定積分不等式證明方法講座

1、定積分不等式證明方法一 柯西不等式方法 利用柯西不等式證明的問題經(jīng)常含有特殊的形態(tài)， 比如涉及兩個積 分項(xiàng)相乘，或者含有函數(shù)平方、平方根的積分?？挛鞑坏仁?設(shè) f (x),g(x)在a,b 上連續(xù)，則有b 2 b 2 b 2 a f(x)g(x)dx2 af2(x)dx ag2(x)dxa a a等號成立的充分必要條件是存在常數(shù) k使得 f (x) kg(x)或者 g(x) kf (x) 。注意有些問 題(不一定在不等式證明中)會涉及到等號成立的條件。b 2 b 2例1 設(shè) f (x)在a,b上連續(xù)，證明 f (x)dx2 (b a) f 2(x)dx。 aa證明 在柯西不等式中設(shè) g(x)

2、1 ，即證。例2 設(shè) f (x)在a,b 上連續(xù)，且恒正，證明ba f (x)dx 1 dxa f (x)(b a)2證明 在柯西不等式中設(shè)g(x) 1 ，取函數(shù)1f ( x),，可證。f(x)例3 設(shè) f (x)在a,b (ba)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，如果 f (a)f (b)0，求證b2 af '(x)2dx ab 2nxan 1 n2n m (bf 2n ( x)dx 2(n 1)2n2an)2其中 m為 f 2(x)在a,b 上最小值，0。證明 在柯西不等式中，分別設(shè)函數(shù)為f '(x), xn f n(x) ，有b2 af '(x)2 adx x2na2n ( x)d

3、xxnfn(x)f '(x)dx2 bn n 1x df (x) a1(n 1)21(x)n 1 n(x)x21dx2 n (n1)22 n 1(x)xn 1dxn2(n 1)2f()n1bxan 1dxf ( ) 2(n( n 1)1)(bn2n2an)2( n 1) n n 2 m( ba )(n 1)2等式中 a,b ，這是由推廣積分中值定理得到：g(x) 在a,b 上連續(xù)，則存在設(shè) f(x) 是a,b 上恒大于等于零的連續(xù)函數(shù)，如果a,b使得例4 f(x)在 a,b(b證明 因?yàn)?f (a )0，f 2 ( x)由積分可加性，有兩邊取定積分，得a f ( x)g (x)d xa

4、a)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f 2( x)dx12(b所以xa f '(t)f 2( x)12dtxdta(xa)g( )如果a)2f ( x)dx 。 af (a) 0 ，求證b2 af '(x)2dx ax2 af '(t)2dt a(xa)x2 af '(t)2dt a2f '(t)2dt(x a)b2 af '(t)2dt ab2f 2 ( x)dx abab(xa)b2 f '(t)2 dt dx ab2 af '(t)2dt ab( x a)dx a(b a)22b2a f '(t)2dt 。 a例5 設(shè) f (x)在

5、0,1上連續(xù)，且 1 f (x)a ，證明證明由條件 1111 0 f (x)dx 0左邊不等式由柯西不等式得。1 1 12 a0f(x)dx0 f (1x) dxf (x) a，有 (f(x) a)(f (x)12 a f (x)dxf (x) dx(a 1)2 。4a10 f (x)dxa dx0 f (x)110 f (1x)(f (x) a)(f (x) 1)dx (a 1)1) 0 ，所以1 1 dx0 f ( x)12a1f ( x)dxf(1x)dx( a 1)24a例6 設(shè) f (x) 為 () 上連續(xù)周期函數(shù)，周期為 1，如果 f (x) 滿足： 0 f ( x) 1，1且

6、f (x)dx 1，求證f (t )dtx 270f (t)dt13 xf (t)dt 11 。以及取等號的條件。證明 由條件 0 f ( x)1，有x0 f (t)dtx 270f (t)dt13 x0(t )dtx x 27 13 x利用離散柯西不等式，有x x 27213 x 1 x332 (13 x)3112 (x 27)(1 23 2) x 23 (13 x) 12(x 27) 11。且取等式充分必要條件是：x 3 13 x 1 x2227，即 x 6 。所以xx 2713 x0 f (t)dt0f (t)dt 0f (t )dt11。特別當(dāng) x 6 時，有xx 2713x3620

7、f (t)dt0f (t)dt0f (t)dt 0f (t)dt 0f (t)dt 0 f (t)dt根據(jù)周期性，以及10 f ( x)dx 1，有3621f (t )dt00f (t)d t0 f (t)dt11 0 f (t)dt11，所以取等號充分必要條件是 x 6 。注 本題并不是利用連續(xù)型柯西不等式方法證明結(jié)論，而是利用離散型柯西不等式方法 證明結(jié)論，但問題是在利用柯西不等式時采用了“一般人”想不到的“技巧”，這種技巧并 不明顯。 確實(shí)柯西不等式形式上是簡潔的， 但對于什么樣不等式， 我們會想到采用柯西不等式來證明呢？這才是問題的所在， 回答它并不容易。 當(dāng)然這地方可以避免使用離散型

8、柯西不 等式證明： x x 27 13 x 11，而是利用導(dǎo)數(shù)方法證明。二 常數(shù)變異法 將區(qū)間某端點(diǎn)看成變量(或者轉(zhuǎn)換為變量)，然后利用上限函數(shù)求導(dǎo)。 此類定積分不等式問題中， 通常含有某些函數(shù)滿足連續(xù)、 單調(diào)條件， 此時可以通過將上限或 下限涉及到的常數(shù)符號， 在整個不等式中換成與變量積分變量無關(guān)的變量， 然后作輔助函數(shù)， 再通過求導(dǎo)對輔助函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行研究。例1設(shè) f (x) 在 a, b上連續(xù)，且單調(diào)增加，證明b a b btf (t)dt f (t)dta 2 a分析 將定積分不等式視為數(shù)值不等式， 可利用相應(yīng)的函數(shù)不等式的證明方法證明， 將要 證的不等式兩端做差，并將上限 b換成

9、x ，作輔助函數(shù) F(x)如下x a x xF(x) atf (t)dt a2x a f(t)dt 如果證明 F (b) 0 ，即證得原命題。證明 對 F(x) 求導(dǎo)，得F '(x)1 x a x f(x)x 21 a f(t)dt a2x f(x)xaf(x)1 x f (t )dt2a1 x1 x1 x12 a f (x)dt 12 a f (t)dt 12 a (f(x) f (t)dt0 ，再根據(jù)定積分由于 f (x)在a,b上單調(diào)增加，且因?yàn)?t a,x，所以有 f(x) f (t)性質(zhì)，有F '(x) 0。由此知 F(x)在a,b上單調(diào)增加， 則F(x) F(a)

10、0，得F(b) 0，得證。ab 例2 設(shè) f (x)在a,b 上連續(xù)， f(0) 0 ，且單調(diào)增加，證明 存在 a b使得2bbatf (t)dta f (t)dtaab a b b分析 假設(shè)結(jié)論成立，則有 tf(t)dt a b f(t)dt ，而由上例知道，此不等式成立。 a 2 a再由 f (0) 0，且 f (x) 單調(diào)增加，知 f (x)在a,b 上滿足 f (x) 0 ，則由推廣積分中值bb定理有 a,b使得 tf (t)dt f (t)dt ，如此得 aaba tf (t)dt即可證明結(jié)論。例3 設(shè) f (x) 在 a,b 上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 0f '(x)2, f (a)

11、 0 求證 n1證明設(shè)輔助函數(shù)F(x)2 f n (x)dxb 2n1(x)dxxnf n(t)dta2n 1(t)dtF'(x) 2fn(x) fn(t)dt f2n 1(x)axf n(x)2 f n(t)dtfn 1(x)。設(shè) G(x)xf n(t)dt f n 1(x) ，則G'(x) 2fn(x) (n 1)fn(x)f '(x) 2 f n(x)(1n12f '(x)因?yàn)?f (a)0, f '(x) 0，所以 f(x) 嚴(yán)格單調(diào)遞增，且 f(x)f(a)0,x (a,b ，所以n n 1 fn(x) 0,x (a,b。又因?yàn)?1 n21所以

12、有 F '(x) 0,x a,b，得 F(b)f '(x)0，所以得 G'(x)G(a)0,x(a,bF(a)0，即得2b2n 1xfa(x)dx 。G(x)0，bfna由此得：注 當(dāng) n 2 時，此題為 94北方交通大學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題，美國數(shù)學(xué)競賽試題。例 4 設(shè) f(x),g(x)在a,b上連續(xù)，如果對于任意在 a, b上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)， 且在b點(diǎn)取值為零的函數(shù) h(x) ，都滿足ba f(x)h(x) g (x)h '( x)d x 0， a求證 g(x) 可導(dǎo)，且 g'(x) f (x)。x證明 設(shè)F(x) f(t)dt ，則有ab a b bab

13、 f(t)dt a2b ab f(t)dtbba f(x)h(x)dx a h(x)dF(x) F(x)h(x)bbba abF(x)h'(x)dxba F (x)h '(x)dx由條件得ba F (x) g( x) h '(x)dx 0 a下證，在 a,b上F(x)與 g(x)恒等。采用反證法， 如果存在x0 a,b，使得 F(x0)g( x0 )(同理可證F(x0) g(x0) 情況)，則由連續(xù)性有，存在0 ，使得在 (x0, x0) a,b(或者 x0,x0) a,b ，或者 (x0 ,x0 a,b ，面僅對第一種情況說明)且在此區(qū)間上 F( x)g ( x) 。

14、構(gòu)造函數(shù) h( x) 滿足：在 a, x0 取常值，在 x0 ,b 上取零，在 (x0 ,x0) 內(nèi)單調(diào)遞增，則在 a,b 上有 h'(x) 0,h(b) 0 。由此由定積分性質(zhì)得ba F (x) g( x) h '(x)dx 0 a矛盾。所以得在 a,b上 F(x)與 g(x)恒等，即證得題中命題。微分中值定理方法 當(dāng)題目條件含有一階以上連續(xù)導(dǎo)數(shù)時，可考慮微分中值定理證明方法。f (a) f (b) 0 求證例1(前蘇聯(lián)競賽題)設(shè) f(x)在a,b 上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，bf ( x)dx (b a)2 M4其中M為|f '(x)|在a,b上的最大值。證明 利用拉格朗日中

15、值定理得：f ( x) f ( x)f (a)f '(1)( x a),(a,x)f (x) f (x)f (b)f '(2)( x b),(x,b)所以有| f(x)| M(x a), |f (x)| M(b x)則由定積分性質(zhì)得abf (x) dxa2 f (x)dxbab2f(x) dxabM (x-a)dxba bM (b2x)dx(b a)24習(xí)題 1. 設(shè) f (x) 在a,b 上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)， f(a) 0求證f (x) dx(b a)24ba2f (b)其中M為|f '(x)|在a,b上的最大值。2.(1985陜西省高校數(shù)學(xué)競賽試題) 設(shè) f (x)在

16、0,2 上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)， 滿足|f '(x)| 1，f(0) f(2) 1 。求證21 f (x)dx 3 。解 由已知條件有f (x) f (0) f '( 1)x, 1 (0, x)f (x) f (2) f '( 2 )(x 2), 2 (x,2) 所以有f (x) 1 x, f (x) x 1,與f(x) 1 x, f (x) 3 x,由此20 f (x)dx10 (1 x)dx2(x 1)dx 1.與2120 f(x)dx0 (1 x)dx1 (3x)dx 3 ，得證。3. (前蘇聯(lián)競賽試題) 在區(qū)間 0,2 是否存在函數(shù) f(x) 使其有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且滿

17、足：f(0)f(2) 1 ，|f '(x)| 1，f(x)dx 1。解 利用題 2，有 f (x) 1x, f(x) x 1. 如果存在 x00,1 ，使得 f (x) 1 x0，則矛盾，所以 f (x)21 f (x)dx 1 ，1 x，x 0,1 ；同理 f(x)x 1，x 1,2 。但此時 f(x)在 x 1處不可導(dǎo)，矛盾。由此不存在這樣函數(shù)。4. 在區(qū)間0,2 是否存在函數(shù) f (x)使其有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且滿足： f(0) f (2) 1，2| f '(x)| 1， 0 f(x)dx 1。5. 設(shè) f (x) 在 a, b上存在連續(xù)的 n 階導(dǎo)數(shù)，且有f (k)(a)

18、f (k)(b) 0,k 0,1,2,L ,n 1，則存在(a,b) 使得| f(b) f(a)| | f(n)( )|(b a)n 。| f (b) f(a)| n 1 。 n! 2是否存在函數(shù) f (x)使其有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且滿足： f(0) f(2) 1， | f'(x)| 1，20 f (x)dx 1 。四 凹凸性利用 當(dāng)題目條件給出 f (x) 二階導(dǎo)數(shù)符號時，可考慮函數(shù)凹凸性方法例1 設(shè) f(x)在a,b(a 0)上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且在 a,b上有 f ''(x) 0，求證 b b atf (t)dt (2b a)f (b) (2a b)f(a) a6證明

19、因?yàn)樵?a,b 上有 f ''(x) 0 ，所以函數(shù)為凹函數(shù)，即對于任意0,1有f ( a (1 )b) f (a) (1 ) f(b)所以有b t xb (1 x)atf (t)dt(b1a) xb (1 x)af (xb (1 x) a)dx1(b a) 0xb (1 x)axf(b) (1 x)f (a)dxba1，證明1 k n0 x f (x)dx 1kx0fn 1(x)dx10xl fn(x)dx 1 l n 10 x f (x)dx(2b a)f(b) (2a b)f (a) 。6五 重積分法bdb d對含有 I f (x)dx g( x)dx形式的不等式可考慮將

20、 I 轉(zhuǎn)化為 f (x)g(y)dxdy 形 aca c式。然后再利用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行證明。例 1 設(shè) f (x) 為 0,1 上的單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)，如果k l 0,n證明 將不等式通分變形為xk f n(x)dx10xlfn 1(x)dx1 l n xl f n(x)dx1xkf01(x)dx轉(zhuǎn)化為分次積分0xkylfn(x)fn 1( y)d xdy0xlykfn(x)f n 1(y)dxdy111 1 k l(x0kly)xlylf n(x)fn11(y)dxdy同理有0(ykxk l)xlyl fn(y)fn1(x)dxdy將所得兩式相加有2Il l k l0xlyl(xk lyk l)( f(x) f(y)fn 1(y)fn 1(x)dxdy由已知條件，得 (xkyk l)( f(x)f (y) 0 ，即得 I 0 ，所以原不等式成立。例 2 (柯西不等式)設(shè) f (x),g(x)在a,b 上連續(xù)，則有b2 a f (x)g(x)dx2ab 2 b 2a f 2(x)dx a g2(x)dx證明Ib2a f (x) g( x)dx 2 abba f (x)g(x)dx a f (y)g(y)dx aabbf(x)f (y)g(x)g(y)dxdyaa因?yàn)? 2