第7章 塑性力學(xué)基礎(chǔ)

1、7-1 7-1 引言引言7-2 7-2 屈服條件屈服條件7-3 Drucker7-3 Drucker公設(shè)與加載條件公設(shè)與加載條件7-4 7-4 塑性本構(gòu)關(guān)系塑性本構(gòu)關(guān)系7-1 7-1 引言引言一一. . 金屬材料的力學(xué)試驗(yàn)金屬材料的力學(xué)試驗(yàn) 不同材料在單向拉壓實(shí)驗(yàn)中，有不同的應(yīng)力應(yīng)變曲線。不同材料在單向拉壓實(shí)驗(yàn)中，有不同的應(yīng)力應(yīng)變曲線。1. 1. 單向拉壓試驗(yàn)單向拉壓試驗(yàn)對(duì)于軟鋼（如低碳鋼）對(duì)于軟鋼（如低碳鋼）:OAB 在在OA段，只要在段，只要在A前卸載均不會(huì)前卸載均不會(huì)產(chǎn)生殘余變形，產(chǎn)生殘余變形，ep（1）彈性階段與彈性極限）彈性階段與彈性極限 因此為彈性階段，因此為彈性階段，其極限值為其

2、極限值為e 稱為彈性極限；稱為彈性極限； 其中的其中的OA1段為段為直線段，即線彈性，直線段，即線彈性，A1其極限值為其極限值為p 稱為比例極限。稱為比例極限。 其斜率其斜率E 稱為彈性模量。稱為彈性模量。（2）屈服階段與屈服極限）屈服階段與屈服極限CsOABepA1 過過A點(diǎn)，在點(diǎn)，在AB段內(nèi)應(yīng)力不增加段內(nèi)應(yīng)力不增加（d 0），應(yīng)變繼續(xù)增加，稱為），應(yīng)變繼續(xù)增加，稱為屈服（流動(dòng)）；屈服（流動(dòng)）； 在段內(nèi)任一點(diǎn)（如在段內(nèi)任一點(diǎn)（如B1）卸載，）卸載，B1將沿平行于將沿平行于OA的直線路徑回到的直線路徑回到B2點(diǎn)，點(diǎn)，B2產(chǎn)生塑性應(yīng)變產(chǎn)生塑性應(yīng)變 p。 p 該階段稱為屈服階段（塑性流該階段稱為屈

3、服階段（塑性流動(dòng)階段），取階段中最小值動(dòng)階段），取階段中最小值s 為特為特征值征值，稱為初始屈服極限。，稱為初始屈服極限。 因因 s 、e 、p 相差不大，工程上三者通用，塑性分析中一相差不大，工程上三者通用，塑性分析中一般采用般采用s。（3）強(qiáng)化階段與后繼屈服極限）強(qiáng)化階段與后繼屈服極限（或初始屈服點(diǎn)、屈服極限、屈服點(diǎn)）（或初始屈服點(diǎn)、屈服極限、屈服點(diǎn)） 過過B點(diǎn)，點(diǎn)，BC段應(yīng)力和應(yīng)變同時(shí)增加，稱為強(qiáng)化階段，段內(nèi)任段應(yīng)力和應(yīng)變同時(shí)增加，稱為強(qiáng)化階段，段內(nèi)任一點(diǎn)的斜率一點(diǎn)的斜率E1稱為強(qiáng)化模量。稱為強(qiáng)化模量。在段內(nèi)任一點(diǎn)（如在段內(nèi)任一點(diǎn)（如D點(diǎn)）卸載，點(diǎn)）卸載，D 將將沿平行于沿平行于OA的直

4、線路徑回到的直線路徑回到E點(diǎn)，點(diǎn)，E p產(chǎn)生塑性應(yīng)變產(chǎn)生塑性應(yīng)變 p；再從再從E點(diǎn)加載，將沿點(diǎn)加載，將沿ED直線路徑，直線路徑， 到到D點(diǎn)后再次屈服。點(diǎn)后再次屈服。D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值s稱為后繼屈服稱為后繼屈服極限。極限。s 可理解為二次加載的屈服極可理解為二次加載的屈服極限，故又稱加載應(yīng)力或加載點(diǎn)。限，故又稱加載應(yīng)力或加載點(diǎn)。 顯然，顯然，s s ，屈服極限升高，屈服極限升高，故稱強(qiáng)化。但其升高的程度取決于故稱強(qiáng)化。但其升高的程度取決于塑性變形程度（即加載變形歷史）。塑性變形程度（即加載變形歷史）。D點(diǎn)的應(yīng)變點(diǎn)的應(yīng)變pe eCsOABDE p（4）反向加載與鮑辛格效應(yīng)）反向加載與鮑

5、辛格效應(yīng) 對(duì)于壓縮試驗(yàn)，如果在屈服后對(duì)于壓縮試驗(yàn)，如果在屈服后無卸載，與拉伸性質(zhì)相似。無卸載，與拉伸性質(zhì)相似。 對(duì)于無明顯屈服階段的材料（如對(duì)于無明顯屈服階段的材料（如合金鋼），合金鋼）， 如果在屈服后（如如果在屈服后（如D點(diǎn)）卸載，并反向加載，點(diǎn)）卸載，并反向加載，s 可取可取 p 0.2% 時(shí)的應(yīng)力值作為初始屈服極限。時(shí)的應(yīng)力值作為初始屈服極限。 對(duì)于某些材對(duì)于某些材料，反向屈服極限將有所降低。料，反向屈服極限將有所降低。sssss2（絕對(duì)值）（絕對(duì)值）這種現(xiàn)象稱為這種現(xiàn)象稱為鮑辛格（鮑辛格（Bauschinger）效應(yīng)。）效應(yīng)。 對(duì)于均勻材料，一般可忽略。對(duì)于均勻材料，一般可忽略。結(jié)論：

6、結(jié)論：O 在彈性階段（在彈性階段（ s），應(yīng)力應(yīng)變關(guān)），應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系一一對(duì)應(yīng)；初始屈服后（系一一對(duì)應(yīng)；初始屈服后（ s） ，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不再是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不再是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而與加載變形歷史有關(guān)。與加載變形歷史有關(guān)。 對(duì)應(yīng)關(guān)系：對(duì)應(yīng)關(guān)系：彈性階段彈性階段加載（加載（ d 0）：）： E卸載（卸載（ d 0）：）： E屈服階段屈服階段d 0 ; s ; d 0強(qiáng)化階段強(qiáng)化階段加載（加載（ d 0）：）： ( )卸載（卸載（ d 0）：）： E d 02. 2. 靜水壓力試驗(yàn)靜水壓力試驗(yàn) Bridgman的靜水壓力試驗(yàn)表明，對(duì)于大多數(shù)韌性金屬材料的靜水壓力試驗(yàn)表明，對(duì)于大多數(shù)韌性金

7、屬材料及飽和土：及飽和土：123costp 靜水壓力對(duì)靜水壓力對(duì)材料屈服極限及其后續(xù)的力學(xué)行為影響甚微。材料屈服極限及其后續(xù)的力學(xué)行為影響甚微。 屈服后，材料的體積變形基本為彈性，服從胡克定律，且屈服后，材料的體積變形基本為彈性，服從胡克定律，且體積變形與塑性變形相比遠(yuǎn)小。體積變形與塑性變形相比遠(yuǎn)小。 所以，在塑性分析中，可不用考慮球應(yīng)力和球應(yīng)變。所以，在塑性分析中，可不用考慮球應(yīng)力和球應(yīng)變。所以，在塑性分析中，可認(rèn)為體積不可壓縮（所以，在塑性分析中，可認(rèn)為體積不可壓縮（ ）。）。12（1）（2）二二. . 簡(jiǎn)化力學(xué)模型簡(jiǎn)化力學(xué)模型 一般分為理想塑性和強(qiáng)化塑性，具體為：一般分為理想塑性和強(qiáng)化塑

8、性，具體為：1. 1. 理想塑性模型理想塑性模型OssEss 強(qiáng)化性質(zhì)不明顯，屈服階段相對(duì)較長(zhǎng)強(qiáng)化性質(zhì)不明顯，屈服階段相對(duì)較長(zhǎng)（如韌性鋼），忽略強(qiáng)化階段。（如韌性鋼），忽略強(qiáng)化階段。（1）理想彈塑性模型：考慮彈性）理想彈塑性模型：考慮彈性O(shè)ss（2）理想剛塑性模型：不考慮彈性）理想剛塑性模型：不考慮彈性s2. 2. 強(qiáng)化塑性模型強(qiáng)化塑性模型 強(qiáng)化性質(zhì)明顯，分析中不能忽略。強(qiáng)化性質(zhì)明顯，分析中不能忽略。（1）線性強(qiáng)化彈塑性模型：）線性強(qiáng)化彈塑性模型：OsssEs1ssE（2）線性強(qiáng)化剛塑性模型：）線性強(qiáng)化剛塑性模型：s1sEOs（3）冪強(qiáng)化模型：）冪強(qiáng)化模型：OnA式中，式中，0 n 1當(dāng)當(dāng) n

9、 0 時(shí)時(shí)A若若 A s，剛塑性剛塑性當(dāng)當(dāng) n 1 時(shí)時(shí)A若若 A E，理想彈性理想彈性ss E當(dāng)當(dāng) 0 n 1 時(shí)時(shí)介于其間介于其間n 13n 12n 1n 0由由1ddnnA在原點(diǎn)斜率無窮大，不能描述初始加載。在原點(diǎn)斜率無窮大，不能描述初始加載。三三. . 塑性分析內(nèi)容概述塑性分析內(nèi)容概述 從單向拉壓試驗(yàn)很容易了解單向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力應(yīng)變行為從單向拉壓試驗(yàn)很容易了解單向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力應(yīng)變行為的規(guī)律，再利用靜力、幾何和物理關(guān)系可以比較容易地進(jìn)行彈的規(guī)律，再利用靜力、幾何和物理關(guān)系可以比較容易地進(jìn)行彈塑性分析。塑性分析。 但對(duì)于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)要了解應(yīng)力應(yīng)變行為的規(guī)律，再利用但對(duì)于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)要了解

10、應(yīng)力應(yīng)變行為的規(guī)律，再利用靜力、幾何和物理關(guān)系進(jìn)行彈塑性分析將是很復(fù)雜和困難的。靜力、幾何和物理關(guān)系進(jìn)行彈塑性分析將是很復(fù)雜和困難的。 因此參照單向應(yīng)力狀態(tài)的行為過程對(duì)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行相因此參照單向應(yīng)力狀態(tài)的行為過程對(duì)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行相應(yīng)的研究。應(yīng)的研究。1. 1. 屈服條件屈服條件 用以判斷某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是否進(jìn)入塑性狀態(tài)的準(zhǔn)則。用以判斷某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是否進(jìn)入塑性狀態(tài)的準(zhǔn)則。 對(duì)于單向應(yīng)力狀態(tài)只需判斷其應(yīng)力（僅一個(gè)分量）是否達(dá)對(duì)于單向應(yīng)力狀態(tài)只需判斷其應(yīng)力（僅一個(gè)分量）是否達(dá)到屈服應(yīng)力到屈服應(yīng)力s，但對(duì)于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)（六個(gè)分量），其特征值，但對(duì)于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)（六個(gè)分量），其特征值為何？各分量的

11、作用如何？為何？各分量的作用如何？2. 2. 加載條件加載條件 用以判斷某點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的變化過程是否是加載過程的準(zhǔn)則。用以判斷某點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的變化過程是否是加載過程的準(zhǔn)則。 僅判斷出某點(diǎn)處于塑性狀態(tài)不足以判斷之后的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)僅判斷出某點(diǎn)處于塑性狀態(tài)不足以判斷之后的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系應(yīng)選用塑性關(guān)系或是彈性關(guān)系，需判斷其過程是加載還是卸系應(yīng)選用塑性關(guān)系或是彈性關(guān)系，需判斷其過程是加載還是卸載。對(duì)于單向應(yīng)力狀態(tài)僅需用載。對(duì)于單向應(yīng)力狀態(tài)僅需用 d or 0 判斷之。判斷之。3. 3. 強(qiáng)化條件強(qiáng)化條件 用以判斷某點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)是否是再次屈服的準(zhǔn)則。用以判斷某點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)是否是再次屈服的準(zhǔn)則。 對(duì)于單向應(yīng)力狀態(tài)，后繼

12、屈服極限對(duì)于單向應(yīng)力狀態(tài)，后繼屈服極限 s 可由試驗(yàn)直接得出，可由試驗(yàn)直接得出，對(duì)于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)以建立初始屈服與后繼屈服的關(guān)系來實(shí)現(xiàn)。對(duì)于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)以建立初始屈服與后繼屈服的關(guān)系來實(shí)現(xiàn)。4. 4. 塑性本構(gòu)關(guān)系塑性本構(gòu)關(guān)系 塑性狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。塑性狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。5. 5. 塑性問題的求解方法塑性問題的求解方法 在彈性問題求解方法的基礎(chǔ)上，基于塑性本構(gòu)關(guān)系的非線在彈性問題求解方法的基礎(chǔ)上，基于塑性本構(gòu)關(guān)系的非線性而產(chǎn)生的各種求解方法。性而產(chǎn)生的各種求解方法。7-2 7-2 屈服條件屈服條件一一. . 屈服函數(shù)與應(yīng)力空間屈服函數(shù)與應(yīng)力空間 對(duì)于單向拉伸，其屈服條件顯然是對(duì)于單向拉伸

13、，其屈服條件顯然是 s 。1. 1. 屈服函數(shù)的一般形式屈服函數(shù)的一般形式 為便于數(shù)學(xué)表達(dá)可改寫為為便于數(shù)學(xué)表達(dá)可改寫為s0( , )0fk稱為屈服函數(shù)，其中稱為屈服函數(shù)，其中 是應(yīng)力狀態(tài)（是應(yīng)力狀態(tài)（系變量隨外荷載變化）系變量隨外荷載變化），k 是控制參數(shù)是控制參數(shù)（系常量是材料的固有屬性，在此（系常量是材料的固有屬性，在此 k s ）。 對(duì)于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)對(duì)于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)ij，物體上某點(diǎn)的屈服顯然是由六個(gè)應(yīng)，物體上某點(diǎn)的屈服顯然是由六個(gè)應(yīng)力分量共同作用之結(jié)果。力分量共同作用之結(jié)果。 其屈服函數(shù)仿上可寫為其屈服函數(shù)仿上可寫為(, )0ijfk(, )0ijfk為六元函數(shù)，幾何上為六維空間中的超

14、曲面。為六元函數(shù)，幾何上為六維空間中的超曲面。簡(jiǎn)化之簡(jiǎn)化之(, )0ijfk123123(, , , , )0fl l l k 各向同性各向同性123(, )0fk 屈服函數(shù)的一般形式屈服函數(shù)的一般形式2. 2. 主應(yīng)力空間與屈服曲面主應(yīng)力空間與屈服曲面 由物體上由物體上某點(diǎn)某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的主方向的應(yīng)力狀態(tài)的主方向 l1、l2、l3作為坐標(biāo)軸方作為坐標(biāo)軸方向，由主應(yīng)力向，由主應(yīng)力1、2、3 作為坐標(biāo)刻度構(gòu)成的空間稱為作為坐標(biāo)刻度構(gòu)成的空間稱為該點(diǎn)該點(diǎn)的的主應(yīng)力空間。主應(yīng)力空間。 主應(yīng)力空間是一正交的三維空間，在其主應(yīng)力空間是一正交的三維空間，在其上建立的力學(xué)規(guī)律可以有直觀的幾何意義。上建立的力

15、學(xué)規(guī)律可以有直觀的幾何意義。其他形式其他形式123(, )0fk 123( , )0f I IIk 123(, )0f JJJk 23(, )0f JJk O123 主應(yīng)力空間中的任主應(yīng)力空間中的任一點(diǎn)一點(diǎn) P(1 , 2 , 3 ) ,P(1 , 2 , 3 )代表代表某點(diǎn)某點(diǎn)的的一個(gè)應(yīng)力狀態(tài)。一個(gè)應(yīng)力狀態(tài)。 主應(yīng)力空間中的任主應(yīng)力空間中的任一條曲線一條曲線 , ,代表代表某某點(diǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的變化途徑（由荷載變化所的應(yīng)力狀態(tài)的變化途徑（由荷載變化所致），稱為應(yīng)力路徑或應(yīng)力歷史。致），稱為應(yīng)力路徑或應(yīng)力歷史。P1(1 , 2 , 3 )（1）主應(yīng)力空間）主應(yīng)力空間 主應(yīng)力空間中的任一主應(yīng)力空間

16、中的任一曲面曲面 , ,代表代表某點(diǎn)某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)各量間的的應(yīng)力狀態(tài)各量間的相互關(guān)系。相互關(guān)系。（2）屈服曲面）屈服曲面 由屈服函數(shù)由屈服函數(shù) 在主應(yīng)力空間形成的曲面（包在主應(yīng)力空間形成的曲面（包圍原點(diǎn)），稱為屈服曲面。圍原點(diǎn)），稱為屈服曲面。123(, )0fk 屈服曲面是彈塑性狀態(tài)的分界面。系材料固有屬性形成，屈服曲面是彈塑性狀態(tài)的分界面。系材料固有屬性形成，與荷載和物體與荷載和物體某點(diǎn)某點(diǎn)的位置無關(guān)。的位置無關(guān)。 當(dāng)當(dāng)某點(diǎn)某點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)在主應(yīng)力空間中的應(yīng)力狀態(tài)在主應(yīng)力空間中的點(diǎn)點(diǎn)位于屈服曲面之上：位于屈服曲面之上：即即123(, )0fk 某點(diǎn)某點(diǎn)處于屈服狀態(tài)處于屈服狀態(tài) 當(dāng)當(dāng)某點(diǎn)某點(diǎn)應(yīng)力

17、狀態(tài)在主應(yīng)力空間中的應(yīng)力狀態(tài)在主應(yīng)力空間中的點(diǎn)點(diǎn)位于屈服曲面之內(nèi)：位于屈服曲面之內(nèi)：即即123(, )0fk 某點(diǎn)某點(diǎn)處于彈性狀態(tài)處于彈性狀態(tài) 因系初始屈服函數(shù)，應(yīng)力狀態(tài)在因系初始屈服函數(shù)，應(yīng)力狀態(tài)在主應(yīng)力空間中的主應(yīng)力空間中的點(diǎn)點(diǎn)不可能不可能位于屈服曲面之外，只可能在另一個(gè)屈服曲面（后繼屈服曲面位于屈服曲面之外，只可能在另一個(gè)屈服曲面（后繼屈服曲面或加載曲面）之上?；蚣虞d曲面）之上。 3. 3. 主應(yīng)力空間的力學(xué)意義主應(yīng)力空間的力學(xué)意義（1）等傾線）等傾線O123 在主應(yīng)力空間中，過在主應(yīng)力空間中，過O點(diǎn)以點(diǎn)以12313nnn 為方向余弦的直線為方向余弦的直線ON，稱為等傾線。，稱為等傾線。

18、 等傾線線上任一點(diǎn)（如等傾線線上任一點(diǎn)（如A 點(diǎn)）所代點(diǎn)）所代表的應(yīng)力狀態(tài)為表的應(yīng)力狀態(tài)為NA123123m應(yīng)力球張量應(yīng)力球張量m1231()311m0s22m0s33m0s應(yīng)力偏張量為零應(yīng)力偏張量為零故等傾線線上任一點(diǎn)代表一個(gè)應(yīng)力球張量故等傾線線上任一點(diǎn)代表一個(gè)應(yīng)力球張量（即靜水壓力狀態(tài)）。（即靜水壓力狀態(tài)）。(m , m , m)（2） 平面平面 過過O點(diǎn)以等傾線點(diǎn)以等傾線ON為法線作平面，稱為為法線作平面，稱為 平面。平面。 因因 平面的方程為平面的方程為1230 O123N所以所以 平面上任一點(diǎn)代表一應(yīng)力偏張量。平面上任一點(diǎn)代表一應(yīng)力偏張量。（3） 應(yīng)力狀態(tài)的分解應(yīng)力狀態(tài)的分解 主應(yīng)力

19、空間中任一點(diǎn)（應(yīng)力狀主應(yīng)力空間中任一點(diǎn)（應(yīng)力狀態(tài)）態(tài)） P 向向 ON 和和 平面分解平面分解PQR123OPijk 1m2m3m()()()sisjsk123mmm()()s is js kijkOROQ 因靜水壓力（球張量）與屈服無關(guān)，所以屈服函數(shù)僅與因靜水壓力（球張量）與屈服無關(guān)，所以屈服函數(shù)僅與 P 點(diǎn)在點(diǎn)在 平面上的投影有關(guān)。平面上的投影有關(guān)。 即一個(gè)應(yīng)力狀態(tài)是否屈服取決于該即一個(gè)應(yīng)力狀態(tài)是否屈服取決于該應(yīng)力狀態(tài)矢量在應(yīng)力狀態(tài)矢量在 平面上的投影（偏張量）。平面上的投影（偏張量）。4. 4. 屈服曲面的幾何特征屈服曲面的幾何特征 由主應(yīng)力空間和屈服曲面的力學(xué)意義由主應(yīng)力空間和屈服曲面

20、的力學(xué)意義(s1,s2,s3)(m ,m ,m)(1 ,2 ,3)即等傾線上的球張量和即等傾線上的球張量和 平面平面上的偏張量。上的偏張量。 設(shè)設(shè) P 點(diǎn)是屈服曲面上的一點(diǎn)，點(diǎn)是屈服曲面上的一點(diǎn)， P 點(diǎn)向點(diǎn)向 平面的投影為平面的投影為 R 點(diǎn)點(diǎn)， 則主應(yīng)力空間中所有向則主應(yīng)力空間中所有向 平面平面投影落在投影落在R點(diǎn)的各點(diǎn)點(diǎn)的各點(diǎn)P1、P2、，均，均應(yīng)是屈服曲面上的點(diǎn)，應(yīng)是屈服曲面上的點(diǎn)， 顯然這些點(diǎn)均在直線顯然這些點(diǎn)均在直線 上，上，PR所以屈服曲面是以平行于等傾線的所以屈服曲面是以平行于等傾線的直線為母線的柱面。直線為母線的柱面。 其導(dǎo)線（屈服曲面與其導(dǎo)線（屈服曲面與 平面的交線）則稱為

21、平面的交線）則稱為屈服曲線屈服曲線。 O123NPRP1P2P3 為便于直觀研究為便于直觀研究屈服曲線，采用斜視平面，屈服曲線，采用斜視平面，（1） 屈服曲線是包圍原點(diǎn)的封閉曲線屈服曲線是包圍原點(diǎn)的封閉曲線原點(diǎn)：無應(yīng)力狀態(tài)；原點(diǎn)：無應(yīng)力狀態(tài)；開口：通過開口從原點(diǎn)引出的矢端可逃開口：通過開口從原點(diǎn)引出的矢端可逃逸至無窮遠(yuǎn)而不屈服。逸至無窮遠(yuǎn)而不屈服。不包圍原點(diǎn)？不包圍原點(diǎn)？3(s3)R O1(s1)2(s2)5. 5. 屈服曲線的性質(zhì)屈服曲線的性質(zhì)NO即即 方向視圖。方向視圖。 由初始屈服條件的唯一性所致。由初始屈服條件的唯一性所致。（3）屈服曲線在）屈服曲線在 平面上關(guān)于原點(diǎn)、三軸及其垂線對(duì)稱

22、。平面上關(guān)于原點(diǎn)、三軸及其垂線對(duì)稱。3(s3)1(s1)2(s2) 由各向同性可證三軸對(duì)稱；由各向同性可證三軸對(duì)稱； 由忽略由忽略鮑鮑辛格效應(yīng)辛格效應(yīng)可證三軸的垂線對(duì)稱?？勺C三軸的垂線對(duì)稱。 屈服曲線被六條對(duì)稱軸平分。僅需確屈服曲線被六條對(duì)稱軸平分。僅需確定定30范圍內(nèi)的屈服曲線，便可確定完整范圍內(nèi)的屈服曲線，便可確定完整屈服曲線。屈服曲線。（4）屈服曲線對(duì)坐標(biāo)）屈服曲線對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)外凸。原點(diǎn)外凸。 由由Drucker公設(shè)可證。公設(shè)可證。 初始屈服曲線的性質(zhì)可總結(jié)為封閉初始屈服曲線的性質(zhì)可總結(jié)為封閉性、唯一性、對(duì)稱性和外凸性。性、唯一性、對(duì)稱性和外凸性。（2）從原點(diǎn)引出的射線與從原點(diǎn)引出的射線與

23、屈服曲線必相屈服曲線必相交一次，且僅一次。交一次，且僅一次。二二. . 常用屈服條件常用屈服條件1. Tresca1. Tresca屈服條件屈服條件 1864 年法國(guó)工程師年法國(guó)工程師 Tresca 通過金屬（鉛）作了一系列擠壓通過金屬（鉛）作了一系列擠壓實(shí)驗(yàn)，結(jié)果提出當(dāng)最大剪應(yīng)力達(dá)到一定數(shù)值時(shí)（實(shí)驗(yàn)，結(jié)果提出當(dāng)最大剪應(yīng)力達(dá)到一定數(shù)值時(shí)（k），材料進(jìn)入），材料進(jìn)入塑性狀態(tài)。塑性狀態(tài)。 即即maxk其中其中k由試驗(yàn)確定由試驗(yàn)確定（1）當(dāng)）當(dāng)主應(yīng)力大小順序已知時(shí)，如主應(yīng)力大小順序已知時(shí)，如123則則max131()2屈服條件（函數(shù)）可寫成屈服條件（函數(shù)）可寫成132k若由拉伸試驗(yàn)確定若由拉伸試驗(yàn)確

24、定 k ：1s230013s若由純剪試驗(yàn)確定若由純剪試驗(yàn)確定 k ：1s23s0 13s2s2ksk 由兩個(gè)試驗(yàn)結(jié)果都可得到由兩個(gè)試驗(yàn)結(jié)果都可得到 k，若要求兩個(gè)，若要求兩個(gè) k 值相同，則必須：值相同，則必須：ss2對(duì)大多數(shù)金屬對(duì)大多數(shù)金屬sss23O123平面平面N（2）當(dāng)主應(yīng)力大小順序未知時(shí)，）當(dāng)主應(yīng)力大小順序未知時(shí)，在主應(yīng)力空間中為平面并平行于由等在主應(yīng)力空間中為平面并平行于由等傾線與傾線與 2 軸決定的平面；在軸決定的平面；在 平面上平面上為平行于為平行于2 軸軸的直線。的直線。屈服條件（函數(shù)）可寫成屈服條件（函數(shù)）可寫成122k 232k 312k 如前各代表一對(duì)平行平面，所以屈服

25、曲面在主應(yīng)力空間中如前各代表一對(duì)平行平面，所以屈服曲面在主應(yīng)力空間中形成一正六棱柱。形成一正六棱柱。 屈服曲線則為一正六邊形。屈服曲線則為一正六邊形。 屈服曲面與坐標(biāo)屈服曲面與坐標(biāo)面的交線則為斜六邊形。面的交線則為斜六邊形。注：注：三式等號(hào)不可三式等號(hào)不可能同時(shí)出現(xiàn)，只一能同時(shí)出現(xiàn)，只一個(gè)等號(hào)出現(xiàn)即屈服。個(gè)等號(hào)出現(xiàn)即屈服。122k2k2kO2k3(s3)O1(s1)2(s2)223k屈服曲面與坐標(biāo)面的交線屈服曲面與坐標(biāo)面的交線屈服曲面與屈服曲面與 平面平面的交線的交線（平面問題的屈服曲線）（平面問題的屈服曲線）（空間問題的屈服曲線）（空間問題的屈服曲線）（3）Tresca屈服條件的特點(diǎn)屈服條件

26、的特點(diǎn) 表達(dá)式簡(jiǎn)單：適宜作屈服判斷；表達(dá)式簡(jiǎn)單：適宜作屈服判斷； 曲面非正則：在數(shù)學(xué)上對(duì)下一步的強(qiáng)化分析造成困難；曲面非正則：在數(shù)學(xué)上對(duì)下一步的強(qiáng)化分析造成困難； 未考慮中間主應(yīng)力的影響。未考慮中間主應(yīng)力的影響。2. Mises2. Mises屈服條件屈服條件 1913年德國(guó)力學(xué)家年德國(guó)力學(xué)家Mises對(duì)對(duì)Tresca屈服條件從數(shù)學(xué)上進(jìn)行修正。屈服條件從數(shù)學(xué)上進(jìn)行修正。建議用一個(gè)圓柱面代替建議用一個(gè)圓柱面代替Tresca的正六棱柱面。的正六棱柱面。2222122331()()()2(2 )kk 值由試驗(yàn)確定。值由試驗(yàn)確定。 在在 平面上，以原點(diǎn)為圓心，以平面上，以原點(diǎn)為圓心，以Tresca正六

27、邊形的邊長(zhǎng)為正六邊形的邊長(zhǎng)為半徑建立圓的方程，再轉(zhuǎn)換到主應(yīng)力空間中。得到半徑建立圓的方程，再轉(zhuǎn)換到主應(yīng)力空間中。得到3(s3)O1(s1)2(s2)223k122k2k2kO2kO123NMises屈服條件的各種物理解釋：屈服條件的各種物理解釋： 八面體切應(yīng)力準(zhǔn)則八面體切應(yīng)力準(zhǔn)則8k 應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則ik 畸變能準(zhǔn)則畸變能準(zhǔn)則0dUk 偏應(yīng)力第二不變量準(zhǔn)則偏應(yīng)力第二不變量準(zhǔn)則22Jks23k（Nadai 1933）sk（Ilyushin 1934）（Hencky 1924）（Schmitd 1932）s6kGs3k若由拉伸試驗(yàn)確定若由拉伸試驗(yàn)確定k ：1s2300s12k2222122

28、331s()()()2若由純剪試驗(yàn)確定若由純剪試驗(yàn)確定k ：1s23s0 s32k2222122331s()()()6若要求兩個(gè)試驗(yàn)確定的若要求兩個(gè)試驗(yàn)確定的 k 值相同，則必須：值相同，則必須：ss3這一更符合實(shí)際的結(jié)果這一更符合實(shí)際的結(jié)果Mises未曾料想！未曾料想！3. 3. 兩個(gè)屈服條件的比較兩個(gè)屈服條件的比較 當(dāng)使用不同的試驗(yàn)來確定控制參數(shù)當(dāng)使用不同的試驗(yàn)來確定控制參數(shù)k時(shí)，兩個(gè)屈服條件時(shí)，兩個(gè)屈服條件將產(chǎn)生較大的差異，通過屈服曲線進(jìn)行比較。將產(chǎn)生較大的差異，通過屈服曲線進(jìn)行比較。223ak由屈服條件的原始形式由屈服條件的原始形式1(s1)3(s3)O2(s2)aa對(duì)拉伸試驗(yàn)對(duì)拉伸試

29、驗(yàn)s12Tks12Mks23a223Rk設(shè)設(shè)Mises圓的半徑為圓的半徑為s23R說明說明Mises圓為圓為Tresca正六邊形的外接圓。正六邊形的外接圓。1(s1)3(s3)O2(s2)R設(shè)設(shè)Tresca正六邊形的邊長(zhǎng)為正六邊形的邊長(zhǎng)為在頂點(diǎn)兩屈服條件重合；在邊中點(diǎn)，在頂點(diǎn)兩屈服條件重合；在邊中點(diǎn)，h21.1553Rh ，Tresca屈服條件小屈服條件小15.5%偏于安全。偏于安全。對(duì)純剪試驗(yàn)對(duì)純剪試驗(yàn)sTks32Mks223as2R1(s1)3(s3)O2(s2)aahs322haR說明說明Mises圓為圓為Tresca正六邊形的內(nèi)接圓。正六邊形的內(nèi)接圓。在邊中點(diǎn)兩屈服條件重合；在頂點(diǎn)，在

30、邊中點(diǎn)兩屈服條件重合；在頂點(diǎn)，Tresca屈服條件大屈服條件大13.4%例：薄壁圓管內(nèi)徑為例：薄壁圓管內(nèi)徑為 a , 厚度為厚度為 。受拉力。受拉力P和扭矩和扭矩M共同作用，材料共同作用，材料 s 為為單向拉伸屈服極限，試寫單向拉伸屈服極限，試寫Tresca和和Mises屈服條件表達(dá)式。屈服條件表達(dá)式。2zPa 22zMa0rrzr解：解：主應(yīng)力主應(yīng)力221,342zzz20Tresca屈服條件屈服條件31s22s4zzMises屈服條件屈服條件2222122331s()()()222s3zzzPM4. 4. 其他屈服條件其他屈服條件（1）莫爾）莫爾-庫倫（庫倫（Mohr-Coulomb）屈服

31、條件屈服條件 Tresca 和和 Mises 屈服條件未考慮靜水壓力對(duì)屈服的影響，屈服條件未考慮靜水壓力對(duì)屈服的影響，在屈服函數(shù)中僅考慮在屈服函數(shù)中僅考慮 J2 的作用。在靜水壓力不太大的情況下，的作用。在靜水壓力不太大的情況下，對(duì)金屬和飽和土適用。對(duì)金屬和飽和土適用。 但如混凝土、巖土等材料，其屈服極限或破壞應(yīng)力將隨靜但如混凝土、巖土等材料，其屈服極限或破壞應(yīng)力將隨靜水壓力的增大而變化（增大）。水壓力的增大而變化（增大）。 因此應(yīng)在屈服函數(shù)中增加靜水壓力因此應(yīng)在屈服函數(shù)中增加靜水壓力 I1 的影響，且控制參數(shù)的影響，且控制參數(shù)也相應(yīng)增加。即也相應(yīng)增加。即1212( ,)0f I Jk k 涉

32、及此類屈服條件主要：涉及此類屈服條件主要： 來源于庫倫（來源于庫倫（1773年）關(guān)于土的剪切破壞準(zhǔn)則，其控制參年）關(guān)于土的剪切破壞準(zhǔn)則，其控制參數(shù)為土的黏聚力和內(nèi)摩擦角。數(shù)為土的黏聚力和內(nèi)摩擦角。 經(jīng)莫爾等的研究發(fā)展成為土力學(xué)中的經(jīng)典準(zhǔn)則。但經(jīng)大量經(jīng)莫爾等的研究發(fā)展成為土力學(xué)中的經(jīng)典準(zhǔn)則。但經(jīng)大量試驗(yàn)表明，若在三向應(yīng)力狀態(tài)下，以拉伸和壓縮屈服極限作為試驗(yàn)表明，若在三向應(yīng)力狀態(tài)下，以拉伸和壓縮屈服極限作為控制參數(shù)，該準(zhǔn)則更適合拉壓屈服極限差異較大的材料，如混控制參數(shù)，該準(zhǔn)則更適合拉壓屈服極限差異較大的材料，如混凝土材料。凝土材料。 當(dāng)當(dāng) 莫爾莫爾-庫倫庫倫屈服條件屈服曲面為不等角的六棱錐，屈服曲

33、線屈服條件屈服曲面為不等角的六棱錐，屈服曲線為等邊不等角的六邊形。為等邊不等角的六邊形。莫爾莫爾-庫倫庫倫屈服條件可寫成如下形式：屈服條件可寫成如下形式：123131311()()sincos22c式中，式中，0000arctan2ctct （內(nèi)摩擦），（內(nèi)摩擦），002ctc （黏聚力）。（黏聚力）。拉壓屈服極限（或破壞極限）為拉壓屈服極限（或破壞極限）為00tc、O123N3(s3)O1(s1)2(s2)當(dāng) 0 時(shí)退化為時(shí)退化為Tresca 屈服條件。屈服條件。對(duì)其他五種主應(yīng)力大小順序，可仿上寫出。對(duì)其他五種主應(yīng)力大小順序，可仿上寫出。（2）德魯克）德魯克-普拉格（普拉格（Drucker-

34、Prager）屈服條件屈服條件 德魯克德魯克-普拉格屈服條件是在普拉格屈服條件是在Mises屈服條件基礎(chǔ)上增加靜屈服條件基礎(chǔ)上增加靜水壓力水壓力 I1 因子而得，適用于巖土類材料。因子而得，適用于巖土類材料。 屈服條件可寫為：屈服條件可寫為：2221223311231()()()()6k 式中，式中，22sin3(3sin)26 cos3(3sin)ck、c 分別為材料的內(nèi)分別為材料的內(nèi)摩擦角和黏性系數(shù)。摩擦角和黏性系數(shù)。 屈服曲面為圓錐面，屈服曲線為圓，屈服曲面為圓錐面，屈服曲線為圓，O123N當(dāng) 0 時(shí)退化為時(shí)退化為Mises 屈服條件。屈服條件。7-3 Drucker7-3 Drucke

35、r公設(shè)與加載條件公設(shè)與加載條件 當(dāng)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)屈服后繼續(xù)加載以及反復(fù)加載卸載，如當(dāng)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)屈服后繼續(xù)加載以及反復(fù)加載卸載，如何判斷加載卸載（加載準(zhǔn)則）及其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（塑性本構(gòu)關(guān)何判斷加載卸載（加載準(zhǔn)則）及其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（塑性本構(gòu)關(guān)系）如何，均有賴于系）如何，均有賴于Drucker公設(shè)。公設(shè)。一一. . Drucker公設(shè)公設(shè)1. 1. 材料穩(wěn)定性的概念材料穩(wěn)定性的概念 考察拉伸曲線考察拉伸曲線 0O 在某一應(yīng)力點(diǎn)，給一個(gè)應(yīng)力增在某一應(yīng)力點(diǎn)，給一個(gè)應(yīng)力增量量 0， 0 若其在相應(yīng)應(yīng)變?cè)隽可先羝湓谙鄳?yīng)應(yīng)變?cè)隽可戏Q材料是穩(wěn)定的；稱材料是穩(wěn)定的；所作的功所作的功 0 （應(yīng)乘二分之一（應(yīng)乘二分

36、之一 ），），若在相應(yīng)應(yīng)變?cè)隽可献鞯墓θ粼谙鄳?yīng)應(yīng)變?cè)隽可献鞯墓?0 ， 0稱材料是非穩(wěn)定的；稱材料是非穩(wěn)定的；2. 2. 單向拉伸時(shí)的應(yīng)力循環(huán)及其塑性功單向拉伸時(shí)的應(yīng)力循環(huán)及其塑性功 研究在一個(gè)跨彈塑性狀態(tài)的應(yīng)力循環(huán)中，應(yīng)力增量和附研究在一個(gè)跨彈塑性狀態(tài)的應(yīng)力循環(huán)中，應(yīng)力增量和附加應(yīng)力所作的塑性功。加應(yīng)力所作的塑性功。 設(shè)從彈性階段某一應(yīng)力點(diǎn)設(shè)從彈性階段某一應(yīng)力點(diǎn) 0開始，開始， 現(xiàn)給一個(gè)應(yīng)力增量現(xiàn)給一個(gè)應(yīng)力增量d 至至 d ， 產(chǎn)生塑性應(yīng)變?cè)隽慨a(chǎn)生塑性應(yīng)變?cè)隽縟 p ； 然后然后緩慢卸載至緩慢卸載至 0，完成一個(gè)應(yīng)力循環(huán)。，完成一個(gè)應(yīng)力循環(huán)。d p Os 0 d 緩慢緩慢加載至某個(gè)加載點(diǎn)加載

37、至某個(gè)加載點(diǎn) ； 考察應(yīng)力增量考察應(yīng)力增量 d 和附加應(yīng)力和附加應(yīng)力 0 所作所作的塑性功：的塑性功：3. Drucker3. Drucker公設(shè)公設(shè)pd d0 0p()d0 Drucker把上述結(jié)論直接推廣到復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)：把上述結(jié)論直接推廣到復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)： “考慮某應(yīng)力循環(huán)，開始應(yīng)力考慮某應(yīng)力循環(huán)，開始應(yīng)力 ij0 在加在加載（屈服）面內(nèi)，載（屈服）面內(nèi)，屈服曲面A(ij0) 然后到達(dá)然后到達(dá)ij ，剛好在，剛好在加加載（屈服）面上，載（屈服）面上，B(ij) 再繼續(xù)在再繼續(xù)在加載（屈服）加載（屈服）面上加載到面上加載到 ij dij ，C(ij dij) 在這一階段，將產(chǎn)在這一階段，將產(chǎn)生

38、塑性應(yīng)變生塑性應(yīng)變 ijp。 最后將應(yīng)力又卸回最后將應(yīng)力又卸回ij0。后繼屈服曲面若在整個(gè)應(yīng)力循環(huán)過程中，附加應(yīng)力若在整個(gè)應(yīng)力循環(huán)過程中，附加應(yīng)力 ij ij0 所作的凈功不小于零，則這種材料就是穩(wěn)定所作的凈功不小于零，則這種材料就是穩(wěn)定的。的。”即即0()d0ijijijABCAW由由0()dijijijABCA0ep()d()ijijijijABCA0e0p()d()dijijijijijijABCAABCA0p()dijijijABCA0p0p0p()d()d()dijijijijijijijijijABBCCA0p()dijijijBC因因BC段的段的dijp由由dij產(chǎn)生產(chǎn)生0p0p

39、1()d(d)d2ijijijijijijijBC所以所以0p1(d)d02ijijijij當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)0ijijpdd0ijij當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)0ijij0dijijij0p()d0ijijij稱為德魯克不等式稱為德魯克不等式 由德魯克不等式可推出兩個(gè)重要結(jié)論：由德魯克不等式可推出兩個(gè)重要結(jié)論：（1）塑性應(yīng)變?cè)隽恳欢ㄖ赶蚣虞d曲面外法線方向。）塑性應(yīng)變?cè)隽恳欢ㄖ赶蚣虞d曲面外法線方向。dijp 將應(yīng)力空間和塑性應(yīng)變?cè)隽靠臻g重將應(yīng)力空間和塑性應(yīng)變?cè)隽靠臻g重合，并以矢量形式表示各量。合，并以矢量形式表示各量。加載曲面A(ij0)B(ij)dij 作作B點(diǎn)的切（超）平面及外法線點(diǎn)的切（超）平面及外法線 n，

40、因因dij需產(chǎn)生塑性需產(chǎn)生塑性應(yīng)變，則應(yīng)變，則dij須指向加載曲面的外側(cè)，須指向加載曲面的外側(cè)，即即 2。n設(shè)設(shè)dij與與n的夾角為的夾角為 。 設(shè)設(shè) dij與與 dijp 的夾角為的夾角為 ，由由pdd0ijijppddddcos0ijijijij 2由由 dij的任意性，的任意性， dijp 的必須與的必須與n重合，否則，可出現(xiàn)重合，否則，可出現(xiàn) 。 2 所以所以 dijp 一定指向加載曲面的外法線方向。一定指向加載曲面的外法線方向。（2）加載曲面一定處處外凸。）加載曲面一定處處外凸。 設(shè)設(shè)ij ij0與與dijp 的夾角為的夾角為 ，0p0p()d()dcos0ijijijijijijd

41、ijp 2由由0p()d0ijijij 若內(nèi)凹，若內(nèi)凹，且二次通過加載曲面。且二次通過加載曲面。ij0 2則可出現(xiàn)則可出現(xiàn) ， 所以所以加載曲面一定處處外凸。加載曲面一定處處外凸。 （屈服曲面是（屈服曲面是加載曲面之一）加載曲面之一） 即與加載面正交。即與加載面正交。二二. . 加載、卸載準(zhǔn)則加載、卸載準(zhǔn)則 由由Drucker公設(shè)，公設(shè)， dijp 與加載面正交。與加載面正交。 若將加載面的外法線若將加載面的外法線方向用加載（屈服）函數(shù)方向用加載（屈服）函數(shù) f (ij) 0 的梯度表示，則的梯度表示，則pddijijf式中，式中，d 0為比例常數(shù)，用以記錄加載歷史。為比例常數(shù)，用以記錄加載歷

42、史。由由pdd0ijijpdddd0ijijijijfd0ijijfd 0故應(yīng)力狀態(tài)在發(fā)生變化過程中（即故應(yīng)力狀態(tài)在發(fā)生變化過程中（即dij 0）：）：（1）若）若dd0ijijff產(chǎn)生產(chǎn)生dijp 加載加載（2）若）若不產(chǎn)生不產(chǎn)生dijp 中性變載中性變載dd0ijijff（理想塑性不存在此情形）（理想塑性不存在此情形）（3）若）若dij反向反向 卸載卸載dd0ijijff加載加載曲面 f (ij)0n中性變載卸載例：薄設(shè)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為：例：薄設(shè)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為：4000002000(MPa)00200ij當(dāng)其變?yōu)椋寒?dāng)其變?yōu)椋?000003000(MPa)00300ij 和和3000001

43、000 (MPa)000ij則則ijijijijijij 是加載還是卸載？是加載還是卸載？解：解：（1）Tresca條件條件d01001000ijijf d( 100)( 300)2000ijijf d1002001000ijijf 卸載；卸載；1320fk13ddddijijff加載；加載；卸載。卸載。（2）Mises條件條件2222122331()()()80fk123121323123dd2 (2)d(2)d(2)dijijffd2 (2400200200)0(2200400200) 100(2200200400) 100800000ijijf 卸載；卸載；d2 (2400300300)

44、( 100)(2300400300)( 200)(2300300400)( 300)300000ijijf 加載；加載；d2 (23001000) 100(2 1000300) 100(20300100)200400000ijijf 卸載。卸載。7-4 7-4 塑性本構(gòu)關(guān)系塑性本構(gòu)關(guān)系 在塑性變形階段，應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系沒有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，應(yīng)在塑性變形階段，應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系沒有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，應(yīng)變不僅和應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，而且還和變形歷史有關(guān)，變不僅和應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，而且還和變形歷史有關(guān)， 但在某一給但在某一給定狀態(tài)下有一個(gè)應(yīng)力增量，相應(yīng)地必有唯一的應(yīng)變?cè)隽?。定狀態(tài)下有一個(gè)應(yīng)力增量，相應(yīng)地必有唯一的應(yīng)變?cè)隽俊?

45、因此，在一般塑性變形條件下，只能建立應(yīng)力與應(yīng)變?cè)隽恳虼?，在一般塑性變形條件下，只能建立應(yīng)力與應(yīng)變?cè)隽恐g的關(guān)系。之間的關(guān)系。 這種用增量形式表示的材料的本構(gòu)關(guān)系稱為增量理論（或這種用增量形式表示的材料的本構(gòu)關(guān)系稱為增量理論（或流動(dòng)理論）流動(dòng)理論） 。只有在特定條件下，才能建立應(yīng)力與應(yīng)變之間的。只有在特定條件下，才能建立應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系（稱為全量理論）。關(guān)系（稱為全量理論）。二二. . 增量理論增量理論 由由pddijijf取取21()2ijijijfJs s則則2ijijijJfss（Mises屈服函數(shù)）屈服函數(shù)）pddijijsdijp與與sij成正比。成正比。St.Venant-Lev

46、y之前在作假設(shè)的基礎(chǔ)上亦得此結(jié)論。之前在作假設(shè)的基礎(chǔ)上亦得此結(jié)論。由由epijijijepdddijijijpedddijijijpedd(dd)ijijijmije epdd+dijijijee1dd+d2ijijijessGmdddijijije pedddijijijeePrandtl-Reuss方程方程表明塑性應(yīng)變?cè)隽恳蕾囉谠撍矔r(shí)的應(yīng)力偏量，而非應(yīng)力增量。表明塑性應(yīng)變?cè)隽恳蕾囉谠撍矔r(shí)的應(yīng)力偏量，而非應(yīng)力增量。 現(xiàn)討論參數(shù)現(xiàn)討論參數(shù) d ：由由pddijijspp2dd(d )ijijijijs s由應(yīng)力強(qiáng)度定義由應(yīng)力強(qiáng)度定義ppp2i3dd(d)2ijij2i23ijijs s仿應(yīng)變強(qiáng)度定義仿應(yīng)變強(qiáng)度定義塑性應(yīng)變強(qiáng)度塑性應(yīng)變強(qiáng)度則則p222ii32(d)(d )23piid3d2d 是在屈服時(shí)引入的常數(shù)，僅當(dāng)屈服時(shí)不為零，可通過屈服條是在屈服時(shí)引入的常數(shù)，僅當(dāng)屈服時(shí)不為零，可通過屈服條件來求。件來求。所以，所以， Prandtl-Reuss方程又可寫成方程又可寫成ppiid3d2ijijs如果忽略彈性變形（剛塑性），如果忽略彈性變形（剛塑性）， Prandtl-Reuss方程又可寫成方程又可寫成piid