哈爾濱工業(yè)大學運籌學教案排隊論的應用案例分析2009[1].6

1、2/2/20222地鐵車站樓梯和自動扶梯處客流延時分析地鐵車站樓梯和自動扶梯處客流延時分析 教學目的：利用排隊論建立軌道交通車站樓梯和教學目的：利用排隊論建立軌道交通車站樓梯和自動扶梯處客流延時模型，得出客流延時的指標自動扶梯處客流延時模型，得出客流延時的指標公式，可為更清楚地了解車站樓梯和自動扶梯處公式，可為更清楚地了解車站樓梯和自動扶梯處的乘客延時狀況提供一定的理論依據(jù)。的乘客延時狀況提供一定的理論依據(jù)。樓梯和自動扶梯是軌道交通車站中主要的升降設樓梯和自動扶梯是軌道交通車站中主要的升降設施，在客流頂峰時，由于樓梯和自動扶梯的通過施，在客流頂峰時，由于樓梯和自動扶梯的通過能力有限，大量的乘客

2、將會在樓梯和自動扶梯口能力有限，大量的乘客將會在樓梯和自動扶梯口處排隊等候，造成乘客進出站時間延長，弄清乘處排隊等候，造成乘客進出站時間延長，弄清乘客在樓梯和自動扶梯處的延時狀況，有利于車站客在樓梯和自動扶梯處的延時狀況，有利于車站運營效益的充分發(fā)揮。運營效益的充分發(fā)揮。2/2/20223乘客從站外經(jīng)檢票進入車站付費區(qū)，通過樓梯和自乘客從站外經(jīng)檢票進入車站付費區(qū)，通過樓梯和自動扶梯到站臺，這是一個隨機的過程。由于檢票口動扶梯到站臺，這是一個隨機的過程。由于檢票口與樓梯和自動扶梯的通過能力相當，乘客進入站臺，與樓梯和自動扶梯的通過能力相當，乘客進入站臺，先受檢票口通過能力約束，使得超過檢票口通過

3、能先受檢票口通過能力約束，使得超過檢票口通過能力的客流被暫時堵在檢票口外排隊等候檢票，因此力的客流被暫時堵在檢票口外排隊等候檢票，因此通過檢票口的乘客不會因為樓梯和自動扶梯的通過通過檢票口的乘客不會因為樓梯和自動扶梯的通過能力的約束而需要排隊。能力的約束而需要排隊。但乘客在出站時，特別是在客流頂峰，大量的乘客但乘客在出站時，特別是在客流頂峰，大量的乘客從列車上下來，并且在較短的時間內(nèi)通過樓梯和自從列車上下來，并且在較短的時間內(nèi)通過樓梯和自動扶梯到達站廳出站，必然存在一局部乘客在樓梯動扶梯到達站廳出站，必然存在一局部乘客在樓梯和自動扶梯處排隊等候。和自動扶梯處排隊等候。假設乘客排隊等候時間超過了

4、列車發(fā)車間隔，那么假設乘客排隊等候時間超過了列車發(fā)車間隔，那么等候的乘客越來越多，造成樓梯和自動扶梯處越來等候的乘客越來越多，造成樓梯和自動扶梯處越來越堵。越堵。2/2/202241 乘客排隊系統(tǒng)推導在一列車到站后的發(fā)車間隔內(nèi)，把從列車下到站在一列車到站后的發(fā)車間隔內(nèi)，把從列車下到站臺的乘客看作效勞對象，出站的樓梯和自動扶梯臺的乘客看作效勞對象，出站的樓梯和自動扶梯看作效勞通道，并對站臺上的樓梯和自動扶梯以看作效勞通道，并對站臺上的樓梯和自動扶梯以及乘客作一些根本的假設：及乘客作一些根本的假設：(1)樓梯和自動扶梯沿著站臺縱向均勻布置，且樓梯和自動扶梯沿著站臺縱向均勻布置，且這種均勻布置使乘客

5、在站臺上行走的距離最短。這種均勻布置使乘客在站臺上行走的距離最短。(2)下車乘客平均分布于每節(jié)車廂中。下車乘客平均分布于每節(jié)車廂中。(3)所有下車乘客在站臺上走行的速度是相等的，所有下車乘客在站臺上走行的速度是相等的，并保持一定的速度。并保持一定的速度。2/2/20225把每組樓梯和自動扶梯及其吸引的客流看作為把每組樓梯和自動扶梯及其吸引的客流看作為站臺上的一個排隊系統(tǒng)，那么在這個排隊系統(tǒng)站臺上的一個排隊系統(tǒng)，那么在這個排隊系統(tǒng)中：中：輸入過程：乘客以一定的速度從站臺行走到距輸入過程：乘客以一定的速度從站臺行走到距離自己最近的樓梯和自動扶梯處尋求效勞，以離自己最近的樓梯和自動扶梯處尋求效勞，以

6、 表示乘客單位時間到達樓梯和自動扶梯的人表示乘客單位時間到達樓梯和自動扶梯的人數(shù)，即排隊系統(tǒng)的輸入率數(shù)，即排隊系統(tǒng)的輸入率 (單位：人單位：人/s)。每。每組樓梯和自動扶梯效勞的乘客數(shù)為組樓梯和自動扶梯效勞的乘客數(shù)為 wqn2/2/20226 排隊系統(tǒng)的輸入率排隊系統(tǒng)的輸入率 W列車到站后下車或換乘的人數(shù)列車到站后下車或換乘的人數(shù) v下車乘客在站臺上的行走速度下車乘客在站臺上的行走速度 l站臺的有效長度站臺的有效長度 n站臺上樓梯和自動扶梯的組數(shù)站臺上樓梯和自動扶梯的組數(shù)輸入的時間 0lt2 nv 其輸入率的具體表達式為：2wvl (1)2/2/20227排隊規(guī)那么：乘客到達樓梯和自動扶梯口處

7、，假排隊規(guī)那么：乘客到達樓梯和自動扶梯口處，假設樓梯和自動扶梯沒被占用時，乘客立即使用樓設樓梯和自動扶梯沒被占用時，乘客立即使用樓梯和自動扶梯，假設樓梯和自動扶梯被占用，不梯和自動扶梯，假設樓梯和自動扶梯被占用，不能為乘客提供效勞時，乘客就會在此等候樓梯和能為乘客提供效勞時，乘客就會在此等候樓梯和自動扶梯的效勞，而且效勞次序為先到先效勞。自動扶梯的效勞，而且效勞次序為先到先效勞。2/2/20228輸出過程：輸出過程： 由于樓梯和自動扶梯的通過能力是一由于樓梯和自動扶梯的通過能力是一定的，以定的，以 表示樓梯和自動扶梯的輸出率表示樓梯和自動扶梯的輸出率 (單單位：人位：人s)。那么排隊系統(tǒng)的輸出

8、率。那么排隊系統(tǒng)的輸出率 與樓梯和自與樓梯和自動扶梯的寬度相關(guān)，當樓梯和自動扶梯的寬度確動扶梯的寬度相關(guān)，當樓梯和自動扶梯的寬度確定后，每一組樓梯和自動扶梯的輸出過程是一個定后，每一組樓梯和自動扶梯的輸出過程是一個定長輸出過程，其輸出率定長輸出過程，其輸出率 的具體表達式為：的具體表達式為：2/2/20229(2) 排隊系統(tǒng)的輸出率排隊系統(tǒng)的輸出率C自動扶梯自動扶梯自動扶梯的通過能力自動扶梯的通過能力d自動扶梯自動扶梯自動扶梯的凈寬度自動扶梯的凈寬度C樓梯樓梯樓梯的通過能力樓梯的通過能力d樓梯樓梯樓梯的凈寬度樓梯的凈寬度輸出時間輸出時間 t1表達式為：表達式為：cdcd自動扶梯自動扶梯樓梯樓梯

9、1wtn (3)2/2/202210通過上面的假設和分析，每一組樓梯和自動扶梯通過上面的假設和分析，每一組樓梯和自動扶梯所組成的效勞系統(tǒng)是一個定長輸入、定長輸出的所組成的效勞系統(tǒng)是一個定長輸入、定長輸出的單通道排隊系統(tǒng)，由單通道排隊系統(tǒng)，由n組樓梯和自動扶梯布置在組樓梯和自動扶梯布置在站臺形成的乘客排隊系統(tǒng)那么是一個定長輸入、站臺形成的乘客排隊系統(tǒng)那么是一個定長輸入、定長輸出、多通道的排隊系統(tǒng)即：定長輸出、多通道的排隊系統(tǒng)即：d/d/n排隊系排隊系統(tǒng)。統(tǒng)。2/2/202211 上述這個上述這個d/d/n排隊系統(tǒng)可以近似的用圖排隊系統(tǒng)可以近似的用圖l來描述，橫軸來描述，橫軸表示時間，縱軸表示累表

10、示時間，縱軸表示累 計輸入或輸出乘客數(shù)；排隊系統(tǒng)計輸入或輸出乘客數(shù)；排隊系統(tǒng)輸入量曲線和輸出量曲線分別如下圖，它們對應的縱軸坐輸入量曲線和輸出量曲線分別如下圖，它們對應的縱軸坐標就分別是累計輸入乘客數(shù)和累計輸出乘客數(shù)，陰影局部標就分別是累計輸入乘客數(shù)和累計輸出乘客數(shù)，陰影局部的面積表示排隊乘客總的延誤時間。的面積表示排隊乘客總的延誤時間。圖1 ddn排隊系統(tǒng)圖形表示圖中參數(shù)的含義為： t0排隊系統(tǒng)中輸入完畢時間 t1排隊系統(tǒng)中輸出完畢時間 自動扶梯和樓梯口的輸入率自動扶梯和樓梯口的輸出率Q0輸入時間完畢時自動扶梯和樓梯的輸出量Q1自動扶梯口的全部輸入量2/2/202212 在這個排隊系統(tǒng)中采用

11、近似的計算得出一些重要的指標表在這個排隊系統(tǒng)中采用近似的計算得出一些重要的指標表達式為：達式為： 最大排隊乘客數(shù)：最大排隊乘客數(shù)： Q=Q1-Q0=t0-t0 (4) 排隊中最大延誤時間：排隊中最大延誤時間： ts=t1-t0 (假設假設ts0，那么表示沒有排隊產(chǎn)生，那么表示沒有排隊產(chǎn)生) (5) 平均排隊乘客數(shù)：平均排隊乘客數(shù)：12011Q(QQ )()t22101t(tt )2s0101D=Qt()t (tt )2排隊平均延誤時間：排隊乘客總的延誤時間： (8) (6) (7)2/2/202213車站樓梯和自動扶梯處客流延時實例 以發(fā)車間隔以發(fā)車間隔2 min，6節(jié)編組的節(jié)編組的B型車為例

12、，列車長度型車為例，列車長度114m，車廂定員，車廂定員245人，到站后人，到站后30 的乘客下車出站，的乘客下車出站，乘客在站臺上的走行速度取乘客在站臺上的走行速度取0.64 m/s。每。每1m寬的自動扶寬的自動扶梯梯 通過能力通過能力7 200人人/h。 站臺上布置兩組自動扶梯供乘客出站，自動扶梯在站臺上的站臺上布置兩組自動扶梯供乘客出站，自動扶梯在站臺上的布置位置滿足上面假設的原那么，那么自動扶梯在站臺上的布置位置滿足上面假設的原那么，那么自動扶梯在站臺上的布置位置如示意圖布置位置如示意圖2所示：所示： 圖2 兩組自動扶梯布置位置示意圖2/2/2022142wv2 441 0.64=5/

13、sl114人0l114t=44.53s2 nv2 2 0.64 1w441t=110.25sn2 2此時站臺上兩組自動扶梯和下車乘客是一個d/d/2系統(tǒng)，對于每一個排隊系統(tǒng)，其輸入率和輸出率為：=c自動扶梯d自動扶梯+c樓梯d樓梯=21=2人/s輸入時間t0為：輸出時間t1為：排隊中最大延誤時間為：ts=t1-t0最大排隊乘客數(shù)：Q=Q1-Q0=t0-t0=(5-2)44.53=134人(取整)排隊乘客總的延誤時間：s01011D=Qt()t (tt )134 65.7273.3822min2/2/202215 對一個排隊系統(tǒng)來說，最大的排隊乘客數(shù)為對一個排隊系統(tǒng)來說，最大的排隊乘客數(shù)為134

14、人，排隊人，排隊乘客的總的延誤時間為乘客的總的延誤時間為73、38 min，而對整個站臺來，而對整個站臺來說，有兩個這樣的排隊系統(tǒng)，因此在一列車到來后的出站說，有兩個這樣的排隊系統(tǒng)，因此在一列車到來后的出站乘客乘客 將會有將會有268人需要排隊等候，排隊中最大的延誤時間為人需要排隊等候，排隊中最大的延誤時間為65.72s，所有乘客總的排隊時間為，所有乘客總的排隊時間為146.76 min。假設。假設排隊系統(tǒng)中最大延誤時間大于列車發(fā)車間隔，那么在樓梯排隊系統(tǒng)中最大延誤時間大于列車發(fā)車間隔，那么在樓梯和自動扶和自動扶 梯處總有乘客在排隊等候，而且人數(shù)越來越多，這樣就需梯處總有乘客在排隊等候，而且人

15、數(shù)越來越多，這樣就需要重新設計樓梯和自動扶梯的寬度。要重新設計樓梯和自動扶梯的寬度。2/2/202216通過對站臺上客流狀態(tài)進展假設，建立了樓梯和通過對站臺上客流狀態(tài)進展假設，建立了樓梯和自動扶梯處客流延時的自動扶梯處客流延時的ddn排隊系統(tǒng)模型，排隊系統(tǒng)模型，并推導出客流延時的指標公式。通過預測的客流并推導出客流延時的指標公式。通過預測的客流以及乘客在站臺上行走的實際速度，可估算出車以及乘客在站臺上行走的實際速度，可估算出車站內(nèi)最大乘客延誤數(shù)量及延誤時間，有利于比較站內(nèi)最大乘客延誤數(shù)量及延誤時間，有利于比較清楚地把握車站內(nèi)乘客延時狀況。清楚地把握車站內(nèi)乘客延時狀況。討論：改變參數(shù)討論：改變參

16、數(shù)1下車人數(shù)比例為下車人數(shù)比例為60%；2平面通道的通行時間分析平面通道的通行時間分析2/2/202217學生實驗城市軌道交通進站檢票機分析教學目的：要求學生學會應用排隊論的思想分析教學目的：要求學生學會應用排隊論的思想分析實際問題實際問題調(diào)查方案設計統(tǒng)計特征分析*排隊系統(tǒng)參數(shù)分析*排隊系統(tǒng)仿真背景介紹2/2/202218排隊系統(tǒng)的描述排隊系統(tǒng)的描述顧客總體顧客總體隊伍隊伍效勞臺效勞臺效勞系統(tǒng)輸出輸出輸入輸入2/2/202219排隊效勞系統(tǒng)的根本概念排隊效勞系統(tǒng)的根本概念輸入過程：描述顧客來源是按怎樣的規(guī)律抵達排隊輸入過程：描述顧客來源是按怎樣的規(guī)律抵達排隊系統(tǒng)。系統(tǒng)。1.顧客源總體顧客源總體

17、:有限還是無限有限還是無限2.到達類型：單個到達還是成批到達到達類型：單個到達還是成批到達 3.相繼顧客到達的時間間隔：相互獨立、同分布的相繼顧客到達的時間間隔：相互獨立、同分布的;等時間間隔的等時間間隔的;服從服從Poisson分布的；分布的； k階階Erlang分分布布泊松分布適合于描述單位時間內(nèi)隨機事件發(fā)生的次數(shù)。如某一效勞設施在泊松分布適合于描述單位時間內(nèi)隨機事件發(fā)生的次數(shù)。如某一效勞設施在一定時間內(nèi)到達的人數(shù)，一定時間內(nèi)到達的人數(shù)， 交換機接到呼叫的次數(shù)，汽車站臺的候客人數(shù)，交換機接到呼叫的次數(shù)，汽車站臺的候客人數(shù)，機器出現(xiàn)的故障數(shù)，自然災害發(fā)生的次數(shù)等等。機器出現(xiàn)的故障數(shù)，自然災害

18、發(fā)生的次數(shù)等等。2/2/202220排隊效勞系統(tǒng)的根本概念排隊效勞系統(tǒng)的根本概念排隊規(guī)那么：指效勞系統(tǒng)是否允許排隊，顧客是否愿意排隊排隊規(guī)那么：指效勞系統(tǒng)是否允許排隊，顧客是否愿意排隊1.損失制排隊系統(tǒng)：顧客到達假設所有效勞臺被占，效勞機構(gòu)又損失制排隊系統(tǒng)：顧客到達假設所有效勞臺被占，效勞機構(gòu)又不允許顧客等待，此時該顧客就自動離去。不允許顧客等待，此時該顧客就自動離去。2.等待制排隊系統(tǒng)：顧客到達時假設效勞臺均被占，他們就排隊等待制排隊系統(tǒng)：顧客到達時假設效勞臺均被占，他們就排隊等待。效勞順序有：先到先效勞、后到先效勞、隨機效勞、有優(yōu)等待。效勞順序有：先到先效勞、后到先效勞、隨機效勞、有優(yōu)先權(quán)

19、的效勞先權(quán)的效勞3.混合制排隊系統(tǒng)：損失制與等待制的混合。隊長容量有限混合制排隊系統(tǒng)：損失制與等待制的混合。隊長容量有限的混合；等待時間有限的混合；逗留時間有限的混合的混合；等待時間有限的混合；逗留時間有限的混合2/2/202221排隊效勞系統(tǒng)的根本概念排隊效勞系統(tǒng)的根本概念效勞機構(gòu)：效勞機構(gòu)：2.顧客所需的效勞時間服從怎樣的概率分布顧客所需的效勞時間服從怎樣的概率分布(常見顧客的效勞時間分布有常見顧客的效勞時間分布有:定長分布、負定長分布、負指數(shù)分布、超指數(shù)分布、指數(shù)分布、超指數(shù)分布、k階階Erlang分布、分布、幾何分布、一般分布幾何分布、一般分布)2/2/202222排隊論模型的符號表示

20、排隊論模型的符號表示通常由通常由3-5個英文字母組成，個英文字母組成，其形式為其形式為 A/B/C/n，其中其中 A表示輸入過程，表示輸入過程， B表示效勞時間，表示效勞時間， C表示效勞臺數(shù)目，表示效勞臺數(shù)目， n表示系統(tǒng)空間數(shù)表示系統(tǒng)空間數(shù)排隊模型的表示：排隊模型的表示：X/Y/Z/A/B/CX顧客相繼到達的間隔時顧客相繼到達的間隔時間的分布；間的分布；Y效勞時間的分布；效勞時間的分布；Z效勞臺個數(shù)；效勞臺個數(shù)；A系統(tǒng)容量限制默認為系統(tǒng)容量限制默認為；B顧客源數(shù)目默認為顧客源數(shù)目默認為；C效勞規(guī)那么效勞規(guī)那么 默認為先默認為先到先效勞到先效勞FCFS)。 M負指數(shù)分布、負指數(shù)分布、D確定確

21、定型、型、Ek k階愛爾朗分布。階愛爾朗分布。2/2/202223描述排隊論系統(tǒng)的主要數(shù)量指標描述排隊論系統(tǒng)的主要數(shù)量指標1.1.隊長隊長(Ls) (Ls) ：指在系統(tǒng)中顧客的平均數(shù)：指在系統(tǒng)中顧客的平均數(shù) 等待隊長等待隊長(Lq)(Lq)：指系統(tǒng)中等待的顧客的平均數(shù)：指系統(tǒng)中等待的顧客的平均數(shù)2.2.顧客的平均等待時間顧客的平均等待時間(Wq)(Wq)：指顧客進入系統(tǒng)的時刻起到開場接：指顧客進入系統(tǒng)的時刻起到開場接 受效勞止的平均時間受效勞止的平均時間與平均逗留時間與平均逗留時間(Ws)(Ws)：指顧客在系統(tǒng)中平均等待時間與平均效勞：指顧客在系統(tǒng)中平均等待時間與平均效勞時間之和時間之和效勞機

22、構(gòu)工作強度效勞機構(gòu)工作強度= =由于效勞顧客的時間由于效勞顧客的時間/ /效勞設施總的效勞時間效勞設施總的效勞時間 =1-=1-效勞設施總的空閑時間效勞設施總的空閑時間/ /效勞設施總的效勞效勞設施總的效勞時間時間2/2/202224與排隊論模型有關(guān)的與排隊論模型有關(guān)的LINGO函數(shù)函數(shù)1.peb(load,S)該函數(shù)返回值是當?shù)竭_負荷為該函數(shù)返回值是當?shù)竭_負荷為load，系統(tǒng)中有，系統(tǒng)中有S個效勞臺且允個效勞臺且允許排隊時系統(tǒng)繁忙的概率，也就是顧客等待的概率許排隊時系統(tǒng)繁忙的概率，也就是顧客等待的概率2.pel(load,S)該函數(shù)返回值是當?shù)竭_負荷為該函數(shù)返回值是當?shù)竭_負荷為load，系統(tǒng)

23、中有，系統(tǒng)中有S個效勞臺且不個效勞臺且不允許排隊時系統(tǒng)損失的概率，也就是顧客得不到效勞離開的概允許排隊時系統(tǒng)損失的概率，也就是顧客得不到效勞離開的概率率3.pfs(load,S,K)該函數(shù)的返回值是當?shù)竭_負荷為該函數(shù)的返回值是當?shù)竭_負荷為load ，顧客數(shù)為，顧客數(shù)為K,平行效勞臺平行效勞臺數(shù)量為數(shù)量為S時，有限源的時，有限源的Poisson效勞系統(tǒng)等待或返修顧客數(shù)的期效勞系統(tǒng)等待或返修顧客數(shù)的期望值望值2/2/202225等待制排隊模型等待制排隊模型等待制排隊模型中最常見的模型是：等待制排隊模型中最常見的模型是： M/M/S/,即顧客到達系統(tǒng)的相繼到達時間間隔獨立，且即顧客到達系統(tǒng)的相繼到達

24、時間間隔獨立，且服從參數(shù)為服從參數(shù)為的負指數(shù)分布即輸入過程為過的負指數(shù)分布即輸入過程為過程，效勞臺的效勞時間也獨立同分布，且服程，效勞臺的效勞時間也獨立同分布，且服從參數(shù)為從參數(shù)為的負指數(shù)分布，而且系統(tǒng)空間無限，的負指數(shù)分布，而且系統(tǒng)空間無限，允許永遠排隊允許永遠排隊2/2/202226等待制排隊模型的根本參數(shù)等待制排隊模型的根本參數(shù)1.1.顧客等待的概率顧客等待的概率:Pwait=peb(load,S),:Pwait=peb(load,S),其中其中S S是效勞臺或效勞員的個數(shù)，是效勞臺或效勞員的個數(shù)，load= / =RT,load= / =RT,其中其中R= ,T= 1/R= ,T= 1

25、/，R R是顧客的平均到達率，是顧客的平均到達率，T T是平是平均效勞時間均效勞時間2.2.顧客的平均等待時間：顧客的平均等待時間：Wq= PwaitT/(S-load),Wq= PwaitT/(S-load),其中其中T/(S-load)T/(S-load)可以看成一個合理的長度間隔，可以看成一個合理的長度間隔，3.3.顧客的平均逗留時間、隊長和等待隊長顧客的平均逗留時間、隊長和等待隊長littlelittle公公式式 Ws= Wq+1/ =Wq+T Ls= Ws=RWs Lq= Ws= Wq+1/ =Wq+T Ls= Ws=RWs Lq= Wq=R WqWq=R Wq2/2/202227等

26、待制排隊模型實例等待制排隊模型實例1.S=1 (M/M/1/)例例1：某維修中心在周末現(xiàn)只安排一名員工為顧客提供效勞，：某維修中心在周末現(xiàn)只安排一名員工為顧客提供效勞，新來維修的新來維修的 顧客到達后，假設已有顧客正在承受效勞，那么顧客到達后，假設已有顧客正在承受效勞，那么需要排隊等待，假設來維修的顧客到達過程為需要排隊等待，假設來維修的顧客到達過程為Poisson流，流，平均每小時平均每小時4人，維修時間服從負指數(shù)分布，平均需要人，維修時間服從負指數(shù)分布，平均需要6min,試求該系統(tǒng)的主要數(shù)量指標。試求該系統(tǒng)的主要數(shù)量指標。2.S=3 (M/M/S/)例例2：設打印室有：設打印室有3名打字員

27、，平均每個文件的打印時間為名打字員，平均每個文件的打印時間為10min,而文件到達率為每小時而文件到達率為每小時15件，試求該打印室的主要數(shù)件，試求該打印室的主要數(shù)量指標。量指標。2/2/202228等待制排隊模型實例等待制排隊模型實例例1：Model:S=1;R=4;T=6/60;load=R*T;Pwait=peb(load,S);W_q=Pwait*T/(S-load);L_q=R*W_q;W_s=W_q+T;L_s=W_s*R;End例例2：Model:S=3;R=15;T=10/60;load=R*T;Pwait=peb(load,S);W_q=Pwait*T/(S-load);L_

28、q=R*W_q;W_s=W_q+T;L_s=W_s*R;END2/2/202229損失制排隊模型損失制排隊模型損失制排隊模型通常記為損失制排隊模型通常記為 M/M/S/S,當當S個效勞器被占用后，顧客自動離個效勞器被占用后，顧客自動離去去2/2/202230損失制排隊模型的根本參數(shù)損失制排隊模型的根本參數(shù)1.系統(tǒng)損失的概率：系統(tǒng)損失的概率：Plost=pel(load,S)2.單位時間內(nèi)平均進入系統(tǒng)的顧客數(shù)：單位時間內(nèi)平均進入系統(tǒng)的顧客數(shù)： e=Re= (1-Plost)=R(1-Plost)3.系統(tǒng)的相對通過能力系統(tǒng)的相對通過能力(Q)與絕對通過能力與絕對通過能力(A) Q=1-Plost,

29、 A= eQ= (1-Plost)2 =ReQ= R(1-Plost)2 4.系統(tǒng)在單位時間內(nèi)占用效勞臺的均值系統(tǒng)在單位時間內(nèi)占用效勞臺的均值:Ls= e/=ReT 注意：在損失制系統(tǒng)中，注意：在損失制系統(tǒng)中，Lq=0,即等待隊長為即等待隊長為05.系統(tǒng)效勞臺的效率：系統(tǒng)效勞臺的效率：=Ls/S6.顧客在系統(tǒng)內(nèi)平均逗留時間顧客在系統(tǒng)內(nèi)平均逗留時間:Ws=1/ =T注意：在損失制系統(tǒng)中，注意：在損失制系統(tǒng)中，Wq=0,即等待時間為即等待時間為02/2/202231損失制排隊模型實例損失制排隊模型實例S=1(M/M/1/1)例例1：設某條：設某條 線，平均每分線，平均每分鐘有鐘有0.6次呼喚，次呼

30、喚，假設每次通話假設每次通話時間平均為時間平均為1.25min,求系求系統(tǒng)相應的參數(shù)統(tǒng)相應的參數(shù)指標。指標。model:S=1;R=0.6;T=1.25;load=R*T;Plost=pel(load,S);Q=1-Plost;R_e=Q*R;A=Q*R_e;L_s=R_e*T,eta=L_s/S;endEta-2/2/202232損失制排隊模型實例損失制排隊模型實例S1(M/M/S/S)例2：某單位 交換臺有一臺200門內(nèi)線的總機，在上班8小時內(nèi)，有20%的內(nèi)線分機平均每40min要一次外線 ，80%的分機平均間隔120min要一次外線。又知外線打入內(nèi)線的 平均每分鐘1次。假設與外線通話的時

31、間為平均3min，并且上述時間均服從負指數(shù)分布，如果要求 的通話率為95%，問該交換臺應設置多少條外線？2/2/202233損失制排隊模型實例損失制排隊模型實例例例2：分析：分析：1) 交換臺的效勞分成兩類，第一類內(nèi)線交換臺的效勞分成兩類，第一類內(nèi)線打外線，其強度為打外線，其強度為 1=0.260/40+0.860/120200=140第二類是外線打內(nèi)線，其強度為第二類是外線打內(nèi)線，其強度為 2 =160=60因此總的強度為因此總的強度為 = 1+ 2=140+60=2003外線是整數(shù)，在滿足條件下，條數(shù)越外線是整數(shù)，在滿足條件下，條數(shù)越少越好少越好Model:R=200;T=3/60;loa

32、d=R*T;Plost=pel(load,S);Plost=0.05;Q=1-Plost;R_e=Q*R;A=Q*R_e;L_s=R_e*T;eta=L_s/S;Min=S;gin(S);end2/2/202234混合制排隊模型混合制排隊模型混合制排隊模型通常記為：混合制排隊模型通常記為：M/M/S/K,即有即有S個效個效勞臺或效勞員，系統(tǒng)空間容量為勞臺或效勞員，系統(tǒng)空間容量為K，當，當K個位置已個位置已被顧客占用時，新到的顧客自動離去，當系統(tǒng)中被顧客占用時，新到的顧客自動離去，當系統(tǒng)中有空位置時，新到的顧客進入系統(tǒng)排隊等待。有空位置時，新到的顧客進入系統(tǒng)排隊等待。2/2/202235閉合式排

33、隊模型閉合式排隊模型設系統(tǒng)內(nèi)有設系統(tǒng)內(nèi)有M個效勞臺，顧客到達系統(tǒng)的間隔時間個效勞臺，顧客到達系統(tǒng)的間隔時間和效勞臺的效勞時間均為負指數(shù)分布，而系統(tǒng)的容和效勞臺的效勞時間均為負指數(shù)分布，而系統(tǒng)的容量和潛在的顧客數(shù)都為量和潛在的顧客數(shù)都為K，顧客到達率為，顧客到達率為 ，效勞，效勞臺的平均效勞率為臺的平均效勞率為 ，這樣的系統(tǒng)稱為閉合式排隊，這樣的系統(tǒng)稱為閉合式排隊模型，記為：模型，記為：M/M/S/K/K2/2/202236閉合式排隊模型的根本參數(shù)閉合式排隊模型的根本參數(shù)1.平均隊長：平均隊長：Ls=pfs(load,S,K),load=K / =KRT即即: 系統(tǒng)的負荷系統(tǒng)的負荷=系統(tǒng)的顧客數(shù)

34、系統(tǒng)的顧客數(shù)顧客到達率顧客到達率顧客的效勞時顧客的效勞時間間2.單位時間平均進入系統(tǒng)的顧客數(shù)單位時間平均進入系統(tǒng)的顧客數(shù): e= KLs=R(KLs)=Re3.顧客處于正常情況的概率顧客處于正常情況的概率:P=(KLs)/K4.平均逗留時間、平均等待隊長和平均排隊等待時間平均逗留時間、平均等待隊長和平均排隊等待時間Ws=Ls/ e=Ls/Re Lq=Ls e/ =Ls-ReTWq=Ws1/ =WsT5.每個效勞臺的工作強度每個效勞臺的工作強度:Pwork= e/(S)2/2/202237排隊系統(tǒng)的最優(yōu)化模型排隊系統(tǒng)的最優(yōu)化模型例：某工人照管例：某工人照管4臺自動臺自動機床，機床運轉(zhuǎn)時間平均機床，機床運轉(zhuǎn)時間平均為負指數(shù)分布，假定平均為負指數(shù)分布，假定平均每周有一臺機床損壞需要每