二次數(shù)壓軸題

1、2006年全國中考數(shù)學(xué)壓軸題全析全解1、（2006重慶）如圖1所示，一張三角形紙片ABC，ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜邊AB的中線CD把這張紙片剪成和兩個三角形（如圖2所示）.將紙片沿直線（AB）方向平移（點始終在同一直線上），當(dāng)點于點B重合時，停止平移.在平移過程中，與交于點E,與分別交于點F、P.(1) 當(dāng)平移到如圖3所示的位置時，猜想圖中的與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(2) 設(shè)平移距離為，與重疊部分面積為，請寫出與的函數(shù)關(guān)系式，以及自變量的取值范圍；（3）對于（2）中的結(jié)論是否存在這樣的的值，使重疊部分的面積等于原面積的.若存在，求x的值；若不存在，請說明理由.

2、圖1圖3圖2APCQBD解 （1）.因為，所以.又因為，CD是斜邊上的中線，所以，即所以，所以所以，.同理：.又因為，所以.所以（2）因為在中，所以由勾股定理，得即又因為，所以.所以在中，到的距離就是的邊上的高，為.設(shè)的邊上的高為，由探究，得，所以.所以.又因為，所以.又因為，.所以 ，而所以(3) 存在. 當(dāng)時，即整理，得解得，.即當(dāng)或時，重疊部分的面積等于原面積的2、（2006浙江金華）如圖,平面直角坐標(biāo)系中,直線AB與軸,軸分別交于A(3,0),B(0,)兩點, ,點C為線段AB上的一動點,過點C作CD軸于點D.(1)求直線AB的解析式;(2)若S梯形OBCD,求點C的坐標(biāo);(3)在第一

3、象限內(nèi)是否存在點P,使得以P,O,B為頂點的三角形與OBA相似.若存在,請求出所有符合條件的點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.解 （1）直線AB解析式為：y=x+ （2）方法一：設(shè)點坐標(biāo)為（x，x+），那么ODx，CDx+由題意： ，解得（舍去）（，）方法二：,，由OA=OB，得BAO30°，AD=CDCD×AD可得CD AD=，ODC（，）（）當(dāng)OBPRt時，如圖 若BOPOBA，則BOPBAO=30°，BP=OB=3，（3，） 若BPOOBA，則BPOBAO=30°,OP=OB=1（1，）當(dāng)OPBRt時 過點P作OPBC于點P(如圖)，此時PBOOB

4、A，BOPBAO30°過點P作PMOA于點M方法一： 在RtPBO中，BPOB，OPBP 在RtPO中，OPM30°， OMOP；PMOM（，）方法二：設(shè)（x ，x+），得OMx ，PMx+由BOPBAO,得POMABOtanPOM= ，tanABOC=x+x，解得x此時，（，） 若POBOBA(如圖)，則OBP=BAO30°，POM30° PMOM（，）（由對稱性也可得到點的坐標(biāo)）當(dāng)OPBRt時，點P在軸上,不符合要求.綜合得，符合條件的點有四個，分別是：（3，），（1，），（，），（，）3、（2006山東濟南）如圖1，已知中，過點作，且，連接交于點（

5、1）求的長；（2）以點為圓心，為半徑作A，試判斷與A是否相切，并說明理由；（3）如圖2，過點作，垂足為以點為圓心，為半徑作A；以點為圓心，為半徑作C若和的大小是可變化的，并且在變化過程中保持A和C相切，且使點在A的內(nèi)部，點在A的外部，求和的變化范圍ABCPEEABCP圖1圖2解（1）在中， ， （2）與A相切在中， 又，與A相切 （3）因為，所以的變化范圍為 當(dāng)A與C外切時，所以的變化范圍為；當(dāng)A與C內(nèi)切時，所以的變化范圍為4、（2006山東煙臺）如圖，已知拋物線L1: y=x2-4的圖像與x有交于A、C兩點，（1）若拋物線l2與l1關(guān)于x軸對稱，求l2的解析式；（2）若點B是拋物線l1上的一

6、動點（B不與A、C重合），以AC為對角線，A、B、C三點為頂點的平行四邊形的第四個頂點定為D，求證：點D在l2上；（3）探索：當(dāng)點B分別位于l1在x軸上、下兩部分的圖像上時，平行四邊形ABCD的面積是否存在最大值和最小值？若存在，判斷它是何種特殊平行四邊形，并求出它的面積；若不存在，請說明理由。解（1）設(shè)l2的解析式為y=a(x-h)2+kl2與x軸的交點A(-2,0),C(2,0),頂點坐標(biāo)是(0，-4),l1與l2關(guān)于x軸對稱， l2過A(-2,0),C(2,0),頂點坐標(biāo)是（0，4） y=ax2+4 0=4a+4 得 a=-1 l2的解析式為y=-x2+4 (2)設(shè)B(x1 ,y1) 點

7、B在l1上 B(x1 ,x12-4) 四邊形ABCD是平行四邊形，A、C關(guān)于O對稱 B、D關(guān)于O對稱 D(-x1 ,-x12+4). 將D(-x1 ,-x12+4)的坐標(biāo)代入l2：y=-x2+4 左邊=右邊 點D在l2上. (3)設(shè)平行四邊形ABCD的面積為S,則 S=2*SABC =AC*|y1|=4|y1| a.當(dāng)點B在x軸上方時，y10 S=4y1 ,它是關(guān)于y1的正比例函數(shù)且S隨y1的增大而增大， S既無最大值也無最小值 b.當(dāng)點B在x軸下方時，-4y10 S=-4y1 ,它是關(guān)于y1的正比例函數(shù)且S隨y1的增大而減小， 當(dāng)y1 =-4時，S由最大值16，但他沒有最小值 此時B(0,-

8、4)在y軸上，它的對稱點D也在y軸上. ACBD 平行四邊形ABCD是菱形 此時S最大=16. 5、（2006浙江嘉興）某旅游勝地欲開發(fā)一座景觀山從山的側(cè)面進行堪測，迎面山坡線ABC由同一平面內(nèi)的兩段拋物線組成，其中AB所在的拋物線以A為頂點、開口向下，BC所在的拋物線以C為頂點、開口向上以過山腳（點C）的水平線為x軸、過山頂（點A）的鉛垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖（單位：百米）已知AB所在拋物線的解析式為，BC所在拋物線的解析式為，且已知（1）設(shè)是山坡線AB上任意一點，用y表示x，并求點B的坐標(biāo)；（2）從山頂開始、沿迎面山坡往山下鋪設(shè)觀景臺階這種臺階每級的高度為20厘米，長度因坡度的大小

9、而定，但不得小于20厘米，每級臺階的兩端點在坡面上（見圖）分別求出前三級臺階的長度（精確到厘米）；這種臺階不能一直鋪到山腳，為什么？（3）在山坡上的700米高度（點D）處恰好有一小塊平地，可以用來建造索道站索道的起點選擇在山腳水平線上的點E處，（米）假設(shè)索道DE可近似地看成一段以E為頂點、開口向上的拋物線，解析式為試求索道的最大懸空高度上山方向長度高度解 （1）是山坡線AB上任意一點，4，（2）在山坡線AB上，令，得 ；令，得第一級臺階的長度為（百米）（厘米）同理，令、，可得、第二級臺階的長度為（百米）（厘米）第三級臺階的長度為（百米）（厘米）取點，又取，則這種臺階不能從山頂一直鋪到點B，從而

10、就不能一直鋪到山腳（注：事實上這種臺階從山頂開始最多只能鋪到700米高度，共500級從100米高度到700米高度都不能鋪設(shè)這種臺階解題時取點具有開放性）另解：連接任意一段臺階的兩端點P、Q，如圖這種臺階的長度不小于它的高度當(dāng)其中有一級臺階的長大于它的高時，在題設(shè)圖中，作于H則，又第一級臺階的長大于它的高這種臺階不能從山頂一直鋪到點B，從而就不能一直鋪到山腳上山方向（3）、由圖可知，只有當(dāng)索道在BC上方時，索道的懸空高度才有可能取最大值索道在BC上方時，懸空高度當(dāng)時，索道的最大懸空高度為米6、（2006山東濰坊）已知二次函數(shù)圖象的頂點在原點，對稱軸為軸一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象交于兩點（在的

11、左側(cè)），且點坐標(biāo)為平行于軸的直線過點（1）求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式；（2）判斷以線段為直徑的圓與直線的位置關(guān)系，并給出證明；（3）把二次函數(shù)的圖象向右平移個單位，再向下平移個單位，二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點，一次函數(shù)圖象交軸于點當(dāng)為何值時，過三點的圓的面積最??？最小面積是多少？解（1）把代入得，一次函數(shù)的解析式為； 二次函數(shù)圖象的頂點在原點，對稱軸為軸，設(shè)二次函數(shù)解析式為，把代入得，二次函數(shù)解析式為 （2）由解得或，過點分別作直線的垂線，垂足為，則，直角梯形的中位線長為，過作垂直于直線于點，則， 的長等于中點到直線的距離的2倍，以為直徑的圓與直線相切（3）平移后二次函數(shù)解析式為，令，得，過

12、三點的圓的圓心一定在直線上，點為定點，要使圓面積最小，圓半徑應(yīng)等于點到直線的距離，此時，半徑為2，面積為，設(shè)圓心為中點為，連，則，在三角形中，而，當(dāng)時，過三點的圓面積最小，最小面積為7、（2006江西）問題背景某課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到了如下兩個命題：如圖1，在正三角形ABC中，M、N分別是AC、AB上的點，BM與CN相交于點O，若BON60º，則BMCN；如圖2，在正方形ABCD中，M、N分別是CD、AD上的點，BM與CN相交于點O，若BON90º，則BMCN；然后運用類比的思想提出了如下命題：如圖3，在正五邊形ABCDE中，M、N分別是CD、DE上的點，BM與

13、CN相交于點O，若BON108º，則BMCN。任務(wù)要求：（1）請你從、三個命題中選擇一個進行證明；（說明：選做對得4分，選做對得3分，選做對得5分）(2)請你繼續(xù)完成下列探索：請在圖3中畫出一條與CN相等的線段DH，使點H在正五邊形的邊上，且與CN相交所成的一個角是108º，這樣的線段有幾條？（不必寫出畫法，不要求證明）如圖4，在正五邊形ABCDE中，M、N分別是DE、EA上的點，BM與CN相交于點O，若BON108º，請問結(jié)論BMCN是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由。BOCMNA圖1ABCMNOD圖2圖4NMOEDCBA解 （1）以下答案供參

14、考： （1） 如選命題 證明：在圖1中，BON=60°1+2=60°3+2=60°，1=3 又BC=CA，BCM=CAN=60°BCMCAN BM=CN （2）如選命題證明：在圖2中，BON=90°1+2=90°3+2=90°，1=3 又BC=CD，BCM=CDN=90°BCMCDN BM=CN （3）如選命題證明；在圖3中，BON=108°1+2=108°2+3=108°1=3 又BC=CD，BCM=CDN=108°BCMCDN BM=CN (2)答：當(dāng)BON=時結(jié)論BM=

15、CN成立 答當(dāng)BON=108°時。BM=CN還成立 證明；如圖5連結(jié)BD、CE. 在BCI)和CDE中BC=CD, BCD=CDE=108°,CD=DEBCD CDEBD=CE , BDC=CED, DBC=CEN CDE=DEC=108°, BDM=CEN OBC+ECD=108°, OCB+OCD=108°MBC=NCD又DBC=ECD=36°, DBM=ECN BDM CNE BM=CN8、（2006吉林長春）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，兩個函數(shù)的圖象交于點A。動點P從點O開始沿OA方向以每秒1個單位的速度運動，作PQx軸交直線B

16、C于點Q，以PQ為一邊向下作正方形PQMN，設(shè)它與OAB重疊部分的面積為S。（1）求點A的坐標(biāo)。（2）試求出點P在線段OA上運動時，S與運動時間t（秒）的關(guān)系式。（3）在（2）的條件下，S是否有最大值？若有，求出t為何值時，S有最大值，并求出最大值；若沒有，請說明理由。（4）若點P經(jīng)過點A后繼續(xù)按原方向、原速度運動，當(dāng)正方形PQMN與OAB重疊部分面積最大時，運動時間t滿足的條件是_。解 （1）由 可得 A（4，4）。（2）點P在y = x上，OP = t，則點P坐標(biāo)為點Q的縱坐標(biāo)為，并且點Q在上。，即點Q坐標(biāo)為。當(dāng)時，。當(dāng)，當(dāng)點P到達A點時，當(dāng)時， 。（3）有最大值，最大值應(yīng)在中，當(dāng)時，S的

17、最大值為12。（4）。9、（2006湖南常德）把兩塊全等的直角三角形和疊放在一起，使三角板的銳角頂點與三角板的斜邊中點重合，其中，把三角板固定不動，讓三角板繞點旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線與射線相交于點，射線與線段相交于點（1）如圖9，當(dāng)射線經(jīng)過點，即點與點重合時，易證此時，（2）將三角板由圖1所示的位置繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為其中，問的值是否改變？說明你的理由()()()B(Q)CFEAP圖1圖3圖3（3）在（2）的條件下，設(shè)，兩塊三角板重疊面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式解 （1）8 （）（2）的值不會改變 理由如下：在與中，即（）（3）情形1：當(dāng)時，即，此時兩三角板重疊部分為四邊形，過作于，于，由（2）

18、知：得于是情形2：當(dāng)時，時，即，此時兩三角板重疊部分為，由于，易證：，即解得于是綜上所述，當(dāng)時，當(dāng)時，法二：連結(jié)，并過作于點，在與中，法三：過作于點，在中，于是在與中即10、（2006湖北宜昌）如圖，點O是坐標(biāo)原點，點A（n，0）是x軸上一動點(n0以AO為一邊作矩形AOBC，點C在第二象限，且OB2OA矩形AOBC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90o得矩形AGDE過點A的直線ykxm 交y軸于點F，F(xiàn)BFA拋物線y=ax2+bx+c過點E、F、G且和直線AF交于點H，過點H作HMx軸，垂足為點M(1)求k的值；(2)點A位置改變時，AMH的面積和矩形AOBC 的面積的比值是否改變？說明你的理由解 （1）根

19、據(jù)題意得到：E（3n，0）， G（n，n）當(dāng)x0時，ykxmm，點F坐標(biāo)為（0，m）RtAOF中，AF2m2n2，F(xiàn)BAF，m2n2(-2nm)2，化簡得：m0.75n， 對于ykxm，當(dāng)xn時，y0，0kn0.75n，k0.75 （2）拋物線y=ax2+bx+c過點E、F、G， 解得：a，b，c0.75n 拋物線為y=x2x0.75n 解方程組： 得：x15n，y13n；x20，y20.75n H坐標(biāo)是：（5n，3n），HM3n，AMn5n4n，AMH的面積0.5×HM×AM6n2； 而矩形AOBC 的面積2n2，AMH的面積矩形AOBC 的面積3:1，不隨著點A的位置的

20、改變而改變 11、（2006北京海淀）如圖，已知O的直徑AB垂直于弦CD于E，連結(jié)AD、BD、OC、OD，且OD5。（1）若，求CD的長；（2）若 ADO：EDO4：1，求扇形OAC（陰影部分）的面積（結(jié)果保留）。解（1）因為AB是O的直徑，OD5所以ADB90°，AB10在RtABD中，又，所以，所以因為ADB90°，ABCD所以所以所以所以（2）因為AB是O的直徑，ABCD所以所以BADCDB，AOCAOD因為AODO，所以BADADO所以CDBADO 設(shè)ADO4x，則CDB4x由ADO：EDO4：1，則EDOx因為ADOEDOEDB90°所以所以x10

21、76;所以AOD180°（OADADO）100°所以AOCAOD100°12、（2006湖南長沙）如圖1，已知直線與拋物線交于兩點（1）求兩點的坐標(biāo)；（2）求線段的垂直平分線的解析式；（3）如圖2，取與線段等長的一根橡皮筋，端點分別固定在兩處用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖在直線上方的拋物線上移動，動點將與構(gòu)成無數(shù)個三角形，這些三角形中是否存在一個面積最大的三角形？如果存在，求出最大面積，并指出此時點的坐標(biāo)；如果不存在，請簡要說明理由PA圖2圖1解（1）解：依題意得解之得（2）作的垂直平分線交軸，軸于兩點，交于（如圖1）圖1DMACB 由（1）可知： 過作軸，為垂足 由，得：， 同理： 設(shè)的解析式為 的垂直平分線的解析式為：（3）若存在點使的面積最大，則點在與直線平行且和拋物線只有一個交點