第六章數(shù)值分析——插值法

1、數(shù)數(shù) 值值 方方 法法武武 漢漢 大大 學(xué)學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系劉丁酉 主頁主頁6 插值法插值法 6.1 拉格朗日拉格朗日( (Lagrange)插值插值 6.2 均差與牛頓均差與牛頓( (Newton)插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式 6.3 Hermite插值插值 6.4 分段低次插值方法分段低次插值方法 6.5 三次樣條插值函數(shù)三次樣條插值函數(shù) 設(shè)已知某個(gè)函數(shù)關(guān)系設(shè)已知某個(gè)函數(shù)關(guān)系y = f (x)在某些離散點(diǎn)上的函數(shù)值或函數(shù)在某些離散點(diǎn)上的函數(shù)值或函數(shù)y = f (x)以表格形式給出以表格形式給出 ： 根據(jù)這些已知數(shù)據(jù)來構(gòu)造函數(shù)根據(jù)這些已知數(shù)據(jù)來構(gòu)造函數(shù)y = f (x

2、)的一種簡單的近似表達(dá)式的一種簡單的近似表達(dá)式P(x)以便于計(jì)算點(diǎn)以便于計(jì)算點(diǎn) 的函數(shù)值的函數(shù)值 ，或計(jì)算函數(shù)的一階、，或計(jì)算函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)值。二階導(dǎo)數(shù)值。ixx )(xfnxxxxx210nyyyyy210（6.1）式式(6.2)為插值條件為插值條件. . iiP(x )=f(x )ix 插值法就是用一個(gè)簡單的函數(shù)插值法就是用一個(gè)簡單的函數(shù)y=P(x)來近似地表示來近似地表示y=f(x),使得使得(i=0,1,2,n) (6.2) 則稱則稱P(x)為插值函數(shù)，為插值函數(shù)， 稱稱f(x)為被插值函數(shù)為被插值函數(shù),稱稱 為插值節(jié)點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn),選選P(x)為為n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 Pn(x)

3、作為作為 f (x) 的近似的近似. .且使得且使得niyxPiin, 2, 1, 0,)(（6.2*） 滿足關(guān)系（滿足關(guān)系（6.26.2* *）的函數(shù)）的函數(shù)Pn(x)為為f (x)的的n n次插值多項(xiàng)式次插值多項(xiàng)式. .這樣地問題稱為多項(xiàng)式插值問題這樣地問題稱為多項(xiàng)式插值問題. .設(shè)設(shè) x0 x1 xn，記記 a = x0, b = xn，則則a, b為插值區(qū)間。為插值區(qū)間。6.1拉格朗日拉格朗日( (Lagrange)插值插值 6.1.1 Lagrange插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式 6.1.2 插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)1線性插值線性插值 x0 x1(x0 ,y0)(x1 ,y1)P1(

4、x)f(x)可見可見 P1(x) 是過是過 ( x0 , y0 ) 和和 ( x1, y1 ) 兩點(diǎn)的直線兩點(diǎn)的直線。6.1.1Lagrange插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式x0 x1x2p2(x) f(x)f(x)2拋物插值拋物插值因過三點(diǎn)的二次曲線為拋物線，故稱為拋物插值。因過三點(diǎn)的二次曲線為拋物線，故稱為拋物插值。 為了找到n次多項(xiàng)式插值問題的簡便算法,我們把問題簡化,考慮一個(gè)簡單的n次多項(xiàng)式插值問題.設(shè)函數(shù)y=f(x)如下表:xkx0 x1xi-1xixi+1xnyk0001003n次次Lagrange 插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式求求n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式li (x) i = 0, 1, n根據(jù)插值條件根

5、據(jù)插值條件li (x) 是是n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式, ,且且1,() (6.3)0,ijijl xij由于除由于除xk以外所有的結(jié)點(diǎn)都是以外所有的結(jié)點(diǎn)都是lk (x)的根，所以可設(shè)的根，所以可設(shè)0111( )()()()()()iiinl xxxxxxxxxxx0()njjj ixx又由又由li (xi) = 1，得：，得： 01111()()()()()iiiiiiinxxxxxxxxxx)()()()()()()(11101110nkkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl 0 (6.4)njjkjj kxxxx 形如(6.4)的函數(shù) ， 稱為以 ， 為節(jié)點(diǎn)的拉格朗日插

6、值函數(shù).它們都是n次多項(xiàng)式,且都滿足公式(6.3)。01( ), ( ),l x l x( )nlx012,x x xnx 下面我們考慮一般的多項(xiàng)式插值問題.設(shè)y=f(x)由下表給出:xkx0 x1xnyky0y1yn求n次多項(xiàng)式 ,滿足yi=Ln(xi).( )nL x令 首先由于基函數(shù)li(x)都是n次多項(xiàng)式,所以Ln(x)是n次多項(xiàng)式;再由于Ln(x)滿足yi=Ln(xi),根據(jù)唯一性定理知, Ln(x)與用解方程組的方法得到的n次多項(xiàng)式Pn(x)是相同的.稱Ln(x)為拉格朗日（拉格朗日（Lagrange) 插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式. .當(dāng)n=1時(shí),為線性插值當(dāng)n=2時(shí),為二次多項(xiàng)式插值(

7、拋物線插值)0 01 1( )( )( )( )nn nL xy l xyl xy l x證明證明 設(shè)所要構(gòu)造的插值多項(xiàng)式為： 2012L ( )nnnxaa xa xa x=+由插值條件 L ( )0,1,niixyin=得到如下線性代數(shù)方程組： nnnnnnnnnyaxaxayaxaxayaxaxa101111000100111定理定理6.1: : Lagrange 插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式Ln(x)存在且唯一存在且唯一. .此方程組的系數(shù)行列式為 nnnnnnxxxxxxxxxD212110200111 nijjixx0)(此為一個(gè)范得蒙行列式式 ！當(dāng) jixx 時(shí)， 1, 2, ;in=1

8、, 2,jn=D 0， 因此，Ln(x) 由 a0, a1, an 唯一確定。6.1.2 插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)定義定義6.1 在插值區(qū)間a,b上 Rn(x)=f(x)-Pn(x)稱Rn(x)為插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)或差值誤差.記 n+1(x)=(x-x0)(x-x1)(x-xn)則有下面插值余項(xiàng)的估計(jì)定理.(1)1( )( )( ) (6.5)(1)!nnnfRxxn其中:(a,b),且依賴于x,而xa,b.定理定理6.2 設(shè)f(x)在a,b上有n+1階導(dǎo)數(shù),則證明證明：nn1 R ( )( )( ) R ()()()0(0,1, 2,)()0,niininixfxPxxfxPxinx又

9、所以成立(6.3) 當(dāng)xxi時(shí)，作輔助函數(shù)11( )( )( )( )( )nnnnRxtR ttx顯然(t)在a,b上n+1階可導(dǎo),且(x)= (xi) =0 i=0,1,2,n.即(x)有n+2個(gè)零點(diǎn).根據(jù)Roll定理,在每兩個(gè)零點(diǎn)之間至少有一個(gè) (t)的零點(diǎn).即(t)至少有n+1個(gè)零點(diǎn).類似地反復(fù)利用Roll定理,得: (t)至少有n個(gè)零點(diǎn). (n+1)(t)至少有1個(gè)零點(diǎn).即至少存在一點(diǎn) 使 由于( , )a b(1)( )0n11111( )0,( )(1)!nnnnnnddP ttndtdt因此(1)(1)1( )( )( )(1)!0( )nnnnRxfnx 進(jìn)而(1)1( )(

10、 )( ).(1)!nnnfR xxn注意注意: :由于是未知的,f(x)是未知的或是復(fù)雜的,所以,公式(6.5)不能直接使用.但是若有則有(1)( ), , nfxM xa b01( )()()() , , (1)!nnMR xxxxxxxxa bn例1:已知y=f(x)=ln(1+x)的值如下(1)求Lagrange插值多項(xiàng)式L2(x).(2)求L2(2.5). (3)求插值余項(xiàng)R2(x)并估計(jì)R2(x).解解:(1) 由公式得xi123yi0.71.11.420 01 12 22( )( )( )( )(2)(3)(1)(3)(1)(2)0.71.11.4(12)(1 3)(2 1)(2

11、3)(3 1)(32)0.050.550.2L xy lxy l xy lxxxxxxxxx (2)因?yàn)?L2(2.5)=1.2625，所以f(2.5) L2(2.5)=1.2625(3)因?yàn)?()()(1)(2)(3),(1, 3)3!fRxxxx而32( )(ln(1)(1)fxxx從而進(jìn)而131max( )4xfx21( )(1)(2)(3)24R xxxx6.2 均差與牛頓均差與牛頓(Newton)插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式 6.2.1 均差及其性質(zhì)均差及其性質(zhì) 6.2.2 牛頓牛頓(Newton)插值公式插值公式 6.2.3 差分及其性質(zhì)差分及其性質(zhì) 6.2.4 等距節(jié)點(diǎn)的等距節(jié)點(diǎn)的New

12、ton插值公式插值公式Lagrange 插值雖然易算，但若要增加或減少一個(gè)節(jié)插值雖然易算，但若要增加或減少一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)點(diǎn)時(shí)， 全部基函數(shù)全部基函數(shù) li(x) 都需重新算過都需重新算過。定義定義1：設(shè)有函數(shù)設(shè)有函數(shù)f (x)以及自變量的一系列互不相等以及自變量的一系列互不相等的的x0, x1, xn （即在（即在i j時(shí)，時(shí)，x i xj）的值）的值 f(xi) , 稱稱),()()(,jijijijixxjixxxfxfxxf 為為f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)xi , xi處的處的一階一階均差（均差（差商差商），并記作），并記作f xi , xj， f xi , xj的幾何意義為過的幾何意義為過(xi,

13、f(xi)和和(x(xj j,f(x,f(xj j) )）兩點(diǎn)的割）兩點(diǎn)的割線的斜率線的斜率. . 6.2.1 均差及其性質(zhì)均差及其性質(zhì))(,kixxxxfxxfxxxfkikjjikji 又稱又稱為為f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)xi, xj, xk處的處的二階差商二階差商, , 稱稱 nnnnxxxxxfxxxfxxxf 02111010,為為f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0, x1, xn處的處的n階差商階差商。特別地規(guī)定特別地規(guī)定：f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)xi,處的處的零階差商零階差商為為fxi=f(xi)。f (x0)f (x1)f (x2) f (xn 1)f (xn)f x0, x1f x1, x2 f x

14、n 1, xnf x0, x1 , x2 f xn 2, xn 1, xnf x0, , xn xn+1 f (xn+1) f xn, xn+1 f xn 1, xn, xn+1 f x1, , xn+1 f x0, , xn+1差商可列表計(jì)算：差商可列表計(jì)算： xi yi 一階差商一階差商 二階差商二階差商 n 階差商階差商 由差商定義可知：高階差商是兩個(gè)低一階差商的差商。由差商定義可知：高階差商是兩個(gè)低一階差商的差商。x0 x1x2xn-1xn6.2.2 牛頓插值公式牛頓插值公式,)()()(000 xxfxxxfxf ,)(,101100 xxxfxxxxfxxf ,.,)(,.,.,0

15、010nnnnxxxfxxxxfxxxf 12 n 1 (x x0) ,2 (x x0)(x xn 1) n 1.)(,)(,)()(102100100 xxxxxxxfxxxxfxfxf).(,.,100 nnxxxxxxf)().(,.,100nnnxxxxxxxxxf Nn(x)Rn(x)ai = f x0, , xi )(!)1()()(,.,1)1(10 xnfxxxxfkxnkn ),(,!)(,.,maxmin)(0 xxkfxxfkk 牛頓插值公式的優(yōu)點(diǎn)是：當(dāng)增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，只要再增加一項(xiàng)就行了，即有遞推式: ,)()()()(10101 kkkkkxxxfxxxxxxxNxN由插值的唯一性可知 Nn(x) Ln(x)， 故其余項(xiàng)也相同，即差商與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系公式 這便證明了差商的性質(zhì)3注意:牛頓插值多項(xiàng)式是多項(xiàng)式族的線性組合.即此多項(xiàng)式族為另一組基.其系數(shù)是差商表從左上到右下對角線上各階差商值.0010111,()(), ,()()()nx xx xx xx