了解隱函數(shù)的概念，理解隱函數(shù)存在唯一性定理、可微性定理并掌握定理的應(yīng)用，掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法掌握定理的應(yīng)用，掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法;2、了解隱函數(shù)組的概念,理解隱函數(shù)組定理(存在性唯一性可微性)并掌握其應(yīng)用掌握其應(yīng)用,了解反函數(shù)定理與坐標(biāo)變換；3、會幾何應(yīng)用會幾何應(yīng)用(求平面曲線的切線與法線，空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法

47、線)；4、會用拉格朗日乘數(shù)法解決條件極值問題會用拉格朗日乘數(shù)法解決條件極值問題(極值、最值、不等式)重點例題重點例題: P149,例2; P154,例1; P159,例1,2,3; P166,例1,2,3.重點習(xí)題：重點習(xí)題：P151,2,5；P157,1,2；P163,2,3,5; P169,1,2,4.第59頁/共68頁第第1919章章 含參量積分含參量積分（參見目錄）1、了解含參量正常積分的概念,掌握分析性質(zhì)掌握分析性質(zhì)(連續(xù)性、可微性、可積性、換序定理),會有關(guān)定積分的計算會有關(guān)定積分的計算；2、了解含參量反常積分一致收斂的定義、柯西準(zhǔn)則、充要條件，掌握掌握M判別法、狄利克雷判別法、阿

48、貝判別法、狄利克雷判別法、阿貝爾判別法爾判別法；3、掌握含參量反常積分一致收斂的性質(zhì)掌握含參量反常積分一致收斂的性質(zhì)(連續(xù)性、可微性、可積性、換序定理),會有關(guān)反常積分的計算會有關(guān)反常積分的計算；4、了解函數(shù)的性質(zhì)和B函數(shù)的性質(zhì)，會求有關(guān)積分求有關(guān)積分重點例題重點例題: P176,例14; P183,例2,3; P186,例5,6.重點習(xí)題：重點習(xí)題：P178，3；P189，1,2,4；P194，1,3.第60頁/共68頁“第第1919章章 含參量積分含參量積分”的習(xí)題課的習(xí)題課一、內(nèi)容要求一、內(nèi)容要求1、了解含參量正常積分的概念，掌握分析性質(zhì)（連續(xù)、了解含參量正常積分的概念，掌握分析性質(zhì)（連續(xù)性、可微性、可積性、換序定理）性、可微性、可積性、換序定理）2、了解含參量反常積分一致收斂的定義、柯西準(zhǔn)則、了解含參量反常積分一致收斂的