層次分析法 論文

1、歐洲五大足球俱樂部的數(shù)學(xué)建模分析論文統(tǒng)計學(xué) 楊子清 101201010117前言：縱觀當(dāng)今歐洲足壇，風(fēng)起云涌，豪強并起。巴薩皇馬，稱雄西甲；德甲拜仁，一枝獨秀；藍黑軍團國際米蘭，逐鹿意甲之天下；英超一霸切爾西，竟然也能在高手如林的歐冠賽場捧杯。歐洲的足球水平為何如此之高？五大豪強的經(jīng)驗又帶給了我們什么樣的啟示呢？這便是本文要探討的問題。本文引用了數(shù)學(xué)建模的思想，采用了層次分析法對歐洲五大足球俱樂部的綜合實力進行理性而深入的分析。所謂數(shù)學(xué)建模，就是對現(xiàn)實世界中的某一特定現(xiàn)象，為了某一特定的目的，做的簡化假設(shè)，運用數(shù)學(xué)工具，得到一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。而層次分析法，是建模中常用的方法之一。通過層與層之間的對

2、比分析，得出實際問題中的某些結(jié)論。本文所研究的問題是關(guān)于五大足球俱樂部的綜合實力排名情況。現(xiàn)實的足球世界中，影響一支球隊的綜合能力有許多。例如進攻能力、防守能力、球員能力、教練的執(zhí)教能力、裁判的執(zhí)法能力等。這些因素都是對于一支的球隊綜合實力有著或多或少的影響。但他們各自的權(quán)重并不一樣，所以，如何篩選這些因素是本文分析的關(guān)鍵所在。 眾所周知，當(dāng)數(shù)學(xué)模型建立之后，還不能馬上用于實際分析，必須對模型做進一步的檢驗。由于本文數(shù)據(jù)分析過程較為繁瑣，所以檢驗部分并非人工完成，而是運用電腦軟件R來完成的。采用了Satty的檢驗方法對模型進行分析，使模型分析的可信度大大提高。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型、層次分析法、歐洲

3、足球一、 數(shù)學(xué)建模的基本過程：如下圖所示實際問題抽象、簡化假設(shè)、設(shè)定參數(shù)、變量數(shù)學(xué)建模模型求解參數(shù)估計模型檢驗符合否?模型應(yīng)用圖1：數(shù)學(xué)建?；玖鞒虉D層次分析法把人的思維層次化、數(shù)量化, 并用數(shù)學(xué)為分析、決策、預(yù)報或控制提供定量的依據(jù)。這一方法的特點是在對復(fù)雜決策問題的本質(zhì)、影響因素以及內(nèi)在關(guān)系等進行深入分析之后, 構(gòu)建一個層次結(jié)構(gòu)模型, 然后利用較少的定量信息, 把決策的思維過程數(shù)學(xué)化, 從而為求解多目標、多準則或無結(jié)構(gòu)特性的復(fù)雜決策問題提供一種簡便的決策方法 , 尤其適合于人的定性判斷起重要作用的、對決策結(jié)果難于直接準確計量的場合。二、問題重述本文將對歐洲五大足球俱樂部（巴塞羅那、皇家馬德

4、里、國際米蘭、切爾西、拜仁慕尼黑）的綜合實力進行分析。利用層次分析法，把問題分成三個層次，即目標層、準則層、方案層。其基本思想是：通過準則層各因素對目標層的重要程度比較的量化，經(jīng)過適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)推導(dǎo)，得出前述的各權(quán)系數(shù)。三、問題分析首先本文的研究目的是為了評價歐洲五大球隊（巴薩、皇馬、拜仁、國米、切爾西）的綜合實力。對于一支球隊來說，球員是組成球隊的重要部分，因此，球員能力高低將直接影響球隊的實力。其次，球隊在比賽的過程中是通過進球來獲得比賽的勝利的，而要想進球，就要攻破對手的防線，所以進攻能力也是綜合實力的體現(xiàn)。最后，球隊的防守的效果，是決定球隊立于不敗之地的關(guān)鍵所在，也是球隊綜合實力的一個評價

5、指標。四、 做出假設(shè)，畫出層次分析圖基于以上的分析：1、 假設(shè)球隊的綜合實力主要體現(xiàn)在自身的進攻實力、防守實力已經(jīng)球員能力。2、 假設(shè)影響一支球隊獲勝的其他因素均視為隨機誤差。3、 假設(shè)足球比賽中獲勝、平局、落敗的概率相等（沒有暗箱操作）。故層次分析圖如下所示：五支歐洲俱樂部足球隊綜合實力A的綜合實力進攻指數(shù)B1防守指數(shù)B2球員身價總值B3巴 薩C1皇馬C2拜仁C3國米C4切爾西C5 圖2：層次分析圖五、方案說明1、符號說明：表1：符號說明圖五支球隊的綜合實力B1進攻指數(shù)B2防守指數(shù)B3球員的身價總值C1巴薩羅那C2皇家馬德里C3拜仁慕尼黑C4國際米蘭C5切爾西六、 兩兩比較、建立判別矩陣構(gòu)建

6、層次分析結(jié)構(gòu)之后，將問題歸結(jié)為各支俱樂部球隊三個體現(xiàn)綜合實力的指標進行排序。所以，我們要在各層中對元素進行兩兩比較，構(gòu)建判別矩陣。層次分析法主要是人們對每一層次中各因素相對重要性給出的判斷, 這些判斷通過引入合適的標度, 用數(shù)值表示出來, 寫成判斷矩陣。判別矩陣表示針對上一層次因素, 本層次與之有關(guān)因素之間的相對重要性的比較。因此，首先判斷B1、B2、B3對于A的重要性。眾所周知，每一支球隊都是由每一個足球運動員組成的。所以，球隊實力的體現(xiàn)最重要的部分，應(yīng)該是球員的身價總值；其次，評價一支球隊的強弱，應(yīng)該看球隊的進攻能力，倘若一支球隊進球多，那么它獲勝的可能性也就比較大：同樣球隊的防守能力也很

7、重要，只要簡單地設(shè)想一下就知道，如果這支球隊失球數(shù)越少，那么它獲勝的可能性也就大。接著就是確定各元素的權(quán)重，考慮都各元素對目標元素的影響，可用下表數(shù)值表示：表2：權(quán)重的對應(yīng)的數(shù)值Xi/Xj相等較強強很強絕對強aij13579若介于上述二者之間，則取2、4、6、8，由此得到的矩陣A為正互反矩陣。依據(jù)上文的分析，球員身價的權(quán)重應(yīng)該是最大的。其次是球隊的進攻指數(shù)。權(quán)重最小的應(yīng)該是防守指數(shù)。所以，基于上表的數(shù)據(jù)，我們確定A-B矩陣為：AB1B2B3B1131 /3B21/311/5B3351 各球隊數(shù)據(jù)如下，通過對一下數(shù)據(jù)的粗步分析:表3：五支球隊的具體數(shù)據(jù)巴薩羅那的進球數(shù)（主要指標）最多，傳球成功率

8、也最高，其次是拜仁、皇馬、國米、切爾西。失球數(shù)最多的是巴薩和國米，其次是皇馬和切爾西、最后是拜仁。所以我們可以做出如下矩陣：B1-CB1C1C2C3C4C5C113245C21/311/223C31/23134C41/41/21/212C51/51/31/41/21從數(shù)據(jù)上看，巴薩和國米失球最多，17場比賽共失球19個，其次是皇馬和切爾西，共失球17個，而拜仁失球最少，只有7個。以此建立B2-C矩陣為：B2-CB2C1C2C3C4C5C111/31/511/3C231 1/3 31C353153C411/31/511/3C5351/331從體育網(wǎng)站上獲得的數(shù)據(jù)：目前，各支球員身價總值為（歐元）

9、：巴薩5.4 億、皇馬5.245億、國米3.6725億、切爾西3.62億、拜仁3.031億。所以B3-C矩陣：B3C1C2C3C4C5C113957C21/31735C31/91/711/51/3C41/51/3513C51/71/531/31七、一致性檢驗對于判別矩陣的一致性檢驗，本文采用Saaty提出的平均隨機一致性檢。若某矩陣為一致性矩陣，其最大特征根為n，其余特征根為0。通常用CI來衡量一致性。如果CI越小，則一致性越好。但這種方法用缺陷，所以，Saaty提出平均隨機，引入了RI概念，并用CR=CI/RI來衡量矩陣的一致性，當(dāng)CR<0.1時，則認為矩陣有較滿意的一致性。其中：注：

10、Satty給出的RI標準為N12345RI000.580.91.12 運用R軟件可以求的矩陣的特征值和特征向量。并可從中確定最大特征根，將其代入公式，就可以求的CR的取值。運用R軟件計算得：A-B矩陣的CR0.07<0.1,所以矩陣A通過一致性檢驗。B1-C矩陣的CR=2.232143e-0.8<0.1,B1-C也通過檢驗。B2-C矩陣的CR=0<0.1B2-C矩陣通過一致性檢驗。B3-C矩陣的CR=-2.232143e-0.8<0.1B3-C矩陣通過一致性檢驗。八、 模型的優(yōu)缺點該模型主要運用了層次分析法進行數(shù)據(jù)分析，其優(yōu)點是：1、 通過層與層之間的對比分析，使讀者對

11、于這五大足球俱樂部的綜合實力有了進一步的認識(主要通過判別矩陣)。2、 從過層次分析法得到五支球隊的綜合實力評價，要比根據(jù)自己的主觀分析得都的綜合實力評價顯得客觀一些。3、 通過建模分析實際問題可以達到深入簡出的效果。其缺點是：1、由于本人學(xué)藝不精，沒能完全掌握層次分析法的精髓，故在做一致性別時沒能采用最好的方法。導(dǎo)致分析的結(jié)果與實際的結(jié)果有所不同。2、判別矩陣中的各元素自己全是本人憑經(jīng)驗臆測得出的。沒有經(jīng)過專業(yè)人士的認證。所以得出的判別矩陣可能與真實的判別矩陣略有不同。九、結(jié)論基于模型本身，通過以上的分析可以得出最終的綜合實力排名情況為：巴薩、拜仁、皇馬、切爾西、國米。在這五大俱樂部球隊中，

12、巴薩羅那隊擁有豪華的球員陣容，進攻能力是五支球隊當(dāng)中最強的，但防守的能力比較弱；皇馬同樣擁有豪華的球員陣容，但進攻能力稍弱，防守能力也稍弱（或許是因為這幾場比賽是狀態(tài)低迷的原因）；拜仁雖然沒有豪華的球員陣容，但進攻能力比較強，而防守能力又是這五支球隊中最好的，歷來都是歐冠的一支勁旅。因此，個人認為拜仁擁有很強的實力；國米最近幾場比賽中所體現(xiàn)的進攻能力和防守能力都偏弱，可以說球隊正處于下滑期，但就此判斷國米的真實實力為時尚早，再怎么說，畢竟也是當(dāng)年叱咤綠茵場的米蘭雙雄中的一員；切爾西也是沒有豪華的球員陣容，所以進攻能力偏弱是可以理解的，但切爾西的防守能力還是可以跟五大球隊抗衡的。2012年，切爾西正是憑借自己的防守能力擊敗各路豪強，奪得歐冠聯(lián)賽的冠軍。因此，切爾西的實力也不