第二章電磁場

1、第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程 麥克斯韋在電磁現(xiàn)象基本實驗規(guī)律的基礎上，提出 “渦旋電場” 和 “位移電流” 兩個假說，歸納出一組描述電磁場運動規(guī)律的基本方程，即麥克斯韋方程組，其正確性為日后的實驗所確認，是分析解決電磁場問題的理論基礎。 本章將回顧、總結(jié)電磁現(xiàn)象基本規(guī)律以及介質(zhì)的極化和磁化規(guī)律，給出渦旋電場和位移電流的概念，在此基礎上建立麥克斯韋方程組，并推導電磁場的邊界條件，討論電磁場的能量和能流。 第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程2.1 電荷 電流 一切電、磁現(xiàn)象均起源于電荷、電流 。2.1.1 電荷 電荷密度

2、電子和質(zhì)子是自然界帶有最小電荷量的粒子，電子的電荷量 e= 1.6021019C，質(zhì)子的電荷量為 e =+1.6021019 C。 任何其它微粒所帶的電荷量 q 都是電子或質(zhì)子電量的整數(shù)倍 電荷的量子化 。 宏觀電現(xiàn)象中，電荷的量子性表現(xiàn)不明顯，可以認為電荷是連續(xù)分布。 第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程電荷密度 VqVqVddlim0空間中某一體積 V 內(nèi)的電荷總量表示為 VVqd面電荷密度以及任意曲面上的電荷總量 SqSqSSddlim0SSSqd線電荷密度以及任意曲線上的電荷總量 lqlqllddlim0Lllqd第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程面電荷密度、線電

3、荷密度與體電荷密度之間的關系： 面積為S、厚為 h 的體積內(nèi)的電荷 q =hS 。當 h 0時，該電荷即為面電荷，故 00limhSShSSh00limllll 長為l、橫截面積為 的體積內(nèi)的電荷 q =l 。當 0 時，該電荷即為線電荷，故 第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程2.1.2 電流 電流密度 電荷的定向移動形成電流。電流強度 tqtqItddlim0電流密度矢量 方向指向正電荷的運動方向，大小等于單位時間內(nèi)垂直通過單位截面的電荷量，亦即通過單位橫截面的電流強度。 SIeJSv0lim通過任一面元 dS 以及任一有限面積 S 的電流強度為 SJIddSSJId第二章第二章

4、 電磁場的基本方程電磁場的基本方程 電流密度與電荷的密度及其運動速度有關。若空間某點的電荷體密度為 ，其運動速度為 v，則該點處的電流密度為vJ 如果電流分布在某曲面上，則面電流密度可定義為lIeJlvS0lim面電流密度與體電流密度之間的關系 00limhlvShJllhJeJ第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程2.1.3 電流連續(xù)性方程 考慮存在體電流的空間中某一區(qū)域 V，包圍它的閉合曲面為 S。單位時間內(nèi)由區(qū)域 V 內(nèi)流出的電流為 SJISd按電荷守恒定律，應等于中單位時間內(nèi)電荷量的減少，即 VSVttqSJIdddddd所以有VSVtSJdddd 電流連續(xù)性方程第二章第二章

5、電磁場的基本方程電磁場的基本方程 在體積不隨時間改變時，對求導與對體積的積分可交換順序，則電流連續(xù)性方程可表為 VVtSJddS利用散度定理，可得到電流連續(xù)性方程的微分形式 tJ穩(wěn)恒電流情形下，電荷分布不隨時間變化，故有 0 J0dSJS穩(wěn)恒電流線是處處連續(xù)的閉合線。 第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程2.2 真空中電磁現(xiàn)象的基本規(guī)律2.2.1 靜電現(xiàn)象的基本實驗定律和定理1. 庫侖定律 電場強度 庫侖定律是靜電現(xiàn)象的基本實驗規(guī)律：真空中點電荷 q1 對點電荷 q2 的作用力為 31212012214rrrrFqq其中，0 = 8.854210-12 C2m-2 N-1 為真空的介

6、電常數(shù), r1、r2為兩個點電荷的位矢。 第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程 電荷之間的相互作用通過電場傳遞。電場強度定義為：qFE 304)(rrrrEq位于 r 處的點電荷 q 在空間任一點 r 處產(chǎn)生的電場強度為第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程VV304d)()()(rrrrrrE面電荷分布產(chǎn)生的電場強度SS304Sd)()()(rrrrrrE線電荷分布產(chǎn)生的電場強度 Lll304d)()()(rrrrrrE體電荷分布產(chǎn)生的電場強度電場滿足疊加原理，所以有：第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程2. 高斯定理 靜電場的散度 高斯定理：真空中，靜電場在任何

7、閉合曲面上的通量僅由曲面內(nèi)的電荷決定，與曲面外的電荷無關。 VSVd1d0SE 利用散度定理，可以寫出高斯定理的微分形式 可見，電場強度在任一點的散度只取決于該點的電荷密度。0 E第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程3. 靜電場的環(huán)路定理和旋度 靜電場中，E 對任意閉合線的環(huán)量為零。 靜電場的環(huán)路定理由斯托克斯公式，可得環(huán)路定理的微分形式可見，靜電的旋度恒為零。 靜電場是有散無旋場，靜電場的電力線發(fā)自正電荷，止于負電荷，是連續(xù)的不閉合曲線。 C0dlE0E第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程2.2.2 穩(wěn)恒磁場的基本實驗定律和定理 1. 安培定律 畢奧薩伐爾定律 安培定律給

8、出真空中兩個電流元之間磁相互作用的規(guī)律：回路 C 上的電流元 I dl 受到來自 C 上電流元 I dl 的磁力為30)(dd4drrrrllFII其中 0 為真空的磁導率， r 和 r 分別為電流元 I dl 和 I dl 的位矢。第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程 電流之間的磁相互作用通過磁場傳遞。電流在其周圍空間產(chǎn)生磁場，磁場的基本性質(zhì)是對位于其中的電流和運動電荷有作用力。引入磁感應強度 B 描寫磁場的這一基本性質(zhì)，將電流元 I dl 在磁場中的受力寫為dF = I dlB 將上式與安培定律對比,可得電流元 I dl 在 r 處產(chǎn)生的磁感應強度為 30)(d4drrrrlBI

9、第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程 由場的疊加原理，整個電流 I 在 r 處產(chǎn)生的總磁場為 上兩式稱為畢奧薩伐爾定律，它給出了電流激發(fā)磁場的規(guī)律。 載流導線在磁場中受力的微觀本質(zhì)是磁場對在其中運動的電荷有作用力。帶電量為 q 的電荷在磁場 B 中以速度 v 運動時，它所受到的磁力由洛侖茲力公式給出 F = q vB 上式亦即安培力公式的微觀表達式。它表明洛侖茲力總是垂直于電荷的運動速度，故洛侖茲力永不作功，只改變電荷的運動方向。CCRII3030d4)(d4)(RlrrrrlrB第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程2. 磁場的高斯定理 磁場的散度 穿過任一閉曲面的 B 通

10、量恒為零，這一性質(zhì)稱為磁通連續(xù)性原理或磁場的高斯定理 。 0dSSB 由散度定理，可寫出與上式相對應的微分關系B = 0這表明，磁場是無散場。第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程3. 安培環(huán)路定理 穩(wěn)恒磁場的旋度 安培環(huán)路定理是穩(wěn)恒磁場的另一個重要定理，表達式為 這里 S 是以 L 為周界的任意曲面。LSSJlBdd0JB0與上式相應的微分形式為 穩(wěn)恒磁場的散度和旋度方程表明，穩(wěn)恒磁場有旋無散，磁感應線是無頭尾的閉合曲線。 第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程2.2.3 電磁感應定律 渦旋電場 1. 電磁感應定律 在磁通發(fā)生變化的回路中存在著感應電動勢，其規(guī)律由法拉第電磁感

11、應定律給出： SttSB ddddd 引起磁通變化的原因有兩種，相應的感應電動勢也有兩種。當導體回路相對于磁場運動時，無論磁場是否穩(wěn)恒，導體回路中都會產(chǎn)生感應電動勢。此電動勢稱為動生電動勢，記做 k。引起動生電動勢的非靜電力是洛侖茲力： ClBvdk第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程若回路 C 中的感應電動勢由磁場本身隨時間變化而引起，則稱其為感生電動勢，記為 ind。由法拉第電磁感應定律，有StSBddni2. 渦旋電場 引起感生電動勢的非靜電力是什么？為回答此問題，麥克斯韋提出了渦旋電場假說： 隨時間變化著的磁場可以激發(fā)一種電場，稱為感生電場。該電場的電力線是閉合的，故又稱為渦

12、旋電場。渦旋電場力就是引起感生電動勢的非靜電力。第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程ClEddnidniSCtSBlEdddni對應的微分形式為tBEdni 按渦旋電場假說，由電動勢的定義，有 與前式比較，可得第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程 結(jié)論：激發(fā)電場的源有兩種，一種是電荷，它激發(fā)的電場是無旋的庫侖場 EC；另一種是變化的磁場，它激發(fā)的是渦旋電場 Eind；空間的總電場 E = EC + Eind 。SCtSBlEddtBE 由靜電場的環(huán)路定理和渦旋電場的數(shù)學表達式，可得總電場的環(huán)流對應的微分形式為可見，總電場 E 為有旋場，其旋度為磁場變化率的負值。第二章第二章

13、 電磁場的基本方程電磁場的基本方程2.3 介質(zhì)的電磁特性 在實際電磁場問題中，通常有介質(zhì)存在。物質(zhì)由分子組成，分子由原子組成，而原子由帶有正電荷的核和繞核運動、帶有負電荷的電子構成。當物質(zhì)處在外加電磁場中時，其分子中的電荷分布以及分子的狀態(tài)都會受場的影響而發(fā)生變化，使原來中性的物質(zhì)表現(xiàn)出一定的電、磁性質(zhì)，從而反過來對電磁場的分布產(chǎn)生影響。2.3.1 介質(zhì)的極化1極化強度 電介質(zhì)按其分子是否具有固有電偶極矩分為兩類：無極分子電介質(zhì)和有無極分子電介質(zhì)。第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程 無外電場時，無論是有極分子電介質(zhì)還是無極分子電介質(zhì)也不顯電性都呈現(xiàn)電中性。 當介質(zhì)處于外電場中時，介

14、質(zhì)將發(fā)生極化。按極化的機理，極化分為兩類：a)位移極化：分子正負電荷重心分開，成為沿外電場方向的電偶極子，使介質(zhì)在宏觀上顯示出電性；b)取向極化：分子的固有電偶極矩受電力矩作用，一定程度地轉(zhuǎn)向外電場方向，使介質(zhì)在宏觀上顯示出電性。 無論是位移極化還是取向極化，極化現(xiàn)象的特征都是單位體積介質(zhì)內(nèi)分子的電偶極矩矢量和不為零。為描述介質(zhì)極化的狀態(tài)，引入極化強度矢量 P：VVpP0lim第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程2極化電荷 由于極化，介質(zhì)的表面和內(nèi)部都可能出現(xiàn)宏觀的電荷分布，這就是極化電荷。從微觀上看，極化電荷仍被束縛在分子中，不可能從介質(zhì)中引出，它們是束縛電荷。1）極化電荷面密度

15、介質(zhì)極化后，其分子的電偶極矩基本上沿極化強度的方向排列起來。介質(zhì)內(nèi)接近表面處的偶極子中的電荷會沿 P 方向穿出表面，形成“浮現(xiàn)”在介質(zhì)表面的極化電荷。 設等效電偶極子長度為 l，電量為 q，分子數(shù)密度為 n 。取一斜高為 l ，底面積為 S 的斜柱體，柱體的軸線平行于 P。第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程于是，介質(zhì)表面上的極化電荷面密度為 en 為介質(zhì)表面的外法向單位矢。 SlqnqcosnPcoseP lqnSqS 向柱體的上底面外貢獻 +q 的偶極子，其負電荷一定在此柱體內(nèi)。所以，S 面擁有的極化電荷總量為第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程2）極化電荷的體密度 考

16、慮介質(zhì)內(nèi)部的某體積 V。由電荷守恒定律，在極化中凈移出體積 V 的束縛電荷總量應等于留在體積內(nèi)的束縛電荷總量的負值。因為移出體積 V 的束縛電荷就是 “浮現(xiàn)”在該體積表面上的全體極化電荷的代數(shù)和，所以有此為計算體積 V 中極化電荷的公式。利用散度定理，可得極化電荷的體密度為VSSSSVSSqddddPnPPSPePPP可見，介質(zhì)均勻極化（ P 為常量）時，其內(nèi)部無極化電荷。第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程3有介質(zhì)存在時的高斯定理 有介質(zhì)存在時，空間中不僅有自由電荷，還有極化電荷，任一點的電場由二者共同激發(fā)。因此，高斯定理應擴展為利用 ，上式成為引入電位移矢量： VSVd)(1dP

17、0SESVVSP ddPVSVdd)(0SPEPED0第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程則上式成為此即用 D 表示的高斯定理。 可見，電位移矢量的通量僅由自由電荷決定，與極化電荷無關。該式對真空也適用。 根據(jù)散度定理，可得其微分形式 VSVddSD D第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程2.3.2 介質(zhì)的磁化 1磁化強度 介質(zhì)分子中各種形式的電荷運動的總效果可以等效為一個環(huán)形電流，稱為分子電流。由于分子電流的存在，分子具有一定的磁矩：m = I a ，其中 I 是分子電流的強度，a 是分子電流環(huán)繞的有向面積，其方向與分子電流的繞向成右手螺旋。 無外加磁場時，介質(zhì)中各分子磁

18、矩雜亂排列，互相抵消，于是介質(zhì)不顯磁性。當處于外磁場中時，各分子磁矩在外磁場的力矩作用下將一定程度地轉(zhuǎn)向外磁場方向，于是介質(zhì)在宏觀上顯示出磁性，稱介質(zhì)發(fā)生了磁化。第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程 描寫介質(zhì)的磁化狀態(tài)的物理量是磁化強度矢量：2磁化電流 介質(zhì)磁化后，內(nèi)部各分子的磁矩大致沿 M 的方向排列起來，從而介質(zhì)內(nèi)部和表面的各分子環(huán)流不會互相抵消，將形成宏觀電流，稱為磁化電流。磁化電流是束縛電流。1）磁化電流密度VVmM0lim 考察介質(zhì)內(nèi)部通過任一截面S的磁化電流強度。穿過 S 面的總磁化電流就是那些與 S 的周線 L 相環(huán)鏈的分子電流的總和。第二章第二章 電磁場的基本方程電磁

19、場的基本方程 以 L 上的任一線元 dl 為軸線，以分子環(huán)流所圍成的面積 a 為底做一斜柱體。凡中心落在此柱體內(nèi)的分子環(huán)流都與環(huán)鏈。設分子數(shù)密度為 n，則與線元環(huán)鏈的分子環(huán)流數(shù)目為la dcosdddnlanVnN 每一分子環(huán)流為 I ，故與線元 dl 環(huán)鏈的所有分子環(huán)流對穿過 S 的磁化電流的貢獻為lMladdd InNI所以，穿過 S 的總磁化電流為記磁化電流密度為 Jm，則上式可寫為LNIIlM ddm第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程 利用斯托克斯定理，可寫出與上式相應的微分式： 可見，在均勻磁化的介質(zhì)內(nèi)部不存在磁化電流。2）磁化面電流密度 在由表面法線與 M 確定的平面內(nèi)

20、做一微小矩形回路 L，回路的兩長邊（長度為l ）分別在介質(zhì)表面兩側(cè)并與表面平行，如圖所示。 MJm 當矩形的寬度 h0 時，穿過回路所圍面積的磁化電流即為通過線段 l 的磁化面電流。LSmIlMSJddm第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程 將 用于此回路，由于介質(zhì)外 M = 0，而 l 足夠小，在此長度上介質(zhì)中 M 可視為常量，故有這里 為介質(zhì)表面的外法向單位矢 en 與 M 的夾角。于是 LNIIlM ddmsindmlMILSlMlMsinmmMlIJSS 注意到分子環(huán)流的繞行方向與 M 成右手螺旋，故表面上磁化電流垂直于紙面向外。 綜合上述，介質(zhì)表面磁化電流面密度矢量為nme

21、MJS第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程3有介質(zhì)存在時的安培環(huán)路定理 有介質(zhì)存在時，空間任一點的磁場由傳導電流 J 和磁化電流 Jm 共同激發(fā)。此時安培環(huán)路定理應改寫為LSlMSJddmLSSJJlBd)(dm0利用 ，可將上式寫為LSSJlMBdd)(0定義磁場強度 MBH0第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程則有此即用 H 表示的安培環(huán)路定理，該式對真空中的磁場也成立。由斯托克斯定理，與上式相應的微分形式為 LSSJlHddJH 2.3.3 本構方程 介質(zhì)的極化強度、磁化強度與電場、磁場之間存在著確定的相互關系。這種關系與介質(zhì)本身的物質(zhì)構成有關，因此被稱為本構方程。本

22、構方程描寫了介質(zhì)的宏觀電磁特性，可以由實驗確定。第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程1各向同性線性介質(zhì) 各向同性線性介質(zhì)的介質(zhì)的電磁特性與方向無關，且本構方程為線性方程。 在各向同性線性電介質(zhì)中，有其中 e 為介質(zhì)極化率。e 0 ，等號對真空成立。 在各向同性的非鐵磁線性介質(zhì)中，有其中 m 為介質(zhì)磁化率。對順磁質(zhì)，m 0，即 M 與 H 同向；對抗磁質(zhì)，m 0，即 M 與 H 反向；真空中 m = 0 。EP0eHMm第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程 將上兩式分別代入 D 和 B 的定義式，可得EED0e)1(HHB0m)1 (其中 為介質(zhì)的介電常數(shù)； 為介質(zhì)的磁導率；

23、0r0e) 1(0r0m) 1(r 和 r 分別稱為介質(zhì)的相對介電常數(shù)和相對磁導率。 以上 P 、E 關系和 M、H 關系或 D、E 關系和 B、H 關系就是各向同性線性介質(zhì)中的本構關系。第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程 導電介質(zhì)尤其是導體中，傳導是主要現(xiàn)象。導電介質(zhì)中某點的電流密度與該點的電場強度的關系由微分形式歐姆定律給出： = 0 的介質(zhì)為理想介質(zhì)。在理想介質(zhì)中，無論有無電場，總有 J = 0。 = 的介質(zhì)為理想導體。在理想導體中，因 J 有限，故總有 E = 0 。 對于導電介質(zhì)，本構方程還包括微分形式歐姆定律。 2各向同性非線性介質(zhì) 在各向同性非線性介質(zhì)中， EJEEE

24、EEP2)3(e0)2(e0)1(e0HHHHHM2)3(m)2(m)1(m第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程例： 真空中有一個半徑為 R、介電常數(shù)為 的介質(zhì)球，其球心放置了一電量為 q 的點電荷。求空間極化電荷分布。解：以球心為坐標原點，建球坐標系。電場分布具有球?qū)ΨQ性。對半徑為 r 的任意同心球面應用高斯定理qS SD d得空間任意點的電位移矢量)(4)0(4202rRrqRrrqrreeE由本構方程，空間任意點的場強為)0(42rrqreD第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程所以，空間任意點的極化強度為)(0)0(4)(200rRRrrqreeEP空間任意點的極化電

25、荷密度為204)(RqrRrSpeP球面上面極化電荷密度為)0(0rpP對于 r = 0點：qrrqqrS)(ddsin4)(Sd0020220)0(PP第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程2.4 麥克斯韋方程組 2.4.1 一般情況下的總電位移 麥克斯韋的渦旋電場假說將法拉第電磁感應定律包括到了電場的旋度方程中，從而得到了普遍成立的方程式： 其中 與此相對應，空間的總電位移為 t BEdniCEEEdniCDDD其中 ，而 Dind 是渦旋場，故 。VSVddCSD0dindSSD第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程于是有因此，總電位移 D 在一般情況下仍然滿足方程2.4

26、.2 位移電流 對 H =J 兩邊取散度，有 H = 0 ，而按電流連續(xù)性方程， 應有VSSVdddCSDSD DJHt J第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程可見在非穩(wěn)恒情況下，H = J 與電荷守恒定律相矛盾。 為解決上述矛盾，麥克斯韋提出，在一般情況下應有利用 D = ，上式即為為滿足此式要求，只要取該式就是一般情況下的磁場旋度方程。t JH)(tDJHtDJHtD式中 與 J 地位相同，麥克斯韋稱其為位移電流密度。第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程 位移電流假說：位移電流和傳導電流一樣，可以激發(fā)渦旋磁場。 位移電流假說的意義： D 本質(zhì)上代表電場，故位移電流假說實

27、際上指出，變化的電場可以激發(fā)渦旋磁場。 對 兩邊作面積分，并利用斯托克斯定理，可得相應的積分形式 此為推廣的安培環(huán)路定理。式中 為通過曲面 S 的傳導電流， 為通過 S 的位移電流。SISJ dtDJHSCtSDJlHd)(dddItSSD第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程 綜上述，傳導電流和位移電流（即變化的電場）都是激發(fā)磁場的源，并且它們激發(fā)的磁場都是渦旋場。因此，傳導電流和變化電場激發(fā)的總磁感應強度對任一閉曲面的通量都為零。由此可知，磁通連續(xù)性原理是普遍成立的，即有 0 B0dSSB第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程2.4.3 麥克斯韋方程組 總結(jié)上述，麥克斯韋得

28、到一組普遍成立的電磁場方程： 左邊為微分形式，右邊是相應的積分形式。tDJHtBE DCStSDJlHd)(d0 BCStSBlEddVSVddSD0dSSB第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程 麥克斯韋方程組以簡潔的形式揭示了電磁場的運動規(guī)律，它指出，隨時間變化的電場和磁場之間相互激發(fā)，相互關聯(lián)，從而構成一個統(tǒng)一的電磁場。 麥克斯韋方程組共涉及到五個矢量：E 、D 、B 、H 和 J ，它們由本構方程相互聯(lián)系著。在各向同性線性介質(zhì)中，對導電介質(zhì)則還有 麥克斯韋方程、本構方程、電流連續(xù)性方程構成了關于電磁場的完備方程組，其正確性已經(jīng)得到了無數(shù)實驗的驗證，它們是電磁場分析的基本出發(fā)點。

29、 EDHBEJ第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程例1 銅的電導率 ，介電常數(shù) 。設電場強度為 ，計算銅中的位移電流密度與傳導電流密度的幅值之比。 解：銅中傳導電流密度的幅值為 J = E0，而位移電流密度的幅值為于是有其中 f 為場源的頻率。對于可見光，f 1014 Hz，對一般電磁波而言， f 遠小于1014 Hz。故導體中 Jd / J 0。 m/s108 . 570tEEsin00d|EtJDffJJ19712d106 . 9108 . 51085. 82第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程例2 設真空中電量為的點電荷以速度 v（v c）向+z 方向勻速運動，在 t

30、 = 0 時刻經(jīng)過原點。試求其此時在空間引起的位移電流密度 Jd。 解：注意到除點電荷之外，對空間任意一點均有 J = 0，故可用H = Jd 求位移電流密度。 t = 0 時刻，由該運動電荷在空間一點引起的磁場強度為于是 234sin4rvqrqervH第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程22sin100sinsin14rrrrrvqreeeHJd)sincos2(43eerrvq第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程在 r 一定的球面上，各點 Jd 的方向大致如圖所示。 第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程2.5 電磁場的邊界條件 在兩種介質(zhì)的交界面兩側(cè)，由于電

31、磁參數(shù)突變，界面上一般地會出現(xiàn)電荷、電流分布，從而導致場矢量可能不連續(xù)。因此，麥克斯韋方程組的微分形式只適用于連續(xù)介質(zhì)內(nèi)部，在界面處則不能適用。 但場矢量總是有限的，因此在包圍界面的回路或閉合曲面上，各個場矢量的積分仍然存在，故麥克斯韋方程組的積分形式對于包括界面在內(nèi)的區(qū)域仍然成立。根據(jù)麥克斯韋方程組的積分形式，可以導出界面兩側(cè)場量之間的關系。這些關系稱為電磁場的邊界條件。 第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程2.5.1 電磁場矢量法向分量的邊界條件 規(guī)定界面 的法向單位矢 en 從介質(zhì) 1 指向介質(zhì) 2。包圍界面上 a 點做一扁柱形閉合曲面 S，如圖所示。柱體的底面積為 S，高度

32、。0h第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程1關于 D 的法向分量 對閉合曲面 S 應用高斯定理，有 其中 S1 、S2 和 Sb 分別表示扁柱形閉合曲面的兩個底面和側(cè)面。 當?shù)酌娣e很小時，其上的 D1、D2 皆可視為常量；又由于 h0，故柱側(cè)面上的通量為零。此時 S 面所包圍的電荷實際上僅是界面上的面電荷，即 于是上式可寫為 b21dddddSVSSSVSDSDSDSDSShVSVdSSDDSSS)()(n1n2n2n1eDeD第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程由此有 上式即為 D 矢量法向分量的邊界條件。它表明，在帶有自由面電荷的界面兩側(cè)，D 的法向分量不連續(xù)。2關于B

33、 的法向分量 將 應用于圖中的閉曲面 S，與前述分析同理，可以得到SDDn1n2S)(12nDDe或 此即 B 矢量的法向分量的邊界條件。它表明，B 的法向分量總是連續(xù)的。 0dSSB0n1n2 BB0)(12nBBe或第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程2.5.2 電磁場矢量切向分量的邊界條件 由界面上某點 a 出發(fā)做沿任一切向的單位矢 et，環(huán)繞點 a 取一矩形回路 C，使其兩條長邊平行于 et 且分別位于界面兩側(cè)，兩條短邊垂直于界面。記長邊長度為 l ，短邊長度 h 0，如圖所示。 第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程 當 h 0 時 S 0 ，而 有限，故上式右邊的

34、面積分為零。又因 l 足夠小，故上式成為此即t B0)()()(dt2t1t2t1lEEllCeEeElE0t2t1 EE0)(12nEe將 應用于回路 C。SBlEddSCt1關于E 的切向分量 結(jié)論：界面兩側(cè) E 沿任意切線方向的分量總是相等。由于 E2 E1 是沿法線方向的矢量，故上式的矢量表示為：第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程2關于 H 的切向分量 將 應用于回路 C。因為 有限，故當 h 0 時 ，且此時流過回路 C 所圍面 S 的電流僅為面電流。有eb 為面 S 的法向單位矢，與 C 的繞向成右手螺旋。 可見， 的值與 JS 的方向有關。CStSDJlHd)(dtD

35、0dStSDllhCbSbdeJeJlHClH d第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程 取 a 點附近的界面元 為 x y 平面， 則在 a 點附近，JS 在 x y 平面內(nèi)，將其分解為 x 分量JSx 和 y 分量 JSy。對于JSx，設回路 C 位于 y z 平面，此時 eb = ex，故有 lJlHHxyyS21)(xyyJHHS21即第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程 對于JSx，設回路 C 位于 x z 平面，此時 eb = - ey，故有 綜上可知，若界面上有沿某方向的面?zhèn)鲗щ娏?，則垂直于該方向的切向分量在界面兩側(cè)不連續(xù)。 lJlHHyxxS21)(yxxJH

36、HS21即第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程 以上兩結(jié)果可合并為一個矢量式：)()(1212yyxxxyHHHHee)()(1212xxxzzHHeeHHe )()(1212zzzyyyHHHHeeSxSxySyJJJeeH 的切向分量一般不連續(xù)。若 JS = 0 ，則有0)(12nHHe 僅當界面上不存在面?zhèn)鲗щ娏鲿r，H 的切向分量才連續(xù)。第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程2.5.3 界面上的電流連續(xù)性方程 將 用于圖中的柱形閉合面，并取底面積 S 和高度 h 足夠小。可得tJJSStn1n2JVSVtddSJ 此即界面上的電流連續(xù)性方程，亦稱電流的邊界條件。可見 J

37、 的法向分量在界面上一般不連續(xù)。穩(wěn)恒情況下，S 不隨時間變化，再若沒有面電流或者面電流均勻(tJS = 0)，則 J 的法向分量連續(xù)，即tJJSStn1n2Jn1n2JJ第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程 將 用于包圍界面的閉合圓柱曲面，可得 或其中 PS 為界面上的極化電荷面密度。 將 應用于包圍界線的回路 C。與推導 H 切向分量邊界條件同理，可得VSVddPSPSPPPn1n2SP12n)(PPe2.5.4 界面上極化電荷、磁化電流的分布CSlMSJddmmSJMMe)(12nJ mS 為界面上的面磁化電流密度。第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程例1 磁導率分別為

38、 1、2 的兩種理想介質(zhì)以平面 z = 0 分界。已知兩介質(zhì)中的電場分別為其中，E0、A、B、k1、k2 和 皆為常數(shù)。設 E0 、 k1、k2 已知，求 A、B。解：因為E1、E2皆沿切向，由 z = 0 處 E1t = E2t，有 由 ，可得 )0()cos()0()cos()cos(202111zzktEzzktBzktAxxeEeE0EBAt111HE 第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程對 t 積分，不計穩(wěn)恒場（即取積分常數(shù)為 0），得同理可得因為理想介質(zhì)表面，JS = 0，故在 z = 0 有 H1t = H2t，即 zEty1111eH )sin()sin(1111zk

39、tBzktAkye )cos()cos(),(11111zktBzktAktzyeH)cos(),(20222zktEktzyeH第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程聯(lián)立、 ，可以解得 20211)(EkBAk 01221122EkkkA01221122EkkkB第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程例2 穩(wěn)恒情況下，兩種導體的交界面附近電流線如圖所示，其中1、2 分別是兩種導體的電導率。試證明 證：利用歐姆定律 J = E ，由 E1t = E2t 可得可見 J 的切向分量不連續(xù)。 2121tantan2t21t1JJ第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程 穩(wěn)恒情況

40、下，J 的法向分量連續(xù)，即以上兩式相除，得因為 ，所以上式即為證完。 n2n1JJn22t2n11t 1JJJJtanntJJ2121tantan第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程2.6 電磁能量和能流 電磁場具有能量。本節(jié)將導出電磁場的功率密度表達式，進而導出電磁場的能量轉(zhuǎn)化關系，并說明能量是通過電磁場傳遞的。 2.6.1 電磁力密度 電磁功率密度 在電磁場中以速度 v 運動的點電荷 q 將受到電場力和洛侖茲力的共同作用： 如果電荷連續(xù)分布，則體積元 dV 內(nèi)全體電荷受到的電磁力為 BvEFqq)(ddBvEFV第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程利用 J = v ，可

41、得電磁力密度： 如果 dt 時間內(nèi)，單位體積中的全體電荷在電磁力作用下發(fā)生了位移 dr，則電磁場對這些電荷作的功為 f d r，于是電磁場對單位體積中的電荷提供的功率（即電磁功率密度）為 可見，電磁功率密度等于電場的功率密度，這是因為洛侖茲力對電荷不作功。 VddFfBJEEJvfrftpdd第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程 電磁場向體積 V 中的電荷提供的功率為 由于電磁場對電荷提供的功率對電磁場本身而言是損耗，所以 也就是體積 V 內(nèi)損耗的電磁功率。 2.6.2 坡印亭定理 由 ，體積 V 內(nèi)損耗的電磁功率可寫為 VVVVpPddJEVVdJEtDJHVVVtVddDEHEJ

42、E第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程利用矢量恒等式以及可得 )()()(HEEHHEtBEVVVtVd)()(dDEEHHEJEVVttdd)(DEBHHE其中 是包圍體積 V 的閉曲面。VVtd)2121(d)(DEBHHE第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程引入坡印亭矢量 S并假定體積不隨時間改變，故對時間求導可與體積分交換順序，于是上式可寫為 此即坡印亭定理。該定理表述的是電磁場的能量轉(zhuǎn)化關系。 ：HESVVVVtdd)2121(dddJEDEBHS第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程 2.6.3 電磁場的能量密度和能流密度 在坡印亭定理中 是體積內(nèi)損耗的

43、電磁功率； 是體積V 內(nèi)電磁能量的時間增長率。由此，電場能量密度 we 和磁場能量密度 wm 應為各向同性介質(zhì)中VVtd)2121(ddDEBHVVdJEDE 21ewBH 21mwDEw21eBHw21m第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程由能量轉(zhuǎn)化與守恒定律 是通過體積 V 的表面 進入 V 內(nèi)的電磁功率。 S 的方向指示了電磁能量流動或傳輸?shù)姆较颍?，表示有電磁能量通過面元 d 流入V 內(nèi)（注意 - d 指向 V 內(nèi)）。S 的大小等于通過單位橫截面的電磁功率。因此，S 代表了電磁場的能流密度。 由 S 的定義可知，電磁能量的傳輸依賴于電場和磁場兩個因素，僅有電場或僅有磁場，都不

44、能傳輸電磁能。 通過某曲面 的電磁功率為S d0)d(SPS d第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程2.6.4 導體在能量傳輸中的作用 考慮半徑為 a、電導率為 、載有穩(wěn)恒電流 I 的無限長直導線。分析導體內(nèi)外的電磁能流密度。 取圓柱坐標系，設電流沿 ez 方向。導體內(nèi)外的區(qū)域分別標為 1、2 區(qū)。 在導體內(nèi)部， 2aIzeJ 21aIzeJE212)(aIe因此，在導體內(nèi)部4221112)(aIeHESS1 的方向指向軸線，導體內(nèi)部沒有能量沿電流方向傳輸。第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程 導體外，磁場為可見，H2 隨著 的增大而減小。)(22aIeHtn222EEE

45、E2 由導體表面電荷所引起，它也隨 的增大而減弱。導體外的能流 將隨 的增大而減小，故導體外的能流集中在導線附近的有限橫截面內(nèi)。電場為S2=E2H2 由 E 的切向分量連續(xù)邊界條件，有)()()(1t1t2aEaazeEE第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程界面兩側(cè) H 的切向分量連續(xù)，而 H 無法向分量，故有)( )()()()()(2n2t2222aaaaaaHEEHES)()()()(2n222aaaatHEHEzzSaS22)(ee)()(12aaHH 可見，導體表面外的電磁能流分為兩部分：一部分垂直進入導體；另一部分則沿著電流的方向傳向負載。 所以，在導體側(cè)面外表，能流密度亦即，導體內(nèi)部指向軸向的能流是由外部流入的。 而且，進入導體的部分)()()()(1112aaaaSHES第二章第二章 電磁場的基本方程電磁場的基本方程RIaLILaaIaIaP222322322122d2d)(S這表明，進入導體的電磁能全部轉(zhuǎn)化為導體中的焦耳熱。 通過長度為 L 的側(cè)面 進入導體的電磁功率為 綜上所述，沿導體傳輸?shù)碾姶拍軐嶋H上是經(jīng)導體周圍的空間流向負載的。導體在電磁能的傳輸過稱中僅扮演引導者的角色，但同時也向電磁場索取一定的能量供自身消耗。 對于理想導體， ，有 E1 = J/ = 0 ，故 S1 = 0，不消耗能量。第二章第二章 電磁場的基本方程電磁