用不定方程解應(yīng)用題

1、 用不定方程解應(yīng)用題知識(shí)要點(diǎn)在應(yīng)用題中出現(xiàn)了兩個(gè)(甚至更多)未知量，而數(shù)量關(guān)系卻少于未知量的個(gè)數(shù)，我們列出的就是不定方程。不定方程一般是指未知數(shù)的個(gè)數(shù)通常多于方程個(gè)數(shù)的方程。這樣的方程的解通常不止一個(gè)。列方程解應(yīng)用題時(shí),出現(xiàn)未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于所列方程的個(gè)數(shù),這樣的方程叫做不定方程.不定方程往往有無數(shù)解,因而這種方程解得個(gè)數(shù)由題目中關(guān)于未知數(shù)的限制條件來決定,因在解題過程中要特別注重對(duì)所設(shè)未知數(shù)的限制條件(有時(shí)是隱蔽的)的分析.解不定方程是可以用以下原則來縮小范圍。原則一：系數(shù)大的開始討論原則二：奇偶性討論原則三：倍數(shù)原理原則四：尾數(shù)原理（運(yùn)用條件：出現(xiàn)5的倍數(shù)）例1 求不定方程5x+3y=22的

2、解，這里x,y為自然數(shù)。解析 由5x+3y=22可知x4，這樣可以依次試出方程的解：當(dāng)x=l時(shí)，3y=17，y=與y為自然數(shù)矛盾。當(dāng)x=2時(shí)，3y=l2，y=4。 當(dāng)x=3時(shí)，3y=7，y=，與y為自然數(shù)矛盾。 當(dāng)x=4時(shí), 3y=2，y=，與y為自然數(shù)矛盾。 先確定一個(gè)未知數(shù)的取值范圍，再依次試出這些未知數(shù)的值。練一練1 求不定方程5x+9y=104的整數(shù)解。答案：X=19,Y=1; X=10,Y=6; X=1,Y=11 例2 一個(gè)工人將99顆彈子裝人兩種盒子中，每個(gè)大盒子裝12顆，小盒子裝5顆，恰好裝完，已知盒子數(shù)大于10，這兩種盒于各有多少個(gè)? 解析 設(shè)大盒子有x個(gè)，小盒子有y個(gè)，x與y

3、為自然數(shù)，x+y>10，所以列不定方程如下： 12x+5y=99 5y=99-12x 因?yàn)?9-12x0，所以x8，又99-12x是5的倍數(shù)，個(gè)位數(shù)字只能為0或5，那么12x的個(gè)位數(shù)字只能為4,x可取2或7。 當(dāng)x=2時(shí)，y=15； 當(dāng)x=7時(shí)，y=3，但7+3=10，不符合題意。 大盒子有2個(gè)、小盒子有15個(gè)。 本題關(guān)鍵是先列出相應(yīng)的不定方程，再判斷x的范圍。練一練2 裝水瓶的盒子有大小兩種，打得能裝7個(gè)，小的能裝4個(gè)，要把41個(gè)水瓶裝入盒內(nèi)。問需大，小盒子各多少個(gè)？答案：大盒子3個(gè)，小盒子5個(gè)。例3 甲種商品7元一份，乙種商品3元一份，小明用60元恰好買兩種商品共多少份?解析 設(shè)小明

4、買甲種商品x份，乙種商品y份，可以列不定方程如下： 7x+3y=60，由于3、60均為3的倍數(shù)，且60-7x0，x8，又因?yàn)?x一定能被3整除，所以： 當(dāng)x=3時(shí)，y=13，此時(shí)3+13=16； 當(dāng)x=6時(shí)，y=6，此時(shí)6+6=12。 所以小明用60元買兩種商品16份或12份。 本題關(guān)鍵是確定7x的取值范圍。練一練3 用5米和3米的管道鋪設(shè)一段42米長的下水道，最少需要管道多少根？ 答案：5x+3y=42 解得x=6,y=4例4 某種考試已舉行24次，共出了426道題，每次出的題目有25題、或者16題、或者20題，那么其中考25題的有多少次。 解析 設(shè)考25題、20題依次為x次和y次，可列不定

5、方程如下： (25-16)x+(20-16)y=426-16×24 9x+4y=4242-9x0，所以x4，且4和42均能被2整除，因此只能取0、2、4。 當(dāng)x=0 時(shí)，y=10當(dāng)x=2時(shí)， y=6當(dāng)x=4時(shí), y=可以考25題的共有2次。判斷出x的范圍小于或等于4，再確定不能取偶數(shù)是求解的關(guān)鍵。 例5 甲一分鐘能洗3個(gè)盤子或9個(gè)碗，乙一分鐘能洗2個(gè)盤子或7個(gè)碗，甲、乙合做，20分鐘洗了134個(gè)盤子和碗。有幾個(gè)盤子幾個(gè)碗? 解析 設(shè)甲用a分鐘洗盤子，(20-a)分鐘洗碗，乙用b分鐘洗盤子，(20-b)分鐘洗碗。 3a+9(20-a)+2b+7(20-b)=134 6a+5b=186。

6、 由上式知，b為偶數(shù)，所以a=l，6，ll或16。當(dāng)a=1，6，ll時(shí)，b>20不合題意。所以a=16，b=18。 共洗了盤子3a+2b=84(個(gè))，洗了碗134-84=50(個(gè))。 本題先用未知數(shù)分別表示甲、乙洗盤子和碗的時(shí)間，再列不定方程。 例6 某地電費(fèi)不超過10度時(shí)，每度0.45元；超過10度時(shí)，每度080元，張家比李家多交水費(fèi)3.30元，如果兩家的用水量都是整數(shù)度，張家與李家各交電費(fèi)多少元? 解析 設(shè)張家用電x度，李家用電y度，則x大于10，y小于10，且x、y均為自然數(shù)，根據(jù)題意，列方程：兩邊同除以5得 y取l，2，9，經(jīng)試驗(yàn)知，只有y=8時(shí)，x有整數(shù)解x=13。 10

7、15;0.45+3×0.8=6.9(元) 8×0.45=3.6(元)所以張家交電費(fèi)6.9元，李家交電費(fèi)3.6元。 例7 將一根長為374厘米的合金鋁管截成36厘米和24厘米兩種型號(hào)的短管(加工損耗忽略不計(jì))。問剩余部分的鋁管至少是多少厘米? 解析 設(shè)截成36厘米和24厘米兩種型號(hào)的短管分別是x根和y根，則可以看方程36x+24y=374 是否有解。由于36、24均能被4整除，374被4除余2，所以此方程無整數(shù)解。 若剩余部分最少是2厘米，則列方程36x+24y=372即 3x+2Y=31 當(dāng) x=1時(shí)，y=14。因此可以截成1根36厘米和14根24厘米兩種型號(hào)的鋁管，此時(shí)剩

8、余部分最少為2厘米。例8 小明玩套圈游戲，套中小雞一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分。小明共套了10次，每次都套中了，每個(gè)小玩具都至少被套中一次。小明套10次共得了61分。問小雞至多被套中多少次?分析 與上題最大的不同是算出結(jié)果后，要選擇最適合的一個(gè)，所以應(yīng)在所有答案中選取小雞套中次數(shù)最多的那一次。解 設(shè)套中小雞、小猴、小狗分別為x，y,(10-x-y)次，則根據(jù)題意列方程： 9x+5y+2(10-x-y)=61化簡后得： 7x+3y=41。因?yàn)閤,y都是整數(shù)，所以y越小，x越大。將y=1代入得7x=38無整數(shù)解，如果y=2，7x=35，解得x=5，滿足題目要求。故知至多套中小

9、雞5次?！灸芰τ?xùn)練】A級(jí)1求下列方程的自然數(shù)解。 （1）3x+4y=23 (2) 16-5A=3B答案：(1) X=1,Y=5 或X=5,Y=2 (2) A=2, B=22小明要買一枝4角9分錢的卷筆刀,她手上有二分和五分的硬幣各10枚,請(qǐng)問她可以怎樣付錢?解析:設(shè)小明付了X枚二分和Y枚五分,那么2X+5Y=49,這里X,Y都不大于10的整數(shù).根據(jù)方程兩邊的奇偶性可知Y為奇數(shù),由于X至多為10,所以5Y不小于49-20=29,因而Y至少為6,所以Y只能取7或9,經(jīng)實(shí)驗(yàn)有兩組解.X=7,Y=7;X=2,Y=9.超級(jí)教程P141例1.3一個(gè)商人將彈子放進(jìn)兩種盒子里,每個(gè)大盒裝12個(gè),每個(gè)小盒裝5個(gè)

10、,恰好裝完.如果彈子數(shù)為99,盒子數(shù)大于9,問兩種盒子各有多少個(gè)?分析與解:設(shè)大盒子數(shù)有X個(gè),小盒子數(shù)有Y個(gè),那么12X+5Y=99.X<8,Y是奇數(shù),且5Y的個(gè)位數(shù)字因?yàn)?,則12X的個(gè)位數(shù)字為4, 滿足條件的有X=2,Y=15;X=7,Y=3. 超級(jí)教程P-142例24一個(gè)同學(xué)把他生日的月份乘以31,日期乘以12,然后加起來的和為170,你知道他出生于何月何日嗎?解析:設(shè)這位同學(xué)生于X月Y日,于是31X+12Y=170.X因?yàn)榕紨?shù),又31X不超過170,所以X只能為2或4;但170不是4的倍數(shù),說明X=2,Y=9. 超級(jí)教程P142例3.5一個(gè)學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己今年(1991年)的年齡正好

11、等于他出生那一年的年份的各位數(shù)字和,請(qǐng)問這個(gè)學(xué)生今年幾歲?分析與解:設(shè)他出生于19XY年,那么1991-19XY=1+9+X+Y, 91-(10X+Y)=10+X+Y; 11X+2Y=81.由奇偶性知,X為奇數(shù),11X不大于81,又不小于81-2*9=63,所以6X7,X=7,Y=2.這個(gè)學(xué)生今年的年齡為1+9+7+2=19歲. 超級(jí)教程P143例5.6六(1)班舉行一次數(shù)學(xué)測驗(yàn),采用5級(jí)記分制(5分最高,依次類推),男生的平均分為4分,女生的平均分為3.25分,而全班的平均分為3.6分,如果該班的人數(shù)多于30人,小于50人.問該班有多少男生和多少女生參加了測驗(yàn)?分析與解:設(shè)有X個(gè)男生和Y個(gè)女

12、生.那么 4X+3.25=3.6(X+Y)8X=7YX=7/8Y,Y為8的倍數(shù),Y=24,X=21.培優(yōu)競賽P-108例3.7劉宇泉在甲公司打工,幾個(gè)月后又在乙公司兼職.甲公司每月付給他薪金470元,乙公司每月付給他薪金350元,年終,劉宇泉從兩家公司共獲薪金7620元,問他在甲公司打工多少個(gè)月?在乙公司兼職多少個(gè)月?分析與解:設(shè)在甲公司X個(gè)月,在乙公司Y個(gè)月,則470X+350Y=7620 X=11,Y=7. 培優(yōu)競賽P-1118參加圍棋比賽的七段和九段選手有若干名，他們的段位數(shù)字加在一起正好是100段。則七段，九段選手各有多少名？答案：7X+9Y=100, X=13,Y=1;X=4,Y=8

13、B級(jí)9. 將426個(gè)乒乓球裝在三種盒子里，大盒每盒裝25個(gè)，中盒每盒裝20個(gè)，小盒每盒裝1 6個(gè)。現(xiàn)共裝了24盒，求用了多少個(gè)大盒? 解 設(shè)用X個(gè)大盒，y個(gè)中盒，那么用小盒24-x-y個(gè)。列方程為 25x+20y+16(24-x-y)=426。 化簡整理，得 9x+4y=42 解得 X=2,Y=6 答: 用了2個(gè)大盒。10小明用5天時(shí)間看完了200頁的故事書。已知他第二天看的頁數(shù)比第一天多，第三天看的頁數(shù)是第一、第二兩天看的頁數(shù)之和，第四天看的頁數(shù)是第二、三兩天看的頁數(shù)之和，第五天看的頁數(shù)是第三、四兩天看的頁數(shù)之和。那么，小明第五天至少看了多少頁？分析與解：設(shè)小明第一天看了A頁，第二天看了B頁

14、，則前五天看的頁數(shù)依次為A，B，A+B，A+2B，2A+3B，得到5A+7B=200，解得B=20，A=12；B=25，A=5。得第五天至少看了84頁。超級(jí)教程P-150題9。11有三個(gè)分子相同的最簡假分?jǐn)?shù),化成帶分?jǐn)?shù)后為: a,已知a、b、c都小于10,故得a、b、c依次為、.分析與解：由題意3a+2=6b+5=8c+7。解這個(gè)不定方程得a=7，b=3，c=2超級(jí)測試P36題612全家每人各喝了一滿碗咖啡牛奶,并且李明喝了全部牛奶(若干碗)的和全部咖啡(若干碗)的.那么全家有幾口人?分析與解：設(shè)全家共喝了X碗牛奶和Y碗咖啡，得1/4X+1/6Y=13X+2Y=12 解得X=2，Y=3，故共喝

15、牛奶和咖啡2+3=5碗，因此有5人。超級(jí)教程P-36題7。13某單位職工到郊外植樹,其中的職工各帶一個(gè)孩子參加,男職工每人種13棵樹,女職工每人種10棵樹,每個(gè)孩子種6棵樹,他們共種了216棵樹,那么其中女職工有多少人?分析與解：設(shè)有女職工X人，男職工Y人，有孩子X+Y/3人，這個(gè)條件說明X+Y是3的倍數(shù)，10X+13Y+×6=216，即4X+5Y=72，4（X+Y）+Y=72，得Y能被12整除，Y=（72-4X）÷5=72/5=14.8，所以Y=12，X=3。超級(jí)教程P-36題8。14. 一群猴子采摘水蜜桃。猴王不在的時(shí)候，一只大猴子一小時(shí)可采摘15公斤，一只小猴子一小時(shí)可采摘11公斤;猴王在場監(jiān)督的時(shí)候,大猴子的和小猴子的必須停止采摘,去伺候猴王.有一天,采摘了8小時(shí),其中只有第一小時(shí)和最后