專題(一)二面角的求法

1、專題（一）二面角的求法命題人：羅軍偉 審題人：李世延1. 引言二面角及其平面角的概念是立體幾何最重要的概念之一，在歷年高考中幾乎都要涉及.尤其是在數(shù)學(xué)新課改的大環(huán)境下，要求對(duì)二面角求法的掌握變得更加靈活.二面角的概念發(fā)展、完善了空間角的概念；而二面角的平面角不但定量描述了兩相交平面的相對(duì)位置，同時(shí)它也是空間中線線、線面、面面位置關(guān)系的一個(gè)匯集點(diǎn).研究二面角的求法，可以進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力，為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力提供了一個(gè)良好的契機(jī).在求解二面角的問(wèn)題中，通常首先要定位出二面角的平面角，而這也是學(xué)生在解題中感到最為陌生和棘手的問(wèn)題.特別是若二面角的楞隱而不露其解題的

2、難度又會(huì)增大.本文從二面角的概念定義入手，通過(guò)分類求解二面角的題型類別，探尋二面角的解題思路，并對(duì)二面角求解方法加以總結(jié)歸類.1.1 二面角的相關(guān)概念OABOABl新教材在二面角中給出的定義如下：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.圖1定義只給出二面角的定性描述，關(guān)于二面角的定量刻畫(huà)還必須放到二面角的平面角中去研究.教材如下給出了二面角的平面角的概念：二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一點(diǎn)O，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作射線，則為二面角的平面角.2. 二面角的求解方法對(duì)二面角的求解通常是先定位二面角的平面角，從而將三維空間中的求角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二維空間并可以通過(guò)三角形的邊角問(wèn)題加以解決.定

3、位出二面角為解題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，下面就二面角求解的步驟做初步介紹：一、“找”：找出圖形中二面角，若不能直接找到可以通過(guò)作輔助線補(bǔ)全圖形定位二面角的平面角二、“證”：證明所找出的二面角就是該二面角的平面角三、“算”：計(jì)算出該平面角由于定位二面角的難度較大，對(duì)于求解二面角還有一種思路就是繞開(kāi)定位二面角這一環(huán)節(jié)，通過(guò)一些等價(jià)的結(jié)論或公式或用空間向量等方法來(lái)直接求出二面角的大小.本文將根據(jù)這兩種解題思路對(duì)二面角的解題方法做一一介紹.2.1 定位二面角的平面角，求解二面角二面角常見(jiàn)題型中根據(jù)所求兩面是否有公共棱可分為兩類：有棱二面角、無(wú)棱二面角.對(duì)于前者的二面角的定位通常采用找點(diǎn)、連線或平移等手段來(lái)定位出二

4、面角的平面角；而對(duì)于無(wú)棱二面角我們還必須通過(guò)構(gòu)造圖形如延展平面或找公垂面等方法使其有“無(wú)棱”而“現(xiàn)棱”再進(jìn)一步定位二面角的平面角.2.1.1 直接法對(duì)于圖形中已有二面角的平面角，只要加以證明認(rèn)定，然后可直接計(jì)算求解.PBADCE圖2例1 如圖2，已知PA面ABC，ABBC,PC的垂直平分線DE交AC于D，交PC于E.PA=AB=1,PB=BC求二面角E-BD-C的大小.2.1.2 定義法根據(jù)二面角平面角的定義，其解題步驟一般既是：定棱，找點(diǎn)，連線，解答。即：在二面角棱上選擇恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，過(guò)此點(diǎn)作出二面角的平面角，如抓住共底的等腰三角形的性質(zhì)選擇公共棱的中點(diǎn)連接得到二面角；在兩個(gè)平面為共底且對(duì)應(yīng)全等

5、的三角形，可以選擇公共垂足連線得到二面角的平面角等。PBADC圖3例2 在如圖3所示的三棱錐P-ABC中，AB=AC=PB=PC=2,BC=,PA=.求二面角P-BC-A的大小. 2.1.3三垂線（逆）定理法根據(jù)三垂線定理及其逆定理，如圖4所POA示在半平面內(nèi)找一點(diǎn)P，作PO面于O,并從垂足O作棱的垂線OA交棱于A點(diǎn)，連接PA,則PAO就是二面角的平面角. 圖4ADCBM圖5例3 在正方體中，為面中心，求二面角的大小.2.1.4 垂面法如果空間中有與二面角的棱垂直的平面，則該平面與兩個(gè)半平面的交線所成的角即為二面角的平面角.上述結(jié)論可進(jìn)一步引申：推論：空間中存在分別與二面角的兩個(gè)半平面垂直的平

6、面，則該平面與兩個(gè)半平面的交線所成的角即為二面角的平面角.PAC圖6B例4 如圖6，二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)半平面、的距離分別為、.到棱的距離為,求二面角的大小.ACGEB圖7例5 如圖7,在正三棱柱中,截面?zhèn)让?若,求平面與平面所成二面角（銳角）的大小. 2.1.5 平移法由空間中平行直線、平行平面的性質(zhì)，利用中位線平移，平行四邊形平移，AOCBFDE圖8定比分點(diǎn)平移等方法將所求二面角由難度較大的平面角定位轉(zhuǎn)化為易知易求的平面角中進(jìn)行求解.例6（本題關(guān)鍵在利用平移棱的垂線進(jìn)行解題）在正三棱柱中,是的中點(diǎn)，,求二面角的大小.ADCBK圖9EFO例7 在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E是BC的中點(diǎn)，試求面與平面

7、所成二面角的大小.2.1.6 補(bǔ)體法通過(guò)補(bǔ)全一個(gè)恰當(dāng)?shù)膱D形或延展平面使二面角更加容易定位或凸顯，進(jìn)而更方面求解，尤其在求解無(wú)棱二面角問(wèn)題中更能現(xiàn)出其突出的優(yōu)點(diǎn).ACGMB圖10P例8 如圖10,正三棱柱的各棱長(zhǎng)均為1,M是棱CC中點(diǎn),求截面ABM與底面ABC所成二面角的大小.2.1.7 無(wú)棱找棱法PRQ圖11如圖11中只現(xiàn)出兩個(gè)局部半平面的一個(gè)公共點(diǎn)P，圖中沒(méi)有給出二面角的棱.此時(shí),若在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)各存在一條直線且相互平行,則過(guò)P分別作這兩條直線的垂線PQ和PR,則QPR就是二面角的平面角.例9如圖12,P-ABCD為正四棱錐，邊長(zhǎng)為,求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值.2.2

8、不作平面角，直接求解二面角對(duì)于有些定位二面角平面角比較困難的題目，可以繞過(guò)定位二面角的平面角這一環(huán)節(jié)，利用一些等價(jià)的公式或結(jié)論進(jìn)行求解可以方面解題. 射影面積法圖13CBAOS設(shè)二面角的大小為，面內(nèi)有一個(gè)面積給S的封閉圖形,給圖形在面內(nèi)的射影面積為,則.例10 求正四面體任意兩個(gè)面所成二面角的大小.ADCBE圖14F例11 如圖14,在正方體中,E為CC中點(diǎn)，F(xiàn)在BB上,且BF=BB,求平面AEF在底面ABCD所成二面角的余弦值.專題（二）立體幾何大題中有關(guān)距離的求法1、求空間距離中，求點(diǎn)到平面的距離是重點(diǎn)，求兩條異面直線間的距離是難點(diǎn) 2、求點(diǎn)到平面的距離通常有四種方法 (1)直接法，即直接由點(diǎn)作垂線，求垂線段的長(zhǎng) (2)轉(zhuǎn)移法，轉(zhuǎn)化成求另一點(diǎn)到該平面的距離 (3)體積法 例題分析：例1、如圖，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,PA平面ABCD，PA=2c,Q是PA的中點(diǎn) 求 (1)Q到BD的距離；(2)P到平面BQD的距離 BACDOGH例2、如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，G是