從三角函數(shù)的歷史發(fā)展看高中生三角函數(shù)的學(xué)習(xí)

1、從三角函數(shù)的歷史發(fā)展看高中生三角函數(shù)的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)教育臂究2011年第!期=:=l_l_=二_=_l讀寫(xiě)算從三角函數(shù)的歷史發(fā)展看高中生三角函數(shù)的學(xué)習(xí)婁艷芳(上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院08級(jí)研究生上海200234)【摘要】三角函數(shù)是進(jìn)入高中后首先要學(xué)習(xí)的知識(shí),它是繼一次函數(shù)和反比例函數(shù)之后學(xué)生又一次接觸到的另外一種全握三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí),在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中很重要.I關(guān)鍵詞】三角函數(shù)歷史三角函數(shù)學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合一.從三角函數(shù)的發(fā)展簡(jiǎn)史看三角函數(shù)的特征三角學(xué)的原意是三角形的測(cè)量,以研究平面三角形和球面三角形的邊和角的關(guān)系為基礎(chǔ),達(dá)到測(cè)量上的應(yīng)用為目的的一門學(xué)科,早期的三角學(xué)不是一門獨(dú)立的學(xué)科,它依附于天文學(xué),是天文

2、觀測(cè)結(jié)果推算的一種方法.公元150年,另一個(gè)古希臘學(xué)5?世紀(jì),阿耶婆多對(duì)三角學(xué)的做出了兩項(xiàng)改進(jìn):其一是把半弦與全弦所對(duì)的弧的一半相對(duì)應(yīng),于是"正弦"就相當(dāng)于現(xiàn)在的正弦線長(zhǎng)r倍(r是圓的半徑);其二是他用單位弧長(zhǎng)去度量半徑,進(jìn)而以半徑的3438等分作為單位計(jì)算半弦弦長(zhǎng)表.之后,瓦拉哈米希拉(Varahamihira,約505587)最早引入正弦概念,并給數(shù)方法得到八種三角線的概念和相互關(guān)系,還編制了余切表并研究了各種斜三角形的解法.直到l3世紀(jì),數(shù)學(xué)家納西爾丁的橫截線原理書(shū)才開(kāi)始使三角學(xué)脫離天文學(xué),成為純粹數(shù)學(xué)的一個(gè)獨(dú)立分支.在歐洲,最早將三角學(xué)從天文學(xué)獨(dú)立出來(lái)的數(shù)學(xué)家是德國(guó)

3、人雷格蒙塔努斯(J?Regiomontanus,14361476),他1464年完成的論各種三角形是歐洲第一部獨(dú)立于天文學(xué)的三角學(xué)著作,也是首次將球面三角和平面三角分離開(kāi),全書(shū)5卷,前2卷論述平面三角學(xué),后3卷討論球面三角學(xué),另外他還較早地制成了一些三角函數(shù)表,雷格蒙塔努斯的工作為三角學(xué)在平面和球面幾何中的應(yīng)用建立了牢固的基礎(chǔ).l6世紀(jì),奧地利數(shù)學(xué)家雷蒂庫(kù)斯首次編制出全部6種三角函世紀(jì)初對(duì)數(shù)發(fā)明后大大簡(jiǎn)化了三角函數(shù)的計(jì)算,制作三角函數(shù)表已不再是很難的事,人們的注意力轉(zhuǎn)向了三角學(xué)的理論研究.文藝復(fù)興后期,法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)(F.Vieta)成為三角公式的集大成者.他的應(yīng)用于三角形的數(shù)學(xué)定律(1579

4、)是較早系統(tǒng)論述平面和球面三角學(xué)的專著之一,第一部分列出6種三角函數(shù)表,有些以分和度為間隔,給出精確到5位和l0位小數(shù)的三角函數(shù)值,還附有與三角值有關(guān)的乘法表,商表等;第二部分給出造表的方法,解釋了三角形中諸三角線量值關(guān)系的運(yùn)算公式,除匯總前人的成果外,還補(bǔ)充了自己發(fā)現(xiàn)的新公式,如正切定律,和差化積公式等.他將這些公式列在一個(gè)總表中,使任意給出某些已知量后,可以從表中得出未知量的值.大數(shù)學(xué)家歐拉是解析幾何學(xué)的創(chuàng)立者,他在著作無(wú)窮小分析引論中,強(qiáng)調(diào)了函數(shù)的定義并提出三角函數(shù)是對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)線與圓半徑的比值,不僅如此他還引人了一些三角符號(hào),搞清了三角函數(shù)的周期性,提出了角的弧度制的概念,發(fā)現(xiàn)發(fā)展到

5、用三角函數(shù)去反映運(yùn)動(dòng)和變化的過(guò)程和規(guī)律.從三角函數(shù)的發(fā)展史中可以看出,三角函數(shù)主要呈現(xiàn)以下特點(diǎn):(1)現(xiàn)代的三角函數(shù)是綜合了代數(shù),幾何,分析(函數(shù))的產(chǎn)物,(2)三角函數(shù)是溝通代數(shù)和幾何的橋梁,它將三角形中定性研究的知識(shí)定量化,是幾何問(wèn)題代數(shù)化的很好的例證,充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想;?ll8(3)三角函數(shù)的圖像呈現(xiàn)周期性動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)變化的特點(diǎn),具有一定的規(guī)律性,(4)由于它的公式最初是由用單位弧長(zhǎng)去度量半徑,進(jìn)而計(jì)算出半弦弦長(zhǎng)表,并在此基礎(chǔ)上的出正弦概念和正弦表的,所以,對(duì)三角函數(shù)公式的了解應(yīng)該與圓結(jié)合起來(lái).在高中數(shù)學(xué)中,三角函數(shù)是繼一次函數(shù)和反比例函數(shù)之后學(xué)生又一次接觸到的另外一種全新的函數(shù)

6、模型,也是學(xué)生進(jìn)入高中后首次接觸到的多對(duì)一的函數(shù),就高考來(lái)說(shuō),三角函數(shù)在高考中的分?jǐn)?shù)值會(huì)占整個(gè)試卷分?jǐn)?shù)的l5%左右,題型一般包括兩道選擇題或者填空題,難度不大,但是一直是我國(guó)高考的必考點(diǎn),重點(diǎn)在于兩方面:考查三角函數(shù)的相關(guān)概念,三角函數(shù)的圖像和性質(zhì),正弦型函數(shù)的圖像變換和性質(zhì);利用三角函的考查,突出了三角函數(shù)與代數(shù),幾何,向量,導(dǎo)數(shù)等方面聯(lián)系.三角函數(shù)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)中,是一個(gè)很重要的知識(shí)點(diǎn).正因?yàn)槿绱?怎樣學(xué)好三角函數(shù)對(duì)于高中學(xué)生來(lái)說(shuō)很重要.我們知道,歷史的發(fā)展在某種程度上是有一定規(guī)律性的,而知識(shí)的發(fā)展則是人腦不斷思考的結(jié)果,因此知識(shí)的發(fā)展史與人腦的思考問(wèn)題的規(guī)律在一定程度上具有一致性,

7、因此在學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí),我們可以:(一)按照三角函數(shù)發(fā)展的歷史順序?qū)W習(xí)三角函數(shù)l9世紀(jì),法國(guó)實(shí)證主義哲學(xué)家,社會(huì)學(xué)創(chuàng)始人孔德就提出,個(gè)體知識(shí)的發(fā)生過(guò)程與歷史上人類的發(fā)生過(guò)程必然是一致的都認(rèn)為,尊重歷史發(fā)展順序?qū)⒆舆M(jìn)行教育,在方式和順序上都必須符合歷史上人類的認(rèn)識(shí)過(guò)程.學(xué)習(xí)三角函數(shù),可以從三角函數(shù)的發(fā)展史得到啟發(fā),重復(fù)科學(xué)家的思考過(guò)程,從弧度人手來(lái)了解三角函數(shù),利用單位圓來(lái)得出基本的三角函數(shù)公式,再?gòu)娜蔷€出發(fā)用代數(shù)方法得到八種三角線的概念和相互關(guān)系等等.(二)由于三角函數(shù)這一章的知識(shí),突出了數(shù)形結(jié)合的思想,如§1.1.2弧度制中的問(wèn)題"r,l與a之間具有怎樣的關(guān)系呢?&qu

8、ot;,其背景是圓周上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng);再如1.2.2的問(wèn)題"當(dāng)角a確定后,a的正弦,余弦,正切值也隨之確定,它們之間有何關(guān)系?",1.2.3"如果角口的終邊與角口的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱,那么與的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系?",1.3.2"怎樣做出三角函數(shù)的圖像?",其背景是單位圓(三角函數(shù)線).這些我們可以把知識(shí)點(diǎn)與圖形結(jié)合起來(lái),結(jié)合呈現(xiàn)的圖形,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想,從函數(shù)的角度研究三角函數(shù)的模型,從而了解三角函數(shù)的概念,圖像和性質(zhì);把三角函數(shù)公式與相關(guān)圖像相結(jié)合,觀察角度的變化與圖像的變化之間的關(guān)系,進(jìn)而深入了解三角函數(shù)的性質(zhì),比如,Y=sin

9、(tox+妒)的圖像,觀察,對(duì)函數(shù)圖像變化的影響等諸如此類.(三)根據(jù)三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)所含術(shù)語(yǔ)較多,知識(shí)點(diǎn)之間聯(lián)系緊密,公式眾多的情況,可以自己做概念圖,把知識(shí)點(diǎn)按一定規(guī)律連接起來(lái).如知識(shí)等級(jí)順序:一級(jí)知識(shí)點(diǎn),二級(jí)知識(shí)點(diǎn),三級(jí)知識(shí)點(diǎn)等,把三角函數(shù)的眾多知識(shí)點(diǎn)制成一個(gè)樹(shù)形概念圖,(轉(zhuǎn)下頁(yè))讀寫(xiě)算2011年第15期數(shù)學(xué)教育研究數(shù)學(xué)課習(xí)題講解應(yīng)注意的問(wèn)題黃中文(射洪縣金家中學(xué)四川射洪629200)余元慶教授說(shuō)過(guò):"習(xí)題是中學(xué)數(shù)學(xué)課本的重要組成部分.秀中學(xué)數(shù)學(xué)教師的教學(xué)質(zhì)量所以高,一部分原因也是由于習(xí)題選擇和處理得恰當(dāng)."當(dāng)代最著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞也強(qiáng)調(diào)指出:"中學(xué)數(shù)學(xué)教

10、學(xué)首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練."為什么這些名人名家都如此的重視習(xí)題的配備和講解呢?這是因?yàn)閿?shù)學(xué)習(xí)題確實(shí)存在著多種功能,當(dāng)學(xué)生一旦進(jìn)入解題這一活動(dòng)情景之中,他就接受著一種"思想的體操"的訓(xùn)練,從技能的或思維的重要環(huán)節(jié),數(shù)學(xué)課堂教學(xué)離不開(kāi)講題.如何講題?怎樣講題?這自然是中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究的重要內(nèi)容之一,也是新老教師普遍關(guān)心,最不好把握的問(wèn)題.在解題教學(xué)中,筆者認(rèn)為以下幾個(gè)方面問(wèn)題又是決定解題教學(xué)成敗的關(guān)鍵.一,講題應(yīng)突出思路分析,不要開(kāi)門見(jiàn)山僅從解題角度講,給學(xué)生講習(xí)題是教給學(xué)生如何去發(fā)現(xiàn)一道題目的解題方法,講的關(guān)鍵是展示思路發(fā)現(xiàn)的過(guò)程,在這個(gè)發(fā)現(xiàn)過(guò)程中,解題人思緒

11、萬(wàn)千,念頭百出,有時(shí)靈機(jī)一動(dòng),毛塞頓開(kāi),有時(shí)山窮水盡,突然峰回路轉(zhuǎn),有時(shí)步入歧途,有時(shí)不能自拔.我們做教師的應(yīng)該把這些生動(dòng)的思維過(guò)程充分的展現(xiàn)出來(lái),不能只展示分析的"成品","優(yōu)品",還應(yīng)該把分析的"廢品","次品"展示出來(lái),并且要好好的講一講怎樣從"廢品"到"次品",進(jìn)而到"成品","優(yōu)品".講題應(yīng)把主要精力放在題意分析和思路發(fā)現(xiàn)上.教師不應(yīng)該是學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的指揮員,講解員,裁判員,而應(yīng)該是課堂活動(dòng)的組織者,引導(dǎo)者和合作者.二講習(xí)題應(yīng)

12、潛心設(shè)誤布疑,避免平鋪直敘講習(xí)題時(shí),由于知識(shí)密度大,信息量多,應(yīng)將講,練,思三者有機(jī)的結(jié)合起來(lái),創(chuàng)造條件讓學(xué)生多動(dòng)口,動(dòng)手和動(dòng)腦,激發(fā)學(xué)生全方位"參與".我的做法是:(1)進(jìn)行開(kāi)放式的習(xí)題課堂教學(xué),給學(xué)生出錯(cuò)的機(jī)會(huì);(2)傾聽(tīng)學(xué)生的發(fā)言,捕捉學(xué)生的錯(cuò)誤想法;(3)設(shè)計(jì)問(wèn)題情境,讓學(xué)生的錯(cuò)誤顯現(xiàn)出來(lái);(4)做好經(jīng)過(guò)探究學(xué)生進(jìn)行自我否定的經(jīng)驗(yàn)積累.教師要敢于放手而且必須大膽放手,讓學(xué)生能自由地利用自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn),思維方式去嘗試解決問(wèn)題.這樣做,不但可以激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,還可以把學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)認(rèn)識(shí)上的錯(cuò)誤,理解上的偏差,技能上的缺陷,都表現(xiàn)出來(lái).其實(shí),學(xué)生中的智力潛能往往是巨大的,有

13、些獨(dú)特的思考方法還是教師未能想到的.因此,教師應(yīng)該認(rèn)真研究學(xué)生的思維狀況,摸清學(xué)沒(méi)疑布陷,警示學(xué)生,這樣往往比正面強(qiáng)調(diào)效果更好.三講習(xí)題應(yīng)該滲透數(shù)學(xué)思想,切忌舍本求末學(xué)思想方法,就是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的觀點(diǎn),方法.它是數(shù)學(xué)的"靈魂"."在解決具體問(wèn)題中,數(shù)學(xué)思想往往起著主導(dǎo)作用,尤其是他對(duì)產(chǎn)生一個(gè)好'念頭',一種好'思路',一種好及的數(shù)學(xué)思想是:轉(zhuǎn)化的思想;化簡(jiǎn)的思想;邏輯劃分的思想;數(shù)形結(jié)合的思想.在講題時(shí),教師不僅要告訴學(xué)生有那些數(shù)學(xué)思想和方法,它們各自有什么作用,而且更重要的是向?qū)W生展現(xiàn)數(shù)學(xué)思想和方法的產(chǎn)生,發(fā)展和

14、應(yīng)用的過(guò)程,展現(xiàn)應(yīng)用過(guò)程的豐富背景.否則學(xué)生當(dāng)遇到新問(wèn)題時(shí),盡管頭腦中也知道要在數(shù)學(xué)思想特點(diǎn),在教學(xué)中如何滲透數(shù)學(xué)思想方法?我們總結(jié)出兩條有效的經(jīng)驗(yàn):(1)在教學(xué)過(guò)程的不同階段,對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)的側(cè)重應(yīng)有所不同,在低年級(jí)介紹較低層次,在高年級(jí)介紹較高層次;新教學(xué)過(guò)程的不同階段按由低層次到高層次的順序進(jìn)行.(2)在解題教學(xué)中,重點(diǎn)是展現(xiàn)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想和方法的應(yīng)用過(guò)程,使學(xué)生從中學(xué)到創(chuàng)造性數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn),并經(jīng)過(guò)多次強(qiáng)化鞏固下來(lái).問(wèn)題解決的過(guò)程大致如下:當(dāng)遇到新問(wèn)題時(shí),首先要把條件和結(jié)論轉(zhuǎn)化成與原有知識(shí)結(jié)構(gòu)相吻合的形式(這是同化過(guò)程);再在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下把原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的概念,定理,法則等重

15、新組合成新的法則,以便適應(yīng)問(wèn)題的解決(這主要是順應(yīng));最后選教學(xué)過(guò)程中,根據(jù)數(shù)學(xué)思想方法的特點(diǎn),按由高層次到低層次的順序進(jìn)行.總之,在講解習(xí)題中滲透數(shù)學(xué)思想方法要在數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中進(jìn)行,要讓學(xué)生充分體會(huì)數(shù)學(xué)思想對(duì)解決問(wèn)題的巨大指導(dǎo)作用,從根本上提高他們分析問(wèn)題,解決問(wèn)題的能力.四,講習(xí)題應(yīng)注意一題多解,啟迪創(chuàng)新思維一題多解教學(xué),是數(shù)學(xué)教學(xué)中總結(jié)出來(lái)的最成功的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)之一一.解題思維活動(dòng)中充滿著新舊認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)的矛盾,已知與未新思維能力,解題只能永遠(yuǎn)停留在模仿層次上,教師永遠(yuǎn)不能對(duì)學(xué)生說(shuō):"這種解法是本題的最佳解法",要鼓勵(lì)他們大膽的展開(kāi)名數(shù)學(xué)家,數(shù)學(xué)教育家波利亞曾寫(xiě)道:&quo

16、t;無(wú)論如何,你應(yīng)當(dāng)感謝所有新念頭,哪怕是模糊的念頭,甚至要感謝那些使模糊念頭得以糾正的補(bǔ)充念頭".總之,學(xué)習(xí)興趣是在思考中培養(yǎng)的;解題能力是在思考中提高的.中學(xué)數(shù)學(xué)主要涉及的數(shù)學(xué)思想是:轉(zhuǎn)化的思想;化簡(jiǎn)的思想;邏輯劃分的思想;數(shù)形結(jié)合的思想.當(dāng)然,我們也應(yīng)該嚴(yán)防課堂解題教學(xué)進(jìn)入這樣的誤區(qū):一部分中學(xué)數(shù)學(xué)教師沉湎于解題之中,忘記了"解答數(shù)學(xué)的習(xí)題本身不是目的,而只是一種訓(xùn)練手段."他們不是把解題看成是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造能力的機(jī)會(huì),而是要求死記硬背各種套路和模害性正如柯朗所說(shuō):"數(shù)學(xué)的教學(xué),逐漸流于無(wú)意義的單純的演算習(xí)題的訓(xùn)練,固然,這可以發(fā)展形式演算的能力,但卻無(wú)助于提高獨(dú)立思考的能力."(接上頁(yè))了解知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系.(四)三角函數(shù)公式之間的恒等變換,突出了公理化方法和推理論證的思想方法,需要較高的推理,運(yùn)算能力,需要站在代數(shù)學(xué)的立場(chǎng)上對(duì)各個(gè)公式進(jìn)