人教版八年級數(shù)學(xué)下冊第一章二次根式的知識點匯總

1、二次根式的知識點匯總知識點一：二次根式的概念形如瓜（值二口）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項式、多項式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因為負(fù)數(shù)沒有平方根，所以鼻之o是信為二次根式的前提條件，如石,必公,石口（工之1）等是二次根式，而后,L戶-7等都不是二次根式。例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：72、羽、L«（x>0）、6、炎、-72、x_y（x>0,y?>0）.xy分析：二次根式應(yīng)滿足兩個條件：第一，有二次根號“”；第二，被開方數(shù)是正數(shù)或0.知識點二：取值范圍1、 二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng)a呈0

2、時，而有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零即可。2、 二次根式無意義的條件：因負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，所以當(dāng)a<0時，/沒有意義。例2.當(dāng)x是多少時，J3x1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義?1例3.當(dāng)x是多少時，低飛+在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？x1知識點三：二次根式質(zhì)（3°）的非負(fù)性/（220）表示a的算術(shù)平方根，也就是說，&（白之0）是一個非負(fù)數(shù)，即而之0（亮之。）。注：因為二次根式顯（厘之0）表示a的算術(shù)平方根，而正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，0的算術(shù)平方根是0,所以非負(fù)數(shù)（口占。）的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即五30（口占0）,這個性質(zhì)也就是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的性

3、質(zhì)，和絕對值、偶次方類似。這個性質(zhì)在解答題目時應(yīng)用較多，如若石+依=°,則a=0,b=0;若加+同一0,貝（ja=0,b=0；若石+川=0,則a=0,b=0。例4（1）已知y=J2r+JTT+5,求二的化（2）若ja"+7bF=0,求a2004+b2004的值y知識點四：二次根式（而）的性質(zhì)（向丁口（口三。）文字語言敘述為：一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個非負(fù)數(shù)。注：二次根式的性質(zhì)公式（/="尸=0）是逆用平方根的定義得出的結(jié)論。上面的公式也可以反過來應(yīng)用：若aZ。，則&=（石尸,如：2HL2，石，.例1計算1.（J3）22.（3623.（E）24.（

4、）2,2.62例2在實數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式：（1）x2-3（2）x4-4（3）2x2-3知識點五：二次根式的性質(zhì)文字語言敘述為：一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個數(shù)的絕對值。注：1、化簡在時，一定要弄明白被開方數(shù)的底數(shù)a是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，若是正數(shù)或0,則等于a本身，即必比二".'°）;若a是負(fù)數(shù)，則等于a的相反數(shù)-a,即屈叩"但<°）；2、6中的a的取值范圍可以是任意實數(shù)，即不論a取何值，值一定有意義；3、化簡在時，先將它化成同，再根據(jù)絕對值的意義來進(jìn)行化簡。例1化簡（1）百（2）TTV（3）V25（4）例2填空：當(dāng)a0時，J7=；當(dāng)a<

5、0時，J7=,?并根據(jù)這一性質(zhì)回答下列問題.(1)若qO2=a,則a可以是什么數(shù)？(2)若>/02=-a,則a是什么數(shù)？(3)J02>a,則a是什么數(shù)？例3當(dāng)x>2,化簡J(x2)2-J(12x)2.知識點六：6后尸與必的異同點1、不同點：山口廠與J異表示的意義是不同的，(向表示一個正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方，而必表示一個實數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在(«?中之。，而"中a可以是正實數(shù)，0,負(fù)實數(shù)。但(O與"都是非負(fù)數(shù)，即IkJ,-J。因而它的運算的結(jié)果是有差別的，(&P二口g之。)2、相同點：當(dāng)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即口之口時，(而3=E；淳

6、<0時，/尸無意義，而必.知識點七：二次根式的乘除1、乘法Va-Vb=ab(a>0,b>0)反過來：Tab=ab(a>0,b>0)、aaa'a2、除法而=Nb_(a>0,b>0)反過來，Vb=Kb(a>0,b>0)(思考：b的取值與a相同嗎？為什么？不相同，因為b在分母，所以不能為0)例1.計算(1)4>/5x"(2)Ax盤(3)99x277(4)g義娓例2化簡(1)也16(2)-681(3)J9x2y2(4)屈例3.判斷下列各式是否正確，不正確的請予以改正：(1) J(4)(9)C99(2) (41!X宿=4X,1

7、!X岳=4嘮X廟=4/=8我 一12例4.計算：(1)/(2)例5.化簡：例6.已知"x29x,且x為偶數(shù)，求(1+x)卜225x4的值.：x6x6.x13、最簡二次根式應(yīng)滿足的條件：(1)被開方數(shù)不含分母或分母中不含二次根式；(2)被開方數(shù)中不含開得盡方的因數(shù)或因式(熟記20以內(nèi)數(shù)的平方；因數(shù)或因式間是乘積的關(guān)系，當(dāng)被開方數(shù)是整式時要先判斷是否能夠分解因式，然后再觀察各個因式的指數(shù)是否是2(或2的倍數(shù))，若是則說明含有能開方的因式，則不滿足條件,就不是最簡二次根式)例1.把下列二次根式化為最簡二次根式(1)35;(2)Jx2y4x4y2;(3)58x2y34、化簡最簡二次根式的方法

8、：(1)把被開方數(shù)(或根號下的代數(shù)式)化成積的形式,即分解因式；(2)化去根號內(nèi)的分母(或分母中的根號),即分母有理化;(3)將根號內(nèi)能開得盡方的因數(shù)(或因式)開出來.(此步需要特別注意的是：開到根號外的時候要帶絕對值,注意符號問題)5.有理化因式：一般常見的互為有理化因式有如下幾類：幾與顯;幾千屈與冗-樞；口+他與口-巡；胞而+月遍與通石一忽指.說明：利用有理化因式的特點可以將分母有理化.13、同類二次根式：被開方數(shù)相同的(最簡)二次根式叫同類二次根式。判斷是否是同類二次根式時務(wù)必將各個根式都化為最簡二次根式。如胡與國知識點八：二次根式的加減1、二次根式的加減法：先把各個二次根式化為最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式(即同類二次根式)進(jìn)行合并。(合并方法為：將系數(shù)相加減、二次根式部分不變),不能合并的直接抄下來。例1.計算(1)比+而(2)V?6x+64x分析：第一步，將不是最簡二次根式的項化為最簡二次根式；第二步，將相同的最簡二次根式進(jìn)行合并.解：(1)由+718=2亞+372=(2+3)6=5行(2)$6x+J64x=4&+8Vx=(4+8)Vx=12x例2.計算(1)3旅-9耳+3右(2)(V48+V20)+(歷-赤)例3.已知4x2+y2-4x-6y+10=