第三章第1節(jié)中值定理 (2)ppt課件

1、2導數(shù)的幾何意義：導數(shù)的幾何意義：oxy)(xfy TM0 x)()(,()(000 xfKxfxMxfy處處的的切切線線的的斜斜率率在在點點特特點點：問問題題：下下面面幾幾個個圖圖形形的的.)(,0 fba使使）（至至少少存存在在一一點點3一、羅爾(Rolle)定理羅羅爾爾（R Ro ol ll le e）定定理理 如如果果函函數(shù)數(shù))(xf 在在閉閉區(qū)區(qū)間間 ,ba 上上連連續(xù)續(xù), , 在在開開區(qū)區(qū)間間),(ba內內可可導導, , 且且在在區(qū)區(qū)間間端端點點的的函函數(shù)數(shù)值值相相 等等 ， 即即)()(bfaf , , 那那 末末 在在),(ba內內 至至 少少 有有 一一 點點)(ba , ,

2、使使得得函函數(shù)數(shù))(xf在在該該點點的的導導數(shù)數(shù)等等于于零零， 即即 .)(0 f )1()2()3(例如例如,32)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上連續(xù)上連續(xù)在在 ,)3 , 1(上上可可導導在在 , 0)3()1( ff且且)3 , 1(1( , 1 取取. 0)( f),()(12xxf點擊圖片任意處播放點擊圖片任意處播放暫停暫停物理解釋物理解釋: :變速直線運動在變速直線運動在折返點處折返點處,瞬時速瞬時速度等于零度等于零.幾何解釋幾何解釋: :ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在該點處的切線是在該點處的切線是點點上至少有一上至少有一在曲線弧在曲線弧CABC

3、5證證.)1(mM 若若,)(上連續(xù)上連續(xù)在在由由baxf.mM 和和最最小小值值必必有有最最大大值值.)(Mxf 則則. 0)( xf由此得由此得),(ba . 0)( f都有都有.)2(mM 若若),()(bfaf因因為為.端端點點取取得得所所以以最最值值不不可可能能同同時時在在),(afM 設設.)(),(Mfba 使使內至少存在一點內至少存在一點則在則在則則有有因因為為),()( fxf.)()(0 fxf6, 0 x 若若; 0)()(xfxf , 0 x 若若, 0)()(xfxf 0()( )( )lim0;xfxffx 故故0()( )( )lim0;xfxffx 知知存存在在

4、由由,)( f ),()( ff. 0)( f故故7注意注意 若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足,其其 結論可能不成立結論可能不成立.例如例如,21 ,310 ,1)(xxxxxf 1,1,)(xxxf 2,0 ,)(2xxxf8例例1 1.10155的的正正實實根根有有且且僅僅有有一一個個小小于于證證明明方方程程 xx證證, 15)(5xxxf設設,1 , 0)(連連續(xù)續(xù)在在則則xf. 3)1(, 1)0( ff且且由介值定理由介值定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即為方程的小于即為方程的小于1的正實根的正實根.,),1 , 0(011xxx 設

5、另有設另有. 0)(1 xf使使,)(10件件之之間間滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條在在xxxf使得使得之間之間在在故至少存在一個故至少存在一個),(10 xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x從而矛盾從而矛盾,.唯唯一一性性得得證證9例2例2.0)()7)(5)(3()(有有幾幾個個實實根根的的導導數(shù)數(shù)，說說明明不不求求 xfxxxxxf解解, 0)7() 5() 3() 0(ffff因為因為上上應應用用羅羅爾爾定定理理，、分分別別在在對對7 , 5 5 , 3 3 , 0 )(xf使使得得、即即至至少少存存在在)7 , 5() 5 , 3() 3 , 0

6、(321xxx, 0)()()(321xfxfxf上上應應用用羅羅爾爾定定理理，、分分別別在在再再對對, ,)(3221xxxxxf使使得得、至至少少存存在在),(),(322211xxxx , 0)()(21 ff兩兩個個實實根根，為為二二次次多多項項式式，最最多多有有又又因因為為)(xf .0)(有有兩兩個個實實根根故故 xf10羅爾定理的推廣羅爾定理的推廣.)()()(abafbff 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理拉拉格格朗朗日日（L La ag gr ra an ng ge e）中中值值定定理理 如如果果函函數(shù)數(shù) f(x)在在 閉閉區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù), , 在在開開區(qū)

7、區(qū)間間),(ba內內可可導導, ,那那末末在在 ),(ba內內至至少少有有一一點點)(ba ，使使等等式式 )()()(abfafbf 成成立立. . )1()2().()(:bfaf 去去掉掉了了與與羅羅爾爾定定理理相相比比條條件件中中注注意意).()()( fabafbf結結論論亦亦可可寫寫成成12ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM幾何解釋幾何解釋:.,ABCAB的的切切線線平平行行于于弦弦在在該該點點處處少少有有一一點點上上至至在在曲曲線線弧弧證證分析分析:).()(bfaf 條件中與羅爾定理相差條件中與羅爾定理相差弦弦AB方程為方程為).()()()(axabafbfafy,

8、)(ABxf減減去去弦弦曲曲線線., 兩兩端端點點的的函函數(shù)數(shù)值值相相等等所所得得曲曲線線ba13作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)).()()()()()(axabafbfafxfxF ,)(滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件xF. 0)(,),( Fba使使得得內內至至少少存存在在一一點點則則在在.)()()(0abafbff 即即).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意:1:1、也也成成立立；定定理理對對ab 14,)()()(xfxfxxf 則有則有設設),(,baxxx).10 ()( xxxfy 則則.的的精精確確表表達達式式增增量量 y 拉格朗日中值定理又

9、稱有限增量定理拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.一表達法一表達法、拉格朗日中值公式另、拉格朗日中值公式另2.之之間間與與介介于于其其中中xxx ，又又令令10, xx .、定理的條件必不可少、定理的條件必不可少315證證 在在I I上任取兩點上任取兩點.)(,)(上上是是一一個個常常數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間那那末末上上的的導導數(shù)數(shù)恒恒為為零零在在區(qū)區(qū)間間如如果果函函數(shù)數(shù)IxfIxf推論推論1, )(,2121xxxx在在 上用拉格上用拉格,21xx朗日中值公式朗日中值公式, ,得得)()(12xfxf)(12xxf , 0).(21xx )()(12xfxf所所以以由由 的任意性知的任意性知, , 2

10、1xx、)(xf在在 I I 上為常數(shù)上為常數(shù). .推推論論2 2.)()(),()(CxgxfxgxfI則則上上如如果果在在16例例3 3).11(2arccosarcsinxxx 證證明明證證 1 , 1,arccosarcsin)(xxxxf設設)11(11)(22xxxf則則, 0).1 , 1(,)(xCxf故故0arccos0arcsin) 0(f又又20 ,2 ,2 C即即,2arccosarcsin xx故故).1 , 1(x,2) 1 () 1( ff而而.1 , 1x17例例4 4.)1ln(1,0 xxxxx 時時證證明明當當證證),1ln()(xxf設設, 0)(上上滿

11、滿足足拉拉氏氏定定理理的的條條件件在在xxf).0 (),0)() 0 ()(xxffxf ,11)(, 0) 0(xxff又又由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0而而x111 , 11111 x,11xxxx 所以所以.)1ln(1xxxx即即18三、柯西(Cauchy)中值定理柯西（柯西（CauchyCauchy）中值定理）中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf及及)(xF 在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內可導內可導, ,且且)(xF在在),(ba內每一點處均不為零，那末在內每一點處均不為零，那末在),(ba內內至少有一點至少有一點)(ba , ,使等

12、式使等式 )()()()()()( FfaFbFafbf 成立成立. . 19幾何解釋幾何解釋:)(1 F)(2 FXoY )()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xFNM.),(),(ABfFCAB弦弦在在該該點點處處的的切切線線平平行行于于少少有有一一點點上上至至在在曲曲線線弧弧 證證作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)).()()()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx ,)(滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件x . 0)(,),( 使使得得內內至至少少存存在在一一點點則則在在ba20, 0)()()()()()( FaFbFafbff即即.)()()()()()( Ffa

13、FbFafbf所所以以,)(xxF當當, 1)(,)()(xFabaFbF)()()()()()( FfaFbFafbf).()()( fabafbf21四、小結四、小結Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理xxF )()()(bfaf 羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關系；之間的關系；注意定理成立的條件；注意定理成立的條件；注意利用中值定理證明等式與不等式的步驟注意利用中值定理證明等式與不等式的步驟.22習習題題13231P- -，4,5,6,8,11(2) 12.23思考題思考題 試舉例說明拉格朗

14、日中值定理的試舉例說明拉格朗日中值定理的條件缺一不可條件缺一不可.24思考題解答思考題解答 1, 310,)(21xxxxf不滿足在閉區(qū)間上連續(xù)的條件；不滿足在閉區(qū)間上連續(xù)的條件；,1)(2baxxxf 且且0 ab不滿足在開區(qū)間內可微的條件；不滿足在開區(qū)間內可微的條件；以上兩個都可說明問題以上兩個都可說明問題.25一、一、 填空題：填空題：1 1、 函數(shù)函數(shù)4)(xxf 在區(qū)間在區(qū)間1,21,2上滿足拉格朗日中值上滿足拉格朗日中值定理，則定理，則=_=_ _ _. .2 2、 設設)4)(3)(2)(1()( xxxxxf， 方 程方 程0)( xf有有_個根，它們分別在區(qū)間個根，它們分別在

15、區(qū)間_上上. .3 3、 羅 爾 定 理 與 拉 格 朗 日 定 理 之 間 的 關 系 是羅 爾 定 理 與 拉 格 朗 日 定 理 之 間 的 關 系 是_._.4 4、 微分中值定理精確地表達函數(shù)在一個區(qū)間上的微分中值定理精確地表達函數(shù)在一個區(qū)間上的_與函數(shù)在這區(qū)間內某點處的與函數(shù)在這區(qū)間內某點處的_之間之間的關系的關系. .5 5、 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間I上的導數(shù)上的導數(shù)_ _，那，那么么)(xf在區(qū)間在區(qū)間I上是一個常數(shù)上是一個常數(shù). .練練 習習 題題26二、試證明對函數(shù)二、試證明對函數(shù)rqxpxy 2應用拉氏中值定理應用拉氏中值定理 時所求得的點時所求得的點 總是

16、位于區(qū)間的正中間總是位于區(qū)間的正中間 . .三、證明等式三、證明等式21arctan1arcsin22 xxx )1 , 0( x . .四、設四、設0 ba，1 n，證明，證明 )()(11banababanbnnnn . .五、五、 證明下列不等式：證明下列不等式： 1 1、baba arctanarctan； 2 2、時時當當1 x，exex . .六六、證證明明方方程程015 xx只只有有一一個個正正根根 . .27七、設函數(shù)七、設函數(shù))(xfy 在在0 x的某鄰域內且有的某鄰域內且有n階導數(shù)，階導數(shù)，且且)0()0()0()1( nfff試用柯西中值定理試用柯西中值定理證明：證明：!)()()(nxfxxfnn ， （10 ）.