待定系數(shù)法分解因式

1、PKUPKU學(xué)科：奧數(shù)教學(xué)內(nèi)容：待定系數(shù)法分解因式PKUPKU經(jīng)驗(yàn)談：待定系數(shù)法作為最常用的解題方法，可以運(yùn)用于因式分解、確定方程系數(shù)、解決 應(yīng)用問題等各種場合。其指導(dǎo)作用貫穿于初中、高中甚至于大學(xué)的許多課程之中，認(rèn) 真學(xué)好并掌握待定系數(shù)法，必將大有裨益?！緝?nèi)容綜述】將一個多項(xiàng)式表示成另一種含有待定系數(shù)的新的形式，這樣就得到一個恒等式。 然后根據(jù)恒等式的性質(zhì)得出系數(shù)應(yīng)滿足的方程或方程組，其后通過解方程或方程組便 可求出待定的系數(shù)，或找出某些系數(shù)所滿足的關(guān)系式，這種解決問題的方法叫做待定 系數(shù)法。本講主要介紹待定系數(shù)法在因式分解中的作用。同學(xué)們要仔細(xì)體會解題的技巧?！疽c(diǎn)講解】這一部分中，通過一

2、系列題目的因式分解過程，同學(xué)們要學(xué)會用待定系數(shù)法進(jìn)行 因式分解時的方法，步驟，技巧等。例1分解因式'1:思路 1 因?yàn)?:' - '： '':'所以設(shè)原式的分解式是;' ：-' 11'：; -然后展開，利用多項(xiàng)式的恒等,求出m, n,的值。解法1因?yàn)?- '： 1'所以可設(shè)2 十 +xy-3y2 +x+14.yl5= （x-y + 戰(zhàn)）（2x + 3y + n）.-2x2 + xy3y2 + （2朋十m）x + （3碑一同丿二 l* 3m-n=14比較系數(shù)，得 1皿尸15由、解得亠把*-'-：；-代

3、入式也成立。r i 二"；$，;：'- ': r : I i 計 _思路2前面同思路1，然后給x,y取特殊值，求出m,n的值。解法2因?yàn)椤⒇?-； I .-所以可設(shè)2x2 +xy-3y2 +x+1415= (x-y + 刑)(2x+ 3y + 處因?yàn)樵撌绞呛愕仁?，所以它對所有使式子有意義的x,y都成立，那么無妨令"0弋得椰二-15.令-_ _得譽(yù) _ 二 -1 二 i冊=二算=9解、得亍=:;“=二或 ?把它們分別代入恒等式檢驗(yàn)，得二/二說明：本題解法中方程的個數(shù)多于未知數(shù)的個數(shù)，必須把求得的值代入多余的方 程逐一檢驗(yàn)。若有的解對某個方程或所設(shè)的等式不成立

4、，則需將此解舍去；若得方程 組無解，則說明原式不能分解成所設(shè)形成的因式。例2分解因式 ?-?+4?+3x+5思路 本題是關(guān)于 x的四次多項(xiàng)式，可考慮用待定系數(shù)法將其分解為兩個二次式之 積。解設(shè).:- : ' _.=(?十必+ 1)(只十分+ 5) J + (a +A)x3 + (abJ + (5a +fi)x+:5ta+ b= -1ab + 6 = 4由恒等式性質(zhì)有：L5a+ b=3由、解得代入中，式成立。.-1 - - : 說明若設(shè)原式=''''由待定系數(shù)法解題知關(guān)于a與b的方程組無解，故設(shè)原式= (x2 +di + l)(? +肚 + 5>例3

5、在關(guān)于x的二次三項(xiàng)式中，當(dāng)：二時，其值為0;當(dāng)；二-時，其值為0；當(dāng)：-時，其值為10，求這個二次三項(xiàng)式。思路1先設(shè)出關(guān)于 x的二次三項(xiàng)式的表達(dá)式，然后利用已知條件求出各項(xiàng)的系數(shù)?？?考慮利用恒待式的性質(zhì)。解法1設(shè)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式為- / -1.把已知條件分別代入，得a+ b+ c = 0宅 9a+ 3b + c - 04a + 2b + c -10a = 2,解得lc = -故所求的二次三項(xiàng)為*-思路2根據(jù)已知：-；時，其值0這一條件可設(shè)二次三項(xiàng)式為八丿-1 - 然后再求出a的值。解法2由已知條件知當(dāng) 工二.；時，這個二次三項(xiàng)式的值都為0,故可設(shè)這個二次三項(xiàng)式為山I把】一代入上式，得1卩解

6、得-<-故所求的二次三項(xiàng)式為即一-：說明要注意利用已知條件，巧設(shè)二次三項(xiàng)式的表達(dá)式。 例4已知多項(xiàng)式 二丫 '-匚'的系數(shù)都是整數(shù)。若是奇數(shù)，證明這個多項(xiàng)式不能分解為兩個整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積。思路先設(shè)這個多項(xiàng)式能分解為兩個整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積，然后利用已知條件及其他知識推出這種分解是不可能的。PKU證明：設(shè) "1" _ ":廠''： J - J-'. -：=丨 t 、（ m,n,r 都是整數(shù)）。比較系數(shù)，得mr = d.因?yàn)镠 - : ： : I是奇數(shù)，則 ：與d都為奇數(shù)，那么mr也是奇數(shù)，由奇數(shù)的性質(zhì)得出m,r也都是奇數(shù)

7、。在式中令丄1，得一廠1丁弋一.由一 一；是奇數(shù)，得丨一 .-F 是奇數(shù)。而 m為奇數(shù)，故一 -是偶數(shù)，所以“ > "是偶數(shù)。這樣的左邊是奇數(shù)，右邊是偶數(shù)。這是不可能的。 例5已知f '能被二二整除，求證：:-;， 思路：可用待定系數(shù)法來求展開前后系數(shù)之間的關(guān)系。x5 -5qx + 4r = （x-c3X£因此，題中的多項(xiàng)式不能分解為兩個整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積。 說明：所要證的命題涉及到“不能”時，常?？紤]用反證法來證明。證明：設(shè)展開，比較系數(shù)，得a-2c = 0t? +b - 2ac=0彳 ac2 - abc += 0竺-阮59.0由、，得-八“二一代入、得:j

8、7、例6若a是自然數(shù)，且 ： 二：工 -.；一;的值是一個質(zhì)數(shù)，求這個質(zhì) 數(shù)。思路：因?yàn)橘|(zhì)數(shù)只能分解為1和它本身，故可用待定系數(shù)法將多項(xiàng)式分解因式,且使得因式中值較小的為1，即可求a的值。進(jìn)而解決問題。解：由待定系數(shù)法可解得-4?+15-30 + 27-(a2 3a + 3)(a2 p + 9).由于a是自然數(shù)，且一.'1 -一- . _l -一是一個質(zhì)數(shù),a2 -3dt + 3 < a2 - % + 9 一; J解得f-'i L vJ當(dāng)n時，一 ： h JI不是質(zhì)數(shù)。當(dāng)匸時，】1是質(zhì)數(shù)。I - J 一 I：' 一 打一匚.一L 一 _ ' =11 .A級

9、 i、分解因式 3? + 5xy-2/ + x + 9廠4二. 2、若多項(xiàng)式3? + 5xy-2/+z + 9j能被3x-y + 4整除，則門=. 3、二次三項(xiàng)式當(dāng) / - I時其值為-3，當(dāng)一時其值為2，當(dāng):十 時其值為5， 這個二次三項(xiàng)式是 . 4、m, n是什么數(shù)時，多項(xiàng)式一上 - . . + <'能被.-二.-一整除？B級2 5、多項(xiàng)式'' '! ''' ；'能分解為兩個一次因式的積，則k=. 6、若多項(xiàng)式用x +用能被(X-1)，整除，則/fl + K =. 7、若多項(xiàng)式 ?+ax-i當(dāng)x “,2時的值均為 0,則

10、當(dāng)x=時，多項(xiàng)式的值也是0。 8、求證：j ' 7” 丁不能分解為兩個一次因式的積。罠甌慕亞亞亙甬鼠晉泉Illi參考答案或提示：1. -r '1：提示：設(shè)原式:二二H= 3x2 + 5xy-ly1 + 0 + 3b)x + (2a - b)y + ab.比較兩邊系數(shù)，得+ 3b = 1*2a-b-9ab = -4(a =4,由、解得 ：'一將 廠 ；二代入式成立。原式-二二-.2、-4。提示：設(shè)原式 卜= ：'''.；'：'： 7'"' J.'":比較系數(shù)，得3m+ 4 = 1詣-m =

11、 9n = 4m由、解得:1代入得-提示：設(shè)二次三項(xiàng)式為把已知條件代入，得a +b +c = -3,* 4金十2B *廠2=A=-2a -b + c = 5解得所求二次三項(xiàng)式為 一 -一4.= -lU = 4.設(shè)5x3 +11H + 幀 + 曠（H +加+ 勿（只-2x + l）二 X* +（E-2）F +（m-2B + 1）F +（-2 艸 +i）x +比較系數(shù)，得fb-2 = -5,心- 2b + 1 = 11,-2期 +APKUPKUPKUPKU.當(dāng)m=-11 , n=4已知多項(xiàng)式能被.一二.一 一整除。5.-2提示：設(shè)原式:W :,'=3 + 2/y-y2 + （昭 + 知）x + （艸-剛）y + 朋號比較系數(shù)，得PKU+ 3粘 m 5,毛闿=懶=一3,mn = kL9 = 2, M =1 解得r = "26.-7提示：設(shè)原式二'.1 ': ' 1 '"-/ +(fl-2)x3 + (h-2a + l)xa +-26)x+b比較系數(shù)，得a2 =予上-勿+ 1 = 11,a 2b = m,b = ?2.Lw = -11,解得卜:/. 'j i ：j - i -二-7.3.提示：