

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文檔簡介
1、3.2.13.2.1立體幾何中的向量方法立體幾何中的向量方法 利用空間向量求空間角利用空間向量求空間角復(fù)習(xí)引入1用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”(1)建立立體圖形立體圖形與空間向量空間向量的聯(lián)系,用空間向量表示表示問題中涉及的點(diǎn)點(diǎn)、直線直線、平面平面,把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向向量問題量問題;(2)通過向量運(yùn)算向量運(yùn)算,研究點(diǎn)、直線、平面點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)位置關(guān)系系以及它們之間夾角夾角問題(3)把向量的運(yùn)算結(jié)果運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義幾何意義。2向量的有關(guān)知識:(1)兩向量數(shù)量積的定義:(2)兩向量夾角公式:(3)平面的法向量:與平面垂直的向量知識點(diǎn)知識點(diǎn)1:異異面直線所成的
2、角面直線所成的角(1)定義:定義:過空間任意一點(diǎn)任意一點(diǎn)o分別作異面直線異面直線a與b的平行線平行線a與b,那么直線a與b 所成的銳角或直角銳角或直角,叫做異面直線a與b 所成的角.兩直線l,m所成的角為(02 ),cosa ba b ;(2)兩條直線的夾角:)兩條直線的夾角:lamlamb b所以 與 所成角的余弦值為A1AB1BC1C1D1Fxyz 解:解:以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 如圖所示,設(shè) 則: Cxyz11CC(1,0,0), (0,1,0),AB1111 1( ,0,1),( ,1)22 2FD所以:11(,0,1),2 AF111( ,1)22 BD11cos, AF
3、 BD1111| AF BDAFBD113041053421BD1AF3010.,111111111111所成的角的余弦值和求,、的中點(diǎn)、取中,在直三棱柱AFBDFDCABACCCABCACBCCBAABC例:例:(3)直線與平面的夾角:)直線與平面的夾角:aa ABCD1A1B1C1DMNxyz例:例:(0,0,0),A1(0,0,4),A(0,8,0),D因為 ,AMDA1ANDA1(0,8,0),AD 1(0,8, 4),AD 1cos,AD AD 2 55ADANM與平面所成角的正弦值是2 55所以 是平面ANM的法向量DA1解解:建立如圖示的直角坐標(biāo)系,則lcoscos,AB CDA
4、B CDAB CD DCBA知識點(diǎn)知識點(diǎn)2:二面角:二面角方向向量法:方向向量法:(范圍: )0, ll法向量法法向量法 1n 1n 2n 2n 12n n ,12n n ,12n n ,12n n ,cos12cos, n ncos12cos, n n法向量的方向:法向量的方向:一進(jìn)一出一進(jìn)一出,二面角等于法向量夾角;,二面角等于法向量夾角;同進(jìn)同出同進(jìn)同出,二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角,二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角ABCDSxzyA- xyz解: 建立空直角坐系如所示,A( 0, 0, 0) ,C ( -1, 1, 0) ,1,0),2D ( 0,(0,0,1)S11(0,0)2SBAnAD易
5、知面的法向量11(1,0),(0, 1)22 CDSD2( , , ), SCDnx y z的法向量22, nCD nSD由得:設(shè)平面設(shè)平面0202yxyz22yxyz2(1,2,1) n任取1212126cos,3| n nn nnn63即所求二面角得余弦值是.,211,所成二面角的余弦值與面求面,平面是直角梯形,如圖所示,SBASCDADBCABSAABCDSABCABABCD例例1:如圖,已知:直角梯形如圖,已知:直角梯形OABC中,中, OABC,AOC=90,SO面面OABC, 且且OS=OC=BC=1,OA=2.求:求:(1)異面直線異面直線SA和和OB所成的角的余弦值所成的角的余
6、弦值; (2)OS與面與面SAB所成角的余弦值所成角的余弦值; (3)二面角二面角BASO的余弦值的余弦值.OABCSxyz例例2 2: OABCSxyz(1)OAOC OS 解:以, , 為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系如圖。(0 0 0)(0 01)(2 0 0)(110)OSAB則, , , , ,(2 01)(110)SAOB , , , ,20010cos552SAOB ,如圖,已知:直角梯形如圖,已知:直角梯形OABC中,中, OABC,AOC=90,SO面面OABC, 且且OS=OC=BC=1,OA=2.求:求:(1)異面直線異面直線SA和和OB所成的所成的 角的余弦值角的余弦值;
7、OABCSxyz如圖,已知:直角梯形如圖,已知:直角梯形OABC中,中, OABC,AOC=90,SO面面OABC, 且且OS=OC=BC=1,OA=2.求:求:(2)OS與面與面SAB所成角的余弦值所成角的余弦值 ; (2)(2 01)(111)SASB解:, , , ,()SABnxyz設(shè)平面的一個法向量為, ,201120 xzxyzxyz 取,則,(112)(0 01)SABnOS 故平面的一個法向量為, ,又, ,0026cos316nOS ,所以所以O(shè)S與面與面SAB所成角的余弦值為所成角的余弦值為33OABCSxyz(112)SABn 解:由(2)知平面的一個法向量為, ,OCS
8、AOOCSAO又由平面知是平面的法向量(010)OC 且, ,0 1 06cos66 1n OC ,所以二面角所以二面角BASO的余弦值為的余弦值為66如圖,已知:直角梯形如圖,已知:直角梯形OABC中,中, OABC,AOC=90,SO面面OABC, 且且OS=OC=BC=1,OA=2.求:求:(3)二面角二面角BASO的余弦值的余弦值.課堂小結(jié)課堂小結(jié) 1異面直線所成的角: 2直線和平面所成的角: 3二面角: . .練習(xí)練習(xí)1:如圖,四面體如圖,四面體ABCD中,中,O是是BD的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,(I)求證:)求證:AO平面平面BCD;(II)求異面直線)求異面直線AB與與CD所成角的大?。?/p>
9、所成角的大小;2BDCDCBCA2 ADAB?C?A?D?B?O?E能力提升能力提升?x?C?A?B?O?D?y?z?E解:(解:(I)略)略 (II)解:以)解:以O(shè)為原點(diǎn),如圖建立空間直角坐標(biāo)系,為原點(diǎn),如圖建立空間直角坐標(biāo)系,(1,0,0),( 1,0,0),BD 則13(0, 3,0), (0,0,1),( ,0),( 1,0,1),( 1,3,0).22CAEBACD .2cos,4BACDBA CDBA CD 所以異面直線所以異面直線AB與與CD所成角的所成角的余弦值為余弦值為 2.4練習(xí)練習(xí)2:如圖所示,在四棱錐如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱
10、是正方形,側(cè)棱PD ABCD,PD=DC,E是是PC的中的中點(diǎn)點(diǎn).(1)證明:證明:PA/平面平面EDB;(2)求求EB與底面與底面ABCD所成的角的正切值所成的角的正切值.ABCDPEGxyzABCDPEGxyz(1)證明:設(shè)正方形邊長為證明:設(shè)正方形邊長為1,則,則PD=DC=DA=1.連連AC、BD交于交于G點(diǎn)點(diǎn)DADC DP 以, , 為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系。如圖所示。則(0 0 0)(0 01)(10 0)(010)(110)DPACB, , , , , ,(101)PA , ,1 1(0)2 2EPCE又 為中點(diǎn),點(diǎn)坐標(biāo)為 ,1 1(0)2 2GBDG 為中點(diǎn),點(diǎn)坐標(biāo)為,11(0)22EG , ,2/PAEGPAEGPAEGPAEG 可得。因為與不共線,所以/PAEDBEGEDBPAEDB又平面,平面平面(2)求求EB與底面與底面ABCD所成的角的正切值。所成的角的正切值。ABCDPEGxyz(1)(0 0 0)(0 01)1 1(110)
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