《點到直線的距離》教案5新人教B版

1、點到直線的距離教案5（新人教B版必修2）點到直線的距離一、教材分析1.教材的地位和作用點到直線的距離是高中課本 平面解析幾何 第一章直線的最后一節(jié)，其主要內(nèi)容是：點到直線的距離公式的推導(dǎo) 及應(yīng)用。在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩點間的距離公式、定比分點公 式、直線方程、兩直線的位置關(guān)系，同時也學(xué)習(xí)了用代數(shù)方 程研究曲線性質(zhì)的以數(shù)論形，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。 在這個基礎(chǔ)上，教材在第一章的最后安排了這一節(jié)。點到直 線的距離公式是解決理論和實際問題的重要工具，它使學(xué)生 對點與直線的位置關(guān)系的認(rèn)識從定性的認(rèn)識上升到定量的認(rèn) 識。點到直線的距離公式可用于研究曲線的性質(zhì)如求兩條平 行線間的距離，求三角形的高，

2、求圓心到直線的距離等等， 借助它也可以求點的軌跡方程，如角平分線的方程，拋物線 的方程等等。2.教材的內(nèi)容安排和處理教參安排點到直線的距離這部分內(nèi)容的授課時間為2個課 時。第一課時：側(cè)重于公式的推導(dǎo)及記憶 第二課時：側(cè)重于公式的應(yīng)用。本節(jié)為第一課時。3.教材的重點和難點本課時的教學(xué)重點是公式的推導(dǎo)及其結(jié)論以及簡單的應(yīng)用， 教學(xué)難點是公式的推導(dǎo)。教材中提供了兩種推導(dǎo)公式的思路，思路I用解析法，思路 用解析法結(jié)合平面幾何、三角的知識。高二的學(xué)生剛剛學(xué) 解析幾何，對解析法不夠熟練，而且接觸用解析法結(jié)合平面 幾何、三角的知識解決問題的例子不多，綜合運用知識的能 力不高，所以公式的推導(dǎo)是難點。公式的推導(dǎo)

3、使用的解析法或解析法結(jié)合其它的數(shù)學(xué)方法，在 第二章圓錐曲線中經(jīng)常用到；公式的推導(dǎo)過程滲透了多種數(shù) 學(xué)思想（數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等），所以，公式的推導(dǎo)也是 重點。二、教學(xué)目的分析根據(jù)以上分析和我校學(xué)生的具體情況，確定本節(jié)課的教學(xué)目 的如下：知識目標(biāo)：第一課時：掌握點到直線距離的公式的推導(dǎo)及其初步運用； 第二課時：鞏固點到直線距離的公式，由它推導(dǎo)兩平行線的 距離公式，使學(xué)生牢固地掌握它們，能較熟練地運用它們解 決問題。能力目標(biāo)：使學(xué)生在學(xué)會知識的過程中，進(jìn)一步熟練用代數(shù) 方法（坐標(biāo)、方程）討論圖形性質(zhì)的能力，培養(yǎng)學(xué)生運用等 價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué) 生綜合運用知識解決問題

4、的能力。德育目標(biāo)：通過對公式推導(dǎo)思路的探索、評價，優(yōu)化學(xué)生的 思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生辯證統(tǒng)一的思想。三、教學(xué)方法和教學(xué)手段的選用根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容和學(xué)生的實際水平，我采用的主要是啟導(dǎo) 法、計算機(jī)輔助教學(xué)、講練結(jié)合法、題組教學(xué)法等等。啟導(dǎo)法屬于啟發(fā)式教學(xué)，它符合辯證唯物主義內(nèi)因和外因相 互作用的觀點，符合教學(xué)論中的自覺性、積極性、鞏固性、可接受性，教學(xué)與發(fā)展相結(jié)合，教師的主導(dǎo)作用與學(xué)生的主 體地位相統(tǒng)一等原則。啟導(dǎo)法的關(guān)鍵是通過教學(xué)中的引導(dǎo)、 啟發(fā)、充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性。在教學(xué)中，我采用啟導(dǎo)法，引導(dǎo)學(xué)生探索公式推導(dǎo)的思路并 完成公式推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、嚴(yán)密性、批判性等, 滲透數(shù)學(xué)思想。利用

5、計算機(jī)輔助教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生回憶平面幾 何的知識，使之順利找到直角三角形的銳角與直線傾斜角的 關(guān)系，突破難點。通過講練結(jié)合法，使學(xué)生完成公式的推導(dǎo), 熟練公式。通過題組教學(xué)法，因材施教，發(fā)展學(xué)生等價轉(zhuǎn)換、 數(shù)形結(jié)合等思想，培養(yǎng)學(xué)生綜合運用知識解決問題的意識。四、關(guān)于學(xué)法的指導(dǎo)授人以魚，不如授人以漁。我體會到，必須在傳授知識給 學(xué)生的同時，教給他們好的學(xué)習(xí)方法，就是讓他們會學(xué)習(xí)首先讓學(xué)生明確為什么在兩直線的位置關(guān)系這一節(jié)討論點 到直線的距離公式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在公式的推導(dǎo) 中，比較兩種推導(dǎo)思路的不同，讓他們體會到思路I難，難在什么地方？思路妙，妙在哪里？，使他們熟悉解 析法，同時領(lǐng)會到用解析法

6、結(jié)合其它數(shù)學(xué)方法的妙處。這樣， 學(xué)生不僅學(xué)到了知識，而且通過公式推導(dǎo)思路的優(yōu)化，深化 了對數(shù)形結(jié)合思想的理解，提高了學(xué)生轉(zhuǎn)化問題的能力。五、教學(xué)過程（第一課時）（一） 點到直線距離公式的推導(dǎo)問題的引入 首先明確點到直線的距離的概念， 再給出問題一，求點P（-1，2）到直線：2x+y-10=0的距離。提問學(xué)生解題思路， 估計學(xué)生的思路：先求過點P的的垂線的方程；再聯(lián)立、求 垂足Q最后用兩點間距離公式求丨PQI。設(shè)計問題一的目 的是使學(xué)生鞏固已學(xué)過的知識和方法，同時也為問題二的解 決作鋪墊。緊接著由老師提出問題二：求點P（x,y）到直線：Ax+By+C=O的距離。問題的解決先考慮心0,BM0的情形

7、。【思路I的教學(xué)】學(xué)生類比問題一，容易有思路：先求垂線的方程，再聯(lián)立方 程求交點的坐標(biāo)，最后用兩點間距離公式算丨PQI。（我們 稱這種思路為思路I）但計算又會有具體困難。師生共同完 成計算，由于全部是字母運算，估計需要8分鐘。這里讓學(xué) 生實踐自己的想法，可以達(dá)到兩個目的，一個是熟悉解析法， 另一個是使學(xué)生體驗到在這里只使用了解析法，運算的確很 繁。如何化繁為簡呢？【思路的教學(xué)】 老師引導(dǎo)學(xué)生變換角度去考慮，觀察圖形。這時可以通過設(shè) 問促使學(xué)生給出新的思路。構(gòu)造直角三角形的教學(xué)老師設(shè)問要求的是垂線段的長，在平面幾何中是如何求線 段長的呢？學(xué)生會回答構(gòu)造直角三角形。 老師進(jìn)一步設(shè)問怎樣構(gòu)造直角三角

8、形呢？老師引導(dǎo)學(xué)生觀 察圖形，抓住直角特征，構(gòu)造以垂線段為一直角邊的直角三 角形。通過老師的引導(dǎo)， 加上學(xué)生多次構(gòu)造直角三角形， 解決相關(guān) 問題的經(jīng)驗 （如求兩點間的距離公式，求直線的傾斜角等） 學(xué)生的思維方向明確，構(gòu)造出的直角三角形可能主要有以下 兩種：（I）過點P作PMI0Y交于M則有RtPMQ（） 過點P作PN/ OX交于N,則有RtPQN（I）（）過一點作坐標(biāo)軸的平行線構(gòu)造圖形的方法的優(yōu)點是：比較容 易確定交點坐標(biāo)；容易求出線段長,這種方法在學(xué)生今后進(jìn) 一步的學(xué)習(xí)中會經(jīng)常用到的。（注：對可能出現(xiàn)的在上任取一點M連結(jié)PM而得到直角三角形,老師引導(dǎo)學(xué)生指出其缺點：未能充分利用的傾斜角。）不

9、管學(xué)生采用哪一種方法構(gòu)造直角三角形,推導(dǎo)公式的方法 的實質(zhì)都一樣，所以只對I重點分析。解直角三角形的教學(xué)老師設(shè)問要解直角三角形,邊角元素至少要知道幾個？學(xué) 生知道必須有兩個邊角元素（至少要有一邊）。 緊接著老師引導(dǎo)學(xué)生確定解直角三角形所需的邊角元素。邊：估計學(xué)生能求出斜邊丨PM|的長，可得y1 =,故I PM| =（若不能，引導(dǎo)學(xué)生觀察直角三角形的邊，注意到PM/y軸，P點的坐標(biāo)、的方程是已知的，M是PM與的交點， 就可以求出I PM |。若學(xué)生提出可再求I MQ的長，老師可 引導(dǎo)學(xué)生：必須知道垂足Q的坐標(biāo)，又回到了思路I,所以 只能從角去找。） 角：師生共同分析：數(shù)確定,形就確定,即直線方程

10、給定, 則直線就確定，直線的傾斜角也確定。故可考慮B（即/MPQ=x =與已知直線的傾斜角a的關(guān)系：。與a相等或互補(bǔ)。學(xué)生 在說明6與a的關(guān)系時，習(xí)慣用相似三角形，但由于點P與直線l的位置關(guān)系不確定，又心存疑慮。通過電腦演示動 畫，說明無論點P與直線I的位置關(guān)系如何，RtMPQ與RtMAB始終相似。通過電腦演示，還可以說明：當(dāng)aV 90時，6 = a；當(dāng)a 90時，6 =180 - a。事實上，在平面幾何中，有這樣的結(jié)論：平面幾何中，如果 一個角的兩邊分別垂直于另一個角的兩邊，那么這兩個角相 等或互補(bǔ)。當(dāng)兩個角都是銳角或都是鈍角時，這兩個角相等； 當(dāng)兩個角中一個是銳角一個是鈍角時，這兩個角互補(bǔ)

11、。利用 這個結(jié)論可以直接得到：/QPM與已知直線的傾斜角a相等或互補(bǔ)。在RtPMC中，已知、6，要求，只需求COS 6。而已知的方程，就知道tg a（當(dāng)BM0時，tg a =-）,也就 知道tg 6, 也就知道sec 6，就可以求出cos 6；v 6 V 90,二COS6 =；在RtPMC中，已知 |PM|,cos/QPM即卩cos6，則PQ| = | PM| cos 6補(bǔ)充說明】通過實例，討論當(dāng)A=0或B=0的特殊情形，指出當(dāng)A=0或B=0時，公式仍然成立。在實際解題時，可畫圖直接求解也可套 用公式。通過對特殊情形的討論，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性， 滲透分類討論的數(shù)學(xué)思想?！舅枷敕椒ǖ慕虒W(xué)】回顧

12、公式的推導(dǎo)過程，師生共同分析思路I、思路的不同： 思路I：用解析法；求垂線方程、聯(lián)立方程求交點Q用兩點的距離公式求丨PQI;它是用方程的方法來解決幾何問題， 也就是解析幾何首先倡導(dǎo)的以數(shù)論形的思想方法的具體應(yīng) 用。它思路簡單，但運算較繁。思路用解析法結(jié)合平面幾何、三角的知識；構(gòu)造以垂線 段為一直角邊的直角三角形，通過解直角三角形，求丨PQl。這說明在用解析法時應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合、綜合應(yīng)用平面幾何、 三角等知識，化繁為簡。通過兩種思路的比較，使公式的推導(dǎo)得以升華，培養(yǎng)學(xué)生思 維的深刻性。點到直線的距離公式的推導(dǎo)有多種思路和方法，老師布置學(xué) 生課后思考其他的推導(dǎo)方法，為下一節(jié)課作準(zhǔn)備?！竟降慕虒W(xué)】

13、為了使學(xué)生牢固的掌握公式，老師引導(dǎo)學(xué)生閱讀課本，并讓 學(xué)生思考回答例1：求點P（1，2）到直線2x+y-10=0的距 離；例2:點（4,m）到直線4x-3y-仁0的距離為3,求m。并利用組合投影片將例1中的直線變換成2x+y=10；y=2x+10；2xy=0；y=；y=2；x=2作變式訓(xùn)練。然后師生共同總結(jié)出公式的 結(jié)構(gòu)特征、公式的適用范圍、使用公式時應(yīng)注意的問題等等， 即如下幾點：1公式的結(jié)構(gòu)特征：分子是將點的坐標(biāo)代入直線方程一般 式的左邊得到的代數(shù)式加絕對值，分母是。2.公式的適用范圍：該公式對于任何位置的點P（包括直 線上的點）及任意直線都適合。當(dāng)A=0或B=0時，公式仍 成立，但計算時

14、常用圖形直接求解。3使用公式時應(yīng)注意的問題：使用點到直線距離的公式時， 應(yīng)先將直線方程化為一般式。4用方程的觀點理解公式：該公式是含有6個量的方程，知道其中5個量可以求第6個量。（二）點到直線距離公式的簡單應(yīng)用對公式應(yīng)用采用題組分層次教學(xué)，先后通過A,B,C三組（6個題）組織學(xué)生進(jìn)行練習(xí)評講，進(jìn)一步鞏固點到直線的距離 公式。A組題（基礎(chǔ)題）主要目的是照顧學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生，側(cè)重 于基礎(chǔ)，進(jìn)行基本技能訓(xùn)練。第1，2題使學(xué)生能熟練地直 接利用公式求出點到直線的距離；完成A組題，大約需要23分鐘。B組題（中等題）第1題，使學(xué)生能逆用公式，用待定系數(shù) 法列方程求參數(shù)；第2題重點突出數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化問題的數(shù)

15、 學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生綜合運用知識的能力。完成B組題，大約需要45分鐘。A、B兩組題是必做題。C組題（提高題）是提高題，難度大，作選做題，為學(xué)有余 力的同學(xué)提供了更廣闊的思維空間，也為下一課時埋下伏筆。這樣遵循循序漸進(jìn)的規(guī)律進(jìn)行題組教學(xué)，顧及到了各層次的 學(xué)生，達(dá)到了預(yù)期的教學(xué)目的。六、教學(xué)評價的分析 學(xué)生在學(xué)習(xí)點到直線的距離公式時，經(jīng)常會出現(xiàn)以下兩個問 題：1.使用公式時，未將直線方程寫成一般式，隨意改寫方程；2.遇到A=0或B=0的情形，不會套公式或用數(shù)形結(jié)合沒有加 絕對值算出的結(jié)果是負(fù)的； 課堂上，老師可以通過巡堂，或提問等方式來發(fā)現(xiàn)學(xué)生的錯 誤，而采取直接講解，或采取實物投影學(xué)生的錯誤解答，組 織學(xué)生集體討論，并提問學(xué)生的方式來糾正學(xué)生的錯誤。老 師課堂上除