海倫公式的推導(dǎo)和應(yīng)用

1、海倫公式海倫公式又譯作希倫公式、海龍公式、希羅公式、海倫-秦九韶公式，傳說是古代的敘拉古國王希倫(Heron，也稱海龍)二世發(fā)現(xiàn)的公式，利用三角形的三條邊長來求取三角形面積。 但根據(jù)Morris Kline在1908年出版的著作考證，這條公式其實是阿基米德 所發(fā)現(xiàn),以托希倫二世的名發(fā)表 (未查證)。我國宋代的數(shù)學(xué)家 秦九韶也提出了 三斜求積術(shù) 它與海倫公式基本一樣。假設(shè)有一個三角形，邊長分別為a、b、c,三角形的面積 S可由以下公式求得：S* p(p -a)(p-b)(p-c)而公式里的p為半周長:p=(a+b+c)/2注1: "Metrica"(度量論)手抄本中用s作為半

2、周長，所以S=yp(p -a)(p-b)(p-c)和 S=ys(s -a)(s-b)(s-c)兩種寫法都是可以的，但多用p作為半周長。由于任何n邊的多邊形都可以分割成n-2個三角形，所以海倫公式可以用作求多邊形面積的公式。比如說測量土地的面積的時候，不用測三角形的高，只需測兩點間 的距離，就可以方便地導(dǎo)出答案。證明(1):與海倫在他的著作"Metrical度量論)中的原始證明不同，在此我們用三角公 式和公式變形來證明。設(shè)三角形的三邊a、b、c的對角分別為 A、B、C,則余弦定理為cosC = (aA2+bA2-cA2)/2abS=1/2*ab*s inC=1/2*ab* V(1-co

3、sA2 C)=1/2*ab* V1-八2+匕八27八2)八2/4&八27八2=1/4* V4aA2*bA2 -八2+匕八27八2)八2=1/4* V(2ab+aA2+bA2 -cA2)(2ab-aA2-bA2+cA2)=1/4* V(a+b)A2 心2忖2-小)八2=1/4* V(a+b+c)(a+b -c)(a-b+c)(-a+b+c)設(shè) p=(a+b+c)/2貝U p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=V(a+b+c)(a+b -c)(a-b+c)(-a+b+c)/16=v p(p-a)(p-b)(p-c

4、)所以，三角形 ABC 面積 S=yp(p-a)(p-b)(p-c)證明(2):我國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶也提出了三斜求積術(shù)”。它與海倫公式基本一樣，其實在九章算術(shù)中，已經(jīng)有求三角形公式 底乘高的一半”，在實際丈量土地面積時， 由于土地的面積并不是的三角形，要找出它來并非易事。 所以他們想到了三角形的三條邊。如果這樣做求三角形的面積也就方便多了。但是怎樣根據(jù)三邊的長度來求三角形的面積？直到南宋，我國著名的數(shù)學(xué)家九韶提出了三斜求積術(shù)”。秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜。術(shù)”即方法。三斜求積術(shù)就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相減后余數(shù)的一半，自乘而得一個 數(shù)小斜平方乘以大斜平

5、方，送到上面得到的那個。相減后余數(shù)被4除馮所得的數(shù)作為實”，作1作為 隅”，開平方后即得面積。所謂實”、隅”指的是，在方程 px 2=qk,p為隅”，q為實”。以、a,b,c表示 三角形面積、大斜、中斜、小斜，所以q=1/4c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2當(dāng) P = 1 時， 2= q,S =V1/4c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2因式分解得1/16(c+a)2-b 2b 2-(c-a) 2=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)=p(p-a)(p-b)(p-c)

6、由此可得：S =V p(p-a)(p-b)(p-c)其中 p=1/2(a+b+c)這與海倫公式完全一致，所以這一公式也被稱為海倫-秦九韶公式”。S=c/2* 根號下 aA-(aA-bA+cA)/2cA.其中 c>b>a.根據(jù)海倫公式，我們可以將其繼續(xù)推廣至四邊形的面積運算。如下題：已知四邊形 ABCD為圓的內(nèi)接四邊形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6 ，求四邊形 ABCD的面積這里用海倫公式的推廣S圓內(nèi)接四邊形=根號下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) (其中p為周長一半，a,b,c,d,為 4邊)代入解得s=8V 3海倫公式的幾種另證及其推廣關(guān)于三角形的面積計算公式在解

7、題中主要應(yīng)用的有：設(shè)厶ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，ha為a邊上的高，R、r分 別為 ABC外接圓、內(nèi)切圓的半徑，p = (a+b+c),貝US ABC=1/2 aha=1/2 abxsinC=1/2 r p= 2R2sinAsinBsinC=V p(pa)(p-b)(p-c)其中，S ABC =V p(p-a)(p-b)(p-c)就是著名的海倫公式，在希臘數(shù)學(xué)家海倫的著作測地術(shù)中有記載。海倫公式在解題中有十分重要的應(yīng)用。一、海倫公式的證明證一 勾股定理 如右圖勾股定理證明海倫公式。證二：斯氏定理 ?如右圖。 ?斯氏定理證明海倫公式證三：余弦定理分析：由變形 S =可知，運用余

8、弦定理 c2 = a2 + b2 2abcosC 對其進(jìn) 行證明。證明：要證明 S =則要證 S =abxsi nC此時S = abxsinC為三角形計算公式，故得證。證四：恒等式恒等式證明 (1)恒等式證明 (2)證五：半角定理由證一， x = = c = p cy = = a = p az = = b = p br3 =二 r = S ABC = r p =故得證。二、海倫公式的推廣 由于在實際應(yīng)用中，往往需計算四邊形的面積，所以需要對海倫公式進(jìn)行推廣。由于三角形內(nèi)接于圓，所以猜想海倫公式的推廣為：在任意內(nèi)接與圓的四邊形ABCD 中，設(shè) p= ,則 S 四邊形 =現(xiàn)根據(jù)猜想進(jìn)行證明。證明：

9、如圖，延長 DA， CB 交于點 E設(shè) EA = e EB = fvZ 1+ / 2 =1800 / 2+ / 3 =1800/ 1 =Z 3 EAB ECD解得： e = f = 由于S四邊形ABCD = S EAB將，跟b =代入公式變形，得： S四邊形ABCD =所以，海倫公式的推廣得證。三、海倫公式的推廣的應(yīng)用 海倫公式的推廣在實際解題中有著廣泛的應(yīng)用， 特別是在有關(guān)圓內(nèi)接四邊形的各 種綜合題中，直接運用海倫公式的推廣往往事倍功半。例題：如圖，四邊形 ABCD內(nèi)接于圓 0中，SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2.求：四邊形可能為等腰梯形。解：設(shè) BC = x由海

10、倫公式的推廣，得：（4x）（2x）2 =27x412x2 16x27 = 0x2（x2 1）11x（x 1）27（x 1） = 0（x 1 ）（x3 x211x27） = 0x = 1 或 x3x211x27 = 0當(dāng) x = 1 時， AD = BC = 1四邊形可能為等腰梯形。在程序中實現(xiàn) （VBS）:dim a,b,c,p,q,sa=inputbox（"請輸入三角形第一邊的長度"）b=inputbox（"請輸入三角形第二邊的長度"）c=inputbox（"請輸入三角形第三邊的長度"）a=1*ab=1*bc=1*cp=（a+b+c）*（a+b-c）*（a-b+c）*（-a+b+c）q=sqr（p）s=（1/4）*qmsgbox（" 三角形面積為 "&s）, ,"三角形面積 "在 VC 中實現(xiàn)#include<stdio.h>#include<math.h>main()int a,b,c,s; printf(" 輸入第一邊 n"); scanf("%d",&a);printf(" 輸入第二邊