第八章 理想不可壓縮流體平面流動(dòng)

1、 83 勢流的疊加原理勢流的疊加原理 Superposition Principle 引言引言 81 無旋流動(dòng)和有旋流動(dòng)無旋流動(dòng)和有旋流動(dòng)Irrotational&Rotational Flows 82 平面勢流平面勢流 2D Potential Flows 第八章第八章 理想不可壓縮流體平面流動(dòng)理想不可壓縮流體平面流動(dòng)84 平行流繞圓柱體無環(huán)流流動(dòng)平行流繞圓柱體無環(huán)流流動(dòng) Flow Past a Cylinder85 平行流繞圓柱體有環(huán)流流動(dòng)平行流繞圓柱體有環(huán)流流動(dòng) Flow Past a Cylinder with Circulation引言引言 平面勢流理論在流體力學(xué)中占有非常重

2、要的地位平面勢流理論在流體力學(xué)中占有非常重要的地位Why? Example 本章將簡要地介紹平面勢流的基本理論，分析繞流本章將簡要地介紹平面勢流的基本理論，分析繞流不同形狀的物體勢流長的壓力分布，以及流體對(duì)被繞不同形狀的物體勢流長的壓力分布，以及流體對(duì)被繞流物體的作用力。流物體的作用力。 81 無旋流動(dòng)和有旋流動(dòng)無旋流動(dòng)和有旋流動(dòng)無無旋旋流流動(dòng)動(dòng)和和有有旋旋流流動(dòng)動(dòng)。類類型型：旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，將將流流動(dòng)動(dòng)分分為為兩兩大大根根據(jù)據(jù)流流體體微微團(tuán)團(tuán)是是否否存存在在 稱稱為為勢勢流流。旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角速速度度為為零零，通通常常 一、無旋流動(dòng)（有勢流動(dòng)）一、無旋流動(dòng)（有勢流動(dòng)）Two examplesyuxvy

3、uxvxwzuxwzuzvywzvywzyx 或或或或或或 , 0)(21 , 0)(21 , 0)(21 無無關(guān)關(guān)。本本身身運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)時(shí)時(shí)的的軌軌跡跡形形狀狀旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，與與流流體體微微團(tuán)團(tuán)流流體體質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)本本身身是是否否發(fā)發(fā)生生。全全微微分分的的必必要要充充分分條條件件的的為為某某一一函函數(shù)數(shù)使使由由數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)分分析析知知，上上式式是是 wdzvdyudx dzzdyydxxwdzvdyudx d , ， 或或 uvwxyzugrad用用三三個(gè)個(gè)速速度度更更簡簡明明。流流場場比比稱稱勢勢流流。用用速速度度勢勢表表示示流流動(dòng)動(dòng)也也稱稱為為有有勢勢流流，簡簡次次無無旋旋且且只只有有一一個(gè)個(gè)速速度度勢

4、勢，因因無無旋旋流流動(dòng)動(dòng)，總總有有一一個(gè)個(gè)而而具具體體的的是是無無旋旋流流動(dòng)動(dòng)，任任何何一一種種由由于于速速度度勢勢存存在在的的條條件件渦渦線線在在該該點(diǎn)點(diǎn)相相切切。度度矢矢量量都都與與在在同同一一瞬瞬間間的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角速速線線表表示示。渦渦線線上上各各質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)方方向向可可用用渦渦。各各點(diǎn)點(diǎn)的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角速速度度的的的的方方法法描描述述旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角速速度度，可可用用描描述述流流速速類類似似和和流流速速一一樣樣，為為一一矢矢量量旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角速速度度 旋旋角角速速度度不不零零，流流。轉(zhuǎn)為統(tǒng)稱為渦渦線渦線二、有旋流動(dòng)二、有旋流動(dòng)渦線的表達(dá)式：渦線的表達(dá)式：表表示示，則則微微元元渦渦通通量量為為為

5、為渦渦通通量量，以以倍倍旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角速速度度的的乘乘積積稱稱渦渦束束斷斷面面面面積積和和為為渦渦管管。成成渦渦束束，渦渦束束的的表表面面稱稱通通過過微微元元斷斷面面的的渦渦線線組組I2dAdAdI 22 zyxdzdydx 表表示示：的的速速度度環(huán)環(huán)量量，用用積積分分稱稱為為沿沿流流線線曲曲線線的的一一封封閉閉曲曲線線，流流速速沿沿該該速速度度環(huán)環(huán)量量：在在流流場場中中取取 L LzyxLLdzudyudxuudLLdu)( circulation斯托克斯定理： AA2 dAdALdunnL 即即：量量，曲曲面面上上所所有有渦渦束束的的渦渦通通環(huán)環(huán)量量等等于于該該封封閉閉周周線線內(nèi)內(nèi)，則則沿沿

6、封封閉閉曲曲線線的的速速度度當(dāng)當(dāng)封封閉閉周周線線內(nèi)內(nèi)有有渦渦束束時(shí)時(shí)n : unit outward normal vector to the area dA;For single-connected region: 0 n = 0 byaxudycxv1.設(shè)不可壓縮流體的速度場為設(shè)不可壓縮流體的速度場為 若運(yùn)動(dòng)為無旋的，求若運(yùn)動(dòng)為無旋的，求a、b、c、d必須滿足的條件。必須滿足的條件。例題例題答答案案：且且adcb 。全全微微分分的的必必要要充充分分條條件件的的為為某某一一函函數(shù)數(shù)使使由由數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)分分析析知知，上上式式是是 wdzvdyudx 22yxcxv2. 給定流場為：給定流場為：試用

7、斯托克斯定理求證圍繞原點(diǎn)的試用斯托克斯定理求證圍繞原點(diǎn)的任意形狀封閉曲線環(huán)量相等。任意形狀封閉曲線環(huán)量相等。 。在在大大小小和和方方向向上上都都相相同同線線上上各各點(diǎn)點(diǎn)處處的的質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)流流速速一一條條垂垂直直平平面面，而而在在此此平平面面的的任任速速度度都都平平行行于于某某一一固固定定刻刻的的所所有有流流體體質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)在在任任一一時(shí)時(shí)平平面面流流動(dòng)動(dòng)是是二二元元流流動(dòng)動(dòng)， 連連續(xù)續(xù)性性方方程程為為：對(duì)對(duì)于于不不可可壓壓縮縮流流體體，其其 0 0 2222222 zyxzwyvxuzwyvxu， 82 平面勢流平面勢流一、勢函數(shù)和流函數(shù)一、勢函數(shù)和流函數(shù)potential function and

8、 stream function1、勢函數(shù)、勢函數(shù)理論流體力學(xué)理論流體力學(xué)的四等價(jià)的四等價(jià)無旋無旋速度環(huán)量與路徑無關(guān)速度環(huán)量與路徑無關(guān)有勢有勢封閉曲線環(huán)量為封閉曲線環(huán)量為0稱稱為為拉拉普普拉拉斯斯算算子子。2222222 zyx 和函數(shù)。和函數(shù)。調(diào)和函數(shù)，速度勢為調(diào)調(diào)和函數(shù)，速度勢為調(diào)為為拉普拉斯方程的函數(shù)稱拉普拉斯方程的函數(shù)稱從數(shù)學(xué)上分析，凡滿足從數(shù)學(xué)上分析，凡滿足此時(shí)拉普拉斯方程為：此時(shí)拉普拉斯方程為：0 22222 yx 對(duì)對(duì)于于平平面面勢勢流流：yvxu ，2、流函數(shù)、流函數(shù)對(duì)對(duì)于于平平面面流流動(dòng)動(dòng)：由由流流線線微微分分方方程程可可知知，函函數(shù)數(shù)是是流流函函數(shù)數(shù)。流流場場的的面面流流動(dòng)

9、動(dòng)中中，另另一一個(gè)個(gè)描描述述在在不不可可壓壓縮縮流流體體穩(wěn)穩(wěn)定定平平 ，得得滿滿足足上上式式。對(duì)對(duì)上上式式積積分分必必體體的的平平面面流流動(dòng)動(dòng)是是連連續(xù)續(xù)的的也也就就是是說說，不不可可壓壓縮縮流流 分分和和必必要要條條件件是是：要要使使上上式式能能夠夠積積分分的的充充 0 vdxudyvdyudx或或0 yvxu ),()( yxvdxudy 數(shù)數(shù)。是是積積分分結(jié)結(jié)果果，稱稱為為流流函函),(yx 將將上上式式微微分分，得得流流函函數(shù)數(shù)的的物物理理意意義義：比比較較上上面面兩兩式式，得得的的全全微微分分，得得),(yx vdxudyd dyydxxd xvyu ，的的關(guān)關(guān)系系。上上式式表表示示

10、流流函函數(shù)數(shù)和和流流速速是是流流線線。常常數(shù)數(shù)，故故等等流流函函數(shù)數(shù)線線即即流流函函數(shù)數(shù)為為一一說說明明同同一一流流線線上上各各點(diǎn)點(diǎn)的的（即即，得得和和比比較較 ,),00 cyxddyxdxxdudy-vdx 于于當(dāng)當(dāng)寬寬流流量量。當(dāng)當(dāng)流流線線間間的的流流函函數(shù)數(shù)差差值值相相在在平平面面流流場場中中，兩兩相相鄰鄰 ，則則：及及垂垂投投影影為為斷斷面面的的水水平平和和鉛鉛設(shè)設(shè)。坐坐標(biāo)標(biāo)（點(diǎn)點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)（，為為兩兩流流線線間間的的過過水水?dāng)鄶嗝婷?。取取間間有有固固定定流流量量之之和和值值。在在任任意意兩兩條條流流線線有有各各自自的的幾幾條條流流線線，每每條條流流線線證證明明：在在平平面面勢勢

11、流流中中取取accbab),b),aabdyydxxyxdqd cbvacudq ，所所以以，因因?yàn)闉椋篸xcbdyac 積分，積分， ddxxdyyvdxudydq 不不論論勢勢流流和和渦渦流流。用用，論論對(duì)對(duì)任任何何平平面面流流動(dòng)動(dòng)都都適適流流動(dòng)動(dòng)的的條條件件，故故以以上上結(jié)結(jié)面面明明其其特特性性時(shí)時(shí)，僅僅用用了了平平在在論論證證流流函函數(shù)數(shù)存存在在及及說說2121 qd 旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角速速度度為為零零。在在平平面面勢勢流流中中，質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)的的0 yuxv0 22222 yxxvyu，因?yàn)橐驗(yàn)樵谄矫鎰萘髦校骱瘮?shù)也滿足拉普拉斯方程，也是調(diào)和函數(shù)。3、流函數(shù)、勢函數(shù)的關(guān)系、流函數(shù)、勢函數(shù)的關(guān)系

12、xyvyxu 等勢線和流線在平面上構(gòu)成正交網(wǎng)格，稱為流網(wǎng)數(shù)數(shù)。勢勢流流？若若是是勢勢流流求求勢勢函函求求流流函函數(shù)數(shù)。流流動(dòng)動(dòng)是是否否為為若若可可以以，壓壓縮縮流流體體的的平平面面流流動(dòng)動(dòng)？分分布布是是否否可可表表示示成成不不可可，該該速速度度，例例題題：已已知知一一速速度度場場xyvyxu44 流流動(dòng)動(dòng)的的連連續(xù)續(xù)性性方方程程解解：不不可可壓壓縮縮流流體體平平面面0 1 1 yvxuyvxu，函函數(shù)數(shù)。平平面面流流動(dòng)動(dòng)，流流動(dòng)動(dòng)存存在在流流的的，可可表表示示不不可可壓壓縮縮流流體體速速度度分分布布滿滿足足連連續(xù)續(xù)方方程程 ，對(duì)對(duì)上上式式求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，為為了了確確定定函函數(shù)數(shù))(xf系系，

13、根根據(jù)據(jù)流流函函數(shù)數(shù)和和流流速速的的關(guān)關(guān) xyxvyxyu4 4 ，)(2 )()4()( 2xfyxyxfdyyxxfdyy 均均無無影影響響，忽忽略略不不計(jì)計(jì)。對(duì)對(duì)流流函函數(shù)數(shù)的的差差值值及及速速度度積積分分常常數(shù)數(shù)c 2)( 4)( 4)( 2cxxfxxfxyvxfyx ， cyxyx 2222 4yxxu 。得得處處，令令和和在在00 0 yx24222yxyx )(421)()4(2ygxyxygdxyx xyygxyv4)(4 cyygyyg 221)( ,)(（1 1) ) 由由速速度度求求旋旋角角速速度度場轉(zhuǎn)0)4(4 )4()4( yxyxyxyuxv流流流流動(dòng)為勢徑徑無無

14、關(guān)關(guān)，表表示示全全微微分分，積積分分與與路路因因dyydxxd xyyxx)dy(-y-xdxdyydxxdyxll422 4 )( 2200 ，）對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)，設(shè)設(shè)在在坐坐標(biāo)標(biāo)原原點(diǎn)點(diǎn)（0000 ，（勢勢函函數(shù)數(shù)為為平平面面中中任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)的的速速度度), yx ），（）（），選選取取積積分分路路徑徑為為（yx,x,000，軸軸上上，0dy0yx ，故故軸軸平平行行的的線線段段上上，與與0dxy 運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)。所所以以直直線線等等速速流流是是無無旋旋0)(21 yuxvz 因因?yàn)闉?。平平行行地地作作等等速速直直線線運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)相相互互流流體體質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)以以相相同同的的速速度度所所謂謂平平行行等等速速流

15、流，就就是是 bvau 設(shè)設(shè)流流場場中中的的速速度度分分布布byvaxu 二、簡單流動(dòng)的分析二、簡單流動(dòng)的分析 Elementary Flows1、均勻直線流動(dòng)、均勻直線流動(dòng)（平行等速流）（平行等速流）Uniform FlowThis flow is irrotational!byaxbdyadxdyydxxd 程程，都都相相同同，根根據(jù)據(jù)伯伯努努利利方方由由于于流流場場中中各各點(diǎn)點(diǎn)的的速速度度同同理理，可可求求流流函函數(shù)數(shù)aybxadybdxudyvdxdyydxxd 響響可可以以不不計(jì)計(jì)。平平面面上上運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)，或或重重力力影影如如果果直直線線均均勻勻流流是是在在水水cpz cp 。在在流流

16、場場中中壓壓強(qiáng)強(qiáng)處處處處相相等等 byxca 流線方程為：流線方程為：、點(diǎn)點(diǎn)源源和和點(diǎn)點(diǎn)匯匯2vuvr點(diǎn)匯，此點(diǎn)稱為匯點(diǎn)。點(diǎn)匯，此點(diǎn)稱為匯點(diǎn)。稱為稱為地從各方向流入一點(diǎn)，地從各方向流入一點(diǎn)，若流體沿徑向直線均勻若流體沿徑向直線均勻 此此點(diǎn)點(diǎn)稱稱為為源源點(diǎn)點(diǎn)。方方向向流流出出，稱稱為為點(diǎn)點(diǎn)源源。向向各各一一點(diǎn)點(diǎn)沿沿徑徑向向直直線線均均勻勻地地設(shè)設(shè)在在無無限限平平面面上上流流體體從從 點(diǎn)點(diǎn)源源和和點(diǎn)點(diǎn)匯匯的的流流動(dòng)動(dòng)只只有有徑徑向向速速度度 ，把把源源點(diǎn)點(diǎn)（匯匯點(diǎn)點(diǎn)）放放在在坐坐標(biāo)標(biāo)原原點(diǎn)點(diǎn)處處。rvPoint source and sink點(diǎn)點(diǎn)匯匯的的強(qiáng)強(qiáng)度度）的的單單寬寬流流量量（點(diǎn)點(diǎn)源源或或

17、半半徑徑都都應(yīng)應(yīng)相相等等，故故每每秒秒通通過過量量體體通通過過任任一一圓圓柱柱面面的的流流根根據(jù)據(jù)流流動(dòng)動(dòng)的的連連續(xù)續(xù)性性，流流rrQvconstQrvrr 212 。，；對(duì)對(duì)于于點(diǎn)點(diǎn)匯匯，對(duì)對(duì)于于點(diǎn)點(diǎn)源源，000, 0 rrvQvQ的的符符號(hào)號(hào)不不同同，和和別別僅僅在在于于故故對(duì)對(duì)點(diǎn)點(diǎn)源源和和點(diǎn)點(diǎn)匯匯，其其區(qū)區(qū)rvQ取取負(fù)負(fù)號(hào)號(hào)。對(duì)對(duì)點(diǎn)點(diǎn)源源取取正正號(hào)號(hào)，對(duì)對(duì)點(diǎn)點(diǎn)匯匯2222cos22 sin22rrQxQxuvrrxyQyQyvvrrxy 在在直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中，有有 z2222221122 ()(-)02222vuQxyQxyxyxyxy 0)(21 z yuxv 因因?yàn)闉?流流動(dòng)

18、動(dòng)。所所以以點(diǎn)點(diǎn)源源和和點(diǎn)點(diǎn)匯匯是是無無旋旋。源源點(diǎn)點(diǎn)（或或匯匯點(diǎn)點(diǎn)）為為奇奇點(diǎn)點(diǎn)都都變變成成無無窮窮大大，和和速速度度時(shí)時(shí)，速速度度勢勢圓圓簇簇。當(dāng)當(dāng)心心常常數(shù)數(shù)，是是半半徑徑不不同同的的同同常常數(shù)數(shù)，其其時(shí)時(shí)等等勢勢線線rvrr 0 22222222()()2442ddxdyudxvdyxyQxdxydyQd xyQd rQdrxyxyrr 2 lnQr r = 0 is a singular point 流流 函函 數(shù)數(shù) ： 因因 為為= = 0 0所所 以以 存存 在在 流流 函函 數(shù)數(shù)2uvQ2xQ1+= -+ 222xy2222x+ yx+ y2Q2yQ1-+ 2222222x+

19、yx+ y 2222222)(2)(2 yxydxxdyQdyyxQxdxyxQydyxdxyudxvdyd xytgQxyxydQyxydxxdyQ12222)(1)(22 xytg -1 ，由由于于xytg。普普拉拉斯斯方方程程和和正正交交條條件件等等勢勢線線和和流流線線都都滿滿足足拉拉射射線線。常常數(shù)數(shù)，是是輻輻角角一一定定的的輻輻常常數(shù)數(shù)，即即流流線線為為 2Q 根根據(jù)據(jù)伯伯努努利利方方程程，得得：若若為為無無限限大大水水平平平平面面，2 2rvppgg 流流場場內(nèi)內(nèi)壓壓力力分分布布：在在無無限限遠(yuǎn)遠(yuǎn)處處，,0 ru22218rQpp 動(dòng)動(dòng)。流流體體將將帶帶動(dòng)動(dòng)著著作作旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)運(yùn)運(yùn)。柱

20、柱體體周周圍圍旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角速速度度為為圍圍繞繞中中心心作作旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)，體體，軸軸方方向向?yàn)闉闊o無限限長長的的圓圓柱柱，沿沿設(shè)設(shè)有有一一半半徑徑為為 zr0 3、純環(huán)流運(yùn)動(dòng)、純環(huán)流運(yùn)動(dòng) Circulating Flow可可以以表表示示為為：流流場場中中任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)的的速速度度，求求得得時(shí)時(shí)，為為常常數(shù)數(shù)，當(dāng)當(dāng)其其中中 00rurrk ，因因此此原原點(diǎn)點(diǎn)為為奇奇異異點(diǎn)點(diǎn)。，當(dāng)當(dāng) ur0rrurk 2020 ，rku 222020222020cossin yxxrrrvyxyrrru 直角坐標(biāo)系：直角坐標(biāo)系：奇異點(diǎn)。奇異點(diǎn)。，原點(diǎn)是不連續(xù)點(diǎn)，為，原點(diǎn)是不連續(xù)點(diǎn)，為，當(dāng)當(dāng) vur002220

21、2220 yxxryyxyrxyvxu 但但數(shù)數(shù)。任任意意曲曲線線的的環(huán)環(huán)量量等等于于常常的的連連續(xù)續(xù)性性條條件件，包包圍圍原原點(diǎn)點(diǎn)除除原原點(diǎn)點(diǎn)外外，純純環(huán)環(huán)流流符符合合 2020202 rrdrrdsuL 222222 yxxvyxyu 表表示示成成直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)形形式式：Why ? Single-connected regionStokes Theorem是連續(xù)的，其流函數(shù)為是連續(xù)的，其流函數(shù)為由于純環(huán)流除原點(diǎn)外都由于純環(huán)流除原點(diǎn)外都：純純環(huán)環(huán)流流的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角速速度度為為 x)(212x2-d 222222yxydyxdxydyvdxudy )ln(2)ln(4 22ryx 0222

22、1)(21 2222 yxyyyxxxyuxvz 為為：勢勢為為勢勢流流旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)區(qū)區(qū)，其其速速度度外外流流是是無無旋旋流流動(dòng)動(dòng)，即即流流核核從從上上式式可可以以看看出出，純純環(huán)環(huán) 222122 xyxydyxxdyydxvdyudxd 積積分分，得得： arctan22yx 勢勢流流。而而成成，勢勢流流疊疊加加后后仍仍是是疊疊加加成成是是由由幾幾種種簡簡單單的的勢勢流流實(shí)實(shí)際際的的復(fù)復(fù)雜雜流流動(dòng)動(dòng)可可以以看看 83 勢流的疊加原理勢流的疊加原理都都滿滿足足拉拉普普拉拉斯斯方方程程：、。、其其速速度度勢勢分分別別為為證證明明：設(shè)設(shè)有有兩兩個(gè)個(gè)勢勢流流，2121 00 222222212212yx

23、yx * Only for the velocity field, NOT pressure field !兩兩速速度度勢勢之之和和0)()( )()( 22122212222222212212222221 yxyxyxyx 復(fù)復(fù)合合勢勢流流的的速速度度分分量量： 21212121 vvyyyvuuxxxu 流流函函數(shù)數(shù)同同理理可可證證明明復(fù)復(fù)合合勢勢流流的的21 一一、源源環(huán)環(huán)流流和和匯匯環(huán)環(huán)流流流流線線方方程程： 等等勢勢線線方方程程：、源源環(huán)環(huán)流流1 )ln(21ln22ln212ln2 2121rQrQrQrQ lncrQ Qcer 1 Q-lnrc 1 cQre 、匯匯環(huán)環(huán)流流2 等

24、等勢勢線線方方程程： 流流線線方方程程： )ln(21ln22ln212ln2 2121rQrQrQrQ CQre 1 cQre 處處的的速速度度勢勢為為：，（，則則任任意意點(diǎn)點(diǎn)源源點(diǎn)點(diǎn)和和匯匯點(diǎn)點(diǎn)的的距距離離為為。、度度分分別別為為等等強(qiáng)強(qiáng)度度點(diǎn)點(diǎn)源源和和點(diǎn)點(diǎn)匯匯的的強(qiáng)強(qiáng))M2yxQQ 212121ln2)ln(ln2rrQrrQ 222221)( )(yxryxr ；二、偶極流二、偶極流 Doublet，根根據(jù)據(jù)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開開：時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)源源點(diǎn)點(diǎn)和和匯匯點(diǎn)點(diǎn)無無限限接接近近0 勢勢：近近似似取取第第一一項(xiàng)項(xiàng)，得得速速度度22)(44 yxxQ 32)1ln( 32zzzz22222222

25、22222222()()lnln2()4()()()()4lnln 14()4()QxyQxyxyxyQxyxxQxxyxy 代代入入上上式式，得得：和和把把21rr流流函函數(shù)數(shù)：)(2 2121 Q22221212121)( yxytgtgtgtgtg xytgxytg21 ，2221212 yxytg222122 yxytgQ 再級(jí)數(shù)展開式再級(jí)數(shù)展開式 53531zzzztg 02當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，的的極極限限趨趨于于某某一一極極限限值值。QQM 流流函函數(shù)數(shù)為為：很很小小，只只保保留留第第一一項(xiàng)項(xiàng)，由由于于 22222 yxyQ 2222222222 ryMyxyMrxMyxxM 數(shù)數(shù)分分別別為

26、為：偶偶極極流流的的勢勢函函數(shù)數(shù)、流流函函向向點(diǎn)點(diǎn)匯匯。是是矢矢量量，其其方方向向由由點(diǎn)點(diǎn)源源稱稱為為偶偶極極流流的的偶偶極極矩矩，M偶偶極極流流的的流流線線方方程程：等等勢勢線線方方程程：2121212241)21( ccyxcyxy 或或2222241)21(y ccxcyxx 或或84 平行流繞圓柱體無環(huán)流流動(dòng)平行流繞圓柱體無環(huán)流流動(dòng)一、理想流體繞無限長圓柱體無環(huán)流的分析一、理想流體繞無限長圓柱體無環(huán)流的分析面面流流動(dòng)動(dòng)。形形成成復(fù)復(fù)合合的的繞繞圓圓柱柱的的平平把把平平行行流流和和偶偶極極流流疊疊加加xuyu0101 平行流：平行流：21222 2 rMxrMy 偶極流：偶極流：復(fù)復(fù)合合

27、流流動(dòng)動(dòng)的的流流函函數(shù)數(shù)：)21(2 20020ruMyurMyyu Uniform FlowDoublet20002 00ruMrry 是是零零流流線線，此此時(shí)時(shí)：，的的圓圓柱柱面面上上，流流函函數(shù)數(shù)，或或在在半半徑徑當(dāng)當(dāng))(sin)1( 20022200rrruyxryu 代代入入上上式式，得得：復(fù)復(fù)合合流流動(dòng)動(dòng)的的勢勢函函數(shù)數(shù)： )1( )1(cos)1( 222 22200220022002200020 yxrxurrrurrxurxruxurxMxu 前前流流動(dòng)動(dòng)到到無無窮窮遠(yuǎn)遠(yuǎn)處處。軸軸向向點(diǎn)點(diǎn)匯匯合合，再再沿沿流流到到周周分分兩兩股股沿沿柱柱面面上上下下兩兩半半點(diǎn)點(diǎn)，然然后后軸軸

28、到到達(dá)達(dá)無無窮窮遠(yuǎn)遠(yuǎn)處處沿沿的的復(fù)復(fù)合合流流動(dòng)動(dòng)：零零流流線線自自樣樣的的圓圓柱柱表表面面上上，滿滿足足這這從從上上面面的的分分析析看看出出，在在xBAxrr0 的的流流速速以以極極坐坐標(biāo)標(biāo)表表示示：流流場場中中任任意意一一點(diǎn)點(diǎn) M sin)1(cos)1( 22002200rrururrurur )(2)()(1 22220022222200 yxxyruyuyxyxruxuyx 滿足平行流。滿足平行流。，時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 0 yuuxuyxyx sin2 000uuurrr ，時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)Sleep velocity，不不發(fā)發(fā)生生脫脫離離。流流動(dòng)動(dòng)緊緊貼貼圓圓柱柱表表面面繞繞行行向向速速度度，

29、無無徑徑向向速速度度，表表明明在在圓圓柱柱表表面面只只有有切切布布：圓圓柱柱表表面面速速度度和和壓壓力力分分0ooo2 90 0 180 0 uuu ，Stagnation PointsMax velocity力力，由由伯伯努努利利方方程程得得圓圓柱柱面面上上任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)的的壓壓代代入入上上式式，得得將將 sin20uu ，得得定定義義無無因因次次壓壓力力系系數(shù)數(shù)pc)sin41(21 2200 upp 220200sin41)(121 uuuppcpgupgup22 2002 Symmetrical with respect to both x-axis and y-axis軸軸的的分分

30、量量：軸軸和和沿沿微微小小總總壓壓力力：微微元元弧弧長長度度：作作用用在在圓圓柱柱面面上上的的力力：yxdFdprdFdrds 00 dprdFdprdFyxsin cos 00 202200020220000cos)sin41(21 0sin)sin41(21 duprFFduprFFxDyL二、作用在圓柱體上的總壓力二、作用在圓柱體上的總壓力F = 0 : dAlemberts Paradox 2cos)1(ln2sin)1( 22002200rrrurrrru：流流動(dòng)動(dòng)的的流流函函數(shù)數(shù)和和勢勢函函數(shù)數(shù)，則則復(fù)復(fù)合合環(huán)環(huán)量量是是順順時(shí)時(shí)針針方方向向的的（疊疊加加而而成成，并并假假設(shè)設(shè)速速度度流流動(dòng)動(dòng)和和純純環(huán)環(huán)流流直直線線均均勻勻繞繞圓圓柱柱無無環(huán)環(huán)量量有有環(huán)環(huán)量量流流動(dòng)動(dòng)，實(shí)實(shí)際際上上是是對(duì)對(duì)于于繞繞圓圓柱柱，不不存存在在升升力力和和阻阻力力，對(duì)對(duì)于于繞繞圓圓柱柱無無環(huán)環(huán)量量流流動(dòng)動(dòng))0 85 平行流繞圓柱體有環(huán)流流動(dòng)平行流繞圓柱體有環(huán)流流動(dòng)一、理想流體繞無限長圓柱體無環(huán)流的分析一、理想流體繞無限長圓柱體無環(huán)流的分析徑向和切向速度：徑向和切向速度： rrrururrur