電磁場課件-01

1、第一章第一章 矢量分析矢量分析主主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容梯度梯度、散度散度、旋度旋度、亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理1-1 標(biāo)量與矢量標(biāo)量與矢量1-2 矢量的代數(shù)運(yùn)算矢量的代數(shù)運(yùn)算1-3 矢量的標(biāo)積與矢積矢量的標(biāo)積與矢積1-4 標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度1-5 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度1-6 矢量場的環(huán)量與旋度矢量場的環(huán)量與旋度1-7 無散場和無旋場無散場和無旋場1-8 格林定理格林定理 1-9 矢量場的惟一性定理矢量場的惟一性定理1-10 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理 1-11 正交曲面坐標(biāo)系正交曲面坐標(biāo)系yx以以濃度濃度表示的表示的標(biāo)量場標(biāo)量場 以以箭頭箭頭表示的表示的矢量

2、場矢量場A 標(biāo)量場標(biāo)量場（）和矢量場和矢量場（A）yx1-1 標(biāo)量和矢量標(biāo)量和矢量1 標(biāo)量：標(biāo)量：只有大小沒有方向的物理量。只有大小沒有方向的物理量。 例如：例如：長度長度l 、質(zhì)量質(zhì)量m、體積、體積v、電量、電量Q、靜電位、靜電位 、 磁磁通量通量等。等。2 矢量：矢量：不僅具有不僅具有大小而且具有方向特征的物理量。大小而且具有方向特征的物理量。例如：例如：物體的位移物體的位移 、速度、速度 、加速度、加速度 、角速度、角速度 、力、力 ，電場強(qiáng)度電場強(qiáng)度 等。等。注意：注意：本書以黑斜體表示矢量。本書以黑斜體表示矢量。矢量矢量A的幾何表示是一條有向的幾何表示是一條有向線段。線段。3 3 標(biāo)

3、量場與矢量場標(biāo)量場與矢量場場是物質(zhì)的存在形態(tài)，在空間同一點(diǎn)上，允許同時存在場是物質(zhì)的存在形態(tài)，在空間同一點(diǎn)上，允許同時存在多種場，或者一種場的多種模式，這與實(shí)物粒子的不可多種場，或者一種場的多種模式，這與實(shí)物粒子的不可入性和排他性有天壤之別。入性和排他性有天壤之別。標(biāo)量場：標(biāo)量的空間分布構(gòu)成標(biāo)量場。標(biāo)量場：標(biāo)量的空間分布構(gòu)成標(biāo)量場。矢量場：矢量的空間分布構(gòu)成矢量場。矢量場：矢量的空間分布構(gòu)成矢量場。或者說：如果在空間區(qū)域或者說：如果在空間區(qū)域上，每一點(diǎn)都存在一確定的物上，每一點(diǎn)都存在一確定的物理量理量A，則場域上存在由場量，則場域上存在由場量A構(gòu)成的場，如果構(gòu)成的場，如果A是標(biāo)量，是標(biāo)量，我們

4、就說我們就說上存在一標(biāo)量場；如果上存在一標(biāo)量場；如果A是矢量，則說明場域是矢量，則說明場域上存在一矢量場。上存在一矢量場。1-1 標(biāo)量和矢量標(biāo)量和矢量4 4 按時空變化規(guī)律的幾種典型場按時空變化規(guī)律的幾種典型場（2）如果）如果A=A(t)，即場量，即場量A僅隨時間僅隨時間t變化，而在空間上變化，而在空間上呈現(xiàn)均勻分布，這種場被稱為均勻場。呈現(xiàn)均勻分布，這種場被稱為均勻場。（1）如果）如果A=A(x,y,z)，即場量，即場量A不隨時間不隨時間t變化，人們把這變化，人們把這種場稱為靜態(tài)場或恒定場。種場稱為靜態(tài)場或恒定場。 例如例如: 房間的溫度場房間的溫度場T(x,y,z)一般是均勻場，因?yàn)楸M管一

5、般是均勻場，因?yàn)楸M管在一晝夜中溫度是變化的，但同一時刻在一晝夜中溫度是變化的，但同一時刻t房間內(nèi)任意兩點(diǎn)間房間內(nèi)任意兩點(diǎn)間的溫差為的溫差為0；換言之，不同點(diǎn)上的溫度變化是同步的，在；換言之，不同點(diǎn)上的溫度變化是同步的，在均勻情況下，觀測不到波動現(xiàn)象，只能觀測到整個場域在均勻情況下，觀測不到波動現(xiàn)象，只能觀測到整個場域在作同步的振動。作同步的振動。例如：地球內(nèi)部密度分布，點(diǎn)電荷的靜電位例如：地球內(nèi)部密度分布，點(diǎn)電荷的靜電位和電場強(qiáng)和電場強(qiáng)度度E。1-1 標(biāo)量和矢量標(biāo)量和矢量5 5 常矢量：常矢量：若矢量的大小及方向均與空間坐標(biāo)無關(guān)，這若矢量的大小及方向均與空間坐標(biāo)無關(guān)，這種矢量稱為常矢量或簡稱為

6、常矢；否則為變矢量或簡稱種矢量稱為常矢量或簡稱為常矢；否則為變矢量或簡稱為變矢。為變矢。1-1 標(biāo)量和矢量標(biāo)量和矢量zyeeeAx32zyyzxyxeeex332A常矢量：常矢量：變矢量：變矢量：xeAyxy e3A)()(CBACBA2.加法：結(jié)合律：加法：結(jié)合律：ABBA 交換率：交換率：0101A3.矢量與標(biāo)量相乘：矢量與標(biāo)量相乘：ABBA 與與大小方向均相同：大小方向均相同：1.1-2 矢量的代數(shù)運(yùn)算矢量的代數(shù)運(yùn)算),(zyxAAA),(zyxBBB 若矢量若矢量A的坐標(biāo)分量為的坐標(biāo)分量為，矢量，矢量B的坐標(biāo)分量為的坐標(biāo)分量為ABBA兩個矢量的標(biāo)積是一個兩個矢量的標(biāo)積是一個標(biāo)量標(biāo)量，且

7、滿足交換律，即：，且滿足交換律，即：則矢量則矢量A與矢量與矢量B的標(biāo)積的代數(shù)定義為：的標(biāo)積的代數(shù)定義為：1-3 矢量的標(biāo)積和矢積矢量的標(biāo)積和矢積zzyyxxBABABABA兩個矢量的標(biāo)積又稱為點(diǎn)積或內(nèi)積，以點(diǎn)號兩個矢量的標(biāo)積又稱為點(diǎn)積或內(nèi)積，以點(diǎn)號“（1 1）定義）定義: :1 標(biāo)積標(biāo)積”表示。表示。1-3 矢量的標(biāo)積和矢積矢量的標(biāo)積和矢積A(2)(2)矢量的模：矢量的模：或或A表示。表示。222zyxAAAAAAA則則則：任一矢量等于該矢量的模與其單位矢量的乘積：則：任一矢量等于該矢量的模與其單位矢量的乘積： 矢量矢量A的大小定義為的大小定義為A的模，以的模，以(3)(3)單位矢量：單位矢量

8、：模為模為1的矢量。任一矢量的矢量。任一矢量AAAA Aae可寫成：可寫成：定義：定義：為矢量為矢量A的單位矢量，即的單位矢量，即的模為的模為1，方向，方向AAea與與A相同。相同。aAA ezzyyxxAAAeAeAeAAAeazzyyxxAAAeeeA則矢量則矢量A為坐標(biāo)軸上投影的合成矢量，即為坐標(biāo)軸上投影的合成矢量，即coscoscoszyxeeeea 或者或者 ,Azyx,cos,coscos，其中，其中，為為與與軸的夾角，軸的夾角，稱為稱為A矢量的方向余弦。矢量的方向余弦。分別表示分別表示x軸、軸、y軸、軸、z軸方向上的單位矢量，軸方向上的單位矢量，zyxeee,xxA eyyA e

9、zzA e（4）A的方向余弦：的方向余弦：若若，則矢量則矢量A在三個坐標(biāo)軸上的投影分別為在三個坐標(biāo)軸上的投影分別為，1-3 矢量的標(biāo)積和矢積矢量的標(biāo)積和矢積（5 5）矢量標(biāo)積的幾何意義：）矢量標(biāo)積的幾何意義：xxyyzzA BA BA BA B由由 可得：可得：xeAA yyxxBBeeBBcosBxBsinByB，令，令與與x軸夾角為軸夾角為，則，則，設(shè)設(shè)cosBABA是矢量是矢量B在矢量在矢量A方向上的投影大小方向上的投影大小cosB標(biāo)積標(biāo)積AB等于矢量等于矢量A的模與矢量的模與矢量B在矢量在矢量A的方向上的投影大小的乘積，的方向上的投影大小的乘積，或者說等于矢量或者說等于矢量B的模與矢量

10、的模與矢量A在矢量在矢量B的方向上的投影大小的乘積。的方向上的投影大小的乘積。cosA是矢量是矢量A在矢量在矢量B方向上的投影大小方向上的投影大小 顯然：顯然：BAABABA/ 0B1-3 矢量的標(biāo)積和矢積矢量的標(biāo)積和矢積xyzAOBzzyyxxAAAeeeA兩個矢量的矢積仍然是一個兩個矢量的矢積仍然是一個矢量矢量 注意：矢量的矢積運(yùn)算不滿足交換律注意：矢量的矢積運(yùn)算不滿足交換律zyxzyxzyxBBBAAAeeeBA（1）定義：）定義：矢量的矢積又稱為叉積或外積，以叉號矢量的矢積又稱為叉積或外積，以叉號“”表示。在表示。在直角坐標(biāo)系中若矢量直角坐標(biāo)系中若矢量A和矢量和矢量B分別為分別為zzy

11、yxxBBBeeeB則矢量則矢量A與矢量與矢量B矢積的代數(shù)定義可用行列式表示為矢積的代數(shù)定義可用行列式表示為2 矢積矢積ABBA1-3 矢量的標(biāo)積和矢積矢量的標(biāo)積和矢積（2）矢量矢積的幾何意義：）矢量矢積的幾何意義：xeAA yyxxBBeeB，矢量，矢量，若矢量，若矢量A與矢量與矢量B之間的之間的設(shè)矢量設(shè)矢量夾角為夾角為，則有，則有1-3 矢量的標(biāo)積和矢積矢量的標(biāo)積和矢積xyzAOBAB 0 0sin 0yxyBBBxy zzzeeeA BAe Ae A B 顯然：顯然：BABABABA / 0 可見，矢量（可見，矢量（AB）的方向與矢量）的方向與矢量A及矢量及矢量B垂直，且由矢量垂直，且由

12、矢量A旋轉(zhuǎn)到矢量旋轉(zhuǎn)到矢量B，并與矢量（，并與矢量（AB）構(gòu)成右旋關(guān)系，矢量（）構(gòu)成右旋關(guān)系，矢量（AB）的）的大小為大小為 。sinA B1 1 標(biāo)量場的方向?qū)?shù)標(biāo)量場的方向?qū)?shù) 標(biāo)量場在某點(diǎn)的標(biāo)量場在某點(diǎn)的方向方向?qū)?shù)導(dǎo)數(shù)表示標(biāo)量場自該點(diǎn)沿表示標(biāo)量場自該點(diǎn)沿某一方向上的變化率。某一方向上的變化率。 0()( )limlPPPll標(biāo)量場標(biāo)量場 在在 P 點(diǎn)沿點(diǎn)沿 l 方向上的方向?qū)?shù)方向上的方向?qū)?shù) 定義為定義為Pl PllP1-4 標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度gradxyzxyzeee在在直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系中，標(biāo)量場中，標(biāo)量場 的梯度可表示為的梯度可表示為式中的式中的gr

13、ad 是英文字是英文字 gradient 的縮寫。的縮寫。 梯度是一個梯度是一個矢量矢量。某點(diǎn)梯度的。某點(diǎn)梯度的大小大小等于該點(diǎn)的等于該點(diǎn)的最最大大方向?qū)?shù)，某點(diǎn)梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)具有方向?qū)?shù)，某點(diǎn)梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)具有最大最大方向?qū)Х较驅(qū)?shù)的方向。數(shù)的方向。2 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度1-4 標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度若矢量若矢量l的方向余弦為的方向余弦為 ，則上式變?yōu)椋瑒t上式變?yōu)槿袅睿ㄈ袅睿?）為矢量）為矢量G的三個坐標(biāo)分量，即的三個坐標(biāo)分量，即證明：證明：lzzlyylxxlcos,cos,coscoscoscoszyxlzyx,zyxzyxeeeGcoscoscoszyx

14、leeee1-4 標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度在直角坐標(biāo)系中，方向?qū)?shù)在直角坐標(biāo)系中，方向?qū)?shù) 可寫為可寫為l而矢量而矢量l的單位矢量的單位矢量 為為le那么，標(biāo)量場那么，標(biāo)量場 沿矢量沿矢量l方向上的方向?qū)?shù)方向上的方向?qū)?shù) 可以寫為可以寫為矢量矢量G 稱為標(biāo)量稱為標(biāo)量的梯度，以的梯度，以grad表示，即表示，即 由此可見，標(biāo)量場由此可見，標(biāo)量場的梯度是一個矢量場。由式的梯度是一個矢量場。由式 可見，當(dāng)可見，當(dāng) 的方向與梯度方向一致時，方向?qū)?shù)取得最大值。的方向與梯度方向一致時，方向?qū)?shù)取得最大值。因此，標(biāo)量場在某點(diǎn)梯度的大小等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)，梯度的因此，標(biāo)量場在某點(diǎn)梯

15、度的大小等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)，梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)具有最大方向?qū)?shù)的方向。方向?yàn)樵擖c(diǎn)具有最大方向?qū)?shù)的方向。lleGlzyxzyxeeegradleGlle1-4 標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度zyxzyxeee 若引入算符若引入算符，在直角坐標(biāo)系中該，在直角坐標(biāo)系中該算符算符 可表可表示為示為grad則梯度可以表示為則梯度可以表示為1-4 標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度梯度運(yùn)算規(guī)則梯度運(yùn)算規(guī)則: : CCC)()(C)()(C 0為常數(shù)為常數(shù)FF)/ -/ 2)()()()(例例1-4-11-4-1 已知標(biāo)量場已知標(biāo)量場 ，求（，求（2,1,32,1,3） 處方向?qū)?/p>

16、數(shù)的最大值處方向?qū)?shù)的最大值 。 1),(22zyyxzyx解：根據(jù)梯度的定義，求得該標(biāo)量場解：根據(jù)梯度的定義，求得該標(biāo)量場 的梯度為：的梯度為： zyxzyxeeeeee22)2(2yyzxxyzyx那么，在（那么，在（2,1,32,1,3）處的梯度為）處的梯度為 ，其模，其模為為 。 因此，在（因此，在（2,1,32,1,3）處方向?qū)?shù)的最大值）處方向?qū)?shù)的最大值為為 。 zyxeee1041171171-4 標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度1-4 標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度例例1-4-2 計算計算 及及 。 R1 R1 表示對表示對 運(yùn)算運(yùn)算zyx,0Rrr

17、這里這里 表示對表示對 x, y, z 運(yùn)算運(yùn)算zxyr OP(x, y, z)r r r P(x , y , z )zyxzzyyxxeeeR)()()(222)()()(zzyyxxRzyxzyxeeerzyxzyxeeer解解zyxzyxeeezyxzyxeeeRRR21)1(則則zRyRxRRzyxeee又又RxxzzyyxxxxxxzzyyxxxzzyyxxxR) () () ( ) (2 .) () () (21 ) () () (22221222222同理同理RyyyRRzzzR1-4 標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度RR11表示源點(diǎn)，表示源點(diǎn)，P 表示場點(diǎn)。表示場點(diǎn)

18、。 P1-4 標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度因此因此23211)1(RRRRRReR同理同理231)1( RRRReRRRzzRyyRxxRzyxReee則則 矢量矢量 A 沿某一有向曲面沿某一有向曲面 S 的的面積分面積分稱為矢量稱為矢量 A 通過通過該有向曲面該有向曲面 S 的通量，以標(biāo)量的通量，以標(biāo)量 表示，即表示，即 1 矢量場的通量矢量場的通量S d SA通量可為通量可為正正、負(fù)負(fù)或或零零。 當(dāng)矢量穿出某個閉合面時，認(rèn)為該閉合面中存在產(chǎn)當(dāng)矢量穿出某個閉合面時，認(rèn)為該閉合面中存在產(chǎn)生該矢量場的生該矢量場的源源；當(dāng)矢量進(jìn)入這個閉合面時，認(rèn)為該閉；當(dāng)矢量進(jìn)入這個閉合面時，認(rèn)為

19、該閉合面中存在匯聚該矢量場的合面中存在匯聚該矢量場的洞洞（或（或匯匯）。）。1-5 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度 閉合的有向曲面的閉合的有向曲面的方向方向通常規(guī)定為閉合面的通常規(guī)定為閉合面的外外法線方向。法線方向。 當(dāng)閉合面中有當(dāng)閉合面中有源源時，矢量通過該閉合面的通量時，矢量通過該閉合面的通量一定為一定為正正；反之，當(dāng)閉合面中有；反之，當(dāng)閉合面中有洞洞時，矢量通過該時，矢量通過該閉合面的通量一定為閉合面的通量一定為負(fù)負(fù)。前述的前述的源源稱為稱為正源正源，而，而洞洞稱為稱為負(fù)源負(fù)源。dS ASS 1-5 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度 已已知真空中的電場強(qiáng)度知真空中的電場強(qiáng)度 E

20、 通過任一閉合曲面的通過任一閉合曲面的通量等于該閉合面包圍的自由電荷的電荷量通量等于該閉合面包圍的自由電荷的電荷量 q 與真與真空介電常數(shù)空介電常數(shù) 0 之比，即，之比，即， 當(dāng)閉合面中存在當(dāng)閉合面中存在正正電荷時，通量為電荷時，通量為正正。當(dāng)閉合。當(dāng)閉合面中存在面中存在負(fù)負(fù)電荷時，通量為電荷時，通量為負(fù)負(fù)。在電荷不存在的。在電荷不存在的無無源區(qū)源區(qū)中，穿過任一閉合面的通量為中，穿過任一閉合面的通量為零零。 0dSqES1-5 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度 通量僅能表示閉合面中源的通量僅能表示閉合面中源的總總量，它不能顯示源量，它不能顯示源的的分布分布特性。為此需要研究矢量場的特性。為

21、此需要研究矢量場的散度散度。 當(dāng)閉合面當(dāng)閉合面 S 向某點(diǎn)向某點(diǎn)無限無限收縮時，矢量收縮時，矢量 A 通過該閉通過該閉合面合面 S 的通量與該閉合面包圍的體積之比的極限稱為的通量與該閉合面包圍的體積之比的極限稱為矢量場矢量場 A 在該點(diǎn)的在該點(diǎn)的散度散度，以，以 div A 表示，即表示，即 0 ddiv limSVVASA式中，式中，div 是英文字是英文字divergence 的縮寫；的縮寫； V 為閉合面為閉合面 S 包圍的體積。包圍的體積。1-5 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度2 矢量場的散度矢量場的散度 0 ddiv limSVVASA上式表明，上式表明，散度是一個標(biāo)量散度是一

22、個標(biāo)量，它可理解為通過包圍，它可理解為通過包圍單位體積單位體積閉合面的通量。散度代表閉合面的通量。散度代表源的強(qiáng)度。源的強(qiáng)度。直角直角坐標(biāo)系中散度可表示為坐標(biāo)系中散度可表示為 div yxzAAAxyzA因此散度可用算符因此散度可用算符 表示為表示為div AA1-5 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度 div d dVSV AAS散度定理散度定理 d dVSVAAS或者寫為或者寫為 從從數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)角度可以認(rèn)為散度定理建立了角度可以認(rèn)為散度定理建立了面面積分和積分和體體積分的關(guān)系。積分的關(guān)系。 從從物理物理角度可以理解為散度定理建角度可以理解為散度定理建立了立了區(qū)域區(qū)域 V 中的場和包圍區(qū)域中

23、的場和包圍區(qū)域 V 的邊界的邊界 S 上的場之上的場之間的關(guān)系。因此，如果已知區(qū)域間的關(guān)系。因此，如果已知區(qū)域 V 中的場，中的場， 根據(jù)根據(jù)散散度度定理即可求出邊界定理即可求出邊界 S 上的場，反之亦然。上的場，反之亦然。1-5 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度散度運(yùn)算規(guī)則散度運(yùn)算規(guī)則: : CC AAAAABABA)()(C)()(為常數(shù)拉普拉斯算子拉普拉斯算子: :直角坐標(biāo)系中直角坐標(biāo)系中zyxzyxeeezAyAxAzyx A1-5 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度222222 )(zyxzyxzyxeee因此因此2)(1-5 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度式中式中 稱為

24、拉普拉斯算子。稱為拉普拉斯算子。2直角坐標(biāo)系表達(dá)式：直角坐標(biāo)系表達(dá)式：2222222zyx例例 求空間任一點(diǎn)位置矢量求空間任一點(diǎn)位置矢量 r 的散度的散度 。3zzyyxxr求得求得zyxzyxeeer已知已知解解rOxzyxzy1-5 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度zyxzyxeee標(biāo)量場的標(biāo)量場的梯度梯度 0 ddiv limSVVASAzAyAxAzyx A矢量場的矢量場的散度散度矢量場的矢量場的旋度旋度？zyxzyxeee算子算子1-5 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度 矢量場矢量場 A 沿一條有向閉合曲線沿一條有向閉合曲線 l 的的線積分線積分稱為稱為矢量場矢量場 A 沿該

25、曲線的沿該曲線的環(huán)量環(huán)量，以，以 表示，即表示，即1. 矢量場的環(huán)量矢量場的環(huán)量 dlAl可見，若在閉合有向曲線可見，若在閉合有向曲線 l 上，矢量場上，矢量場 A 的方向處的方向處處與線元處與線元 dl 的方向保持的方向保持一致一致，則環(huán)量，則環(huán)量 0；若處；若處處處相反相反，則，則 0 。可見，環(huán)量可以用來描述矢量。可見，環(huán)量可以用來描述矢量場的場的旋渦旋渦特性。特性。l1-6 矢量場的環(huán)量與旋度矢量場的環(huán)量與旋度 已知真空中磁通密度已知真空中磁通密度 B 沿任一閉合有向曲線沿任一閉合有向曲線 l 的的環(huán)量等于該閉合曲線包圍的傳導(dǎo)電流強(qiáng)度環(huán)量等于該閉合曲線包圍的傳導(dǎo)電流強(qiáng)度 I 與真空磁與

26、真空磁導(dǎo)率導(dǎo)率 0 的乘積。即的乘積。即 式中，電流式中，電流 I 的正方向與的正方向與 dl 的方向構(gòu)成的方向構(gòu)成 右旋右旋 關(guān)系。關(guān)系。0 dlIBl 環(huán)量可以表示產(chǎn)生具有旋渦特性的源的強(qiáng)度，但環(huán)量可以表示產(chǎn)生具有旋渦特性的源的強(qiáng)度，但是環(huán)量代表的是閉合曲線包圍的是環(huán)量代表的是閉合曲線包圍的總總的源強(qiáng)度，它不能的源強(qiáng)度，它不能顯示源的顯示源的分布分布特性。為此，需要研究矢量場的特性。為此，需要研究矢量場的旋度旋度。I1 I21-6 矢量場的環(huán)量與旋度矢量場的環(huán)量與旋度 旋度旋度是一個矢量。以符號是一個矢量。以符號 curl A 表示矢量表示矢量 A 的旋度，的旋度，其其方向方向是使矢量是使

27、矢量 A 具有具有最大最大環(huán)量強(qiáng)度的方向，其環(huán)量強(qiáng)度的方向，其大小大小等等于對該矢量方向的最大環(huán)量于對該矢量方向的最大環(huán)量強(qiáng)度強(qiáng)度，即，即 maxn0 dcurl limlSSAlAe式中式中 curl 是旋度的英文字是旋度的英文字；en 為為最大環(huán)量強(qiáng)度的方向上最大環(huán)量強(qiáng)度的方向上的單位矢量，的單位矢量，S 為閉合曲線為閉合曲線 l 包圍的面積。包圍的面積。 矢量場的旋度大小可以認(rèn)為是包圍單位面積的閉合矢量場的旋度大小可以認(rèn)為是包圍單位面積的閉合曲線上的曲線上的最大最大環(huán)量。環(huán)量。 1-6 矢量場的環(huán)量與旋度矢量場的環(huán)量與旋度en1en2en2. 矢量場的旋度矢量場的旋度直角直角坐標(biāo)系中，旋

28、度可用矩陣表示為坐標(biāo)系中，旋度可用矩陣表示為 curl xyzxyzxyzAAAeeeA或者或者curl AA 無論梯度、散度或旋度都是無論梯度、散度或旋度都是微分運(yùn)算微分運(yùn)算，它們表示，它們表示場在場在某點(diǎn)某點(diǎn)附近的變化特性。因此，附近的變化特性。因此，梯度、散度及旋度梯度、散度及旋度描述的是場的描述的是場的點(diǎn)點(diǎn)特性或稱為特性或稱為微分微分特性特性。 函數(shù)的函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)性是可微的必要條件。因此在場量發(fā)是可微的必要條件。因此在場量發(fā)生生不連續(xù)不連續(xù)處，也就處，也就不存在不存在前述的梯度、散度或旋度。前述的梯度、散度或旋度。 1-6 矢量場的環(huán)量與旋度矢量場的環(huán)量與旋度旋度定理旋度定理（斯托

29、克斯定理斯托克斯定理） (curl ) d dSlASAl 從數(shù)學(xué)角度可以認(rèn)為從數(shù)學(xué)角度可以認(rèn)為旋度旋度定理建立了定理建立了面面積分和積分和線線積分的關(guān)系。從物理角度可以理解為積分的關(guān)系。從物理角度可以理解為旋度旋度定理建立了定理建立了區(qū)域區(qū)域 S中的場和包圍區(qū)域中的場和包圍區(qū)域 S 的的邊界邊界 l 上的場之間的關(guān)上的場之間的關(guān)系。因此，如果已知區(qū)域系。因此，如果已知區(qū)域 S 中的場，根據(jù)旋度定理即中的場，根據(jù)旋度定理即可求出邊界可求出邊界 l 上的場，反之亦然。上的場，反之亦然。 () d dSlASAl或者或者1-6 矢量場的環(huán)量與旋度矢量場的環(huán)量與旋度旋度運(yùn)算規(guī)則旋度運(yùn)算規(guī)則: :AA

30、AAABABA CC )()(C)()(為常數(shù)1-6 矢量場的環(huán)量與旋度矢量場的環(huán)量與旋度例例1-6-1 證明證明 ，式中，式中 為常矢量，為常矢量， 為位為位置矢量。置矢量。CrC2)(Cr證：令證：令 ，而，而 ， 則則 zyxeeeCzyxCCCzyxeeerzyx那么那么CeeerCzyx2)()()()(zzyyxxCCCCCCzyxCCCzyxzyxeeerC)()()( xCyCzCxCyCzCyxzxzyzyxeee1-6 矢量場的環(huán)量與旋度矢量場的環(huán)量與旋度 散度處處為散度處處為零零的矢量場稱為的矢量場稱為無散場無散場，旋度處處，旋度處處為為零零的矢量場稱為的矢量場稱為無旋場

31、無旋場。 可以證明可以證明0)(A 上式表明，上式表明，任一矢量場任一矢量場 A 的旋度的散度一定等的旋度的散度一定等于零于零 。因此，任一。因此，任一無散無散場可以表示為另一矢量場的場可以表示為另一矢量場的旋度旋度，或者說，任何，或者說，任何旋度旋度場一定是場一定是無散無散場。場。1-7 無散場和無旋場無散場和無旋場 可用來判斷矢量場是否為旋度場可用來判斷矢量場是否為旋度場。0 ABA如若：如若：則：則：即：即： 一定是旋度場。一定是旋度場。A 上式表明，上式表明，任一標(biāo)量場任一標(biāo)量場 的梯度的旋度一定的梯度的旋度一定等于零等于零。因此，任一。因此，任一無旋無旋場一定可以表示為一個場一定可以

32、表示為一個標(biāo)量場的標(biāo)量場的梯度梯度，或者說，任何，或者說，任何梯度梯度場一定是場一定是無旋無旋場場。 0)(又可證明又可證明1-7 無散場和無旋場無散場和無旋場 可用來判斷標(biāo)量場是否為梯度場可用來判斷標(biāo)量場是否為梯度場。如若：如若：則：則：即：即： 一定是梯度場。一定是梯度場。A0AA例例1-7-11-7-1：矢量矢量 能否表示能否表示成某矢量場的旋度？說明理由。成某矢量場的旋度？說明理由。zyxeeeAzxxy2)23(220202zAyAxAzyxA 說明：矢量說明：矢量 是無散場。因?yàn)槭菬o散場。因?yàn)槿我粺o散場可任一無散場可以表示成另一矢量場的旋度以表示成另一矢量場的旋度，因此，因此， 可

33、以表示可以表示成某矢量場的旋度。成某矢量場的旋度。AA解：對矢量解：對矢量 求散度。求散度。A1-7 無散場和無旋場無散場和無旋場例例1-7-21-7-2：矢量矢量 是否為梯度場？是否為梯度場？說明理由。說明理由。zyxeeeAxyxzyz解：對矢量解：對矢量 求旋度。求旋度。A 說明：矢量說明：矢量 是無旋場。因?yàn)槭菬o旋場。因?yàn)槿魏翁荻葓鲆蝗魏翁荻葓鲆欢ㄊ菬o旋場定是無旋場，因此，因此， 是梯度場。是梯度場。AA0)()()( zzyyxxxyxzyzzyxAAAzyxzyxzyxzyxzyxeeeeeeeeeA1-7 無散場和無旋場無散場和無旋場 設(shè)任意兩個標(biāo)量場設(shè)任意兩個標(biāo)量場 及及，若在

34、區(qū)域若在區(qū)域 V 中具有連續(xù)的二階偏中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，可以證明該兩個標(biāo)量場導(dǎo)數(shù)，可以證明該兩個標(biāo)量場 及及 滿足下列等式滿足下列等式SV,ne2 ()ddVSVSn式中式中S 為包圍為包圍V 的閉合曲面；的閉合曲面； 為標(biāo)量場為標(biāo)量場 在在 S 表面表面的外法線的外法線 en 方向上的偏導(dǎo)數(shù)。方向上的偏導(dǎo)數(shù)。n1-8 格林定理格林定理根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成2 ()d() dVSV S上兩式稱為上兩式稱為標(biāo)量第一格林定理標(biāo)量第一格林定理。22 ()ddVSVSnn22 ()d dVSV S基于上式還可獲得下列兩式：基于上式還可獲得下列兩

35、式：上兩式稱為上兩式稱為標(biāo)量第二格林定理標(biāo)量第二格林定理。 1-8 格林定理格林定理 設(shè)任意兩個矢量場設(shè)任意兩個矢量場 P 與與 Q ，若在區(qū)域，若在區(qū)域 V 中具有連中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該矢量場續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該矢量場 P 及及 Q 滿足下列等式：滿足下列等式： () ()d dVSV PQPQPQS式中式中S 為包圍為包圍V 的閉合曲面；面元的閉合曲面；面元 dS 的方向?yàn)榈姆较驗(yàn)镾 的外的外法線方向。上式稱為法線方向。上式稱為矢量第一格林定理矢量第一格林定理。 1-8 格林定理格林定理基于上式還可獲得下式：基于上式還可獲得下式： ()(d dVSV QPP

36、QPQQPS此式稱為此式稱為矢量第二格林定理矢量第二格林定理。1-8 格林定理格林定理 格林定理建立了格林定理建立了區(qū)域區(qū)域 V 中的場與中的場與邊界邊界 S 上的場上的場之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域區(qū)域中場的中場的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼鈫栴}轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔邕吔缟蠄龅那蠼鈫栴}。上場的求解問題。 格林定理說明了格林定理說明了兩種兩種標(biāo)量場或矢量場之間應(yīng)該滿標(biāo)量場或矢量場之間應(yīng)該滿足的關(guān)系。因此，如果已知其中足的關(guān)系。因此，如果已知其中一種一種場的分布特性，場的分布特性，即可利用格林定理求解即可利用格林定理求解另一種另一種場的分布特性。場的分布特性。1-8 格

37、林定理格林定理 位于某一區(qū)域中的矢量場，當(dāng)其位于某一區(qū)域中的矢量場，當(dāng)其散度散度、旋度旋度以及邊以及邊界上場量的界上場量的切向切向分量或分量或法向法向分量給定后，則該區(qū)域中的分量給定后，則該區(qū)域中的矢量場被惟一地確定。矢量場被惟一地確定。 已知散度和旋度代表產(chǎn)生矢量場的源，可見惟一性已知散度和旋度代表產(chǎn)生矢量場的源，可見惟一性定理表明，矢量場被其定理表明，矢量場被其源源及及邊界條件邊界條件共同決定。共同決定。VSF(r)tn FFFF和 及或1-9 矢量場的惟一性定理矢量場的惟一性定理 若矢量場若矢量場 F(r) 在在無限無限區(qū)域中處處是區(qū)域中處處是單值單值的，的， 且其且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界導(dǎo)數(shù)連

38、續(xù)有界，源分布在，源分布在有限有限區(qū)域區(qū)域V 中，則當(dāng)矢量場中，則當(dāng)矢量場的的散度散度及及旋度旋度給定后，該矢量場給定后，該矢量場 F(r) 可以表示為可以表示為 )()()(rArrFVVd)(41)(rrrFrAVVd)(41)(rrrFr式中式中V zxyr Or r r F(r)1-10 亥姆霍茲定理定理亥姆霍茲定理定理 )()()(rArrF1-10 亥姆霍茲定理定理亥姆霍茲定理定理 （1）無限空間中的矢量場被其）無限空間中的矢量場被其散度散度及及旋度旋度惟一的確定，惟一的確定，而且它給出了而且它給出了場場與與源源之間的定量關(guān)系。之間的定量關(guān)系。（2）已知，梯度場是無旋場，旋度場是無散場。所以，）已知，梯度場是無旋場，旋度場是無散場。所以，任一矢量場均可表示為一個任一矢量場均可表示為一個無旋場無旋場與一個與一個無散場無散場之和之和。（3 3）如果矢量場的散度及旋度已知，即可求出該矢量）如果矢量場的散度及旋度已知，即可求出該矢量場。因此，場。因此，矢量場的散度及旋度特性是研究矢量場的首矢量場的散度及旋度特性是研究矢量場的首要問題要問題。定理表明：定理表明：直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系( ( x, y , z ) )zxyz = z0 x = x0y = y0P0zexeyeO1-11 正交曲面坐標(biāo)系正交曲面坐標(biāo)系 曲面坐標(biāo)系各坐標(biāo)曲面坐標(biāo)系各坐